CC BY
0TRIGONOMETRIK TENGLAMALAR ILDIZLARI TOPLAMINI TANLASHNING BIR USULI
JU.X. Xonqulov, 2N.Z. Xolmatova
1Farg'ona davlat universiteti dotsenti, (PhD), 2Farg'ona davlat universiteti talabasi. https://doi.org/10.5281/zenodo.13895046
Annotatsiya Ushbu tezisda trigonometrik tenglamalar ildizlari to'plamini topishning bir usuli keltirilgan. Usul Diofant tenglamalarini yechishning umumiy yondashuvlariga asoslanadi va unda sonli ketma-ketliklarning umumiy hadini topish orqali trigonometrik tenglama ildizlari to'plami aniqlanadi.
Tayanch so'zlar: trigonometriya, arifmetik progressiya, butun sonlar toplami, yechimlar toplami.
Trigonometriya algebra va geometriya fanlarida muhim ahamiyatga ega bo'lib, integrativ xususiyatga ega. Shu ma'noda tirgonometrik tenglamalar yechimlari to'plamini umumlashtirish va ularni tanlash o'quvchilarda qiyinchilik tug'diradi. Chunki o'quvchilar ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamalarni yechish usullari va ularning qo'llanilish imkoniyatlari haqida yetarlicha ma'lumotga ega bo'lmasligi mumkin. Ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamalarni yechish usullari maktab matematika fanida chuqur o'rganilmasligi ham ma'lum. Ammo ixtitsolashtirilgan maktablar va litseylar matematika o'quv dasturlarida ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglamalar uchraydi va ular Diofant tenglamalari (aniqmas tenglamalar) mavzulari kesimida o'rganiladi. Ikki o'zgaruvchili chiziqli Diofant tenglamalarini yechish texnikasini trigonometrik tenglama ildizlari to'plam bir nechta bo'lganda umumiy ildizlar to'plamni ajratib olishda qo'llash mumkin. Chunki tanlab olingan umumiy ildizlar to'plami odatda berilgan tenglamani yechish natijasida topilgan barcha ildizlar toplamini qanoatlantirganligi uchun ular ikki o'zgaruvchili chiziqli Diofant tenglamalari ildizlar to'plami ekanligi ayon bo'ladi. Ayniqsa trigonometrik tenglamalar berilgan sohada berilganda ildizlar to'plamini ajratib olishda bu yaqqol ko'rinadi. Bunday holatlarda trigonometrik tenglama ildizlarini faqat berilgan sohalarga tegishli bo'lganlarini ajratib olish talab qilinadi va bunda ko'p hollarda tanlash orqali natijalar olinadi. Lekin tanlash va intuitiv mulohazalar doim ham ishonchli kutilgan natijalarni beravermaydi [1]. Shuning uchun Diofant tenglamalari va trigonometrik tenglamalarning o'zaro aloqadorligini o'rganish matematikaning ichki integratsiyasini mustahkamlashga xizmat qiladi. O'zaro aloqadorlikni trigonometrik tenglamalarning yechimlari to'plami avvalo arifmetik progressiyani tashkil etishi bilan tushuntiriladi.
Masalan, sin x = 0 tenglamaning barcha ildizlari to'plami xk = nk, k e Z ayirmasi n ga teng arifmetik progressiyani tashkil etadi. cos5x = 0,5 tenglamaning ildizlari to'plami esa ikkita arifmetik progressiyani tashkil etadi:
n 2nk n 2nm
x. =--1--va x =---1--.
k 15 5 m 15 5
n
Birinchi progressiyaning ayirmasi 2n /5, birinchi hadi —. k va m parametrga butun
qiymatlar berish orqali progressiyaning ixtiyoriy nomerdagi hadini topish mumkin.
Trigonometrik masalalarni yechishda, ularning umumiy yechimlarini topish uchun arifmetik progressiyalar shaklida yozilgan ildizlar to'plamini solishtirish kerak bo'ladi, chunki ular yo masalaning yechimi, yoki aksincha bo'lishi mumkin. Buni aniq misollarda ko'raylik.
Quyidagi arifmetik progressiyalarning umumiy hadini topish talab qilinsin:
x = 1 + 5k, k e Z; x = 3 + 7m, m e Z.
Faraz qilaylik birinchi xk = 1 + 5k progressiyaning k -hadi ikkinchi xm = 3 + 7m
progressiyaning m -hadiga teng bo'lsin. k va m parametrning qanday qiymatlarida 1 + 5k = 3 + 7m tenglik o'rinli ekanligini aniqlaymiz. k va m parametrning shunday qiymatini topish kerakki arifmetik progressiyalarning topilgan nomerdagi qiymatlari teng bo'lsin. Natijada quyidagi butun koeffisentli ikki o'zgaruvchili chiziqli tenglama hosil bo'ladi: 5k -7m = 2. Tenglamani butun sonlar to'plamida yechamiz. Tenglamaning o'zgaruvchi oldidagi ikki koeffitsientidan biz eng kichik qiymatga ega bo'lganini tanlaymiz (bu 5) va chapdagi ikkinchi hadni 7m = 5m + 2m kabi yozamiz va 5k - 5m - 2m = 2 ^ 5k - 5m = 2 + 2m. Tenglikning chap tomoni 5 ga bo'inganligi uchun o'ng tomon ham 5 ga bo'linishi zarur: 2m + 2 = 5s, s e Z. Shu
tarzda 2m -5s = -2 tenglamadan m va s noma'lum butun sonlarni yuqoridagidek topamiz.
Oxirgi tenglamaning o'zgaruvchilar oldidagi ikki koeffitsientidan biz eng kichik qiymatga ega
bo'lganini tanlaymiz (bu 2) va chapdagi ikkinchi hadni 2m - 4s - s = -2 ^ 2m - 4s = s - 2 shaklda
yozamiz. Tenglamaning chap tomoni 2 ga karrali, shuning uchun s - 2 ham 2 ga karrali bo'lishi
kerak: s - 2 = 2p, p e Z. Shunday qilib s = 2p + 2 tenglamadan noma'lum s va p butun
sonlarni topamiz. Noma'lumlardan birining koeffitsienti 1 ga teng bo'lgan tenglama olinishi bilan
yechish jarayoni nihoyasiga etadi. Demak, s = 2p + 2 tenglama p ning ixtiyoriy butun
qiymatlarida butun son bo'ladi:
an*-, 7m + 2 7(5 p + 4) „ ^
5k - 7m = 2 ^ k =-=——-- = 7 p + 6,
5 5
5s - 2 5(2 p + 2) c 2m - 5s = -2 ^ m =-= -- = 5 p + 4. .
2 2
Shunday qilib birinchi progressiyaning k = 7 p + 6 nomerdagi hadi x = 1 + 5k = 1 + 5(7 p + 6) = 35 p + 31, ikkinchi progressiyaning m = 5 p + 4 nomerdagi hadi x = 3 + 7m = 3 + 7(5p + 4) = 35p + 31 teng. m = 5p + 4 vak = 7p + 6 bo'lsa, ikkala progressiya umumiy hadlarga (qiymatlarga) erishadi. Demak, umumiy had x = 35p + 31, p e Z.
Keling, trigonometrik xarakterga bir nechta misollarni keltiraylik.
1-misol. Ikki to'plamning umumiy elementlarini toping:
TZ TZ TZ TZ
x = —I— k va x =---1— m, k, m e Z.
4 8 3 6
Yechish. Shunday turli (k,m) nomerlar mavjud bo'lsinki, bu nomerda to'plamlarning elementlari teng bo'lsin. U holda quyidagi tenglamani yechishga to'g'ri keladi:
—!---k =---!---m, k, m e Z.
4 8 3 6
Tenglikning har ikkala tomonini t ga bo'lib, 24 ga ko'paytiramiz:
6 + 3k = -8 + 4m, 3k - 4m = -14, 3k - 3m - m = 14 ^ m -14 = 3s ^ m = 3s +14, s e Z.
7 • 4m -14 4(3s +14) -14 „ ,,
Noma lum k ni topamiz: k =-= —---= 4s +14 .
3 3
Demak, ikki to'plamning umumiy elementlari quyidagi shaklda bo'ladi:
TT, 7T T , , „ _ T „
x = — + — k = — + — (4s +14) = 2t + — s, s e Z, 4 8 4 8 2
n n n n n
y =---1— m =---1— (3s +14) = 2n +— s, k,m e Z.
3 6 3 6 2
Agar s parametrni n = s - 4 kabi almashtirilsa, umumiy elementlar ixcham
n
shaklda hosil bo'ladi: x = — n, n e Z.
2
T . n ^ .. nn „
Javob: x = 2n +— s, s e Z yoki x = —, n e Z. 2 2
2-misol. Tenglamani yeching: sin 6x tg7x = 0 .
Yechish: Ma'lumki, tenglama sin 6x = 0 va tg7x = 0, cos 7x ^ 0 bo'lsa yechimga ega. Shuning uchun:
[sin 6 x = 0, Jtg 7 x = 0 ^ sin 7 x = 0,
1) < 2) J g '
[cos 7x ^ 0; [cos 7x ^ 0.
Ikkinchi sistemaning yechimi:
Jtg 7 x = 0, J sin 7 x = 0, nk ,
< O < O 7 x = nk O x = —, k e Z.
[ cos 7 x ^ 0 [ cos 7 x ^ 0 7
sin x va cos x argumentning bir xil qimatlarida nolga aylanmasligi ma'lum, shuning uchun sin7x = 0 da cos 7x ^ 0 o'rinli. Endi birinchi sistemaning sin 6x tenglamasidan x = nk /6
n n
, ildizlar to'plami hosil bo'ladi. Undan ikkinchi cos7x = 0 tenglamaning x = + ym ildizlar
to'plamini chiqarib tashlash kerak. Buning uchun quyidagi ikkita arifmetik progressiyaning umumiy hadlarini topamiz:
n i i rr n n
x, = — ■ k, k e Z va x =--1---m, m e Z.
k 6 m 14 7 n n n
Demak, —■ k =--1---m O 7k = 3 + 6m O 7k - 6m = 3 .
6 14 7
Oxirgi tenglamani shakl almashtiramiz:
(6k + k) - 6m = 3 O 6k - 6m = 3 - k . Tenglamaning chap tomoni 6 ga karrali bo'lgani uchun (3 - k) ifoda ham 6 ga karrali: 3 - k = 6s ^ k = 3 - 6s, s e Z. Bundan ikkala arifmetik progressiyaning umumiy hadi quyidagi shaklda bo'ladi:
n n n .. n
x = — ■ k = — ■ (3 - 6s) =--ns yoki x = —+ nn, n e Z ,
6 6 2 2
bu yerda n = -s, n e Z. Shunday qilib x = nk /6 to'plamdan k ning k = 3 + 6n
qiymatlarini chiqarib tashlash kerak. E'tibor bersak, 6n ifoda 6 ga bo'linadigan sonlarni bildiradi,
6 ga bo'linmaydigan sonlarni quyidagi shaklda yozamiz:
k = 6n +1, k = 6n + 2, k = 6n + 3 , k = 6n + 4, k = 6n + 5 .
Shuning uchun berilgan tenglamaning umumiy yechim quyidagi shaklda bo'ladi:
n ^ n n n n 2n
x = —■ (6n +1) = —+ nn, x = —■ (6n + 2) = —+ nn, x = —■ (6n + 4) =--+ nn,
6 6 6 2 6 3
n ^ ^ 5n
x = — ■ (6n + 5) =--h nn.
6 6
Javob: nk /7; n /6 + nn; n /2 + nn; 2n /3 + nn; 5n /6 + nn, k, n e Z. 3-misol. Tenglamani yeching: sin 5 x + cos 8x = 2.
Yechish: sin 5x < 1 va cos 8x < 1 bo'lgani uchun tenglamada sin5x = 1 va cos8x = 1 bir paytda o'rinli bo'lishi kerak. Shunday qilib quyidagi sistema hosil bo'ladi:
[sin5x = 1, I cos 8x = 1.
Sistemani yechamiz:
i" T rs 1
5x = —+ 2—k, 2
8x = 2—m
— , 2t
x =--!--k, k e Z.
10 5
T 7
x = — m m e Z.
4
Umumiy ildizlarni ajratib olamiz, buning uchun quyidagi tenglamani yechamiz: — 2— —
--^---k = — ■ m . Shakl almashtirishlardan so'ng butun koeffitsientli tenglamani hosil qilamiz:
10 5 4
2 + 8k = 5m ^ 5m - (10k - 2k) = 2 ^ 2 - 2k = 5s, s e Z , 5s + 2k = 2 .
Oxirgi tenglama yuqorida kabi yechiladi: (4s + s) + 2k = 2 ^ s = 2p, p e Z.
, . 2 - 5s 2 - 5 ■ 2 p
Bundan: k =-=-= -5 p +1.
2 2
— 2— — 2— — — Demak, x =--+--k =--+--(-5 p +1) =--2—p, n = -p, x = —+ 2th .
10 5 10 5 2 2
—
Javob: —+ 2th, n e Z. 2
4-misol. Tenglamani yeching: sin3x cos5x = 1. [2] Yechish. | sin3x |< 1 va | cos5x |< 1 funksiya chegaralangan, u holda: [sin 3x = 1, [sin 3x = -1,
1) [ 3 i va 2) [ 3
[cos5x = 1 [cos5x = -1
Har bir sistemani yechamiz:
[sin3x = 1, [3x = t /2 + 2t£, [x = t /6 + 2xk /3, k e Z.
1) [ H
[cos5x = 1, [5x = 2xm, [x = 2xm /5, m e Z.
Umumiy ildizlar to'plamini olamiz. Buning uchun — + = 2Tm tenglamani
6 3 5
yechimiz: 5 + 20k = 12m ^ 12m - 20k = 5 .
Shubhasiz bu tenglamaning yechimi yo'q, chunki har qanday k va m butun son
uchun chap tomoni juft son, o'ng tomoni esa toq son.
[sin3x = -1, [3x = -— /2 + 2—k, [x = -— /6 + 2— /3 ■ k, k e Z. 2) [ , , ,
[cos5x = -1, [5x = — + 2—m, [x = — /5 + 2— /5 ■ m, m e Z.
— 2— — 2— Bundan: -— + — ■ k = — + — ■ m . Tenglamani butun sonlarda yechamiz:
-5 + 20k = 6 + 12m ^ 12m - 20k = -11. Shubhasiz, bu tenglamaning ham yechimlari ham yo'q, chunki har qanday k va m butun sonlar uchun chap tomoni juft son, o'ng tomoni esa toq son. Javob: Tenglama yechimga ega emas.
Xulosa qilib aytish mumkinki, trigonometrik tenglamalar ildizlari to'plamini umumlashtirishda butun koeffitsientli chiziqli tenglamalarni yechish usullariga alohida e'tibor berish zarur. Tahlillardan shuni aniqlandikki, o'quvchilar trigonometrik tenglamalarning
ildizlarini umumlashtirishni asosan tanlash orqali amalga oshirishadi. Bu esa bir qancha hisoblashlar va vaqtni talab qiladi. Shuning uchun trigonometrik tenglamalarning umumiy ildizlari to'plamini tanlashda butun koeffitsientli chiziqli tenglamani yechish usullaridan foydalanish o'qituvchi va o'quvchilarga ijobiy samara beradi deb hisoblaymiz. Shuningdek, bunday yondashuvlar matematika fanining ichki o'zaro aloqadorligi (integratsiyasi) ni ta'minlashga xizmat qiladi.
Foydalanilgan adabiyotlar ro'yxati
1. U.X. Xonqulov. Trigonometrik masalalarni yechishda ko'p xilli usullarning qo'llanilishi. Fizika, Matematika va Informatika.-Toshkent, 2024. -№ 4. -B.24-32.
2. Victor Shoup. A Computational Introduction to Number Theory and Algebra. Boston, 2015.p.247.
