Оптимальные формы треугольного крыла в сверхзвуковых потоках идеального и вязкого газов Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

__________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXIX 199 8

№3-4

УДК 629.735.33.015.3.025.47

ОПТИМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ ТРЕУГОЛЬНОГО КРЫЛА В СВЕРХЗВУКОВЫХ ПОТОКАХ ИДЕАЛЬНОГО И ВЯЗКОГО ГАЗОВ

С. А. Таковицкий

Для треугольного крыла при числе М=4 определены простейшие деформации, обеспечивающие увеличение аэродинамического качества при заданной подъемной силе. Течение около крыла и его аэродинамические характеристики рассчитывались в рамках моделей, базирующихся на системах уравнений Эйлера и Навье — Стокса с алгебраической моделью турбулентной вязкости. Показано, что введение в рассмотрение вязкостных эффектов приводит к уменьшению относительного прироста аэродинамического качества, получаемого в результате деформации крыла. В то же время оптимальная форма крыла изменяется незначительно.

Развитие вычислительной техники и численных методов сопровождается снижением стоимости расчетов и повышением надежности получаемых результатов. Этим обусловлено возрастание роли расчетных исследований в процессе проектирования летательного аппарата. Особенно перспективным представляется использование методов математического моделирования на стадии предварительной разработки облика самолета, что позволяет избежать проведения многочисленных дорогостоящих испытаний в аэродинамических трубах.

Одной из наиболее актуальных задач аэродинамики является проектирование крыльев с оптимальными характеристиками при сверхзвуковых скоростях полета. При этом ответы на многие вопросы могут быть получены с помощью достаточно простых моделей течения, в частности, базирующихся на линеаризованных уравнениях движения [1], [2]. Для получения более точных данных необходимо проводить трудоемкие исследования в рамках моделей Эйлера и Навье—Стокса. В этом случае результаты обладают качественно более высоким уровнем информативности. Причем оптимизационная задача может решаться с учетом взаимной аэродинамической интерференции элементов летательного аппарата [3]. Практический интерес представляют исследования, направленные на поиск путей улучшения аэродинамических характеристик посредством простейших деформаций крыла. В работах [4], [5] отмечена

возможность заметного увеличения аэродинамического качества при заданной подъемной силе в классе треугольных в плане крыльев, консоли которых образованы двумя плоскими участками.

Среди существующих методов аэродинамического проектирования особое место занимают прямые методы. Они объединяют методы решения прямой аэродинамической задачи и методы численной оптимизации. В настоящей работе для определения аэродинамических характеристик крыла при заданных геометрических параметрах осуществлялось интегрирование систем уравнений Эйлера и Навье—Стокса явным конечно-разностным методом Мак-Кормака, реализованным на многозонных расчетных сетках. При этом вычисление турбулентных напряжений и тепловых потоков проводилось на основе алгебраической модели турбулентной вязкости. Поправки к значениям геометрических параметров, направленные на увеличение целевой функции (аэродинамического качества), находились с помощью метода покоординатного спуска и метода сопряженных направлений. Показано, что оптимальные значения геометрических параметров при переходе от случая идеального газа к случаю вязкого газа изменяются незначительно.

1. Решается задача определения при заданных значениях числа М, коэффициента подъемной силы сул и угла стреловидности по передней кромке х максимального значения,' аэродинамичес кого каче -ства К и соответствующей формы крыла. Рассмотрен класс бесконечно тонких треугольных в плане крыльев, поверхности которых образованы четырьмя плоскими участками, стыкующимися вдоль выходящих из вершины крыла лучей

(РИС. 1). '

а-а в Поверхность крыла деформи-

руется таким образом, что выполняется условие равенства длин отрез-ков,]рВх\ = \ВхАх\, где А\, В\ — проРис. 1. Геометрия крыла екции точек А, В на базовую плос-

кость крыла. Форма крыла в плане совпадает с формой исходного треугольного крыла. Условие на неизменность площади поверхности не ставилось. Следовательно, геометрия крыла полностью определяется заданием величин ИА и Ад вертикального смещения точек А и В относительно базовой плоскости. Принято, что положительное изменение параметров На, Ид отвечает смещению соответствующих точек в подветренную сторону. Крыло, показанное на рис. 1, представляет сучай, когда НА имеет отрицательное значение, а Ив — положительное. При вычислении коэффициентов аэродинамических сил в качестве характерной площади использовалась площадь плоского крыла. Угол атаки а отсчитывался относительно базовой плоскости крыла. -

Выбор такого класса крыльев не случаен. В работе [4] проведены исследования по увеличению аэродинамического качества при заданной подъемной силе для крыльев, составленных из двух, четырех, восьми и шестнадцати плоских элементов, в широком диапазоне изменения определяющих параметров. Так, число М изменялось от 4 до 6, коэффициент подъемной силы — от 0,05 до 0,15, а угол стреловидности — от 60° до 80°. Течение около крыла рассчитывалось в рамках модели, базирующейся на системе уравнений Эйлера. Показано, что не менее 80% от максимального прироста аэродинамического качества за счет конической деформации достигается в классе крыльев, образованных четырьмя плоскими элементами.

В рассматриваемом случае аэродинамическое качество и коэффициент подъемной силы крыла являются функциями геометрических параметров ИА, Ид и угла атаки. Таким образом, имеем задачу на максимум функции трех переменных с дополнительным условием типа равенства: К(ИА,Ив,а) = шах, CyA(hA,hg,a) = const. Поскольку исследования ограничиваются диапазоном умеренных углов атаки, то производная коэффициента подъемной силы по углу атаки положительна и существует решение а = a(HA,hg,CyA ). Это позволяет перейти к задаче на безусловный максимум функции, зависящей от геометрических параметров.

При определении максимального значения аэродинамического качества применялись методы покоординатного спуска и сопряженных направлений [6].

Метод покоординатного спуска заключается в последовательном определении экстремальных значений независимых переменных. Для нескольких заданных значений ИА при фиксированном Ив численно определялись соответствующие значения угла атаки и аэродинамического качества. По полученным значениям аэродинамического качества с помощью метода парабол находилось экстремальное значение ИА, при котором аэродинамическое качество максимально. Затем при фиксированном ИА аналогичным образом определялось новое значение Ив- Описанный цикл повторялся до тех пор, пока процесс не сходился к некоторым оптимальным значениям геометрических параметров. Недостатком метода покоординатного спуска является медленная сходимость. Поэтому целесообразно использовать его в качестве первой попытки нахождения оптимальной формы крыла.

Метод сопряженных направлений более сложен для программирования на ЭВМ, но благодаря квадратичной сходимости позволяет находить оптимальные значения независимых переменных с достаточно высокой точностью. Данный метод предполагает построение сопряженного базиса и последующий поочередный спуск по сопряженным направлениям. Сопряженный базис строится способом параллельных касательных плоскостей.

2. Течение идеального газа около крыла является коническим и рассчитывалось через установление по продольной координате х. Стационарные уравнения движения записывались в консервативной форме,

что позволило получить корректную информацию о скачках уплотнения и других разрывах течения без специального отслеживания их пространственного положения. Интегрирование уравнений Эйлера проводилось по явной конечно-разностной схеме Мак-Кормака с использованием многозонного подхода при построении расчетной сетки. Рассчитываемая область течения разбивалась на две близкие по форме к четырехугольным зоны, расположенные над и под крылом. Размеры зон выбирались таким образом, чтобы возмущения, вносимые крылом в течение, не выходили за их пределы. Поэтому на внешних границах зон задавались газодинамические переменные, соответствующие невозмущенному потоку. Для узлов сетки, расположенных на поверхности крыла, граничными условиями являлись условия непротекания. В плоскости симметрии выполнялся известный принцип отражения.

Стационарные уравнения Навье—Стокса образуют смешанную систему уравнений гиперболически эллиптического типа, что затрудняет их решение. Поэтому использовались нестационарные уравнения движения, представляющие систему гиперболически параболических уравнений относительно времени. Стационарное решение при этом получалось путем установления по времени. Рассматривался случай совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей эе = 1,4 в отсутствие массовых сил и подвода тепла извне. Для замыкания системы уравнений привлекалась алгебраическая модель турбулентности Болдуина—Ломакса [7]. Коэффициент вязкости условно представлялся как сумма коэффициентов динамической и турбулентной вязкости. При вычислении коэффициента динамической вязкости применялась формула Сазерленда.

Система уравнений движения решалась численно на основе явной конечно-разностной схемы Мак-Кормака, имеющей второй порядок точности как по пространству, так и по времени [8]. Возможное появление осцилляций в областях больших градиентов устранялось добавлением в уравнения диссипативного члена четвертого порядка малости. Устойчивость алгоритма расчета обеспечивалась выполнением ограничения Куранта—Фридрихса—Лери на величину шага по времени. Для ускорения сходимости к стационарному решению интегрирование уравнений выполнялось с переменным по пространству шагом по времени. Для’ удобства численного интегрирования рассчитываемая область течения разбивалась на четыре непересекающиеся зону, по две зоны над и под крылом. Размеры внешних зон условно соответствовали размерам ударного слоя, а размеры внутренних зон — размерам пограничного слоя. Это позволило добиться необходимой концентрации узлов сетки вблизи поверхности крыла без чрезмерного увеличения их числа. С этой же целью осуществлялось сгущение узлов около крыла.

На поверхности обтекаемого тела задавались условия прилипания, равенства нулю градиентов давления и температуры по нормали к стенке. На внешних границах зон и в плоскости симметрии использовались такие же условия, как и в случае идеального, газа. На передних и задних границах зон, которые лежат в поперечных плоскостях х= const (х — расстояние от носка крыла до данного сечения), параметры течения оп-

M=4;cy=0,f;x = 7S°

ределялись с помощью экстраполяции. Более подробно метод расчета представлен в работе [9].

3. Оптимизационные исследования проведены для крыла с углом стреловидности по передней кромке х — 75° при числе М = 4, числе Рейнольдса, посчитанном на длину крыла, Re = 3107 и коэффициенте подъемной силы сул = 0,1.

Обтекание крыла потоком идеального газа рассчитывалось на сетке, включающей 6314 узлов: в каждой из двух зон по 41 и 77 узлов в направлениях по нормалям к плоскости крыла и плоскости симметрии соответственно. При этом в каждом поперечном сечении х — const на нижней и верхней сторонах консоли крыла размещалось по 49 узлов. Сетка строилась без сгущения узлов.

Эффективность примененного метода численной оптимизации продемонстрирована на рис. 2, где линиями уровня представлен рельеф поверхности, задаваемой функцией K(hA,fiB)/maxK(hA,hB). При построении линий уровня осуществлялась интерполяция значений аэродинамического качества, полученных для ряда крыльев с заданными значениями hA, hg-

Котловййный рельеф поверхно-сит подтверждает корректность применения методов' покоординатного спуска и сопряженных направлений для поиска максимума. При этом более эффективным оказался метод сопряженных направлений. За два цикла построения и спуска по направлениям сопряженного базиса максимальное значение аэродинамического качества и положение максимума были определены достаточно точно.

Траектория поиска по методу сопряженных направлений показана на рис. 2. В качестве исходного варианта было выбрано плоское крыло. Метод покоординатного спуска требует проведения большего числа циклов. При рассматриваемых условиях максимальному значению аэродинамического качества соответствуют следующие значения геометрических параметров: ИА = -0,0361 • L,

hB =0,0052 1, где L — длина крыла. Относительный прирост аэродинамического качества, полученный за счет конической деформации крыла, составляет 8,9%. Отметим также слабую зависимость аэродинамического качества от геометрических параметров вблизи максимума.

Для проверки полученных результатов проведены расчеты обтекания потоком идеального газа плоского и оптимального крыльев на сет-

—траектория поиска по методу шряшеншх направлений

Рис. 2. Линии равных значений К(^л,кв)/тахК(кА^) и траектория поиска по методу сопряженных направлений (идеальный газ)

ках с разным числом узлов. Самая крупная сетка имела в каждой зоне по 11 узлов в направлении по нормали к плоскости крыла и по 20 узлов в направлении по нормали к плоскости симметрии. При этом на нижней и верхней сторонах консоли крыла располагалось iio 13 узлов. Самая мелкая сетка имела в каждой зоне по 81 и 153 узда по нормалям к плоскости крыла и плоскости симметрии соответственно. На нижней и верхней сторонах консоли крыла в этом случае располагалось по 97 узлов. Значения аэродинамического качества, полученные экстраполяцией результатов расчета на нулевую величину расчетного шага (это соответствует сетке с бесконечно большим числом узлов), рассматривались как точные. Тогда относительное увеличение аэродинамического качества достигает 9,1%.

При решении системы уравнений Навье—Стокса рассчитываемая область течения ограничивалась поперечными сечениями x=0,l-Z, и x = L. В каждой из четырех зон расчетная сетка содержала 13 плоскостей, перпендикулярных продольной оси х, и 41 плоскость, перпендикулярную поперечной оси z■ При этом на нижней и верхней поверхностях консоли крыла в каждом поперечном сечении х = const располагалось по 27 узлов. В каждой из внешних зон было по 30 плоскостей (в физическом пространстве для деформированного крыла данные поверхности не являются плоскими), перпендикулярных нормальной оси у. Во внутренних зонах содержалось по 40 таких плоскостей. Во всех зонах проводилось сгущение узлов к поверхности крыла. Таким образом, вблизи крыла минимальное расстояние между соседними узлами составляло около 0,005% от размаха консоли крыла. Это обеспечило размещение ближайших к поверхности крыла узлов в ламинарном подслое пограничного слоя. Суммарное число узлов расчетной сетки — 74620.

Плоское крыло имеет коэффициент подъемной СИЛЫ СуА = 0,1 при

угле атаки а = 6,09°. При этих условиях передние кромки крыла являются дозвуковыми, т. е. головной скачок уплотнения отсоединен от кромок. Линии равных значений статического давления к давлению в невозмущенном потоке р! Рю в поперечном сечении x — L показаны на рис. 3. Там же представлены изобары для течения, рассчитанного в рамках модели Эйлера. Пространственное положение головного скачка уплотнения точно не определялось, он размывался на несколько соседних узлов расчетной сетки. В случае вязкого газа получено более сильное торможение потока под крылом, чем для идеального газа. Это обусловлено наличием пограничного слоя. Обтекание передних кромок крыла является безотрывным. В окрестности передней кромки наблюдается веер волн разрежения. Ускорившийся над крылом поток тормозится в поперечном скачке уплотнения. Скачок недостаточно сильный, и отрыв пограничного слоя из-под скачка не отмечен. Небольшая отрывная зона наблюдается вблизи плоскости симметрии. В поперечном сечении х— L точка отрыва удалена от плоскости симметрии на расстояние, составляющее 19% от размаха консоли крыла. В этой области использование модели Эйлера не обеспечивает получение достоверных результатов. Однако при небольших значениях угла атаки отрыв имеет локальный характер и точность расчета суммарных аэродинамических характе-

Рис. 3. Линии равных значений статического давления к давлению в невозмущенном потоке р /р* (шаг Д/> //>ос=0,1); а) — идеальный газ; (5) — вязкий газ

(сечение х = L)

ристик остается достаточно высокой. Так, при данном угле атаки в рамках моделей Эйлера и Навье—Стокса для коэффициента нормальной силы получены значения 0,103 и 0,101 соответственно.

В вязком потоке крыло, оптимальное для случая идеального газа, имеет при Су =0,1 аэродинамическое качество К= 7,66. Это соответствует увеличению аэродинамического качества по сравнению с плоским крылом на 6,4%. Уменьшение прироста аэродинамического качества обусловлено наличием поверхностного трения. В рамках модели Навье— Стокса было проведено дополнительное варьирование геометрических параметров и определена оптимальная форма крыла, обтекаемого потоком вязкого газа. Получены следующие оптимальные значения параметров: кА = -0,0433 • Ь, Ад = 0,0053 • Ь. В этом случае относительный прирост аэродинамического качества, получаемый посредством деформации крыла, несколько больше и равен 6,8%. Заданному значению коэффициента подъемной силы сул =0,1 для оптимального крыла соответствует

угол атаки а = 7,14°. Нулевую подъемную силу оптимальное крыло имеет при а = 1,33°. Таким образом, при рассматриваемом значении числа Рейнольдса при переходе от случая идеального газа к случаю вязкого газа оптимальные значения геометрических параметров изменяются незначительно. Оптимизационные исследования в рамках модели Эйлера

-----плоское крыло

-----оптимальное крыло

0,05

0,10

Рис. 4. Распределение давления на поверхностях плоского и оптимального крыльев в потоке вязкого газа (сечение х== V)

Рис. 5. Аэродинамическое качество в зависимости от коэффициента подъемной силы для плоского и оптимального крыльев, обтекаемых потоком вязкого газа

обеспечивают достаточно хорошее приближение к крылу, оптимальному в реальных условиях, и могут использоваться как первый этап решения оптимизационной задачи. Это позволяет значительно снизить стоимостные и трудовременные затраты.

Необходимо отметить, что в рамках модели Навье—Стокса оптимальное крыло деформировано сильнее и имеет большую площадь омываемой поверхности, чем в рамках модели Эйлера. Это свидетельствует о сложности эффектов вязко-невязкого взаимодействия. В этом случае оказывается несправедливым применение подхода, базирующегося на сведении действия вязкости исключительно к появлению силы поверхностного трения. Последняя возрастает при увеличении площади омываемой поверхности и, следовательно, стремится уменьшить деформацию крыла. Поэтому такая упрощенная модель вязкости не позволяет добиться улучшения результатов, полученных в рамках уравнений Эйлера.

Деформация крыла приводит к перераспределению давления на его поверхности (рис. 4). На оптимальном крыле давление распределено более равномерно по размаху, чем на плоском крыле, у которого наиболее сильно нагружена область передней кромки. Наблюдается также общее увеличение давления на наветренной стороне в центре крыла, что обеспечивает благоприятные условия для размещения воздухозаборника воздушно-реактивного двигателя. Изучению проблемы интеграции крыла с воздухозаборником посвящена работа [5]. Заметим, что на подветренной стороне оптимального крыла зона отрывного течения имеет большие размеры, чем в случае плоского крыла. Линия отрыва смещается к средней части консоли крыла и совпадает с изломом поверхности.

Как отмечалось выше, аэродинамическое качество имеет слабую зависимость от геометрических параметров вблизи максимума. Это приводит к тому, что деформированное крыло сохраняет превосходство в аэродинамическом качестве над плоским крылом при значительном отклонении числа М и коэффициента подъемной силы от значений, при

которых осуществлялась оптимизация. Так, оптимальное при коэффициенте суА =0,1 крыло имеет при сУа =0,06 и су =0,15 аэродинамическое качество, соответственно на 4% и 6,4% большее по сравнению с плоским крылом (рис. 5). Таким образом, появляется возможность для проектирования крыла, которое имеет высокие аэродинамические характеристики в широком диапазоне изменения числа М и коэффициента подъемной силы. .

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Грант (код проекта) 96-01-00629.

ЛИТЕРАТУРА

1. Голубкин В. Н. Несущие крылья оптимальной формы в вязком гиперзвуковом потоке // Известия РАН, Механика жидкости и газа,— 1995,

№ 6.

2. Келдыш В. В. Оптимальные формы несущих тел, обтекаемых с плоским скачком уплотнения // Известия РАН, Механика жидкости и газа.— 1996, № 4.

3. Reuther J., Cliff S. Е., Hicks R. М. Practical design optimization of wing / body configurations using the Euler equations // AIAA Paper 92-2633. - 1992.

4. Притуло М. Ф., Таковицкий С. А. Увеличение аэродинамического качества крыла путем простейших деформаций / В сб.: Исследование гиперзвуковых течений и гиперзвуковые технологии. Международная конференция. 19—21 сентября 1994 г., г. Жуковский, Россия — ЦАГИ. —

1994.

5. Притуло М. Ф., Та ко в и ц к и й С. А. Проблема проектирования компоновки крыла с воздухозаборником // Ученые записки ЦАГИ.—

1996. Т. XXVII, № 1-2.

6. Калиткин Н. Н. Численные методы. — М.: Наука. — 1978.

7. В а 1 d w i п В. S., L о m a x H. Thin layer approximation and algebraic model for separated turbulent flows // AIAA Paper 78-257. — 1978.

8. MacCormack R. W. A numerical method for solving the equations of compressible viscous flow // AIAA Paper 81-110. — 1981.

9. Таковицкий С. А. Исследование сверхзвукового обтекания треугольного крыла в рамках моделей Эйлера и Навье— Стокса / В сб.:

Труды конференции молодых ученых ЦАГИ.— 11— 12 апреля 1996 г.

Рукопись поступила 23/11997 г.