Совместная плотность вероятностей длительности интервалов обобщенного полусинхронного потока Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(19)

УДК 519.21

А.М. Горцев, А.А. Калягин

СОВМЕСТНАЯ ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДЛИТЕЛЬНОСТИ ИНТЕРВАЛОВ ОБОБЩЕННОГО ПОЛУСИНХРОННОГО ПОТОКА

Изучается обобщенный полусинхронный поток событий, являющийся одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок (событий), функционирующих в современных цифровых сетях интегрального обслуживания (ЦСИО). Приводятся явные выражения плотности вероятностей длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей длительности двух соседних интервалов. Формулируются условия рекуррентности потока событий.

Ключевые слова: обобщенный полусинхронный поток событий, плотность вероятностей, совместная плотность вероятностей, рекуррентность потока событий.

В настоящей статье проводится дальнейшее исследование обобщенного полу-синхронного потока событий, начатое в работах [1, 2]. Обобщенный полусинхронный поток событий (далее - поток ) относится к классу дважды стохастических потоков и является одной из адекватных математических моделей информационных потоков заявок, функционирующих в ЦСИО [3]. С одной стороны, параметры потока событий и его состояния оказывают непосредственное влияние на процесс функционирования системы массового обслуживания. С другой стороны, в реальных ситуациях параметры, задающие входящий поток событий, известны либо частично, либо вообще неизвестны, либо (что еще более ухудшает ситуацию) изменяются со временем. Вследствие этого возникают задачи: 1) оценки состояний потока (задача фильтрации интенсивности потока) по наблюдениям за моментами наступления событий [1, 2]; 2) оценки параметров потока по наблюдениям за моментами наступления событий [4].

Для решения задачи оценивания (тем или иным статистическим методом) параметров потока в первую очередь необходимо знание вероятностных свойств потока. В настоящей статье находятся явные виды плотности вероятностей значений длительности интервала между моментами наступления соседних событий потока и совместной плотности вероятностей значений длительности двух соседних интервалов.

1. Постановка задачи

Рассматривается обобщенный полусинхронный поток событий, интенсивность которого есть кусочно-постоянный случайный процесс X(t) с двумя состояниями X и X2 (X > X2). В течение временного интервала, когда X(t) = X , имеет место пу-ассоновский поток событий с интенсивностью X , i = 1,2. Переход из первого состояния процесса X(t) во второе возможен только в момент наступления события, при этом переход осуществляется с вероятностью p (0 < p < 1); с вероятностью 1 -p процесс X(t) остается в первом состоянии. Тогда длительность пребывания про-

цесса Х(г) в первом состоянии будет распределена по экспоненциальному закону с параметром рк1. Переход из второго состояния процесса Х(г) в первое состояние может осуществляться в произвольный момент времени. Длительность пребывания процесса Х(г) во втором состоянии распределена по экспоненциальному закону с параметром а. При переходе процесса Х(г) из второго состояния в первое инициируется с вероятностью 5 (0 < 5 < 1) дополнительное событие в первом состоянии (т.е. сначала осуществляется переход, а затем инициируется дополнительное событие). При этом блочная матрица инфинитезимальных коэффициентов примет вид

А =

-X! 0 (1 - р)Х[ Рх 1

(1 -8) а -(X 2 + а) 8а Х 2

= 11 А |А||.

Элементами матрицы Б1 являются интенсивности переходов процесса Х(г) из состояния в состояние с наступлением события. Недиагональные элементы матрицы О0 - интенсивности переходов из состояния в состояние без наступления события. Диагональные элементы матрицы О0 - интенсивности выхода процесса Х(г) из своих состояний, взятые с противоположенным знаком. В сделанных предположениях Х(г) - марковский процесс. Вариант возникающей ситуации приведен на рис. 1, где 1,2 - состояния случайного процесса Х(г); г1 , г2 ,... - моменты наступления событий; г4 ,... - моменты инициирования дополнительных событий с вероятностью 5. Если 5 = 0, то имеет место обычный полусинхронный поток событий [4].

1 - р

—6-

t

1 - р

1 - р

1 *2 *3 *4 *5 *6 *7 *8 *9 *10

Рис. 1. Формирование обобщенного полусинхронного потока

2

*

Процесс Х(г) и типы событий (события пуассоновских потоков и дополнительные события) являются принципиально ненаблюдаемыми, а наблюдаемыми являются только временные моменты наступления событий г1 , г2 ,. . Рассматривается установившийся (стационарный) режим функционирования потока событий. В силу предпосылок последовательность моментов наступления событий г1 , г2 ,., 4 , ... образует вложенную цепь Маркова, т.е. обобщенный полусинхронный поток обладает марковским свойством, если его эволюцию рассматривать с момента 4 (момент наступления события), к = 1, 2, ... . Обозначим тк = 4+1 - 4 (к = 1, 2, .) - значение длительности к-го интервала между соседними событиями потока. Так как рассматривается стационарный режим, то плотность вероятностей значений длительности к-го интервала р(тк) = рт), т > 0, для любого к. В силу этого момент 4 без потери общности можно положить равным нулю, или, что то же самое, мо-

мент наступления события есть т = 0. Пусть теперь (4 , гк+1), (гк+1 , 4+2) - два смежных интервала с соответствующими значениями длительностей: тк = 4+1 - & , тк+1 = 4+2 - 4+ь их расположение на временной оси, в силу стационарности потока, произвольно. Тогда можно положить к = 1 и рассматривать соседние интервалы (г1, г2), (г2, г3) с соответствующими значениями длительностей: т1 = г2 - г1 , т2 = г3 - г2 ; т1 > 0, т2 > 0. При этом т1 = 0 соответствует моменту г1 наступления события потока; т2 = 0 - моменту г2 наступления следующего события потока. Соответствующая совместная плотность вероятностей при этом есть р(т1 , т2), т1 > 0, т2 > 0.

Задача заключается в нахождении явного вида р(т) и явного вида _р(т1,т2), а также в установлении условий рекуррентности обобщенного полусинхронного потока событий.

2. Вывод плотности вероятностей р(т)

Введем в рассмотрение вероятности р. (т) того, что на интервале (0, т) нет событий потока и в момент времени т имеет место Х(т) = Х/ при условии, что в момент времени т = 0 значение процесса Х(0) = Х, (г, у = 1,2). При этом, в силу предпосылок, р12 (т) = 0 для любого т. Тогда, в соответствии с определением потока, ^11(т)Х1Ат(1- р) + о(Дт) - совместная вероятность перехода на интервале (0, т) процесса Х(т) из первого состояния в первое, наступления события потока на полуинтервале [т. т + Ат), где Ат - достаточно малая величина, и перехода на этом полуинтервале процесса Х(т) из первого состояния в первое. Аналогичные совместные вероятности примут вид

^11(т)Х1Ат^ + о(Дт); _р22(т)Х2Дт + о(Дт); _р22(т)аДт5 + о(Дт); _р21(т)Х1Дт(1-р) + о(Дт); _р21(т)Х1Дт^ + о(Дт).

Соответствующие плотности вероятностей выпишутся в виде

Ри(т) = (1- р)Х1Рп(т); ^2 (т) = г^Рп(т); (1)

Р21 (т) = (1 - Р)\Р2\(т) + а8Р22 (т); Р22 (т) = Р^1Р21(т) + ^2^22 (т)-Составляя дифференциальные уравнения относительно неизвестных р. (т), г, у = 1,2 , (р12 (т) = 0) и решая полученные уравнения с соответствующими граничными условиями: _р11(0) = _р22(0) = 1, _р21(0) = 0, находим

А1(х) = , р22 (т) = )т, р21(х) = а(1-5) (е-(а+Л2 )т - е-^т). (2)

А<1 ^2 а

Подставляя (2) в (1), получаем явный вид плотностей вероятностей р. (т), г, У = 1,2.

Введем в рассмотрение вероятность л,(0) - условную стационарную вероятность того, что процесс Х(т) в момент времени т = 0 находится в г -м состоянии при условии, что в момент т = 0 событие потока наступило, г = 1,2 (п1(0) + п2(0) = 1). Тогда, так как моменты наступления событий образуют вложенную цепь Маркова, справедливы следующие уравнения для вероятностей лг(0):

П1(0) = Я1(0)рП + П2(0)р21; П2(0) = П1(0)р12 + П2(0)р22 , (3)

где р/ - переходная вероятность того, что за время, которое пройдет от момента т = 0 до наступления следующего события потока, процесс Х(т) перейдет из г-го состояния ву-е (г,у = 1,2). При этом вероятностир/ определятся в виде

p i = Ihi(T)d т =(1 - р)\ |Pi i(T)d т; Ри = {Pu(T)d T = px i {Pi i(T)d T;

0 0 0 0

_P2i = { p 2i (T)d T = (1 - P)Xi { P2i(T)d T + a$| P22 (T)d t; (4)

0 0 0

го ro ro

_P22 = { P 22 (T)d T = Mi I P2i(T)d T + X2 | P22 (T)^ T,

0 0 0

где p g (т) определены в (1), pj (т) - в (2). Подставляя (2) в (4), находим

Р11 = 1 -p;P12 = p; P21 = a(1 -p + j?5)/(a + ^2); ^22 = [^2 + Ml - 5)]/(a + ^2). (5) Подставляя (5) в (3), получаем

ni(0) = a(1 - p + _p5)/[a + (^2 + a5)p]; n2(0) = p(a + ^2)/[ a + (^2 + a5)p]. (6)

Тогда плотность вероятностей p(T) примет вид

2 2

ж»=Z п (о)£ 5?(т), т - 0. (7)

i=1 j=1

Подставляя в (7) сначала (1), затем (2) и (6), проделывая при этом необходимые преобразования, получаем явный вид плотности вероятностей _p(x):

p(т) = ykle^Xl% + (1 -у)(a +A,2)e-(a+X2^т, т - 0;

рХх (1-5)

a

Y ='

1 --

a + р(Х 2 + aS) где ^1 - А2 - a Ф 0. Для случая ^1 - А2 - a = 0 имеем

^а(1 -8)

1 —

Х<2 a

м

(1 -^it)

ее, т > 0.

(8)

(9)

(1 - р) а + р{ Хх + а8)

Отметим, что если 5 = 0, то получаем (8) и (9) для обычного полусинхронного потока [4].

3. Вывод совместной плотности вероятностей р(т 1,Т2)

В силу того, что последовательность моментов наступления событий потока образует вложенную цепь Маркова, совместная плотность вероятностей _р(т1,т2) примет вид

2 2 2

Т2 ) = X П (0)Х Р/ (Т1 )Е Р]к (т2 ) , т1 > 0, т2 > 0 (10)

/=1 _/=1 к=1

где р (т;), р (т2) определены в (1). При этом в выражениях для р (т), г,у = 1,2,

нужно произвести замену т на т1 и т на т2. Тогда подставляя в (10) сначала р (т;),

Рц (т2), определенные в (1), затем р..(т;), р у (т2), определенные в (2), для т =т1 и

т = т2, затем л;(0), определенные в (6), г, у = 1,2, и проделывая необходимые преобразования, находим

Ж , т2 ) = Ж1)Р(т2 ) +

Х2 - (X2 + а8)р а + Х2

у(1 - y)[V-Vl - (а + X2)е-(а+Лг} 11 ]х x^e"^2 -(a + X2)e-(a+X2)Т2 ], Ti > 0, Т2 > 0, (11)

где ^(т1), рт2), у определены в (В) для т =т1 и т = т2 и Х1 - Х2 - а Ф 0. Для случая Х1 - Х2 - а = 0 имеем

Р(ті, т2 ) = Р(ті) Р(т 2 ) + xi [а(1 - Р + Р5) -\(1 - P)]x

pa(1 -8)

a(1 - p) + p( X1 + a 8) _

(1 - Vi )(1 - V2)e-X‘(T1+T2), ті > 0, т2 > 0, (12)

где _р(Хі), _р(х2) определены формулой (9) для Х =Х1 и т = т2.

Нетрудно получить вероятностные характеристики потока, такие, как математическое ожидание длительности интервала между событиями, дисперсию и ковариацию.

1. Вариант Х1 - Х2 - а Ф 0:

12

1-Y

Х-1 а + Л<2

1-Y

_LT_____________

(a + %2)

Y_ + _1-Y

Xi a + 'K')

cov(ti , T2) = Y(1 - Y)(X1 -X2 -a)

2 X2 - (X2 +a8)p X^(a + X2)

2. Вариант X1 - X2 - a = 0:

MT = (1 + C)/, DT = (1 + 2C-C2)/X?,

cov(t1,t2) = C2 [a(1 -p + bp)-Xj(1 -p)]/Xj,

C = pa{\-8) [a(1 - p) + p(X1 +a8) ] 1.

В рассматриваемом потоке присутствуют события трех типов:1) события пуас-соновского потока интенсивности Х1; 2) события пуассоновского потока интенсивности Х2; 3) дополнительные события. Типы событий являются неразличимыми. Обозначим qj - стационарные вероятности того, что наступившее событие потока есть событие j-го типа, j = 1,2,3. Тогда, используя вышеприведенные результаты, нетрудно получить явные выражения для qj :

a pX2 pad

а + (A 2 +а8) p

92 =

a + (A 2 + a8) p

9з =

a + (X2 +a8) p

Отметим, что п1(0) = д1(1 - р)+ д3 , п2(0) = ц1р+ д2 . Полагая в (11), (12) 5 = 0, получаем формулы _р(т1,т2) для обычного полусинхронного потока [4].

4. Условия рекуррентности обобщенного полусинхронного потока событий

Рассмотрим частные случаи, при которых обобщенный полусинхронный поток становится рекуррентным.

1. Вариант Х1 - Х2 - а Ф 0. Тогда для ситуаций: а) у = 1 (данное условие реализуется, если Х1 - Х2 - а5 = 0); б) у = 0 (данное условие реализуется, если Х1(1 - р + р5) - Х2 - а = 0); в) Х2 - (Х2 + а5)р = 0; г) р = 1, 5 = 0, совместная плотность (11) факторизуется. Так как последовательность моментов наступления событий есть вложенная цепь Маркова, то нетрудно показать, что факторизуется и совместная плотность рть...,тк). Последнее означает, что для этих ситуаций

обобщенный полусинхронный поток является рекуррентным [5]. При этом из (8) вытекает, что:

для ситуации а)

р(т) = 'kle~Xl%, т > 0, А1 = А2 + a5;

для ситуации б)

р(т) = (а + Х2)е-(а+Л2)т, т > 0, a + А2 = А1 (1 -p + pS);

для ситуации в)

р(т) = y1A1e-XlT + (1 -y1 )(а + X2 )e-a+x> ^т, т > 0, a + А2 = a(1 -p - Sp)/(1 -p),

Y1 = (1 -P (^1 - a -p^1>[(1 -p)( ^1 - a) - a5p]-1 ;

для ситуации г)

Р(т) = Y2 V"V +(1 - Y2 )(a + x2 )e~(a+Xl}T, Y2 = -a /(^ -A2 - a).

2. Вариант A1 - A2 - a = 0. Тогда для ситуаций: а) 5 = 1; б) p = 1, 5 = 0; в) a(1 - p + p5) = A1(1 - p), p Ф 1, совместная плотность (12) факторизуется. Последнее означает, аналогично варианту 1, что факторизуется и совместная плотность рть...,тк), так что для перечисленных ситуаций поток является рекуррентным. При этом из (9) вытекает, что:

для ситуации а) р(т) = Xle—"1%, т > 0, А1 = a + А2;

для ситуации б)р(т) = (Xt - a + XlaT)e~XlZ, т > 0, А1 = a + А2;

для ситуации в) р(т) = [ - ap(1 - 8)(1 - А1х)] е-Л'т, т > 0, А1 = a + А2.

При нижеследующем обсуждении условий рекуррентности необходимо использование результатов, приведенных в [1].

1. Вариант 1 (А1 - А2 - a Ф 0):

1.а. Апостериорная вероятность w(A1 | t) первого состояния процесса A(t) (не смотря на то, что поток рекуррентный и плотность р(т) экспоненциальная) зависит от предыстории, т.е. зависит от моментов наступления событий t1, ..., tk . Если здесь ввести дополнительное ограничение А2 = pX1 (p Ф 1), то вероятность w(A1 | t) не будет зависеть от предыстории, а будет зависеть только от её значения в момент наступления события потока, т.е. от w(A1 | tk + 0) = 1 -p, к = 1, 2, ...; так что при дополнительном ограничении имеется некоторая близость обобщенного по-лусинхронного потока к простейшему потоку.

1.б. Вероятность w(A1 | t) = п1 , t > 0, где п1 = a/(a + pX1) - априорная стационарная вероятность первого состояния процесса A(t). То есть для этой ситуации апостериорная вероятность w(A1 | t) вообще не зависит от моментов наступления событий, так что здесь имеет место наибольшая близость обобщенного полусин-хронного потока к простейшему потоку.

1.в. Вероятность w(A1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от её значения в момент наступления события, т.е. от w(A1 | tk + 0) = 1 -p, к = 1, 2, ... , так что для этой ситуации, аналогично ситуации а), имеется некоторая близость обобщенного полусинхронного потока к простейшему потоку.

1.г. Вероятность w(A1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от её значения в момент наступления события, т.е. от w(A1 | tk + 0) = 0, к = 1, 2, ... , так что и для этой ситуации обобщенный полусинхронный поток в некоторой степени близок к простейшему потоку.

2. Вариант 2 (А1 - Х2 - a = 0):

2.а. Вероятность w(A1 | t) = п1 , t > 0. То есть для этой ситуации апостериорная вероятность w(A1 | t) вообще не зависит от моментов наступления событий и обобщенный полусинхронный поток наиболее близок к простейшему потоку.

2.б. Вероятность w(A1 | t) не зависит от предыстории, а зависит только от её значения в момент наступления события, т.е. от w(A1 | tk + 0) = 0, к = 1, 2, ... , так что для этой ситуации наблюдается некоторая близость обобщенного полусин-хронного потока к простейшему потоку.

2.в. Вероятность w(A1 | t) не зависит от предыстории, как и для ситуации 2.б., при этом w(A1 | tk + 0) = 1 -p, к = 1, 2, ... . При этом имеется некоторая близость обобщенного полусинхронного потока к простейшему потоку.

Заключение

Полученные результаты делают возможным решение задачи оценки неизвестных параметров, задающих поток.

В общем случае для коррелированного обобщенного полусинхронного потока для оценки неизвестных параметров можно использовать метод моментов; для частных случаев, когда обобщенный полусинхронный поток становится рекуррентным - метод максимального правдоподобия.

ЛИТЕРАТУРА

1. Горцев А.М., Калягин А.А., Нежельская Л.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 66-81.

2. Горцев А.М., Калягин А.А. Оптимальная оценка состояний обобщенного полусинхронного потока событий в условиях непродлевающегося мертвого времени // Вестник ТГУ. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 4(13). С. 50-60.

3. Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания с коррелированными потоками. Минск: Изд-во БГУ, 2000. 175 с.

4. Горцев А.М., Нежельская Л.А. Полусинхронный дважды стохастический поток событий при продлевающемся мертвом времени // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. № 1. С. 31-41.

5. Ивченко Г.И., Каштанов В.А., Коваленко И.Н. Теория массового обслуживания. М.: Высшая школа, 1982. 256 с.

Горцев Александр Михайлович Калягин Алексей Андреевич Томский государственный университет

E-mail: amg@tsu.fpmk.ru redall@inbox.ru Поступила в редакцию 26 декабря 2011 г.

Gortsev Alexander M., Kalyagin Aleksey A. (Tomsk State University). The joint probability density of duration of the intervals in a generalized semi-synchronous flow.

Keywords: generalized semi-synchronous flow of events, probability density, joint probability density, recurrence of the event flow.

Generalized semi-synchronous flow of events which intensity is piecewise constant stochastic process X(t) with two values Xj and X (Xj > X2) is considered. During the time interval when X(t) = X, , Poisson flow of events takes place with the intensity X, , i = 1,2. Transition from the first state of the process X(t) into the second is possible only at the moment of event occurrence, thus, the transition is carried out with probability p (0 < p < 1); with probability 1 - p process X(t) remains in the first state. In this case the duration of process stay X(t) in the first state is a random variable

with exponential distribution function F1(t) = 1 - e- p%1'1. Transition from the second state of process into the first state can be carried out at any moment of time. Thus, duration of process stay X(t) in the second state is distributed according exponential law: F2 (t) = 1 - e-aT. By transition X(t)

from the second state into the first one an additional event in the first state is initiated with probability 8 (0 < 8 < 1).

We find the explicit form of the probability density p(i) of duration of the interval between two successive events in generalized semi-synchronous flow and the explicit form of p(Tj,x2) -the joint probability density of the length of two adjacent intervals. The conditions for the recurrence of generalized semi-synchronous flow of events are given.