CC BY
53
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
______ ___
№3-4
УДК 629.735.33.015.3.025.47
ТРЕУГОЛЬНЫЕ КРЫЛЬЯ МИНИМАЛЬНОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ В СВЕРХЗВУКОВОМ ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА
М. Ф. Притуло, С. А. Таковицкий
Предлагается решение задачи уменьшения сопротивления треугольного в плане крыла при заданной подъемной силе в сверхзвуковом потоке идеального газа. Рассмотрены крылья с трансзвуковыми передними кромками. Показана необходимость уточнения представлений линейной теории о наивыгоднейшей форме крыла в плане.
Проблема поиска возможных путей улучшения аэродинамических характеристик крыла при сверхзвуковых скоростях полета остается актуальной на протяжении последних десятилетий. До недавних пор в аэродинамическом проектировании широко использовались упрощенные модели течения, в той числе базирующиеся на линеаризованных уравнениях движения [1], [2]. В диапазоне больших сверхзвуковых скоростей полезные результаты получены в рамках теории тонкого ударного слоя [3].
Корректно учесть нелинейные эффекты на основных режимах обтекания крыла позволяет модель течения, использующая систему уравнений Эйлера. При этом оптимизация может проводиться с учетом аэродинамической интерференции элементов летательного аппарата [4].
В настоящей работе проведена оптимизация треугольных в плане крыльев на режимах обтекания с присоединенной и отошедшей от передних кромок ударной волной. Оптимальные значения геометрических параметров определялись методом покоординатного спуска. Быстрая сходимость к оптимуму достигалась посредством удачного выбора системы геометрических параметров [5]. Дано сравнение с результатами линейной теории и показана необходимость корректировки представлений о наивыгоднейшей форме крыла в плане.
1. Решается задача определения при заданных значениях числа М коэффициента подъемной силы су и угла стреловидности по передней
кромке % минимального значения лобового сопротивления сХа и соответствующей формы крыла. Рассмотрены бесконечно тонкие треугольные
в плане крылья, поверхности которых образованы плоскими элементами, стыкующимися вдоль , .^уу/у
выходящих из вершины лучей. /
Число ПЛОСКИХ элементов изме- /7 /(
нялось от 2 до 16. Крыло из 8 /у //
элементов показано на рис. 1. /// // / / /
Выбор такого класса крыльев не /1// // / / /
случаен. Исследования в рамках '
линейной теории показали, что ;
коническая деформация треуголь- г - 0 7 7 ^ 7^d
ного в плане крыла позволяет дот . ■;
биться значительного уменьшения Рис. 1. Крыло, образованное 8 плоскими сопротивления при заданной, элементами
подъемной силе [1], [2]. Переход \
к пространственной деформации не дает заметного улучшения аэродинамических характеристик. , V i
Поверхность крыла деформируется таким образом, что выполняются условия равенства длин отрезков |СЦ| = \A\Bi\ = \B\Ci\ = |C'1Z>1|, A\,B\,C[,D\ — проекции угловых точек А, В, С, D на базовую плоскость крыла.
Рассматриваются два случай. В первом случае форма крыла в плане совпадает с формой исходного плоского крыла. Условие на неизменность площади омываемой поверхности не ставится. Во втором случае площадь омываемой поверхности фиксируется за счет уменьшения площади крыла в плане. Таким образом,- геометрия крыла полностью определяется заданием величин h\, hf, Аз , /ц вертикального смещения угловых точек относительно базовой плоскости. Принято, что положительное изменение параметров hi, /*2 , /13 , Й4 отвечает смещению соответствующих точек в подветренную сторону. Прй вычислении коэффициентов аэродинамических сил в качестве характерной площади использовалась площадь плоского крыла. Угол атаки а отсчитывался относительно базовой плоскости крыла.
В обоих случаях коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы крыла являются функциями геометрических параметров и угла атаки. Таким образом, имеем задачу на минимум функций многих переменных с дополнительным условием типа равенства:
сХл (k ,h2,h3,h4 ,а) = min, сул (А,, h2 ,h3,hA ,а) = const.
Поскольку исследования ограничиваются диапазоном умеренных углов атаки, то производная коэффициента подъемной силы по углу атаки положительна, и для каждого набора значений геометрических параметров существует единственное значение ос. Это позволяет использовать методы, апробированные для задач о безусловном минимуме функций многих переменных в неограниченной области.
2. Минимальное значение коэффициента лобового сопротивления и соответствующие значения геометрических параметров определялись методом покоординатного спуска. Данный метод заключается в последовательном нахождении экстремальных значений независимых пере-
менных. Сначала фиксируются все параметры, кроме Н\, и находится его новое значение, при котором сх (Л,) = шш. Решение получается численно. Задаются несколько значений параметра и определяются соответствующие им значения угла атаки и коэффициента сопротивленя. При этом угол атаки, обеспечивающий сохранение коэффициента подъемной силы, находится интерполяцией по результатам расчетов обтекания крыла под углами атаки, при которых получаются близкие к заданному значения коэффициента подъемной силы. По полученным при разных значениям коэффициента лобового сопротивления с помощью метода парабол определяется экстремальное значение . На следующих этапах аналогичным образом находятся новые значения остальных геометрических параметров. Описанный процесс повторяется до сходимости к некоторым оптимальным значениям, когда дальнейшее варьирование параметров не дает уменьшения лобового сопротивления.
Метод покоординатного спуска легко реализуется на ЭВМ. Однако при произвольном выборе независимых переменных покоординатный спуск не всегда обеспечивает быструю сходимость к оптимуму. Для рассматриваемой задачи удачным оказался способ построения системы геометрических параметров, предложенный одним из авторов в работе [5].
Основная идея, использованная при определении системы геометрических параметров, заключается в следующем. Первый параметр отвечает условию наискорейшего изменения нагрузки на ближайшем к передней кромке элементе крыла. Варьирование параметра устанавливает оптимальную нагрузку на этом элементе. Второй параметр выбирается из условия наискорейшего изменения нагрузки на следующем по направлению к плоскости симметрии элементе крыла при сохранении нагрузки на прооптимизированном элементе. Остальные параметры системы определяются аналогично.
3. Течение идеального газа около рассматриваемого крыла является коническим и рассчитывалось через установление по продольной координате. Стационарные уравнения движения записывались в консервативной форме, что позволило получать корректную информацию о скачках уплотнения и других разрывах течения без специального отслеживания их пространственного положения.
Уравнения Эйлера интегрировались по явной двухшаговой конечно-разностной схеме Мак-Кормака [6]. При построении расчетной сетки применялся многозонный подход, что позволило добиться равномерного пространственного распределения узлов сетки и значительно сократить время счета. Рассчитываемая область течения разбивалась на две близкие по форме к четырехугольным зоны, расположенные над и под крылом. Размеры зон выбирались так, чтобы создаваемые крылом возмущения не выходили за их пределы. Граничными условиями для узлов сетки, расположенных на поверхности крыла, являлись условия непро-текания. На внешних границах зон задавались параметры течения, соответствующие невозмущенному потоку. В плоскости симметрии крыла выполнялся известный принцип отражения. Расчет газодинамических переменных в узлах, принадлежащих обеим зонам, проводился на шаге «предиктор» по параметрам из одной зоны, а на шаге «корректор» по параметрам из другой зоны.
Для оптимизационных исследований использовалась сетка, которая в каждой из двух зон имела по 41 узлу в направлении по нормали к плоскости крыла и по 77 узлов в направлении по нормали к плоскости симметрии. При этом на нижней и верхней поверхностях консоли крыла размещалось по 49 узлов.
4. Оптимизационные исследования проведены для скоростей полета, соответствующих числам М = 2 и 4, при коэффициенте подъемной силы сул = 0,1. При числе М = 2 угол стреловидности по передней кромке изменялся в диапазоне 45°<х<60°, а при М = 4 — в диапазоне 60°<х<75°.
Рассмотренные диапазоны изменения угла стреловидности в линейной теории соответствуют случаю сверхзвуковых передних кромок крыла. Оптимальные формы несущих тел такого типа подробно исследованы М. Н. Коганом [1] и Ю. Л. Жилиным [2] при малых углах наклона поверхности относительно скорости набегающего потока. В асимптотической теории сопротивление плоского крыла при заданном коэффициенте подъемной силы не зависит от %, а оптимизация формы обеспечивает наибольший выигрыш в сопротивлении по сравнению с плоским крылом при максимальном (в этом диапазоне) значении х- Крыло со звуковыми передними кромками оказывается оптимальным для крейсерского полета при соответствующем числе М. Этот вывод линейной теории и проверялся путем решения задачи обтекания крыла в рамках уравнений Эйлера.
В нелинейной теории при конечных значениях угла атаки в рассмотренном диапазоне х реализуются и режимы обтекания, при которых скачок уплотнения отсоединен от передней кромки. В этом случае уравнения Эйлера, не учитывающие действие сил вязкости, не позволяют строго исследовать структуру течения в окрестности передней кромки. Однако в диапазоне умеренных углов атаки, когда отрывные эффекты слабы и имеют локальный характер, получаемые в рамках модели Эйлера результаты достаточно достоверны, особенно при исследовании интегральных аэродинамических характеристик.
Сказанное подтверждается сопоставлением рассчитанных и полученных экспериментально [7] значений коэффициента НОрМаЛЬНОЙ СИЛЫ Сдг для треугольного крыла с углом стреловидности по передней кромке х = 76° при о,г числе М = 4,6 (рис. 2). Расчеты показывают, что уже при а = 2° головной скачок уплотнения отсоединен от передних кромок, т. е. реализуется режим дозвукового обтекания передних кро- ' мок. Вместе с тем в диапазоне углов атаки а < 10° точность численного расчета коэффициента нормальной силы остается высокой.
Ранее проведенные исследования 0
позволили определить класс простей- р
ших деформаций [4], [5]. Показано, что
крыло, консоли которого состоят из двух плоских элементов, обеспечивает достижение до 80% от максимального уменьшения лобового сопротивления за счет конической деформации. Дальнейшее увеличение числа образующих элементов не дает заметного выигрыша в сопротивлении. В настоящей работе значения связанного с созданием подъемной силы сопротивления, полученные оптимизацией крыльев из 16 элементов, рассматривались как предельно достижимые через коническую деформацию.
Коэффициент лобового сопротивления плоского крыла незначительно изменяется по углу стреловидности на режиме обтекания с присоединенным к передним кромкам головным скачком уплотнения (рис. 3). Смена режима обтекания (отсоединение скачка от кромок при х > 53°) приводит к быстрому возрастанию сопротивления при увеличении угла стреловидности. Данный эффект не отслеживается линейной теорией, связывающей смену режимов обтекания с попаданием передних кромок крыла на конус Маха.
При числе М = 2 оптимальные крылья деформируются слабо и площадь омываемой поверхности изменяется незначительно. Поэтому для крыльев с фиксированной площадью в плане и крыльев с заданной площадью омываемой поверхности получены практически совпадающие значения коэффициента лобового сопротивления. По мере увеличения угла стреловидности сопротивление, обусловленное созданием подъемной силы, уменьшается.
Такой же характер имеет зависимость лобового сопротивления от угла стреловидности при числе М = 4 для крыльев, прооптимизирован-ных без сохранения площади омываемой поверхности (рис. 4). При этом вблизи угла %-75° кривая зависимости становится очень пологой. Наложение условия сохранения площади омываемой поверхности при данном числе М оказывается существенным и приводит к увеличению сопротивления. В этом случае отмечается область возрастания коэффициента лобового сопротивления по углу стреловидности.
Рис. 3. Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла стреловидности по передней кромке:
О — плоские крылья; Д — оптимальные крылья с фиксированной площадью омываемой поверхности; □ — оптимальные крылья с фиксированной площадью в плане
Рис. 4. Зависимость коэффициента лобового сопротивления от угла стреловидности по передней кромке.
Обозначения такие же, как на рис. 3
На рис. 3, 4 также представлены результаты исследования по минимизации сопротивления крыла, полученные в рамках линейной теории [2]. Сопоставление с результатами численного расчета показывает, что линейная теория не обеспечивает получения надежных результатов при исследовании аэродинамических характеристик крыльев с трансзвуковыми передними кромками. Влияние формы крыла в плане (угла стреловидности по передней кромке) на аэродинамические характеристики оптимизированных крыльев оказывается существенно более слабым при числе М = 2 и качественно другим при числе М = 4 в случае сохранения площади омываемой поверхности, чем это предсказывает линейная теория. Таким образом, подтверждается необходимость учета нелинейных эффектов при проведении оптимизационных исследований.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Грант 96-01-00629.
ЛИТЕРАТУРА
1. Коган М. Н. О телах минимального сопротивления в сверхзвуковом потоке газа//Прикладная математика и механика.— 1957. Т. XXI.
Вып. 2
2. Ж и л и н Ю. Л. Крылья минимального сопротивления//Приклад-ная математика и механика,— 1957. Т. XXI. Вып. 2.
3. Голубкин В. Н. Несущие крылья оптимальной формы в вязком гиперзвуковом потоке//Изв. РАН, Механика жидкости и газа.— 1995, № 6.
4. Притуло М. Ф., Таковицкий С. А. Проблема проектирования компоновки крыла с воздухозаборником//Ученые записки ЦАГИ.—
1996. Т. XXVII, № 1-2.
5. Таковицкий С. А. Параметр стабильности аэродинамических характеристик оптимизируемого крыла/В сб.: Современные проблемы аэрокосмической науки. Труды научно-технической конференции молодых ученых ЦАГИ.- 1997.
6. Таковицкий С. А. Метод расчета сверхзвукового обтекания летательных аппаратов с использованием многозонных расчетных се-ток//Труды ЦАГИ.— 1997. Вып. 2590.
7. Аэродинамика ракет. Т. 2./Под ред. М. Хемша и Дж. Нилсена,—
М.: Мир,- 1989.
Рукопись поступила 13/11998 г.
