CC BY
12
нь нк нь
Проблемы теории упругости
ТРЕЩИНА В СЕЧЕНИИ ДОРОЖНОГО ПОКРЫТИЯ
Ш.Г. ГАСАНОВ, канд. техн. наук, доцент
Бакинский филиал Московского государственного открытого университета
Исследуется плоская задача с продольной трещиной, возникающей в сечении дорожного покрытия, сцепленного с упругим основанием из другого материала, когда к поверхности покрытия приложена нормальная нагрузка (давление колеса).
В настоящее время важной общегосударственной задачей является увеличение объема строительства автомобильных дорог при одновременном повышении качества, надежности и долговечности строительства, снижении расхода дефицитных материалов. В связи с этим на первый план выдвигаются проблемы научно обоснованных комплексных методов расчета строительных конструкций на прочность и долговечность, позволяющих на основе полного учета реального состояния материала осуществлять оптимальное проектирование строительных конструкций, обладающих повышенной прочностью, надежностью и долговечностью. Все это в полной мере относится к дорожным покрытиям. Разработка расчетных моделей для исследования повреждения твердого дорожного покрытия представляет собой актуальную проблему. Для обеспечения надежной и безаварийной работы автомобильного транспорта важное значение играет своевременное обнаружение различных повреждений дорожного покрытия. Значительный интерес в связи с этим представляют дефекты типа трещин. Важной проблемой для повышения долговечности дорожного покрытия является установление норм допустимой дефектности, выбор способов и периодичности контроля пути.
При оценке долговечности дорожного покрытия необходимо исходить из возможности наличия в сечении дорожного покрытия наиболее опасных невы-явленных дефектов. В связи с этим разработка расчетных моделей для исследования повреждений дорожного покрытия представляет собой актуальную проблему. Примем следующие упрощающие предположения относительно работы дорожного покрытия:
1) дорожное покрытие является неразрезной полосой бесконечной длины неизменного поперечного сечения, лежащей на сплошном упругом основании;
2) вертикальные силы приложены в плоскости симметрии дорожного покрытия, а боковые и продольные силы не влияют на изгибающий момент и на напряженно-деформированное состояние, вызванное процессом контактирования колеса с дорожным покрытием.
На основании этих принятых предположений для расчета напряженно-деформированного состояния пары дорожное покрытие - упругое основание приходим к следующей задаче теории упругости.
В декартовых координатах х, у рассмотрим пару «дорожное покрытие - упругое основание». Дорожное покрытие представляет собой полосу толщиной h с упругими характеристиками (модуль сдвига) и ц1 (коэффициент Пуассона), сцепленную с полуплоскостью (упругое основание) с характеристиками G2 и
Пусть в точке х = 0, у = h (рис. 1) к поверхности покрытия приложена нормальная нагрузка в виде сосредоточенной силы Рк (давление колеса). Остальная поверхность покрытия принята не нагруженной. Пусть в сечении покрытия имеется прямолинейная трещина длиной 21, расположенная на отрезке |х11 < I, у = к/2. В центре трещины разместим начало локальной системы координат х101у1, ось х1 совпадает с линией трещины и параллельна с осью х. Берега
i Рк 1 у
Gl,Ml к х1
) * -1 ^т 1
■ Г о ( х
< G2,^2
Рис. 1 Расчетная схема задачи
трещины приняты свободны от внешних нагрузок.
Граничные условия задачи запишем в следующей форме:
при у = к : о{1 =-Гк5(х);
= 0.
при у = 0 : при у1 = 0 :
и(1) + ш(1) = и(2) + ш(2);
и у Т ' ' ху и у Т ' ' ху 5
(1)
^ х,| < г).
= 0; т(1) =1
у1 хЛ
Здесь верхний индекс (1) соответствует покрытию, верхний индекс (2) -полуплоскости; 8 (х) - импульсная функция Дирака; 1 - мнимая единица.
Считается, что при у ^ -да перемещения и напряжения исчезают, и на границе раздела сред (покрытие и основание) имеет место равенство напряжений и перемещений (условия полного сцепления).
Используем принцип суперпозиции. Тогда напряженное и деформированное состояние двухслойного тела с трещиной можно представить в виде суммы двух состояний. Первое состояние будет определяться из решения следующей краевой задачи для двухслойного тела при отсутствии трещины:
при у = к : ^ = -Рк8(х);
^ = 0:
при у = 0 :
и(1) + ш(1) = и(2) + ш(2);
^(1) + /т(1) = ^(2) + /т(2) у ху у ху
(2)
Второе состояние определяется из решения краевой задачи для полосы с трещиной, на берегах которой действуют усилия, определяемые первым состоянием. Краевые условия второй задачи имеют вид:
при у1 = 0 : при у = к :
х1 у1
= - Р1 (х1);
^у = 0;
% =- р(х1) ^ = 0
( х1 < I), х| < да),
(3)
при у = 0 : Сту = 0; т^ = 0 .
Здесь р(х1) и р1 (х1) - нормальные и касательные напряжения, возникающие в сплошной полосе по оси х1 от приложения заданных нагрузок, снимающих напряжения на границе полосы.
Решение первой задачи. Для решения граничной задачи (2) используем функции Папковича-Нейбера (х, у) (п, т = 1, 2): по две для полосы (верхний индекс 1) и полуплоскости (верхний индекс 2). Как известно [1], перемещения и напряжения выражаются через эти функции по следующим формулам
яглт) яглт) яглт) я^(т
<(т) = - у ^Т-; ^ = (3 - 4^т)^ - ^ - у
их ду ду ду
Ст(т) . дF(т) д2Г(т) д2Г(т)
= 2(1 - цт )—--—г--у (4)
2Gm У ду ду2 ' ду2
Г(т) д ху и
дх
т
дГ(т) дГ(т)
(1 - 2Цт - у ^
ду ду
Учитывая симметрию задачи по х, используем cos-преобразование Фурье и примем
ад ад
^(1) = ^\Ashay + В^ау\cosaxda , Г2(1) = ^\Cshay + Dchay]аcosaxda ,
0 0
ад ад
^(2) = |Ее^ cosaxda , Г2(2) = |Feaya cosaxda . (5)
00 С помощью соотношений (4) и (5) находим напряжения и перемещения
СТт, т((тт), и(т), и(т). Затем удовлетворяя ими граничным условиям (2) получим систему шести линейных алгебраических уравнений относительно шести неизвестных функций А, В, С, D, Е, Г параметра a :
р
2(1 - ц1 )(Cchah + Dshah) - Ashah - Bchah - ah(Cshah + Dchah) =---,
2яG1a
(1 - 2Ц1 )(Cshah + Dchah) - Achah - Bshah - ah(Cchah + Dshah) = 0 , В = Е, (3 - - А = (3 - 4Ц2)Г - Е, ^[2(1 - - В] = \2(1 - Ц- Е\, ^\(1 - 2Ц)D - А] = а,\(1 - 2Ц- Е\. (6)
Решая систему (6) методом последовательного исключения, находим функции А, В, C, D, Е, Г. Ввиду некоторой громоздкости они не приводятся в явном виде. По формулам (4) при у = №2, |х| < £ находятся величины р(х) и р1(х).
Следуя [2] для задачи, описывающей второе напряженное состояние, получим интегральное уравнение
Г^М^Л + Г\§'Ш(п,^ + = Лр0(£), (7)
- Л - £ -
р0(& = р(£) + /Р1(£), £ < 1, /(' + '(х) = ^\и+-и+ /(и+-и)\.
2а1 дх
Здесь к0 - постоянная Мусхелишвили для материала полосы.
1 1
- + -
sк2т + 2т sк2т - 2т 1 1
+ '
sк2т + 2т sк2т - 2т 11
^№,7, т,0) +
К(Г,7, т,0)
dт.
(8)
sк2т + 2т sк2т - 2т
Я2 (Г,7, т,0)
+
+
11
- + -
G2*(Г,7, т,0)
dт
чsк2т + 2т sк2т - 2т где Я1 (Г, ту, т ,0) = Я2 (Г, 77, т ,0) = (Я/2) • (-1 - 2 т 2 + е2 т )sin [Ят(7 - Г)];
С;(Г,7,т ,0) = т ,0)=-Ятsin[Ят(7-Г)]; Я = г/к .
Ядра R(7,Г) и 51 (7,Г) действительны, интегральное уравнение (7), как и следовало ожидать, распадается на два действительных уравнения. В случае
симметричной задачи (трещина нормального разрыва), когда на берегах трещины действуют только нормальные усилия р(х), находим
| —1— + я|——2 т- 2 т^ + 6—)sin Ят(7- Г)?7
и'7)?7 = пр(Г), № < 1. (9)
7 - № * sк2т + 2т
да 1
Если воспользоваться значением интеграла Г тх?х = —, принимаемом в
Л х
обобщенном смысле Абеля, интегральное уравнение можно записать в виде [2]
1 да к2 - 2
|и'(7)^(77- Г)?7 = пр(Г), № < 1, ^(7) = 2Я|^ т т
sк2 т + 2 т
sin Ят7?7 , (10)
-1 0 которое преобразуется в интегральное уравнение Фредгольма
о №
ф(г) = - - }
п ■!
2 Г p(7)d7 + 1
Гг
2 „„2 7 0
где ^ (7,Г) = Я27|
1 + 2т + 2т 2 - е~2т
sк2т + 2т |0,
ГF(7,Г)ф(7?7, 0 < 7 < 1,
,/0 (Я7 т)10 (ЯГт)тА т ,
(11)
и( х) =
г
i
иФ(и)Аи
I 2 2 л/и -
х > г
0 < х < г
/и - х
./0 (и) - функция Бесселя первого порядка.
При действии только касательных усилий на берегах трещины (трещина поперечного сдвига) интегральное уравнение преобразуется к виду
Г и'(7) К2 (7- Г)?7 = пр1(Г), № < 1
-1
да
где К2 (7) = Я Г L(т ) sin Я т7?7 ; L(т ) = 2
(12)
sh1т - т2 sk2т - 2т
Коэффициенты интенсивности напряжений находим по формулам
К± — ¡К„ = + Нт
¡л(е2 —х2
£
\'(х)
Решения интегральных уравнений сводились к решению системы неоднородных алгебраических уравнений М х М . Проведенный численный анализ показывает, что для получения устойчивого значения искомых функций необходимо взять М > 20 .
ад А
Функции К1 и К 2 вычислялись так. Вместо | взято было | .
0 0
Анализ показывает, что подынтегральные функции экспоненциально убывают при т ^ ад . Для того, чтобы исследовать как влияет значение А на значение искомых функций, были взяты следующие значения А = 10, 20, 30, 100. При этом найдено, что если А = 100, то значения функций К1(п,£) и К2(ц,£) при фиксированном значении е[—1,1] с точностью 10-4 равно значению функции К1(п,0 и К2(ц,£), соответственно, при А = 10.
Для численного расчета принято А = 10.
Анализ результатов вычислений для трещины нормального разрыва (рис. 2) позволяет сделать следующие выводы:
а) если G1/G2 > 1, то при постоянной внешней нагрузке Рк и при фиксированных значениях других параметров задачи с увеличением длины трещины коэффициент интенсивности напряжений К, увеличивается;
К7
(Рк/4пн)
N0 G2
1 10
2 1,0
3 0,1
1
2
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 Рис. 2. Зависимости коэффициента интенсивности напряжения К, от длины трещины
б) если G1 /G2 < 1, то при постоянной внешней нагрузке и при фиксированных значениях других параметров задачи, безразмерный коэффициент интен-
сивности напряжений
с увеличением длины трещины сначала уве-
(р/
личивается, а затем, начиная с некоторого значения ¡/к, медленно уменьшается.
Приравнивая К, на трещиностойкость К1с покрытия, содержащего в сечении трещину, находим критическую нагрузку или критическую длину трещины, приводящих разрушению дорожного покрытия.
Для облегчения расчетов при вычислении коэффициентов интенсивности напряжений поступали следующим образом. Находили максимальные значения усилий p(x) и pj (x): ст0 = maxp(x); т0 = maxpx (x), |x| < I .
Тогда для коэффициентов интенсивности напряжений можно использовать следующие известные формулы
Ki = ^^Ж^Щ/^Л); (13)
/¡(Л) = f (Л) + (0,6733 + Л )-1 (0,2409 + 0,40521 + 0,162Я2 + 0,3601Я3)е~я ;
/(Л) = (0,6733 + Л)-1 (0,0957 + 0,4533Л + 0,6733Л2 + Л /з) ;
Кя = 2= K (thftX)J-, где K (a) - полный эллиптический интеграл 1-го рода.
4ж V л-Л
Другой способ учета усилий р(х) и р1(х) заключается в том, что вместо истинного их распределения: учитываем их результирующую силу, приложенную в ее середине, т.е.
е е
Р р(х) dx ; Q р1(х) dx . -е -е
Тогда для коэффициентов интенсивности напряжений, имеем
P
(1 + 2,2838Л2 - 0,7854Л4)+о(л6); (14)
Kr = ^= (1 + 2,2838Л - 0,7854Л J+O 4ж1
Krr = Q(1 +1,3338Л2 - 1,0440Л4)+ о(л6) 4тЖ>
л/л [Л
При больших значениях Л: Kr = РЛ—j=; Krr = Q.I—cthnl .
1 2Л 11 ь
С помощью формул (13), (14) для коэффициентов интенсивности напряжений и критерия хрупкого разрушения Ирвина [3] можно исследовать предельное состояние дорожного покрытия, имеющего в сечении продольную трещину.
Л и т е р а т у р а
1. Уфлянд Я.С. Интегральные преобразования в задачах теории упругости. -М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1963. - 367 с.
2. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение напряжений около трещин в пластинах и оболочках. - Киев: Наукова думка, 1976. - 443 с.
3. ЧерепановГ.П. Механика хрупкого разрушения.- М.: Наука, 1974.- 640 с.
CRACK IN SECTION OF THE ROADWAY COVERING
Sh.G. Gasanov
The plane problem in the longitudinal crack arising in section of a roadway covering, linked with the elastic basis from other material when normal loading (pressure of a wheel) is enclosed to a surface of a covering is investigated.
