Трещина с концевыми пластическими зонами на границе раздела дорожного покрытия и упругого основания Текст научной статьи по специальности «Физика»

Проблемы теории упругости

ТРЕЩИНА С КОНЦЕВЫМИ ПЛАСТИЧЕСКИМИ ЗОНАМИ НА ГРАНИЦЕ РАЗДЕЛА ДОРОЖНОГО ПОКРЫТИЯ И УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ

Ш.Г. ГАСАНОВ, канд. техн. наук, доцент

Бакинский филиал Московского государственного открытого университета

Исследуется плоская задача о трещине-расслоении, возникающей на границе раздела дорожного покрытия, сцепленной с упругим основанием из другого материала, когда к поверхности покрытия приложена нормальная нагрузка. Считается, что при приложении на поверхности дорожного покрытия нормальной нагрузки в концевых областях трещины действуют постоянные нормальные и касательные напряжения сцепления между берегами трещины. Исследуется общий случай, когда размеры концевых зон не малы по сравнению с характерным размером трещины. Изучено предельное равновесие трещины-расслоения на границе раздела сред.

Анализ [1, 2] состояния дорожных покрытий на упругом основании выявил, что материалам таких соединений свойственны трещиновидные несплошности. Между дорожным покрытием и упругим основанием могут образовываться переходные зоны, в которых физико-механические свойства материала отличаются от свойств основных материалов. Эти повреждения на границе раздела сред покрытия и упругого основания могут иметь как естественное происхождение (расслоения, включения, поры), так и вызываться технологическими процессами. Несмотря на большое значение перечисленных факторов на прочность многослойных структур до настоящего времени эти вопросы не нашли должного в методах расчета. В связи с этим разработка расчетных моделей исследования повреждений дорожного покрытия представляет актуальную проблему.

Примем следующие упрощающие предположения относительно работы дорожного покрытия:

1) дорожное покрытие является неразрезной полосой бесконечной длины неизменного поперечного сечения, лежащей на сплошном упругом основании;

2) вертикальные силы приложены в плоскости симметрии дорожного покрытия, а боковые и продольные силы не влияют на изгибающий момент и на напряженно-деформированное состояние, вызванное процессом контактирования колеса с дорожным покрытием.

Для расчета напряженно-деформированного состояния пары дорожное покрытие - упругое основание приходим к следующей задаче теории упругости.

Пусть в декартовых координатах х, у имеем двухслойное тело, состоящее из покрытия толщины А с упругими характеристиками 0\ (модуль сдвига) и (коэффициент Пуассона), сцепленной с упругой полуплоскостью с характеристиками Ог и (рис. 1).

Рассмотрим задачу механики разрушения для двухслойного тела, когда к наружной поверхности приложена нормальная нагрузка р{х).

На границе поверхности дорожного покрытия у = И, \х\ < оо, касательное напряжение равно нулю.

Пусть под действием этой нагрузки на линии раздела упругих сред у = 0 в силу недостаточной адгезионной прочности между покрытием и полуплоскостью (основание) образуется трещина.

гГТПТПп

Рис. 1. Расчетная схема задачи

Принимается, что при действии нормальной нагрузки на поверхности по-

тлст оютддлгтрпртомр гт\/ гтлойпуип^таи^и о ь-лшмону члиау тпршииь!

рактеризуется постоянными нормальными и касательными напряжениями сцепления. Такое предположение позволяет моделировать пластическое течение в промежуточном адгезионном слое в концевых зонах трещины.

Рассмотрим плоскую задачу о трещине длины 21, расположенную на границе раздела покрытия и основания из различных материалов |дс| < I, у - О (рис. 1). На концевых зонах (размеры с/), примыкающих к вершинам трещины (•£ -<Л < |дг| < £, у = о), действуют постоянные нормальные а, и касательные тt напряжения сцепления между берегами трещины. Эти напряжения а, и г, отвечают пластическому течению адгезионного материала в тонком промежуточном слое и удовлетворяют некоторому условию пластичности

/(<г.,г.) = 0,

где /- монотонно возрастающая функция от значений а, и г,, зависящая от свойств адгезионного материала. Условие ограниченности напряжений у вершины трещины при х = ±1 дает второе соотношение для определения значений а, и т. Используя принцип суперпозиции, рассматриваемое состояние двухслойного тела можно представить в виде суммы следующих двух состояний:

1) адгезионное соединение материалов без трещины под действием нормальной нагрузки р(х) на наружной поверхности покрытия;

2) адгезионное соединение материалов с трещиной на границе раздела сред, при этом на берега трещины сносятся напряжения, имеющие место на этой линии в первом состоянии.

Запишем краевые условия задачи для первого состояния в следующем виде (верхний индекс 1 соответствует покрытию, верхний индекс 2 - полуплоско-

сти):

при у - И при у = О

и

г(1) = ху

О

+ «и(1)=и(2)+ш(2>;

(1) (2)

где / - мнимая единица, при у -» -оо перемещения и напряжения исчезают.

Для решения краевой задачи (1), (2) используем четыре функции Папкови-ча - Нейбера Р™{х,у) (п,т = 1,2). Из них две для покрытия (верхний индекс 1) и две для полуплоскости (верхний индекс 2).

Напряжения и перемещения выражаются через функции Папковича -Нейбера по известным формулам [3]:

2 вт ду ду1 ду2

(3)

ф д

2 Gm дх

ду ду

дх дх ду ду

В виду симметрии задачи по х используем cos-преобразование Фурье. Примем, что

оо 00

= ^Ashay + Bchay\cosaxda, F2(l) = j[Cshay + Dchay]a coscada, (4)

о 0

оо 00

F/2) = Jfe^'cos axda, F2(2) = jfe^a cos axda о о

Удовлетворяя функциями (3), (4) граничным условиям (1), (2) получим систему шести линейных алгебраических уравнений относительно шести неизвестных функций А(а), В(а), С(а), D(a), Е(а), F(a):

2(l - ju}\Cchceh + Dshah)- Ashah - Bchah ~ ah{Cshcch + Dchah) =--—,

2 Gxa

(l - 2цх\Cshah + Dchah)- Achah - Bshah - ah(Cchah + Dshah) = 0, B = E, {3-4m1)D-A = {3-AM2)F-E, (5)

G, [2(1 - Mx )C - B] = G2 [2(1 -m2)F-E], G,[(l - 2 Ml)D - A) = G2[{1 - 2 m2)F - E],

2 °°

где трансформанта преобразования Фурье р = — íр(х) cos axdx.

л о

Решая алгебраическую систему уравнений (5) методом последовательного исключения неизвестных, находим коэффициенты

А{а), В(а), С{а), й{а),

Е(а), F{a).

С помощью соотношений (3), (4) находим компоненты напряжений сг], и г1у на \х\<е,у = о

^ оо \ г

-a(4h-x)

*У

р{а)

+ .......♦

2'

Ж«)

0a + be

+1 [Лз + ^ ¡J sin ahda

Здесь a = 3-4//, +10«: + 3к2 -12//ík-12//2k + 16//1//2'c-4/u2«:2,

Ь = 3-4//, -6к + АЦ2к + 4/^к + 3к2 -Ац2К2, ? = 10-24/*, -4к +16м? + 8ка2И2 + 4йV - 16ка2/г2 - 12к 2а2й2 +

+ Хб/^к2/?^ + 8ц2к2 -6к2 + 8-\6]ихц2к + 8//2к' Д, = ах(ак + 1)+ с(аИ + 2)-t, К2 = а,(ай -1)+с(2-ай)-г, + + /?4 = ах(с - al) + t,

с = 2 + 4к-6к2 + к = С,/С2,

а, = 4а Ь. + 8ка/г - 12к2аЛ -16 ц2каИ +16к2^2аИ.

В дальнейшем введем безразмерные координаты х = х/(. и = Опуская штрихи и учитывая принцип суперпозиции для задачи о трещине единичной полудлине, будем иметь следующие граничные условия на ее бере-

гах:

-сГу + а., -0-1,

1 — с/ < < 1

Ы < 1 - (1,

ху' .1

1 - ^ < [х| < 1

Ы < 1 -

(7)

У 1-1 Л *У

-т\у-т„ -1<\х\<-(1-с1).

Следуя подходу [4], для производных по х от компонент вектора раскрытия берегов трещины при наличии нормальных сгу(х) и касательных тху(х) напряжений на берегах рассматриваемой трещины, найдем д

1 + л

где

л-л/1-х2 Схк2 +

1-Х

1 + Ы

•I'Ря&а ]

(8)

1п Л

2л

^ +1 к2+1

К\,2 ~ 3 ¡Лх 2 .

(р{х) = -

С1 в 1 (1-х

л/ь^Н1**,

Из условия равенства нулю вектора раскрытия берегов трещины в ее конце и+ (1,0)- и' (1,0) = 0, и+ (1,0)- и"(1, 0) = 0

с помощью формулы

(и+ - V')- г'(ы+ - и-)= [о+ -и~- /(м+ - и 1 ^

найдем для 1 - а? < х < 1 компоненты вектора раскрытия берегов трещины.

Для значений 0 < х < 1 - й компоненты вектора раскрытия берегов трещины определяются по формуле

(9)

+ и+ (1 - О) - и' (1 - с/) - {и (1 - О) - и(1 - Й?)] Для коэффициентов интенсивности напряжений от действия внешней нормальной нагрузки и внутренних напряжений сцепления в концевых зонах трещины, получим

+«.-'(ЩТ* - -

. ^'/2+1/?

скжР

_ £1/240

{а, -гг.) 2,5/2 + /Д ^/2>ч-

2(9/4 + /?)

+ к + - ¿>^(1,2,3/2 - /Д ¿/2), (10)

где ^(а, ¿>, с, 2) обозначена гипергеометрическая функция комплексного переменного 2.

Рассмотрим предельное состояние трещины расслоения на границе дорожного покрытия и упругого основания. Будем считать, что усилия взаимодействия берегов трещины (силы сцепления) в концевой зоне трещины распределены так (максимально возможная интенсивность сил сцепления), что суммарный коэффициент интенсивности напряжений, определяемый как разность между коэффициентами интенсивности напряжений от действия внешних нагрузок и коэффициентами интенсивности напряжений от сил сцепления, приложенных в концевых зонах трещины, равен нулю.

Приравнивая выражение (10) к нулю, получим уравнение, связывающее внешнюю нормальную нагрузку р(х), напряжения сцепления, длину и размер концевой зоны трещины в состоянии предельного равновесия. Для краткости запишем эти условия в виде

К,= 0, Кц = 0. (11)

При заданных значениях ¡3 и с1 из уравнений и критерия пластического течения материала в тонком промежуточном адгезионном слое в концевой зоне трещины можно определить значения предельной нагрузки р и напряжения сцепления ст., г.. Теперь, если представить а,, г, согласно (11) в критерий пластического течения /(сг,,г,)= 0, то можно построить функцию с1от р/ст,т , где значение <т,т, определяемое из условия /(<т,г,0)= 0, есть предел текучести для материала переходного слоя. Затем сравним с экспериментальной кривой, которую можно построить по измерениям размера пластической области (1 и предельной нагрузки р (заметим, что так было сделано [5] для трещин в однородных материалах).

Для облегчения расчетов поступали следующим образом. Находили максимальные значения усилий <ту и т\у

а\ =тах<т],(х), т10 = тахг^(х), (12)

Тогда для коэффициентов интенсивности напряжений от действия внешней нормальной нагрузки, найдем

+ (13)

Для компонент вектора раскрытия берегов трещины на краю концевой области х = \ — с1 находим

(14)

(1 - ¿/2Х«//2М1.3/2 + /А + (1 - ¿/2)1+2^/2)' *

X 1,3/2 - i/3, d/2)- F 1,1,3/2 - i/3,

\

Уравнения (11) принимают вид

(2/d-íf -1

ст. + ir.

1-2 i/3

\ = -^cos(/?ln(2/rf -1)), = -£sin(/?ln(2/d -l)),

M

M = 2chnp{d(2 - d J'2 )Re

1 + /Д

~-F{l,\,3/2 + i/3,d/2)

Подставив в (9) нормальные ст. и г. касательные напряжения сцепления по формулам (15), находим компоненты вектора раскрытия берегов трещины в концевой зоне \-d <х< \. Расчеты показывают, что раскрытие трещины положительно на промежутке |х| < 1 - s, где параметр е зависит от /3 и d. На интервалах 1 - s < ¡jcj < 1 раскрытие трещины имеет осциллирующую особенность. Для применения рассматриваемой модели необходимо, чтобы размер концевой зоны был намного больше зоны осцилляции решения, т.е. d » s(j3,d).

Для реальных адгезионных соединений с трещинами на границе раздела сред это условие хорошо выполняется [6].

Для полученного решения в худшем случае /3 = 0,175 осцилляций нет, по

крайней мере < 0,9999, причем амплитуда осцилляций перемещений стремится к нулю при х -> ±£. Следовательно, для любой пары упругих материалов (покрытие и основание) размер области осцилляций перемещений и напряжений в окрестности точки х = ±£ очень мал, практически менее 0,01% от полудлины трещины I. Это не мешает иметь содержательные соотношения между внешней нагрузкой, длиной трещины, характеристиками концевой зоны в состоянии ее предельного равновесия.

На рис. 2 представлены зависимости cr,/c¿ и r„/r¿ напряжений сцепления от безразмерной длины концевой зоны d при разных значениях параметра

Р-

aje

А

Г. /г,

8,0

6,0

4,0

2,0

\\ 1-£ = 0 2- Р~- -0,175 —

- 1

/1 2

8,0

6,0

4,0

2,0

1-/? = 0 2-/? = - П 1

- 1

2

0,25 0,50 0,75 d 1,00

0,25 0,50 0,75 d 1,00

Рис. 2. Зависимости нормальных и касательных напряжений сцепления от безразмерной длины концевой зоны d при разных значениях параметра Р

Для оценки размера концевой зоны <1 используем условие предельной вытяжки на краю концевой области. Используем безразмерную величину 8' = 8/1.

|(и+-и~)-/(м+-гг)| = £, (16)

где штрих опущен, 8 - постоянная, характеризующая материал переходного слоя (адгезионного слоя).

Теперь, если подставить формулы (14) выражения для ст, и г, напряжений сцепления (15) и используя условия (16), получим соотношения, связывающие предельную вытяжку, нагрузку, длину трещины и размер концевой зоны в состоянии предельного равновесия.

На рис. 3 представлены графики зависимости предельной вытяжки 8/30 от параметра с1 при минимальном /3 = 0 и максимальном (3 = 0,175 значениях параметра /3, где 80 = 7 + Ш ■

Полученные соотношения между внешней нагрузкой и длиной трещины, а также механических и геометрических характеристик пары дорожное покрытие - упругое основание позволяют решать следующее практически важные задачи на стадии проектирования:

1) оценивать гарантированный ресурс покрытия с учетом ожидаемых дефектов и условий нагружения;

2) установить допустимый уровень дефектности и максимальные значения рабочих нагрузок, обеспечивающие достаточный запас надежности;

3) проверить выбор материала с необходимым комплексом статических и циклических характеристик трещиностойкости.

Литература

1. Бабков В.Ф., Андреев О.В. Проектирование автомобильных дорог. 4.1. - Изд. 2-е. - М.: Транспорт, 1987. - 368 с.

2. Пирийев Y.M., Нясянов Ш.Щ., Гараисайев ИМ. Автомобил йолларынын няг-лиййат - истисмар эюстяриъиляринин йцксялмилмяси. - Баку: Азярбайъан няшриййа-ты, 2000. - 240 с.

3. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. - М.; JL: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.

4. Goldstein R. V., Perelmuter M.N. Modeling of bonding at the interface crack // Intern. J. Fracture. 1999. V. 99, No 1-2. - P. 53-79.

5. Dugdale D.S. Yelding of steel of sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids, 1960. V. 8,No2.-P. 100-104.

6. Malyshev V.M., Salganik R.L. The strength of adhesive joints using the theory of cracks// Intern. J. Fract. Mech. 1965. V. 1, No 2. - P. 114-128.

THE INTERFACE CRACK WITH END PLASTIC ZONES ON BOUNDARY OF SECTION OF THE ROADWAY COVERING AND THE ELASTIC BASIS

Sh.G. Hasanov

The plane problem about a crack-separation arising on boundary of section of a roadway covering, linked with the elastic basis from other material when normal loading is enclosed to a surface of a covering is investigated. It is considered, that at the appendix on a surface of a roadway covering of norma! loading in end areas of a crack constants normal and tangents of a stress of cohesive between face of a crack operate. The general case when the sizes of end zones are not small in comparison with the characteristic size of a crack is investigated. Limiting balance of a crack-

separation on boundary of section of environments is studied.

~=y=~

РАСЧЕТНО-ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ НДС СОСТАВНЫХ КОНСТРУКЦИЙ В ЗОНАХ КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ

Л.Ю. ФРИШТЕР, канд. техн. наук, ст. научный сотрудник Московский государственный строительный университет

Напряженно-деформированное состояние (НДС) составных конструкций и сооружений характеризуется значительной концентрацией напряжений в местах сопряжения элементов из разных материалов из-за различия механических характеристик. Наиболее сложное НДС возникает в области концентрации напряжений, обусловленной как формой границы или «геометрическим фактором», так и конечным разрывом заданных вынужденных деформаций, механических свойств, выходящим в нерегулярную точку границы области.

Значительный интерес представляет использование метода фотоупругости для определения напряжений от заданных несовместностей или заданных вынужденных деформаций (дисторсий) и, в частности, температурных, не удовлетворяющих условиям совместности, что приводит к возникновению напряжений. К числу таких задач относятся исследования напряжений от температурных градиентов, от изменения температур в стыках разнородных материалов с различными коэффициентами теплового расширения, от скачкообразного изме-