Трендовая модель системы временных рядов Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ

УДК 519.246.8

Ю. Е. КУВАИСКОВА, Д. А. ЖУКОВ

ТРЕНДОВАЯ МОДЕЛЬ СИСТЕМЫ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ

Описывается алгоритм построения трендовой модели системы временных рядов с проверкой значимости параметров моделей и исключением незначимых слагаемых, реализованный в программном комплексе АС ДРМ-Т.

Ключевые слова: трендовая модель, система временных рядов, моделирование, значимость параметров.

Введение

Одной из основных задач контроля технического объекта является прогнозирование его состояния по множеству контролируемых параметров, регистрируемых через определённые промежутки времени и образующие систему временных рядов [1-3]. Для построения высокоточных прогнозов состояния исследуемых объектов необходимо одновременное описание всех параметров его работы адекватной математической моделью. Трендовые модели при всей их простоте могут давать более надёжные результаты прогнозирования, чем сложные математические модели, основанные на системах алгебраических и дифференциальных уравнений, особенно при краткосрочном и среднесрочном прогнозировании.

Для построения трендовой модели системы временных рядов разработан алгоритм с оценкой значимости параметров моделей и устранением незначимых слагаемых, что позволит получить более адекватную наблюдениям модель и повысить точность прогнозирования.

Алгоритм построения трендовой модели системы временных рядов

Вводится система N временных рядов у1,у2, ...,У, каждый из которых содержит п наблюдений.

На первом этапе алгоритма для исследуемой системы временных рядов методом проверки разностей средних уровней определяется наличие тренда. Для этого каждый ряд системы из п точек делится на два с примерно одинаковым числом точек п1 и п2 (п = п1 + п2) и для каждой из частей вычисляются средние значения

© Кувайскова Ю. Е., Жуков Д. А., 2015

X у,

X у,

У1 =-

77 — ,=1

у 2 =

и дисперсии

Х(у, - у,)2

п -1

=

X(у,- у 2)2

(1)

(2)

П2 - 1

где у, - значения уровней временного ряда. Затем проверяется гипотеза об однородности дисперсий частей ряда с помощью критерия Фишера

сли С1 >C2, (3)

Г = ■

<7

«X,

/2 2 2 / с1 , если с2 > с1.

Если полученное значение Г < Гтабл, то гипотеза об однородности дисперсий принимается, и переходят к следующему этапу расчёта. Если Г > Гтабл, то гипотеза об однородности дисперсий отклоняется, и метод не даёт ответа на вопрос о наличии или отсутствии тренда. Табличное значение Гтабл зависит от уровня значимости и длины сравниваемых рядов и находится по таблице квантилей распределения Фишера.

Окончательная проверка гипотезы об отсутствии тренда производится с использованием критерия Стьюдента. Вычисляется расчётное значение статистики Стьюдента по формуле

у - у 2 |

сг1— + —

(4)

где с - среднеквадратическое отклонение (СКО) разности средних, вычисляемое по формуле

' (5)

(п1 - 1)с12 + (п2 - 1)с п1 + п2 - 2

Если расчётное значение , < ,табл, то гипотеза принимается, т. е. тренд отсутствует, в противном случае тренд есть. Для определения

п

п

С =

п1 п2

табличного значения число степеней свободы принимается равным (п + п2 - 2). Табличные значения статистики гтабл берутся из таблицы квантилей распределения Стьюдента.

После завершения процедуры определения наличия тренда, если для временных рядов в рассматриваемой системе тренд наблюдается, то для соответствующих временных рядов строятся шестнадцать парных трендовых моделей

у = а + Ь ■ '; у = 1/(а + Ь ■ г); у = а + Ь / '; у = а ■ Ь ■ г /(а + Ь ■ г); У = а ■ Ь'; У = а ■ вы; У = а-10ы; у = 1/(а + Ь ■ 1п('));

У = а ■ г ; у = а + Ь ■ Щг); у = а + Ь ■ 1п(г);

у = а /(Ь + г); у = а ■ г /(Ь + г);

у = а ■ е(Ь'г); у = а ■ 10(Ь'г); у = а + Ь ■ г2.

Затем из построенных парных зависимостей выбирается оптимальная модель по критерию минимума СКО

а =

I (у, - у )2

(6)

п - 2

где п - количество наблюдений; уг - результат г-го наблюдения, у - прогнозируемое значение

по построенной модели.

Для выбранных оптимальных моделей проводится оценка значимости параметров по критерию Стьюдента. Для этого выдвигается гипотеза о статистически незначимом отличии от нуля параметра модели. Вычисляется расчётное значение статистики Стьюдента

^^ = а

(7)

где А - оценка параметра модели; ал - СКО параметра А, вычисляемое по формуле

(8)

I с,-')2

Здесь г, - ,-е значение регрессора '; п - количество наблюдений; а - СКО модели, вычисляемое по формуле (6); ' - среднее значение регрессора г

I',

п

(9)

Если гр > гтабл, то параметр А значимо отличается от нуля, в противном случае параметр признается незначимым и соответствующее слагаемое исключается из модели.

Если в результате применения метода проверки разностей средних уровней не выявлено наличие тренда либо коэффициенты построенной модели признаны статистически незначимыми, то производится центрирование временного ряда путём исключения из каждого наблюдения среднего значения ряда.

После процедур оценки значимости параметров моделей и центрирования построенные трендовые модели системы временных рядов могут быть использованы для дальнейшего исследования и прогнозирования.

На рис. 1 показана блок-схема алгоритма построения трендовых моделей системы временных рядов.

Рис. 1. Блок-схема алгоритма построения трендовых моделей системы временных рядов

Программное обеспечение

Описанный алгоритм реализован в виде отдельного модуля в программном комплексе «Автоматизированная система динамического регрессионного моделирования - техническая

г=1

а

А

,=1

а

а

А

,=1

версия» (АС ДРМ-Т) [4-5], предназначенного для разработки комплексных моделей процессов, представленных в форме временных рядов, с последующим их использованием для прогноза динамики ряда.

Модуль «Трендовая модель системы временных рядов» (рис. 2) позволяет в автоматическом режиме строить оптимальные по критерию минимума СКО трендовые модели системы временных рядов с оценкой значимости параметров моделей и устранением незначимых слагаемых.

Рис. 2. Внешний вид модуля «Трендовая модель системы временных рядов»

Рис. 3. Результаты работы модуля

После построения моделей имеется возможность построения прогноза на заданный пользователем период.

В левом окне модуля, в информационном поле, записаны имена переменных, которые можно выбрать для исследования.

Запуск процедуры проверки наличия тренда производится при нажатии на кнопку ОК.

После выполнения моделирования на экране появляются результаты проверки системы временных рядов на наличие тренда, аналитические формулы построенных оптимальных трендовых моделей, результаты оценки значимости параметров моделей, значения СКО (рис. 3), а также графики исходных наблюдений и смоделированных данных (рис. 4).

Результаты обработки системы временных рядов

С помощью разработанного модуля были построены трендовые модели системы семи временных рядов физико-химических показателей качества питьевой воды, приведённых в таблице 1.

Таблица 1 Физико-химические показатели качества питьевой воды

Обозначение Определение

у'(г) цветность

у 2(') алюминий

у3 (') рН

у 4(') хлориды

у 5( г) остаточный хлор

у 6( ') окисляемость

у 7(') щелочность

На первом этапе для исследуемой системы временных рядов проведена проверка наличия тренда методом проверки разностей средних уровней. Выявлено, что у всех семи временных рядов наблюдается наличие тренда.

Затем для каждого временного ряда системы построено шестнадцать парных трендовых зависимостей, из которых выбраны оптимальные модели по критерию минимума СКО

Рис. 4. Графики исходных наблюдений и смоделированных данных

У(') = 4,831 + 0,000006 ■'2, у2(,) = 0,087 - 0,00004 ■', у 3(,) = 6,455.10-00004', у 4(,) = 16,401 + 68,052/', у5 (') = 0,980 ■ 0,999', у6(,) = 2,287 - 0,000002 2 у7(,) = 0,286 ■ е-0 0005<.

(10)

Для выбранных оптимальных моделей проведена оценка значимости параметров по критерию Стьюдента. Выявлено, что для временных рядов у1 ('), у 2(,) и у 6(,) коэффициенты модели

незначимы на уровне значимости а = 0,05. Для данных временных рядов проведена процедура центрирования путём исключения из каждого наблюдения ряда среднего значения.

Окончательно после выполнения алгоритма построения трендовых моделей системы временных рядов получаем следующие результаты:

у1 (') - центрирование со средним 5,023,

у2(') - центрирование со средним 0,081, (11) у3(') = 6,455 • 10-°,°00ф', у4(,) = 16,401 + 68,052/', у5(') = 0,980 • 0,999',

у6(') - центрирование со средним 2,718, у7(') = 0,286 • е-0,0005<.

2. Кувайскова Ю. Е. Методика структурно-параметрической идентификации системы временных рядов // Известия Самарского научного центра РАН. - 2013. - Т. 15, №4(4). -С.914-918.

3. Клячкин В. Н., Кувайскова Ю. Е., Алёшина А. А., Кравцов Ю. А. Информационно-математическая система раннего предупреждения об аварийной ситуации // Известия Самарского научного центра РАН. - 2013. - №4(4). - С. 919-923.

4. Валеев, С. Г., Кувайскова Ю. Е. Адаптация пакета АС ДРМ к решению экономических и производственных задач // Вопросы современной науки и практики. Университет им. В. И. Вернадского. - 2008. - Т. 2, №2(12). - С. 60-63.

5. Валеев С. Г., Кувайскова Ю. Е. Программное обеспечение обработки временных рядов техногенных характеристик // Обозрение прикладной и промышленной математики. - 2009. -Т. 16, вып. 6. - С. 1037-1038.

Построенные математические зависимости системы временных рядов показателей качества питьевой воды могут быть использованы для дальнейших исследований или прогнозирования процессов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кувайскова, Ю. Е., Клячкин В. Н., Бубырь Д. С. Прогнозирование состояния технического объекта на основе мониторинга его параметров / // XII Всероссийское совещание по проблемам управления: Труды. - М. : Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН, 2014. -С.7616-7626.

Кувайскова Юлия Евгеньевна, кандидат технических наук, доцент кафедры «Прикладная математика и информатика» УлГТУ. Имеет публикации в области математического моделирования, анализа временных рядов и разработки информационных технологий. Жуков Дмитрий Анатольевич, студент факультета информационных систем и технологий УлГТУ.

Поступила 17.03.2015 г.