Тригономерическое отображение действительных чисел. Элементарное доказательство последней (Великой) теоремы П. Ферма Текст научной статьи по специальности «Математика»

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

у которого итак их недостает и вследствие чего происходит потеря энергии позитрона. Вследствие этого образованный позитроний имеет маленькую энергию и быстро происходит аннигиляция - уничтожение Ps.

Всё вышесказанное указывает на то, что метод ПАВС «видит» различии электронных плотностей канцерогенов и антиоксидантов, а так же подтверждает процессы, происходящие в свободнорадикальных реакциях за счёт антиоксидантах.

Литература

1. E. C. Miller, Cancer Res. 38, 1479 (1978)

2. Pivtsaev A. A., Razov V. I. A study of chemical carcinogens by the positron annihilation lifetime spectroscopy. Journal of applied spectroscopy. V. 80, № 5, 2013. 806 - 809.

3. U.S.Department of Health and Human Services National Toxicology Program, Report on Carcinogens, Twelfth Edition, 2011Nechaev A. P. and other, Pishevaya himiya, SPB: GIORD, 2007 g.

4. http://www.palsfit.dk

Соколов Г.М.

Профессор доктор технически наук Поволжский государственный технологический университет ТРИГОНОМЕРИЧЕСКОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ. ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ПОСЛЕДНЕЙ (ВЕЛИКОЙ) ТЕОРЕМЫ П. ФЕРМА

Аннотация

Рассмотрено тригонометрическое отображение действительных чисел. На основании этого получено элементарное доказательств последней (великой) теоремы П. Ферма.

Ключевые слова: действительные, числа, теорема, Ферма.

8око1оу G-М.

Professor, PhD in Engineering Volga State University of Technology

TRIGONOMETRICAL REPRESENTATION OF REAL NUMBERS ELEMENTARY LAST (GREAT)

P. FERMAT’S THEOREM PROOF

Abstract

Trigonometrical representation of real numbers has been considered. On the grounds of that the elementary last (Great) P. Fermat’s theorem proof has been achieved.

Keywords: real, numbers, theorem, Ferma.

f f теорема. Если a, b, c n i n , n чл - положительные целые числа, то a + b Ф c при n > 2, где n - целое

Т положительное число.

Напишем выражение

an + bn = cn, (1)

откуда

c = njan + bn (1')

Смысл доказательства теоремы состоит в том, что следует установить, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) совмещаются одновременно целые числа a, b, c .

Рассмотрим один из трех равнозначных случаев. Установим, при каких целочисленных значениях n в выражении (1) при целых a, b число c является целым. (В двух других при целых a, c в отношении целостной совместимости аналогично исследуется число b или при целых b, c исследуется a ).

Справедливы неравенства c = Ца" + bn < a + b, c = y/a" + bn > a — b. выражают стороны треугольника (рис.1 -а).

Следовательно, числа a, b, c

Рис. 1. Числа a, b, c как стороны треугольника

В векторной форме (рис. 1 -б)

c = a + b

(2)

122

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

В дальнейшем вектор а считаем постоянным и 0 < b < a.

По теореме косинусов

c = a2 + b 2 — 2ab cos g

откуда с учетом (1')

a2 + b2 — (an + bn )2/n g = arccos-----------—-----------, то есть g = g(a, b, n) .

При n = 1; 2 угол g не зависит от a, b

2ab

g(1) = ж, g(2) = ж/2

При n = 1 равенство (1) имеет вид

a + b = c

При n = 2 в соответствии с теоремой Пифагора имеем a2 + b2 = c2.

(3)

(4)

(4')

В обоих случаях годограф вектора c является прямой, совпадающей с вектором b (прямые 1 (AK) и 2 (AG) на рис. 3).

В остальных случаях (n Ф 1;2) при постоянных n он является криволинейным.

Рассмотрим случай b = a. В равнобедренном треугольнике OAB (рис. 2) OB=c, OA=AB=a, а = g/2. Обозначим m = n.

Рис. 2 - К выводу тригонометрических выражений

На основании (1') c = 217 m a. Отсюда

sin а = 2

1/m—1

(5)

- 1 - у . '---

Угол а в радианах при а= 1 численно равен половине дуги окружности OB а = — OB = FB = J )l + (ylXi)2dxl =

Г"" ‘ _________

| dxx / •уД — х2

c ^1/m—1 V 1+(у^)2 = 1/ — х 2 (уравнение окружности х \ + у \ = 12, производная

где х,я = - = :

15 2

У х =— VV1— х12 ).

Угол а при да > m > 1 изменяется в пределах: ж/6 <а<ж/2 (ж /3 < g < ж).

При известных а и Sin а можно определить все остальные тригонометричес-кие функции.

Таким образом, тригонометрические функции и их углы являются функциями одной переменной т, выражающей действительные числа.

Напишем выражение

При m = 1; 2

cos^ = 1 — 2sin2 а = 1 — 2m , то есть g = g(m). ф(1) = ж, ф(2) = ж /2

(6)

(6')

0

2

123

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

что повторяет случаи (4'), поэтому n = m = 1;2.

Заметим, что при m = const (cosp = const) годограф вектора c является прямой, совпадающей с линией

вектора b (это прямые AB рис. 1, 2 ).

На основании (4) теорема косинусов имеет вид

с = ) (а - b)2 + 22/m ab. (7)

Из (1') и (7) следует

с = (an + bn)1/n = J(a —b)2 + 22/mab. /оч

(8)

Число c в (8) при целых a, b является целым только тогда, когда подкоренное выражение является полным

n = = 12

квадратом суммы, что может быть только при ’

В случае n = m = 1

с = (a1 + b1)1/1 =J(a —b)2 + 22/1 ab = a + b.

В случае n = m = 2 число с является целым при a = v2 — u2, b = 2uv (c = v2 + u2), где u, v - целые положительные числа.

с = (a2 + b 2)1/2 =tJ (a — b)2 + 22/2 ab =yj a2 + b2 =yj (v2 — u2)2 + (2uv)2 = v2 + u2.

В остальном (при n Ф 1;2, m Ф 1;2) это условие не выполняется.

Таким образом, теорема доказана.

Установим диапазон изменения m для кривой с постоянным n .

Ясно, что верхний предел m = n при b = a .

Нижний предел находим из условия b ^ 0. Рассмотрим lim cos р, где на основании (4)

a2 + b2 — (an + bn )2/n . „

cos р =---------------------. И числитель, и знаменатель при b ^ 0 стремятся к нулю, если n >1. Первая

2ab

реализация правила Лопиталя приводит к результату

2—1 ,

b — (an + bn)n nbn —1 n

limcos ф = lim ----------------------= 0 .

b ^ 0 b ^ 0 a

о K 1

То есть если m = n ^ 2, то limcos ф = 0 и р ^ —. Если m = n ^ 1, то lim cos ф = —1 и р ^ к.

b ^ 0 2 b ^ 0

Таким образом, при n >2 (в рамках теоремы)

2 < m < n . (9)

Пример. Рассмотрим случай п = 3. На рис. 3 а = const, О <b <а.

Рис. 3 - Геометрическая интерпретация функции c = njan + bп

b^0

124

Международный научно-исследовательский журнал ■ № 8(39) ■ Сентябрь

При 0 < b < а число m изменяется в пределах 2 < m < 3 (кривая 3 (AD). а, Ь число С целым быть не может.

Ъ

Кривая AD (n=3) построена по формулам (10), где и = —,

а

x / а

2

(1 + ип) n 2

и2 +1

у/а

1

2 <N

u2 - (1 + un)n - и2 -1

2

Поэтому при целых значениях

(10)

К примеру, для точки B (b = 0,75а) по (10) имеем хв = 0,8500а, ув = 0,7348а, а из (8) находится

m = 2,9393.

Теореме Ферма (го > п > 2) соответствует область AGZ (затемнена).

Результаты расчета приведены в таблице.

Таблица

Линии, точки n m (P b C

Прямая AK(1) m = n = 1 Ж 0 < b < а а + b

Прямая AG(2) m = n = 2 У 0 < b < а л/а2 + b2

Дуга KGL 1 < n < го 1 < m < го ж>р> ж/ 3 a а^2

Дуга AL n ^ го 2 < m < го ж /2 > р > Ж 3 0 < b < а c ^ а

Точка K m = n = 1 Ж a 2a

Точка G m = n = 2 ж/ 2 a М2

Точка L n ^ го m ^го ^■ж/ 3 a c ^ а

Кривая AD (3) n=3 3 > m > 2 ж/2 > р > 78,09 0 < b < а 3j а3 + b3

Прямая AE m=2,9393 78,540 2-1 2а(1 - 2 m ) < b < а 4(а - b)2 + 22/mab

Точка B n=3 m=2,9393 78,540 0,75a 1,124 a

Точка D m = n = 3 78,090 a аЧ2 = 1,2599а

Точка E m = 2,9393 78,540 a а^2 =1,2659a

Содержащиеся в таблице численные значения иллюстративно дополняют выполненное доказательство теоремы.

Литература

1. Соколов Г. М. Общая последняя теорема П. Ферма (элементарное доказательство). Издание четвертое, переработанное. Йошкар-Ола, 2006. 36 с.

References

1. Gennadiy Sokolov. Fermat’s last theorem (elementary proof). 4th edition, revised. Yoshkar-Ola. 2006. 36 s.

125