CC BY
31
Дегтярева Екатерина Евгеньевна - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: +79045069696; кафедра высшей математики; .
Чистяков Александр Евгеньевич - e-mail: [email protected]; тел.: +78634371606; кафедра высшей математики; доцент.
Degtyareva Ekaterina Evgenievna - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79045069696; the department of higher mathematics; post-graduate student.
Chistyakov Alexander Evgenjevich - e-mail: [email protected]; phone: +78634371606; the department of higher mathematics; associate professor.
УДК 532.5.031
Кандалфт Хекмат
ТРЕХМЕРНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ВОДНОЙ СРЕДЫ ПРИ НАЛИЧИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЛЕДЯНОЙ ПЛАСТИНЫ
Работа посвящена развитию математических подходов к изучению гидродинамических процессов в однородной жидкости, поверхностью активными напряжениями и начальными возмущающими факторами. Разработана трехмерная математическая модель движения водной среды, при наличии ледовой пластины на поверхности водоема. Основными уравнениями математической модели являются: система уравнений Навье-Стокса и уравнение неразрывности. Для построения численного алгоритма применен метод расщепления по физическим процессам. Для данной задачи получено численное решение, позволяющее определять поведение жидкости при данных условиях. На основе интегро-интерполяционного метода выполнена аппроксимация трехмерной математической модели гидродинамики. Был разработан комплекс программ, предназначенный для построения трехмерных полей скоростей движения водной среды.
Ледяная пластина; ячейка; гидродинамика; уравнений движения жидкости; уравнений неразрывности; заполненность.
Hekmat Kandalft
TREE-DIMENSIONAL MATHEMATICAL MODEL OF A MOTION OF THE AQUATIC ENVIRONMENT, THE SURFACE OF WHICH IS COVERED BY
ICE PLATE
This article is dedicated to the development of mathematical approaches of the study of hydrodynamic processes in an homogeneous _ fluid, the surface of the active stresses and initial disturbances. A mathematical model of the motion of w in the reservoir is partially covered by ice plate. For this task, the numerical solution determines the behavior of the fluid under these conditions. It creates a three-dimensional discrete fnite-volume model describing the hydrodynamic processes, taking into account the ice cover on the surface. Designed program was developed to build three-dimensional velocity fields of motion of the aquatic environment in the event of mathematical modeling of the reservoir area covered by an ice layer. The numerical model is threedimensional; the decision is based on the Navier-Stokes approximations. To construct a numerical algorithm, a method of splitting by physical processes was used.
The ice plate; hydrodynamics; the equations of fluid motion; the equations of continuity; the occupancy rate.
Раздел III. Моделирование сложных систем
Введение. Решению задач гидродинамики посвящено много научных трудов. В работе [3] была предложена трехмерная модель движения водной среды в мелководных водоемах. В [4] построена двумерная в вертикальной плоскости модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна. В [5] были приведены расчеты прибрежных волновых процессов, при этом учитывалось динамическое изменение геометрии расчетной области. В [6] смоделированы двумерные гидродинамические процессы при обтекании надводного объекта. В данной работе предложена трехмерная модель движения водной среды при наличии на поверхности надводного объекта.
1. Постановка задачи. Рассматривается задача волновой динамики жидкости. Исходными уравнениями являются:
- уравнение Навье-Стокса
-Р'
Щ + ии'х + ш'у + =-- + (Ми'х Ух + (Ли'у Уу + ; (!)
р
-Р
V + ыу'х + уу'у + ^ у + (№>'х )'х + (Фу Уу + (£[ У г ; (2)
р
- Р
щ+ищ+™у+= —■+(^х)-+(п^у )у+(£™ у+g; (3)
р
-
иХ + ^'у + Ч = °. (4)
Уравнения (1)-(4) рассматриваются при следующих граничных условиях:
-
Р*т'у{хУ,г,г) = -тх(?\р&г(хy,г,г) = -Ту(?),рп (x, ^гг) = 0,у(x,y,г,г) = 0; (5) -
щ (х, у, г,г) = —, Рп (х, у, г, г) = 0,У (х, у, г, г) = 0; (6)
%Р
-
РуПч'у(У,г,г ) = -т-(?(,ру&'г(x, y,гI) = -Гу(?),Рп (д; y,г,г ) = 0,У(y,г,г ) = 0; (7)
-
и'х(х,у,г,г) = 0,у'у(х,у,г,г) = 0,щ(х,у,г,г) = 0,Рп (х,у,г,г) = 0,У(х,у,г,г) = 0; (8)
-
и'х(х,у,г, г) = 0,V'у(х,у,г, г) = 0,щ г(х,у,г,г) = 0,Р'п (х,у,г,г) = 0,V(х,у,г,г) = 0; (9)
- начальные условия: при моменте г = 0 выполняются следующие условия:
Р = р%к, и = 0, V = 0, щ = 0, где У = {и, V, - вектор скорости движения водной среды, Р - давление, Ц , Г) -
коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальным направлениям, £ - коэффициент турбулентного обмена по вертикальному направлению, g - ускорение свободного падения, р - плотность жидкости, р5 - плотность суспензии (взвеси). Система координат выбрана таким образом, тх ,ту - тангенциальное напряжение на дне жидкости (закон Ван-Дорна). Система координат выбрана таким образом, что ось Ох, Оу совмещены с поверхностью невозмущенной жидкости и направлена в сторону движения, ось Ог - вертикально вниз.
Имеются разные временные слои два реальных при п,, п+1 и один промежуточный слой при п + СТ соответственно можно обозначить Рп+! = Р, Рп+а = Р, рп+ои = Р, Рп = Р, ип+! = и, ип+ст= и, ип+аП = и, ип = и, vn+1 = V,
vn+ет = 1;, vn+ет/2 = V, V12 = V, щп+! = щ, щп+ст = щ, щп+ст/2 = щ, Щп = ж Расщепляя уравнения (1)-(4) по физическим процессам, получим:
и и + ии'х + vu'y + иЩ = (ци'х )'х + (пи'у )у + (и )'г , (10)
V - V
+ отХ + vv/y + ^ = (>і/ )Х + (^У )' + )'г , (11)
у/у
г
w - w
+ ^Х + vw'y + ww'г = (^Х )Х + (^ )У + (&'г )'г + g , (12)
Йг
, , - (13)
Й р йг р Й р
После дифференцирования системы уравнений (13) по х,у,г соответственно, :
(u )х -(«)х - Р- (v )у -(~Г )у - Руу (щ) -(щ) = -Р”: (14)
Йг р ’ Йг р ' Й р '
(14), (4),
уравнение
Кх + РУу + Кг = р [(и )х + ( )у + (щ)г ] (15)
Расчет задач гидродинамики по данному методу осуществляется в три этапа. На первом этапе считается поле скоростей на промежуточном временном слое (10)-(12). На втором этапе рассчитывается давление (15). На третьем этапе уточняется поле скоростей по давлению (14).
Дискретная модель гидродинамики. Для аппроксимаци и задачи применялся интегро-интерполяционный метод [2]. Расчетные ячейки представляют собой параллелепипед, они могут быть заполненными, частично заполненными или пустыми. Вводятся коэффициенты д0, дг, цг, ц3, #4, ц5, ц6, описывающие заполненность областей [5], находящихся в окрестности ячейки. Значение д0 , характеризует заполненность всей области. Заполненные части областей 0.т будем называть Бт, где т = 0...6. В соответствии с этим коэффициенты цт можно вычислить по формулам:
(?т )и,к = ^ ,
т
Дискретный аналог математической модели гидродинамики (1)-(9) может быть представлен следующими сеточными уравнениями:
♦ для составляющей вектора скорости щ ■ к:
/ \ и1,},к - и1,},к I \ и1+1,},к - и1,},к ( \ и1,},к - и1 -1,},к
(№0 А-, }Л----Й------+ (1 А, },ки1+1/2, },к-2й-------- № >1, },кЧ -1/2, },к----2й------
+ ( ) v ^}+1,к - Щ,},к + / ) v и1,},к - Щ,}-1,к +
+ № п,}кЧ} + 1/2,к 2Й + \У4 п,},кУ1>}-1/2,к 2Й +
•,іл wi,j,k+1/2 ~ + (q6 А,іл wi,іл-l
2
ыг+l, j,k - ыг, і,л
k h2 x
ыг, і+l,k - ,k
2h,
Ыг, і,к - ыг-1, і,к
I \ “i+l,j,k “i, j,k / \ иг, і,k i—1, і,k ,
-(qlA,і,к Ui+1/2,і,к ,_2 (n2 А',і,к Ui-1/2,і,к ^2
x
I \ Ыi, і,к Ыi, і-1,к
-(q4 А, іл^і, і-1/2, к----------------------------2-+
•, іЛ'Ч, і+1/2,к h2 ^4 Ц, ЇЛ'Н, і-1/2, к h2
+i - y y
(з ),,і,і - fa )лі,і а ("Оі,.,-,,
, \ Є Ыг,j,k+1 Ыг,j,k / \ Є Ыг,і,к Ыг,і,к-1 .
+ ІП5 )i, j,kbi,і,к+1/2 ,2 in6 /г, j,kW,і,к-1/2 ,2 ; (16)
♦ для составляющей вектора скорости v*,,,к:
/ \ Vi, j,k - Vi, j,k / \ Vi+1, j,k - Vi, j,k / N Vi, j,k - Vi-1, j,k
(ПО A, j,k---^П А, j,кЫг+1/2, j,к---------------2h------- (і2 А, j,к Ы*-1/2, j,k------2h----
/ \ Vi, і+1, к Vi, і, к / \ Vi, і, к Vi, і - l,k
+ (q3 A-, j, kVi, і+1/2, л (q4 А, і, kVi, і-1/2, к
Vi, j,k+1 Vi, j,k / \ Vi, j,k Vi, j,k-1 __
+ (П5 A, jk Wi, jk+1/2 j j + (Пб A, jк Wi, j,к-1/2
2hZ WWi,л ^ 2hZ
/ / и Vi+l,jл -Vi,}Л / / и V*,}Л -Ум,}Л +
- wui,jk иг+1/2,іл h 2 vq2 Л,jk ^*i—1/2,jk h2 +
hx hx
, / \ Vi, j + 1, к Vi, і, к / \ Vi, j, к Vi, j-1, к ,
+ ІП3 A, j,k^i, j + 1/2,к T"2 \q4 A*, j,k^i, j-l/2,k T"2
hy hy
+ (з А,і,к -(П4 A,і,л )) ("1)г,і,к +
+ in / г ^j,k+1 Vi.j,k in / г Vi.j,k Vi.j,k-l
+ Vq5 A-,j,k±i,j,k+1/2 72 lq6 A-, j,k^i,j,k-1/2 72 ; (17)
hz hz
♦ для составляющей вектора скорости w*, k:
/ \ Wi,j,k - wi,j,k 1 \ Wi+l,j,k - Wi,j,k 1 \ Wi,j,k - Wi-l,j,k
(no A, j,k--------h----- (П1 )i,j,k Ыг+1/2,jk-------2h-------- (П2 A,j,k Ыг-1/2,j,k------—----------+
/ \ Wi', j +l,k - Wi, j,k / \ Wi, j,k - Wi, j-l,k
+ (q3 )i, j,k Vi, j +1/2,k 2h (П4 A, j,k Vi, j-1/2,k 2h
Wi,j,k+1 - Wi,j,k / A ^ Wi,j,k - Wi,jk-1 -
, I \ i,j,k+1 i,j,k . / \
+ (П5 A, ,,k Wi,j,k+1/2------------------------------^-+ (q6 A, jk Wi,jk-l, 2 2h
/ ) и Wi+l, j,k Wi, j,k / ) и Wi, j,k Wi-l, j,k +
- Vilk, j,k +1/2, j,k h2 vq2 A-, j,k -1/2, j,к h2 +
/ \ і+и - і,к І \ і, к - ™і, і-1,к ,
+ («3 А і Л, ;+1/2,к ,2 («4 А', І,кЧ і-1/2,к ,2 +
+ (<75 А, і,кй,і,
,і,к*і,і,к+1/2 '
^і, і,к+і- ^і, і,к
(«б А,і,к 5,і,к-1/2 "
+ ((71 )( -(«2А,і,к)(т1А,і,к + (70А,і,к^ .
(18)
♦ сеточными уравнениями для расчета поля давления:
(«1)/, і
Рі+1, і, к р, і,к
І,і,к к2х
-(«2 ); і
Рі, і,к Рі-1, і, к
ЛМ й2
+ («3 );
р, і+1,к Рі, і,к
',іМ к2
х "у
Р - Р Р - Р Р - Р
( \ І, і,к 1 і, і-1,к , / \ 1 і, і,к + 1 лі, і,к ( \ лі, і,к 1 і, і,к-1
- (74 А, і,к ,2 --------+ (75 А, і,к ,2----- ------(7б А, —------------------ -----
,і,к
(}’і,к (А,і,к -(«2А,і,к)----------().і,к -(«4А,і,к) =
Р
(«1-, і,к~і+1/2, і,к («2-,
кУ
(«з-, і,,
-, і,кИі+1/2, і, к («2-, і, к иі-1/2, і ,к + («3-, і,кМі, і+1/2,к («4-, і ,кМі, і-1/2,к +
(«-,і,к иі,і,к+1/2 («б-',к иі,і,к-У2
к
і,і,к (б-і,к )(Р,і,к Р„м)
/
♦ уравнениями для уточнения поля скоростей по давлению:
И; ; к - И;
к
Рі,і,к - Р-Л',і,к 2кхР
уі ,і,к- уі ,і,к
, і,к
к
Р -Р
(«0
мі',і,к - ^І,і,к
, і,к
кг
/ \ Ч+і^Чік І \ ^і, і,к -'і-1, і,к
' ^ і,к 2кхр (2 )г'-
Р -Р
^ Р,іД +(«4І
2куР
( ) Р,і,к+1 -Р,і,к + ( ) Р,і,к -Р,і,к-1
(«5), ід 2кр (б)іік 2кр
/і, і,к
2куР
V
где параметры: ш1, ш2 - «маски» граничных условии.
(20)
(21)
(22)
Л^с. 1. Поле вектора скоростей жидкости вид с боку сечение (хОг, у=1у/2)
у
у
+
2
2
к
к
X
к
к
к
X
У
Рис. 2. Поле вектора скоростей жидкости сечение (xOy, z=0)
Результаты численных экспериментов расчета движения водной среды, частично покрытой ледяной пластиной, на основе разработанных алгоритмов, представлены на рис. 1 и 2, где изображена динамика набегающего к пластине потока воды видом сверху - рис. 1, и видом с боку - рис. 2.
Расчеты производились на сетках размером: NxxNxxNx=30*30*30 с шагами по оси x, y, z, соответствующими hx=1, hy=1, hz=1, границы по простран ству lx= Nx
hx, ly= Nx hy, lz =Nx hz.
.
скоростей; приведена программная реализация математической модели для расчета полей скоростей водной среды; выполнен численный эксперимент, построены картины потока воды водоема при наличии на поверхности водоема надводного .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А А., Михайлов А.П. Математическо е моделирование: Идеи. Методы. Примеры. - М.: Физматлит, 2001. - 320 с.
2. Самарский А А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.
3. . . .
и современные информационные технологии. Сб. трудов VI Всероссийской научнопрактической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых. - Томск, 26-28 февраля 2008 г. - С. 484-485.
4. Тимофеева Е.Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной
функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107).
- С. 95-102. '
5. . ., . ., . .
// .
Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 22-32.
6. . .
судна // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 139-147.
. . ., . . .
Кандалфт Хекмат - Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: +79518316913; кафедра высшей математики; аспирант.
Hekmat Kandalft - Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79518316913; the department of higher mathematics; postgraduate student.
