CC BY
7
ПРОДОЛЬНАЯ ТРЕЩИНА С ЧАСТИЧНО КОНТАКТИРУЮЩИМИ БЕРЕГАМИ В СЕЧЕНИИ ДОРОЖНОГО ПОКРЫТИЯ
Ш.Г. ГАСАНОВ, канд. техн. наук, доцент
Бакинский филиал Московского государственного университета
Рассматривается случай продольной трещины в сечении дорожного покрытия с частично контактирующими берегами. Считается, что под действием внешней нагрузки (вдавливания колеса в неровную поверхность покрытия) в зоне сжимающих напряжений происходит частичное закрытие берегов трещины.
Рассмотрим напряженно-деформированное состояние дорожного покрытия в процессе эксплуатации. Пусть в сечении покрытия имеется прямолинейная трещина длиной 21, расположенная на отрезке < I, у = — h|2 . В центре трещины разместим начало локальной системы координат X\O\y\, ось Xl которой совпадает с линией трещины и параллельна с осью х. Берега трещины приняты свободны от внешних нагрузок (рис. 1). Под действием внешней нагрузки (вдавливания колеса в поверхность покрытия) в зоне сжимающих напряжений возможно частичное закрытие берегов трещины, т.е. берега трещины на некоторых заранее неизвестных участках (— I, — d1) и (ё2,I) могут войти в контакт. На этих участках берегов трещины появятся контактные напряжения.
7//////////////^ х
е2, № °1 5 2—
Рис. 1.
Расчетная схема задачи о продольной трещине с частично контактирующими берегами в покрытии
Краевые условия рассматриваемой контактной задачи механики разруше-
ния имеют вид при у = 5(х) при у = 5(х) при у = —И при у1 = 0
< = qУi ; = q на контактирующих берегах трещины Рассматривается некоторая реализация неровности внешней поверхности катания дорожного покрытия. Контур (у = 5(х)) будем считать близким к
<п = 0, тп( = 0 вне контактной площадки (1)
ип = /(х) + ах + С, тп( = /<п на площадке контакта
(<у — ™ху \ = (<у — ™ху )И , (и + = (и + (2)
<п = 0; т = 0 на свободных берегах трещин (3)
прямолинейной форме, допуская лишь малые отклонения линии Ц от прямой у = 0. В условиях (1) - (3) принято, что на участке поверхности наружного слоя, где в него вдавливается каток (колесо), имеют место силы сухого трения: вне участка контакта поверхность покрытия дороги свободна от внешних усилий. На границе раздела сред (покрытие и основной материал основания) имеет
место условия полного сцепления; i = V—Г - мнимая единица; С - поступательное перемещение штампа (катка); а - угол поворота штампа.
Для решения поставленной контактной задачи используем метод, изложенный в [1]. Используем принцип суперпозиции. Первое напряженно-деформированное состояние (без трещины) в каждом приближении найдено в [1].
Граничные условия для второго напряженно-деформированного состояния в нулевом приближении будут, на основании сказанного выше, иметь следующий вид
при у = 0 СТуо) = 0, т™ = 0
при у = - h СТуо) = 0, т™ = 0 (4)
при уТ = 0 с^'1 = -сТ0) (хТ), т£0У = -тТ(0) (хТ) на свободных берегах трещины
= С к )--Т0)(^1), О = С (х )--1(0) (х) (5)
на контактирующих берегах трещины.
Здесь ст1(0) (х1) и т1(0) (х1) нормальные и касательные напряжения, возникающие в сплошном покрытии по оси у1, | х11 < £ в нулевом приближении от действия вдавливания колеса в дорожное покрытие. Значения ст1(0) (х1) и т1~0) (х1) найдены в [1].
Следуя изложенной методике в [2], для задачи, описывающей второе напряженно-деформированное состояние в нулевом приближении, получим следующее сингулярное интегральное уравнение в безразмерных координатах т] = t|£, % = х/£ относительно £0 (]):
}+ }[я0Т№(£])+g0(T)S= лFo(4), % | < 1, (6)
1 V- \ -1
-(<(£) -/т<0)(\)) на L
q£>(£) -< (\) - И0)(£) - Т(0)(\)) на Ц '
Fo(4) = (
г (1 + к0 )go(xi) _ 8
[м + - м0 + i(v+ -
fc-^o-)]. (7)
2G1 8x1
Функции R(\,v) и S(\,v) являются [3] действительными. Поэтому интегральное уравнение (6) распадается на два действительных интегральных уравнений. В случае симметричной задачи, т.е. в случае трещины нормального разрыва,
когда на берегах трещины действуют только нормальные усилия о"10) (x1), имеем
1 vo(v)dv j(-1 -2т -2т2 + ). ( ч * , ,
J g + -7Z---1 sin TV-\K(v) dv = nF0(\), \\ < 1, (8)
-1 v - \ o sh2T + 2т
F= I-CT1(0)(\) HaL (1 + Ко)Vo(Х1) __8_[v+-v-l (9)
Fo(\ K^)-<Ч\) на L ' 2G1 =8x1 [o -VoJ. (9)
Если воспользоваться значением интеграла | sin тxdт = 1/х, принимаемом в
0
обобщенном смысле Абеля, интегральное уравнение можно записать в виде
К(п)^(п — = п^), Щ < 1, (10)
—1
где К1(п) = 2Л| ————sin Лт'^]d^ . 0 sh2т + 2т
Это уравнение можно преобразовать в интегральное уравнение Фредгольма второго рода
<*.{$= —2 ] ^пЩ+] к (пЖ(п>п, 0 <п< 1, (11)
п 0^1 —Л 0
ад 1 + 2— + 2—2_е
где к(п£)= Щ-—---J0(лЛт)!0,
п sh2т+2т
V0 (х) = <
0, х1 > Р
р иф„ (и0 < х < р, !0 (и) - функция Бесселя первого рода.
. 2 2 х ли — X
^ х1
Интегральное уравнение Фредгольма второго рода сводится известным способом к системе М алгебраических уравнений. В правые части этой системы
входят неизвестные значения контактных напряжений qУ0) (х1) в узловых точках, принадлежащих концевым контактным зонам. Для определения контактных напряжений имеем
8х1
(и+—и—)= 0 на Ц. (12)
Требуя выполнения условия (12) в узловых точках, содержащихся в концевых областях (— Р1, — d1), ^2, р), получаем недостающие уравнения для определения
приближенных значений контактных напряжений q^^ ) в узловых точках
V(т )= 0 (т = 1, 2, ...,Ыи М2, ..., М). (13)
Для замкнутости системы, дающего решение задачи, не хватает двух уравнений, определяющих параметры d1 и d2. Условиями, служащими для определения параметров d1 и d2, являются условия конечности напряжений в окрестности вершин трещины
ц, (р)= 0, ц, (— р)= 0. (14)
В развернутом приближенном виде эти условия можно записать в следующем виде
1 1 Д +п
Г 1+Пк0* (п^п + Л2 (а11к0 + ь11к0)+ Л- К (— ь121 — а121 + аз1 + азз)+
—Л 1 — п 2
+ К (— 2а11Ь11 + Ь31 + Ь33 )+ 2(а33 К2 + Ь33 К2 ) + (а32 К1 + Ь32 К1 )]= 0, (15)
— ~ 1 Пк0* + Л (а11к0 + Ь11К0 ) + ЛТ К (— Ь121 — а121 + а31 + а33)+
п—1 у 1 + п 2
+ К (— 2а11Ь11 + Ь31 + Ь33 ) + 2(а33К2 + Ь33К2 ) — (а32К1 + Ь32К1 ) ] = 0,
где л =
1 1 I-
Л = t/h ; Fn = - f\nV1 - \F0*(\)d\ ; коэффициенты a11 , п
a31 , a32 , a33 , b11
Ь31, Ь32, Ь33 находятся по формулам (V. 46, [3]) при а = 0 .
При действии только касательных усилий на берегах трещины, т.е. в случае трещины поперечного сдвига, интегральное уравнение (6) преобразуется к следующему виду в безразмерных переменных относительно искомой функции и0 (х1)
\uo(v)K2 (j-\\)dj = nFo**(\), \\ < 1,
(16)
Здесь K2 (j)= lfL(t)sin ÄTTjdj, L(t)= 2
FT(\) =■
-t[o)\) qXOlM)-тГ(\) HaL[n
sh т -т sh2 2т - 2t
наЦ (1 + ^ )uo(д
2G1
dx1
(u+ - uo)
Учитывая, что функция L(t) обладает следующими свойствами
lim— L(t) = — , lim L(t)= 1
t^o т 2 т^да
функцию L(t) можно аппроксимировать следующим выражением L(t)« th(r/2), верно отражающим поведение функции L(t) в нуле и на бесконечности. Как отмечается в [3, 4], относительная погрешность аппроксимации не превышает 3,4% при всех o < т < да .
В этом случае интегральное уравнение (16) принимает вид
2п = nFo**(\),
h 1 sh 2П (j-\)
\\ < 1,
(17)
Решение уравнения (17) в размерных (старых) переменных имеет вид
uo( X1) =
1
пchAx1yjth2At - th2Ax1
, tVth2AI - th2At ч
-Af ,-Fo (t)
-t
thAt - thAx1
chAt
- + С
где A = 2п / h; постоянная С определяем из условия
t
f uo(t) dt = o .
(18)
(19)
В полученное решение входят неизвестные контактные напряжения ^^ в
концевых зонах. Для их определения имеем условие отсутствия раскрытия перемещений в концевых контактных зонах
и0(х1) = 0 на Ц" , (20)
где х1 - аффикс точек берегов трещины в концевых зонах (- £, - й1 ) и (а?2, £).
Удовлетворяя условию (20), находим сингулярное интегральное уравнение
для отыскания контактных напряжений д£0У в концевых зонах
, W th2At - th2At ч - Af „__ Fo (t)
-t thAt - thAx1
chAt
+ С = o,
(21)
где
С=
K (a )
fn
^a2 >
= va2-t2/„(т)^ ; a = thAt; /„(y) = T<o)(t); т
K, П - полные эллиптические интегралы первого и третьего рода. 32
t
a
2
г
Уравнение (21) преобразуем к виду
, , ЫШ2АР — Ш2Аг (0) Ж /гл/Л2АР — Ш2Аг (0)/ч dt ^
А I --qX^)-=А ¡--т1(0)(^)-+ С ,
Ц+Ц thAt — ШАх1 х1У1 chAt —Р thAt — ШАх1 chAt
где Ц = [— Р, — Ж1], Ц2 = [Ж2, р].
Сделав замену переменных т = thAt; у = ШАх1; а = ШАР ; (р() = chAt ■ qX0y) (t),
преобразуем уравнение (21) в сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши /22 /22 " ^^^ф)Ж— =г/(у), где /(у) = С + —1(0)(т)Жт ,
Ц+Ц — — У —а — — У
Ц* = [— а, — ШАЖ1 ], Ц = [ШАЖ2, а]. Решение этого уравнения будет [5]
* * (—) / (—) Ж—
Ц !ц*2 —— У
(22)
где X+ (—) = ; Ж* = thAd1 ; Ж2* = ШАЖ2
Для определения неизвестных параметров Ж1 и Ж2, определяющих размеры концевых зон трещины поперечного сдвига имеем условия конечности напряжений в окрестности вершин трещины. Эти условия найдем в следующем виде
А " /^Р + thAt О)dt + С = 0 А Р ЙАР — thAt О)dt _С = 0 (23) _Р\ ШАР — thAt chAt ' "Р\ ШАР + thAt chAt '
После построения решения в нулевом приближении переходим к нахождению решения задачи (1) - (3) в первом приближении.
Граничные условия для второго напряженно-деформированного состояния в первом приближении будут иметь вид
при У = 0: = 0, = 0;
при у = - ^ = 0, = 0; (24)
при у1 = 0: <<У1) = —o^*1■> (х1), =——1(1) (х1) на свободных берегах трещины,
<У1) = qУ*) (хк )< (х1), = qX(У( (х1)——1« (х1)
на контактирующих берегах трещины
Здесь <1(1) (х1) и —1(1) (х1) нормальные и касательные напряжения, возникающие в сплошном бездефектном покрытии по оси у1, | х11 < Р в первом приближении от
действия вдавливания колеса в дорожное покрытие. Величины <1(1) (х1) и —1(1) (х1) найдены в [1].
Поступая аналогично нулевому приближению, получим сингулярное интегральное уравнение в безразмерных координатах п = t|Р , = х/Р относительно искомой функции g1{п):
I +| [¡1Ш(4,п)+-^пЛ^пЬ— = пК1(^), < 1, (26)
—1 л—Ь —1
_[— (<(1)(£) — /—1(1)(^)) наЦ
^ = ^(^^) — < (О — К^) — —Ч)) на Ц ,
г(1 + к0)&(х\) _ д
2G^
дх
[м1 - и1 + г
г(ц+ — Ц)].
(27)
11
В правую часть сингулярного интегрального уравнения входят неизвестные контактные напряжения q(1 и *Х1У . Для их определения имеем условие отсутствия раскрытия берегов трещины в концевых контактных зонах.
Чтобы не повторяться, приведем основные разрешающие уравнения задачи первого приближения
-1I^[^п), 1хг)+ g1ctm>5[ип, 1хг)]= хг), (28)
М п=1
М
I g (п) = 0 (г = 1, 2, ..., М- 1),
п=1
)= 0 (П1 = 1, 2, ...,М1;М2, ...,М). (29)
К системам (28), (29) необходимо добавить условия конечности напряжений у вершин трещин
М 2п — 1 М 2п — 1
I (—1)mgl(tm № ^Птг * = 0, I (—11)М+П£1('п ) • tg ^П^Г * = 0. (30)
п=1 4М п=1 4М
Получена замкнутая объединенная алгебраическая система комплексных уравнений для определения искомых функций в первом приближении. Отделяя в системах (28), (29), (30) действительные и мнимые части, увеличиваем двое число уравнений системы, т.е. получим две действительные объединенные системы для определения ), ({щ ) (трещина нормального разрыва) и и1(1п),
(п ) (трещина поперечного сдвига) соответственно, а также размеры конце-
-1,0
-0,5
9 у 1 / Р
0,3 — /1
N/24
0,2
X 1
9x1 у 1/ Р
0,5
1,0
1
^ 0,1 2 \\
0,05
-1,0 -0,5 0 0,5 1,0
Рис. 2. Зависимости контактных напряжений вдоль левой концевой контактной зоны трещины
х 1
0
0
0
вых контактных зон. Из-за неизвестных значений параметров Ж1 и Ж2 системы уравнений оказались нелинейными. Для решения нелинейных алгебраических систем используем метод последовательных приближений.
Результаты расчета контактных напряжений вдоль концевой контактной зоны представлены в виде графиков на рис. 2; кривая 1 соответствует гладкой наружной поверхности покрытия; а кривая 2 неровной поверхности.
1. Гасанов Ш.Г. Моделирование напряженно-деформированного состояния в дорожном покрытии// Ученые записки Азерб. Арх.-Стр. Университета, 2007, №2, с. 151 -
2. Гасанов Ш.Г. Трещина в сечении дорожного покрытия // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. - 2008. - №1. - С. 39 - 45.
3. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. - Киев: Наук. думка, 1976. - 444 с.
4. Саврук М.П. Коэффициенты интенсивности напряжений в телах с трещинами. -Киев: Наук. думка, 1988. - 619 с.
5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.: Наука, 1977. - 640 с.
THROAT CRACK WITH PARTIALLY CONTACTING FACES IN SECTION OF THE ROAD COVERING
Hasanov Sh. H.
The case of a throat crack in section of a road covering with partially contacting faces is considered. It is considered, that under action of external loading (cave-in of a wheel in a rough surface of a covering) in a zone of compressing stresses there is a partial closing faces of a crack.
Л и т е р а т у р а
159.
