Трехпараметрическое семейство эллипсоидов, допускающее конструирование Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.75

М. В. Кретов

ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО ЭЛЛИПСОИДОВ, ДОПУСКАЮЩЕЕ КОНСТРУИРОВАНИЕ

Исследован подкласс трехпараметрического семейства эллипсоидов в трехмерном аффинном пространстве. Дана конструкция многообразия.

A subclass of three-parametrical collection of ellipsoids in three-dimensional affine space is investigated. The construction of the considered manifold is given.

Ключевые слова: трехпараметрическое семейство, комплекс, эллипсоид, асимптотическая линия, безынтегральное представление, индикатриса вектора.

Key words: three-dimensional collection, complex, ellipsoid, asymptotic line, integral-free representation, vector indicatrix.

Продолжается исследование трехпараметрических семейств (комплексов) эллипсоидов в трехмерном аффинном пространстве, рассмотренных в работах [1 — 10]. Оно проводится в каноническом репере R = {A, e1, e2, e3}, где A — центр эллипсоида q; векторы e1, e2 и e3 направлены по тройке сопряженных диаметров эллипсоида, а концы их A{, i, j, k = 1, 2, 3, лежат на q. Деривационные формулы R запишутся в виде dA = ю'ei, dei = ajei, причем формы Пфаффа ю', rai удовлетворяют уравнениям структуры Da' = ak лю'к, Dai = ak лю{.

© Кретов М. В., 2014

Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 10. С. 68-71.

Трехпараметрическое семейство эллипсоидов, допускающее конструирование

Уравнение эллипсоида q запишем в вице F = (x1 )2 + (x2 )2 + (x3 )2 = 0.

Изучаются трехпараметрические семейства (комплексах) K эллипсоидов — подклассы многообразия K3, исследованного в работе [10], когда индикатриса вектора e2 - e3 является прямой, параллельной вектору e1. Из определения многообразия K3 следует, что его система дифференциальных уравнений Пфаффа будет иметь вид:

ю1 = -ю1, го:? = ®3 = 0, ю2 = аю3, ю3 = аю2,

1 ' 1 1 ' 2 '3 '

ю3! = -ю3, ю3 = -ю2, dlnа = ю1 +ю2 +ю3.

Анализируя систему (1) согласно работе [11], убеждаемся в том, что комплекс K3 существует и определяется вполне интегрируемой системой уравнений с произволом 10 постоянных.

Теорема 1. Многообразия K3 обладают геометрическими свойствами:

1) прямая l = (A3, e1) неподвижна;

2) при движении точки A1 вдоль асимптотической линии у1 на поверхности (A1), заданной уравнением ю2 = 0, прямая m1 = (A1, e3) и координатная плоскость (A, e1, e3) неподвижны;

3) поверхность (A3) вырождается в прямую, параллельную вектору e1;

4) точка P = A + e1+ e2 неподвижна при движении точки A1 вдоль асимптотической линии у2 на поверхности (A1), заданной уравнением ю3 = 0;

5) класс отображений, порожденный рассматриваемым многообразием, не пересекается с отображениями, исследованными в работах [4], [7].

Доказательство. 1. Пусть М1 = A3 + X1e1 — текущая точка прямой l. Тогда, используя систему (1), находим: dMj = (dX1 + (1 - X^ю1 +ao3)e1, откуда непосредственно следует первое утверждение теоремы.

2. Обозначим M2 = A1 + X3e3 и M3 = A + X1e1 + X3e3 текущие точки соответственно прямой m-i и координатной плоскости (A, e^ e3). Согласно (1):

dM2 = aX 3ю2e1 + (1 - X3 )ю2e2 + (dX3 + (1 - X 3)d>3)e3,

dM3 = (dX1 + (1 - XV + aXV^ + (1 - X3)d>2e2 + (dX3 + (1 - X3)ю3 )e3. (2)

Из (2) следует, что при движении точки A1 вдоль асимптотической линии у1 прямая m1 и координатная плоскость (A, e1, e3) неподвижны.

3. Утверждение теоремы следует из формулы dA3 = (ю1 + аю2^.

4. Из (1) получаем dP = аю^, откуда вытекает утверждение теоремы.

5. Последнее утверждение верно согласно системе (1) и [4], [7]. □

Доказанные геометрические свойства комплекса K* позволяют его

сконструировать, то есть построить его безынтегральное представление [12]. Для этого проводим следующие построения:

1) задаем произвольную прямую l и фиксируем на ней точку P;

2) проводим прямую ly параллельную l, и выбираем на ней точку A3;

3) задаем плоскость л, проходящую через l и не содержащую ly

69

М. В. Кретов

70

4) проводим на плоскости л через точку P прямую m;

5) в л выбираем A, не инцидентную l и m; через A проводим прямые, параллельные l и m; в пересечении с m и l получим точки A1 и A2.

С текущей точкой плоскости л совмещаем подвижный репер R = {О, e1, e2, e3} такой, что О = A и ei = AAi. Образующий элемент исследуемого многообразия — квадрика q, соответствующая центру A, однозначно определяется точками Ai, центром A и сопряженными направлениями

ei = AAi. При движении A в л получается двухпараметрическое семейство эллипсоидов q, а при перемещении A3 по прямой l — трехпарамет-рическое семейство эллипсоидов q, которое назовем комплексом K3.

Докажем, что построенный комплекс квадрик q совпадает с многообразием K3* , то есть определяется в R системой уравнений (1).

Так как l задается уравнениями X3 = 0, X2 = 1, то, согласно неподвижности этой прямой, ®3 = 0, ®3 = -ю3, = 0, ю2 = -ю2. Прямая l1 параллельна плоскости л, поэтому ю3 = -ю3. Из условия неподвижности прямой m, заданной уравнениями X3 = 0, X1 = 1 при движении точки A1 вдоль асимптотической линии у2, следует, что ю1 = -ю1, ю2 = кю3. m1 определяется уравнениями X1 = 1, X2 = 0. Так как эта прямая неподвижна при движении точки A1 вдоль линии у1, то ю3 = стю2, ю3 = Рю2.

Дифференцируя ю3 =-ю3, находим Р = -1, поэтому ю3 =-ю2. Замыкая ю1 =-ю1, ю2 = кю3, получим ю3 = кю2, dk = кю1 + кю2 +аю3. Дифференцируя ю3 = кю2, находим к = а, и система уравнений принимает вид:

юii = -(^, ю2 = ю3 = 0, ю2 = аю3, ю3 = аю2, ю23 = -ю3, ю3 = -ю2, dlnа = ю1 +ю2 +ю3.

Список литературы

1. Кретов М. В. Комплексы эллипсоидов в аффинном пространстве // Диф. геом. многообр. фигур. 1979. С. 41 — 47.

2. Кретов М. В. О комплексах центральных квадрик в аффинном пространстве // Там же. Вып. 11. С. 51—60.

3. Кретов М. В. Дифференциальная геометрия соответствий, ассоциированных с комплексами эллипсоидов // VI Прибалтийская геометрическая конференция. Таллин, 1984. С. 66.

4. Кретов М. В. О специальных подклассах дифференциальных отображений, ассоциированных с комплексами центральных невырожденных гиперквадрик // Диф. геом. многообр. фигур. 1984. Вып. 15. С. 49 — 54.

5. Кретов М. В. К геометрии комплексов эллипсоидов в аффинном пространстве // Там же. 1985. Вып. 16. С. 34 — 36.

6. Кретов М. В. Комплексы эллипсоидов со специальными свойствами ассоциированных с ними дифференцируемых отображений / / Там же. 1986. Вып. 17. С. 51—57.

Трехпараметрическое семейство эллипсоидов, допускающее конструирование

7. Кретов М. В. Дифференцируемые отображения, ассоциированных с многообразиями гиперквадрик : междунар. конф. по геометрии и приложениям. НРБ. София, 1986. С. 23.

8. Кретов М. В. О трехпараметрических семействах квадрик // Вестник Российского государственного университета им. И. Канта. 2008. Вып. 10. С. 95 — 98.

9. Кретов М. В. О трехпараметрическом семействе квадрик в аффинном пространстве : междунар. конф. «Высокопроизводительные вычисления — математические модели и алгоритмы», посвященная Карлу Якоби. Калининград, 2013. С. 156 — 158.

10. Кретов М. В. Геометрическая модель трехпараметрического семейства эллипсоидов // Вестник Балтийского федерального университета им. И. Канта. 2014. Вып. 4. С. 163—167.

11. Малаховский В. С. Введение в теорию внешних форм : учеб. пособие. Калининград, 1978.

12. Кованцов Н. И. Безынтегральное представление некоторых специальных классов комплексов : мат. сб. М., 1956. Т. 38, № 1. С. 107—128.

Об авторе

Михаил Васильевич Кретов — канд. физ.-мат. наук, доц., Балтийский федеральный университет им. И. Канта, Калининград.

E-mail: kretov1@mail.ru

About the author

71

Dr Michail Kretov — Ass. Prof., I. Kant Baltic Federal University, Kaliningrad. E-mail: kretov1@mail.ru