Характеристики серий в троичной марковской последовательности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Сыктывкарского университета. Сер Л. Вып. 8. 2008

УДК 519.2

ХАРАКТЕРИСТИКИ СЕРИЙ В ТРОИЧНОЙ МАРКОВСКОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1

C.B. Балакин 2

Рассматривается троичная марковская последовательность и функционалы на ней, связанные с числом событий и числом серий из этих событий. Находятся производящие функции для совместных распределений данных характеристик. Вычисляются средние, дисперсии и ковариации.

Введение

Троичные марковские цепи являются важным частным случаем в теории марковских последовательностей и выделяются в большинстве работ, посвященных конечным марковским цепям [1]-[4]. Особый интерес представляют совместные распределения различных характеристик серий в марковской последовательности и первые моменты этих распределений.

В статье описываются такие характеристики марковской цепи, как число событий определенного вида и число серий из этих событий. Для них найдены производящие функции, а также точные формулы для первых моментов.

1. Обозначения

1.1. Рассмотрим троичную однородную марковскую последовательность £ случайных переменных £(п), п ^ Ос множеством значений С = {1,0,—1}, начальным вектором Р и переходной матрицей ):

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект 06-01-00422).

2Институт математики им. Л.С. Соболева СО РАН, balakin@ngs.ru

© Балакин C.B., 2008.

Р = (ai, а0, a_i) = (а, 1 — а — 6, 6),

9ii 9ю \ (р 1-p-s

Q= ( 9oi 9oo 9o,-i = 9 1-q-t t Kq-li 9-io 9-i,-i/ 1 " u ~ r r;

аг = Рг{^( 0) = г}, iGC, qaß = Pr{^n + l) =/3 | f(n) = а}, n > 0. По умолчанию будем предполагать, что 0 < a^qaß < 1.

1.2. Введем дополнительные обозначения:

к — р + г — q — t — tr Q — 1 d — p(r — t) + q(s — r) + — 5) = detQ.

Так как 0 < qaß < 1, то— 1 < d < 1.

Используя эргодическую теорему и решая систему линейных уравнений с тремя неизвестными, получаем выражения для предельных (финальных) вероятностей bi = lim Pr{^(n) = i} (i e С) (см. [4]):

n—>oo

q(l — r)+tu (1 — p)(l — r — u) + u{l — p — s)

1= 1-k + d ' ° = l-fc + d '

= ¿(1 -p) + 1-fc + d

Собственные числа матрицы Q имеют вид:

Ло = 1, А± = ^ (к ± Vк2 - 4dj .

Очевидно, что

Л_ + Л+ = к, Л_ • Л+ = d, (1 - А_)(1 - А+) = 1 - к + d. (1)

Таким образом, условия 0 < qaß < 1 (а, /5 G С) являются достаточными для эргодичности цепи, поэтому всюду в дальнейшем, если не оговаривается противное, подразумевается выполнение этих условий. Кроме того, потребуем выполнения условия к2 — Ad ф 0 (то есть А+ ф А_). Случай к2 — Ы — 0, а также равенство нулю элементов qaß будут подробно рассмотрены позже.

Для упрощения дальнейших выкладок введем еще обозначения

Ъ = ^Mf (1) = i} = а1 Qu + ао9ог + a-19-it (i €

\п \п

Л<"> =

и отметим равенства

А • А(п) = к • Л(гс + 1) - Л(гс + 2)

. оо

--:-тг = У А(п + 1)Л

1 - кг+ (1г2 ^ '

п—О

Замечание. В отличие от А± значение Л(гг) при любых Е [0,1] будет являться действительным числом. Более того, если д«^ Е О, то и А(п) Е О.

1.3. Будем рассматривать случайные величины х^п) и у^п), равные соответственно числу ¿-событий и числу ¿-серий последовательности £ на отрезке [0,п]. Они задаются следующим образом:

п

хг{п) = тс1{£(0) = г} + = г],

3=1

П

уг(п) = тс!{£(0) = г} + ^т^О' - 1) Ф = г}.

¿=1

Последовательности ^¿(гг),гг ^ 0 и ^(гг),гг ^ 0 в общем случае немарковские.

Замечание. Нас главным образом будут интересовать 1-события и 1-серпп, результаты для аналогичных 0- и (—1)-характеристик получаются по симметрии. Например, чтобы из 1-серии получить (—1)-серии, необходимо произвести "замену": р н г, и н ? о ^ о 1,

а\ о а_ 1.

2. Распределение £(п)

2.1. Используя жорданово разложение матрицы Ц и находя ее п-ю степень, получаем распределение вектора

рп = р.цп = (Рг{£(п) = 1}, Рг{£(п) = 0}, Рг{£(п) = -1}).

Оно имеет вид:

Рг{£(п) = г} = + (7г - щк - Ъг{ 1 - к)) Л(п) + (аг - Ьг)Л(п + 1) (г Е С).

(4)

п ^ 0; (2)

0 < \г\ < 1. (3)

Математическое ожидание Е£(п), очевидно, равно

Щ(п) = = 1} - Рг{£(п) = -1}.

Также заметим, что

= = 1} + Рг{^(п) = -1}.

2.2. Нетрудно вычислить ковариацию и коэффициент корреляции для случайных переменных £(г), £(.?), (г ^ Имеем:

Е (е(оео')) = рг{е(о = ш) = i>+рг^СО = Ш) = -i>-

- Pr{ew = u(j) = -1} - рг{£СО = = 1} =

= (b1-b.1)(l-(l-k)A(j-t)-A(j-t + l))E^i) + ((p-s)Pr{^i) = 1}+ + (г - и)РгШ = -1})Л(j - г) + (1 - k)A(j - г + 1)Е£2(г),

Отсюда получаются выражения для ковариации Cov и коэф-

фициента корреляции К

Замечание. Заменяя щ = Рг{£(0) = г} на Рг{£(т) = г}, можно получить из выписанных формул для средних и дисперсий характеристик серий в последовательности £(0),..., £(п) аналогичные формулы для последовательности £(т),... ,£(т + п). Так как Рг{£(т) = г} ^ при т —>> оо, когда 1 — /с + й^О, то в этом случае, заменяя а^ на Ь^ можно получить приближенные формулы при больших значениях т.

3. Производящие функции

3.1. Пусть

cov тлт = е тш - е Ш Е Ш),

ЛРМ"

Pa{i,j,n) = Pr{xi{n) = i,yi(n) = j,€(n) = a}.

Тогда, используя формулу полной вероятности и марковское свойство, получаем систему уравнений для вероятностей Ра(г^, п):

'Рг{1,],п) = Рх(г - 1 ,з,п- 1) - р + Р0(г - 1,.7 - 1,п - 1) •

+Р-1(г - 1, з - 1,п - 1) • и, Р0(г, п) = Р^з, п - 1) ■ (1 - р - з) + - 1) ■ (1 - д - ^ +

Р-х^.З.п) = Рх(1,з,п- 1) • в + Р0{г,з,п- 1) • £ + п — 1) • г,

(5)

где п ^ 1, 1 ^ г ^ п + 1, 1 ^ э ^ [п /2] + 1. Кроме того (граничные условия):

о / ■ - пч г = .7 = 1,

А = < Л

10, иначе;

Ра(и, 0) = Ь" г = ^' = 0' (а е {0,-1});

10, иначе; Р1(г,0,п) = Р1(0,^п) = 0.

3.2. Рассмотрим производящие функции ка для вероятностей

Ра(г,3, п):

оо оо оо

На(х,у,г) = ^ ^\х\ , ^ 1, И < 1.

п=0 г=0 ,7=0

Используя систему (5) и граничные условия, получаем: (1 — pxz)h 1 — qxyzhъ — ихугк_1 — а\ху,

—г(1 — р — + (1 — (1 — § — — (1 — г — и)хН-\ — а0, (6)

—бхКх — ¿¿Ло + (1 ~~ гг)1г-1 = а_х.

Решая эту систему, находим:

(ах + С12; + ху

^ ^ = 1 + Ях(ф + Я2(я, ф2 + Я3(х, ф3 агдцхуг + дпН^ш)х(1 - у)г2 + ¥{хуг2

1 + Я^ф + Я2(х, ф2 + Я3(х, у)г3' а* + (Сг + Я»д) г - щдпхг

1 + Н1(х)г + Н2(х,у)г2 + Н3(х,у)г3

, г = 0,-1, (7)

где

Gí = Jí- a¿( 1 + /с), = щк - 7¿ + ¿>¿(1 - /с + d),

"''/.,/• "/'//' ('-.У С С): #i(ic) = -(goo + 9-1,-1 + 9пж),

Н2(х,у) = 9009-1,-1-90,-19-1,0 + 9и(9оо + 9-i ,-i)^-(9io9oi - 9i,-i9-i,i)^, H3(x,y) = - (9п(9009-1,-1 - 9o,-i9-i,о)(1 - y) +

3.3. Из формул (7) получается формула для производящей функции к вероятностей п) = Рг{х1(п) = i, у\{п) = ]}. Так как

а

то суммирование (7) даёт:

1 + (р — а — к) г — (1 — а)рхг {Х,У,г) = 1 + Нх{х)г + Н2{х, + Н3(х, у)г3 +

а(1 — p)xyz + p(H0-i + H-ifi)x(l — y)z2 + dxyz 1 + H\(x)z + H2(x, y)z2 + H3(x, y)z3

(8)

3.4. Используя равенство (8), легко найти производящие функции для маргинальных распределений числа 1-событий и 1-серий соответственно:

оо оо оо оо

f{x,z) = ^2^2Pr{Xl(n) =г}х'гп, g(y,z) = =j}yjzn.

п=О г=0 п=0j=0

Имеем:

f( \ — hi , _ 1 + (р — а — k)z + (а(1 — р) — (1 — a)p)xz + dxz2 J{x,z) - h(x,l,z) - l + H1(x)z + H2(x,l)z2-dxz3 '

(9)

1 - kz - a(l -p){l - y)z

g{y,z) = h{l,y,z) = --. . , „ n—ч 2 , „ /,—ГТ+

l-(k + l)z + H2( 1, y)z¿ + H3( 1,

р(Я0,-1 + Я_1,о) (1 ~ y)z2 + 1 - (fe + l)z + H2( 1, у)г2 + Я3(1, y)z3'

(10)

Характеристики серий в троичной марковской последовательности 9 4. Среднее число а-событий

Дифференцируя /(я, г) в равенстве (9) по х и разлагая в ряд по степеням г, получаем (используются равенства (1)-(3)):

аг + (71 - ах( 1 + к))г + (-71 + (аг - Ъг)к + 61(1 + А))г2 _ 1х[ ~ (I - кг + - г)2

= (аг + (71 - + ¿0)^ + (-71 + (аг - Ъг)к + Ьг(1 + (1))г2) х

оо оо

х ^(г + 1)^ ^ АО' + = (<ц + (71 - аг(1 + к))г+

г=0 j=0

zn =

+ (-71 + (ai - 61)А; + &i(l + d))z2) ~ i + + ^

n=0 ¿=0

_ ai + (71 ~ ai(l + fc))* + (-71 + (ai - &i)fc + ¿i(l + d))z2

~ (1-k + d)2 X

OO

x d - к + (1 - к + d)(n + 1) + d(d - 1)A(n + 1)+

n=0

+ (fc - 2d)A(n + 2))zn = 01 + (ai + 7l)z +

OO /

x Y^ ( 6i(l - к + d)2(n + 1) + (1 - к + d) (71 + К - &i)(l - k)-

n=2 ^

- 61 - ((71 - aife - 6i(l - /с))(1 - k) - (ai - 6i)d)A(n + 1)-

- (7l + (a, - bi)(l -к)- h)A(n + 2

откуда получаем среднее значение E(xi(n)) случайной величины Х\(п):

Exi(n) = h(n + 1) + --1Г—](ъ + (ai - &i)(l - к) - h-

1 — к + а\

-((71 - «1 к -bi( 1 - /с))(1 -к) - (ai - bi)d)A(n + 1)-

-(71 + («1 " Ы( 1 Ь1)А(п + 2)). (11)

Используя замечание пункта 1.3, имеем окончательно:

Е Xi{n) = bi{n + 1) + 1_l + d(ji + (щ ~ bi)( 1 -к)- bi-

~((7i - щк - bi(l - k))( 1 — k) — (ai - bi)d)A{n + 1)-

-(ъ + (ai ~ h)( 1 ~k)~ bi)A{n + 2)). (12)

В стационарном случае (а^ = 7г = bi):

Е Xi(n) — CLi(n + 1).

5. Среднее число а-серий

Дифференцируя g(y,z) в равенстве (10) по у и разлагая в ряд по степеням z, получаем (используются равенства (1)):

9'у( 1, z) = {1_кх + 12){1_г)2 ■ («1 + {ъ~а1(1+р + k))z+

+ (bi(l-k+d)+a(k+p(l+k))-(l+p)ji)z2-p(-ji + (ai-bi)k+bi(l+d))z3) =

= ^_^+d^2(a1 + (j1-a1(l+p + k))z + (b1(l-k + d) + a1(k+p(l + k))-

ОО

-(l+p)j1)z2+p^1-(a1-b1)k-b1(l+d))z3)^2(2d-k + (l-k+d)(n+l) +

п=О

+ d(d - 1 )А(п + 1) + (к - 2d)A(n + 2))zn = ах + (71 + сц(1 - p))z+

ОО /

+ ((ai + 7i)(l - р) - (ai - h)d + (71 - h)k + h) z2 + f bx(1 - p)n+

n=3 ^

(1 -p) Ы-а1 + (а1-Ь1)(2-к))__1_/ _

+ i-k + d (i-k + d)Apa[L а)[ъ

- (ai - bi)k - 6i(l + d))A(n - 2) + (d( 1 - d)(6i(l - к + d) + ax(A; +p(l + &))-- (1 +p)7i) - 2d)(71 - (ai - 61)A; - 61 (1 + d)))A(n - 1)+ + (d(d - l)(7i - ai(l +p + k)) + (k — 2d){b1{l - к + d)+ + ax(k +p(l + k)) - (1 + p)7i))A(n) + (a1d(d - 1)+

+ (k- 2d)(71 - ai (1 + p + k)))A(n + 1) + аг (k - 2d)A(n + 2)) ),

откуда, при помощи (2), получаем среднее значение E(?/i(n)) случайной величины у\(п):

ЕУ1 (n) = (l-p)b1n + b1+ г_к + (1 (^(1 - Р) Ы ~ «1 + («1 " Ьг) (2 - к)) +

+ ((ai - 7i)(р(к - 1 )~d) + (ai - h)(p(k - I)2 - pd - d(k - 2)))Л(п) + + ((ai - 7i)(l -р) + (аг - Ьг)(р(2 - к) + d - 1))Л(п + 1)) . (13)

Используя замечание пункта 1.3, имеем окончательно:

Е yi(n) = (1 - qu)bin + bi+ + d ^(1 - Qu) (li - а» + (а* - 6») (2 - k)) +

+ ((аг - 7i)(qu(k - 1) - d) + (аг - bi)(qu(k - l)2 - qud - d(k - 2)))Л(тг) +

+ ((аг - 7г)(1 - fe) + (аг - 6г)Ы2 — А;) + d — 1))Л(п + 1)) . (14)

В стационарном случае (а^ = 7г = &г):

= а*((1 - + 1).

6. Вторые моменты числа а-событий и а-серий

6.1. Последовательно дифференцируя равенства (9), (10) и (8), разлагая вторые производные при ж = 1 и j/ = 1 в ряд по z и используя известные формулы

von(n)) = rum+/¿(i)N - WA i)[n])2,

V(yi(n)) = <y(l)[n] +^(1)[п] - И(1)[п])2, cov^H^iH) = КУ(1,1) - /i(i)[n]/;(i)[n]

(здесь f(z) = X^^Lo /М2^? т0 есть /И " коэффициент при n-ой степени z разложения в степенной ряд по z\ после некоторых преобразований получаем выражения для дисперсий, а также ковариации числа единиц Х\(п) и числа серий у\{п) соответственно:

Ы) = (jr. + ^ (A-lA(n + 1) + А-2Л(„ + 2») +

+ (i-Lar {х>+ -whdXMn + 4 + Л'5Л(" + 2)+

+ Х6А2(п + 1) + А'7Л(п + 1)Л(п + 2) + А8Л2(п + 2)^,

+ (ГГТПр (Гз + iiA(" "+ F^45iiA(")+

+ У6Л2(п - 1) + У7Л(п - 1)Л(п) + ПЛ2(п)) (n > 1),

и

Соу(Х1(п), У1(п)) = --—— (Со + СхЛН + С2Л(п + 1)) +

1 — к + а

+ № + С,А(п) + С,А(п + 1) + С6Л2(п)

+ С7А(п)А(п + 1) + С8А2(п + 1)).

Здесь Е {0,1,..., 8}) коэффициенты, не зависящие от п.

Они имеют достаточно громоздкий вид и здесь не приведены.

6.2. Коэффициент корреляции равен

р^хАщуАп)) = . — / = = Л0 + СЧ - ,

где

К,

о = (1 -к-й + 2р(к - р) - 61(3 - к - <1 - 2р(2 - &))) ((1--р) (1 - к - (I + 2р - Ъх (3 - к - (I)) (1 - к - <1 + 2(к - р)р--61(3- к-(1- (5 - ЗА: + 7. Частные случаи

7.1. к2 — Ы = 0. В этом случае равенства (4), (12), (14) упрощаются. Так как в данном случае

л -л -к 2'

то

/к\п~1 Л(п) = п • ^

и равенства (4), (12), (14) принимают вид (г £ С):

к\п ( . ,

Рг{£(п) = г} = 6г + (о»-6«) ( 2 ) +п ( 7« - - (а« - &») 2

4 , , ..........АчП+1

ЕжДп) = + + —(ъ-Ъ{ + (<ц-Ъ{)(1-к)) ^1-

-Г^1(Чъ~Ь1)-(аг-Ьг)к) №)\

7.2. 1 - к + (1 = 0. Так как

\ — к + (1 — д(1 — г) + Ы + (1 — р — з)(1 — г) + 5(1 — г — и) +1(1 — р)

и все слагаемые правой части неотрицательны, то в этом случае возможны две группы вариантов:

1) а) г = 1, и = 0, г = 0, 8 = 0; б) § = 0, р = 1, 8 = 0, и = 0; в) § = 0, ¿ = 0, 1 - г - и = 0, 1 - р - з = 0.

2) а) г = 1, и = 0, Л = 0, § = 0; б) г = 1, и = 0, 8 = 0, р = 1; в) д = 0, ¿ = 0, 5 = 0, р = 1.

Первая группа, очевидно, описывает двоичную цепь Маркова. Действительно, например, в 1а) получаем с вероятностью Ь вырожденную последовательность, состоящую из (—1)-событий, а с вероятностью 1 — 6 получаем двоичную цепь Маркова с множеством состояний С = {1,0} и матрицей переходных вероятностей

Двоичные цепи были подробно исследованы в [5]. Вторая группа описывает троичную цепь Маркова, в которой рано или поздно наступает одно из двух поглощающих состояний. Например, для случая 2а) имеем:

Еу{(п) = (1 - + Ьг + (щ - Ьг

к-1

Рг{£(к) = -1} = Ь + аз-——.

Литература

1. Карлин С. Основы теории случайных процессов. М.: Мир, 1971.

2. Кемени Дж., Снелл Дж. Конечные цепи Маркова. М.: Наука, 1970.

3. Романовский В.И. Дискретные цепи Маркова. Москва, Гостехиз-дат, 1949.

4. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т. 1. М.: Мир, 1984.

5. Савельев Л.Я., Балакин С.В. Совместное распределение числа единиц и числа 1-серий в двоичной марковской последовательности// Дискретная математика. 2004• Т. 16. № 3. С. 43-62.

Summary

Balakin S.V. Runs characteristics in a ternary Markov chain

A ternary Markov chain is considered. There are functionals concerned with a number of events and a number of runs. Probability generating functions for joint distributions of this functionals are obtained. Precise formulas for expectations, variances and covariations are founded.

Институт математики им. JI. С. Соболева СО РАН

balakin@ngs.ru Поступила 23.01.2008