Моделирование гидродинамических процессов при обтекании корпуса судна Текст научной статьи по специальности «Математика»

Sukhinov Alexander Ivanovich

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected]

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +78634310599.

The Head of TIT SFedU; Dr. of Phis.-Math. Sc.; Professor.

Ogurtsov Evgeny Sergeevich,

E-mail: [email protected].

Phone: +78634683076.

The Department of Higher Mathematics; Postgraduate Student.

Chistyakov Alexander Evgenjevich

E-mail: [email protected].

Phone: +78634371606.

The Department of Higher Mathematics; Assistant.

УДК 519.6

H.A. Фоменко

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИДРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ОБТЕКАНИИ КОРПУСА СУДНА

Рассмотрена модель движения жидкости, обтекающей корпус судна. Для построения данной математической модели использован метод поправки к давлению для задач , -.

двумерной математической модели волновых процессов жидкой среды. Программа предназначена для построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае нахождения на водной поверхности судна. Приведены результаты численных экспериментов.

; ; .

N.A. Fomenko MODELLING OF HYDRODYNAMICS PROCESSES AT THE FLOW OF CASE

OF THE VESSEL

In this paper, a mathematical model for simulation of fluid flowing around the vessel. For construction of the given mathematical model is used the amendment method to pressure for problems of wave dynamics, for reception conservative differential schemes is used integro-interpolation method. In work a program realization of the developed two-dimensional mathematical model of wave processes of the liquid environment is executed. The program is intended for construction of two-dimensional fields of speeds of movement of the water environment in case of a finding a vessel on water surfase. Computer realization of two-dimensional mathematical model of water medium moving has been presented.

Modeling of water medium; flow around the vessel; grid equations.

При движении судов в мелководных водоемах по судоходным каналам возникает движение водной среды, вызванное как движением самого корпуса, так и в результате действия гребного винта. Данные процессы в условиях мелководья приводят к подъему донных отложений и размыву стенок каналов, с одновременным отложением взмученной взвеси. Это, в свою очередь, приводит к нежелательному изменению геометрии дна канала, в частности изменению его глубины. Для прогнозирования процессов заиленья необходимо детально исследовать гидроди-, .

В силу сказанного, тема данной статьи является актуальной. И первым шагом на пути решения описанной проблемы, в данной работе, является построение численной модели обтекания водной среды корпуса жестко закрепленного судна.

Построение модели. В работе Тимофеевой. Е.Ф. была предложена непрерывная математическая модель, описывающая распространение поверхностных волн от начальных возмущений. Для случая теории мелкой воды с нелинейной функцией рельефа дна проведена схематизация задачи, на основе ко торой получено ее аналитическое решение [2]. В данной работе построена непрерывная и дискретная модель обтекания водной среды корпуса жестко закрепленного судна.

, , -ния, представлены на рис.1. Оси координат: Ох - направлена вправо, Оу - направ.

[1]:

♦ уравнения движения (Навье-Стокса):

и' + иих + пиг =-—Р'+ (цих )'х + (т[ X, (1)

р

w't + и^х + wW г = -—Р' + (м^'х )'х + (ЛК)'* + я; (2)

р

♦ уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости:

и х + ^ г = 0, (3)

где и, W - компоненты вектора скорости; Р - давление; § - ускорение свободного падения; М,Л - коэффициенты турбулентного обмена по горизонтали и верти.

г,,

Рис. 1

Система уравнений (1)-(3) рассматривается при следующих граничных условиях [1]:

♦ левая боковая граница (задается источник):

и(х,г,г) = и(г), м>(х,г,г) = м?(г), Р'п(х,г,г) = 0, при (х,г)є у,

♦ ( ):

ип(х,г,г) = 0, м?п(х,г,г) = 0, Р'п(х,г,г) = 0 при (х,г)є у;

♦ на дне водоема и нижней по верхности обтекаемой области:

и (я, г, г) = 0, w(x, г, г) = 0, Р'п (х, г, г) = 0при (х, г) е у;

♦ на верхней поверхности:

Р

ип (х, г, г) = 0, w(х, г, г) = —-, р(х, г, г) = 0 при (х, г) е у.

Р8

Для численной реализации дискретной математической модели поставленной задачи волновой гидродинамики покроем область прямоугольной сеткой:

а = а х о х о

х г г

о

О

Ог

: {х = гК, г = 0, Их -1, кх (Их -1) = 1Х},

: {гк = Щ , к = 0, - 1, кг (Мг - 1) = Iг } ,

: {гп = пк(, п = 0, Ыг,= 1г},

где г, к, п - индексы по координатным направлениям х, г,г; Их, - количество узлов; Нх, , Кг - шаги по координатным направлениям.

Аппроксимируем систему уравнений (1),(2) по временной переменной:

и 1

^и—и + ии хх + ^ =---------Р + (ри х Ух + (циг)[ , (4)

К р

+ и^х + ^ =--Р Р' + С^х Ух + (^WZ У г + 8. (5)

К Р

Для построения математической модели использован метод поправки к давлению, который является частным случаем метода маркеров и ячеек (МАС-метод, метод поправки к давлению, или его еще называют метод расщепления по физиче-) .

Расщепляя уравнения (4), (5) по физическим процессам, получим

и - и

+ ии х + wu = (ри) х + (ци ) г, (6)

К

w - w , -/ч/

—--------------------------------------+ UWx + WWг = (р ) х + (^г ) г + 8 , (7)

Кг

р" + р" =Р(и' + V ), (8)

хх уу к \ х у'

и - и 1

-------=--------Рх , (9)

кг Р

W - W 1

= — Р- (10)

К Р

Для получения консервативной разностной схемы использован интегро-. , -

:

Г: {

Т: {х Є

х. і; х.,і 1~ 2

, г Є

2к-і; 2к+±

, І Є [Іп; Іп+1]|.

(6),

и■ ■ - Ыі ■

——-КК + и--1/2, Л

иі, к Щ-1, к

К

+ иі+1/2,кК7.

иі+1, к иі, к

+

і иі, к иі, к-1 . і

+ Щ, к-1/2К--------- --------+ Щ, к+1/2К

2

иі, к+1 иі, к

2

/

А-

Ы+1, к иі, к

і+1/2,к

К

+

^і

иі ,к+1 Ы ,к

і ,к+1/2

Мі-1/2,к — Лі,к-1/2

иі, к иі—1, к

К

иі ,к иі ,к—1

V

К +

К.

1 Ч ,к-1/2 1

Кг Кг ,

Разделив полученное уравнение на кхкг, запишем конечно-р^ностную схе-(6):

иі,к иі,к . иі, к иі—1, к . иі+1, к иі, к ,

+ иі—1/2, к + иі+1/2, к +

К

2К

2К

иі, к иі, к—1 .

+ Щ ,к—1/2-------------------+ Щ ,к+1/2

иі,к+1 иі, к

2К

2К

М,

иі+1, к иі, к

і+1/2,к

К2

Мі—

иі, к иі—1, к

і—1/2,к

К2

+

и,- к+1 иг к иг к иг к-1

I /VI (Т1 I ^ /V «а £, /V £ , /V ±

'Чг ,к+1/2 К2 ' ,к-1/2 к2 '

г г

- (7):

Щ ,к — Щ ,к

К

Щ, к— Щ—1, к

і—1/2, к

2К

1-----Н Ы-

Щ + 1, к — Щ , к

і+1/2, к

2К

+

+

Щ, к — Щ, к—1

і, к—1/2

2К

+ щ..

Щ, к+1 — Щ, к

і, к+1/2

2К

М

Щ+1, к — Щ, к

і+1/2,к

К

Мі

Щ, к — Щ-—1, к

і—1/2,к

К2

+

_ Щ-,к+1 — Щ ,к „ Щ ,к — Щ ,к—1 +

,к+1/2-----------------------Ч,к—1/2-------------------------------+ 8.

К

К

Конечно-р^ностная схема для уравнений (9), (10) имеет вид

Щ, к - иг, к р+1/2, к - р-1/2, к

К Ркх

^, ] - ^, ] = р,к+1/2 - р,к-1/2

кг ркг

Выполнена программная реализация разработанной двумерной математической модели волновых процессов жидкой среды. Программа предназначена для

построения двумерных полей скоростей движения водной среды в случае нахож-

дения на водной поверхности судна. Программа составлена и реализована на языке С++. Проведен ряд численных экспериментов, которые позволяют выявить физические закономерности распределения волновых полей по расчетной области.

Алгоритм программы «Расчет движения водной среды при условии нахождения на водной поверхности жестко закрепленного судна»:

1° Начало работы программного компонента.

2° Выделение памяти под массивы и чтение входных данных.

3° Задаются заполненности ячеек и маски граничных условий в центральных

:

♦ верхняя стенка:

та$ки (р) = 1, та$кР (р) = 1;

:

та$ки (р) = 1, таъкр (р) = 4;

♦ левая стенка:

та$ки (р) = 0, таъкр (р) = 2;

♦ правая стенка:

та$ки (р) = 1, та$кР (р) = 1;

- нижняя стенка (поток отсутствует):

та$ки (р) = 0, таъкр (р) = 3.

4° Начало цикла по времени (цикл по 0.

5° .

Ниже показан алгоритм расчета коэффициентов сеточных уравнений. Для узлов (г,к): г = 1,Ых - 2, к = 1, N - 2 вычисляем номер узла, стоящего в центре шаблона: р = г + кМх.

Маска masku (р) может принимать два значения.

1. , р 1.

На первом шаге вычисляются номера узлов стоящих в окрестности шаблона:

д1 = р + 1, 0_2 = р - 1, Чз = р + Мх, 44 = р - Мх, 424 = р - Мх -1

На втором шаге вычисляются переменные т:

о( р) + 0(44) о( Ч2) + 0(424) о( р) + о(ч2)

т1 =-------2—^ т2=— 2—2^, тз =--------------------------------2—^,

т = 0( Ч4) + 0(Ч24) т = к1 + к2

т4 2 , т0 2 ,

где О - заполненность ячейки.

На третьем шаге вычисляются вспомогательные коэффициенты В(р,4) г = р:

В (р, 41) = В (p, 42) = В (P, 4з) =

В(р,44):

г и(41) + и(р) + М(41) + М(Р)Л

4Кх 2й_2 ,

ґ и (42) + и (р) + м(42) + М( Р)Л

V

4К

2К2 у

^ Щ(4з) + Щ(р) + М(4з) + М(Р)Л

4К

+

2К2

т^( р),

т( р),

Шз( р),

44) + Щ(р) , М(44) + М(р)Л

4К

+

2К2

Ш4( р).

На четвертом шаге вычисляются коэффициенты на предыдущем временном слое В( р, ) г = 6,9:

В( р, ) = (1 -а) В? (р, -5).

На пятом шаге вычисляются коэффициенты сеточного уравнения, стоящие в окрестности центра шаблона В( р, 41) г = 1,4:

В( р, 4) = аВ (р, Ч).

На шестом шаге вычисляется коэффициент уравнения, стоящий при цен:

т А( р) = ~Т + В( р, 4х) + В( р, 42) + В( р, 43) + В( р, 44) -К

\т,

2 — т1| м( р)^х |т4 — т3| м( р )ягг

К + К

а,

:

т,

В(р,45) = “Т- — (В(р,4б) + В(р,47) + В(р,48) + В(р,49)) + К

+

|т2 — т1| М( р )«* + |т4 — т3| м( р)

К

К

(1 — а).

На седьмом шаге вычисляем правые части:

(р)=К ~ т р( р)&+К - щ\р( т + в м р)+

К К

+В( р, 4б)и(41) + В( р, 47)ы(42) + В( р, 48)и(4з) + В( р, 49М44),

\тг - щ\м(р)Рх + \т4 - Шз|Др)@г ,

^ (Р) =]---------Т--------+-----------Г------- + В( Р, 45М Р) +

К К

+В (Р, 4б) ^) + В (Р, 4т) М 42) + В( Р, 4в) ю( 4з) + В (Р, д9) ^( ^4).

2. В случае, когда маска узла с номером Р равна 0.

А( р) = 1, В( Р, 4Х) = В( Р, 42) = В( Р, 43) = В( р, 44) = F ( р) = 0.

Результатом работы данной функции является расчет поля скорости без учета .

6° Расчет давления:

Первый и второй шаг совпадает с первым и вторым шагом 5°.

На третьем шаге вычисляются коэффициенты сеточного уравнения, стоящие

в окрестности центра шаблона В( р, 4) 1 = 1,4:

В(Р,41) = КЬ В(Р,42) = КЬ В(Р,4з) = КЪ В(Р,44) = КК..

КЛ КА КК КК

На четвертом шаге вычисляется коэффициент уравнения, стоящий при цен:

А(р) = В(р,41) + В(р,42) + В(р,43) + В(р,44) -лт2 -т\ах + |т4 -т3|аг Л

V

к к

На пятом шаге вычисляем правую часть:

|m2 -m1 В |m4 -m3| Вz

F (p) = '-2----------------3Ж±

К К

mi(u (p) + u (qi)) - m2(u (p) + u ^)) + m)(w( p) + w^)) - m4(w( p) + w^)) 2h 2 h

t V

Для случая, когда mask (p) = 2:

ґ

F (p) = F (p)-f h

(m2 - m1)u(p) і (m4 - m3)w(p)

Для случая, когда mask (p) = 4:

m - m4 m - m

A(p) = A(p) і1 7 7 24 , F(p) = F(p) і P(p)

Kgh Kgh

Для случая, когда mask (p) = 0:

A( p) = A( p) 11.

Результатом работы данной функции является поле давления.

7о .

5о.

Далее производится уточнение скорости по давлению для mask (p) = 1:

u (p) = u (p) -w(p) = w(p) -

h

m0P

h

r mi( P(qi) - P( p)) + m2( P( p) - P(q2))Л

V 2hx 2hx ,

^ m3 ( p q) - p( p)) + шд p( p) - P(q4))л

m0P

V

2h,

2h,

у

8° Вывод данных полей скорости и давления в текстовые файлы.

9° Наращивание времени.

10° Если время меньше, чем время выхода из цикла, то возвращаемся в пункт 2°. 11° Конец работы программы «Расчёт движения водной среды при условии нахождения на водной поверхности жестко закрепленного судна».

Результаты численных экспериментов для расчета математической модели

. 2.

Рис. 2. Результаты численного моделирования

Выводы. В работе разработана непрерывная модель гидродинамических процессов при обтекании корпуса судна. Выполнена программная реализация двумерной математической модели гидродинамических процессов жидкой среды с учетом нахождения на поверхности жидкости жестко закрепленного надводного .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК

1. Сух иное А. И., Чистяков А. Е., Алексеенко Е. В. Численная реалнза цня трехмерной модели гидродинамики для мелководных водоемов на супервычислительной системе // Матем. моделирование. - 2011. - № 23:3. - С. 3-21.

2. Тимофеева. Е.Ф. Математическая модель движения волн для водоема с нелинейной функцией рельефа дна // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2010. - № 6 (107). - С. 95-102.

3. . .

// . . - 2010. - 6 (107). - . 21-30.

Статью рекомендовал к опубликованию к.ф.-м.н., доцент О.А. Савицкий. Фоменко Наталья Алексеевна

Технологический институт федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.

E-mail: [email protected].

347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.

.: +79034855580.

.

Fomenko Natalya Alexeevna

Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.

E-mail: [email protected].

44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.

Phone: +79034855580.

Postgraduate Student

УДК 551.466

И.Б. Аббасов, A.B. Неверов

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕФРАКЦИИ НЕЛИНЕЙНЫХ ПОВЕРХНОСТНЫХ ГРАВИТАЦИОННЫХ ВОЛН НА ОСНОВЕ УРАВНЕНИЯ МЕЛКОЙ ВОДЫ

Рассматриваются вопросы численного моделирования рефракции нелинейных поверхностных гравитационных волн на мелководье. Дискретная модель построена на основе нелинейных уравнений мелкой воды. Приведены граничные и начальные условия. Методом расщепления по физическим процессам получена система из трех уравнений. Определен порядок аппроксимации, исследованы условия устойчивости дискретной модели. Для расчета системы уравнений использован метод прогонки. Линии дна смоделированы на основе графиков степенных функций. Представлена трансформация профиля поверхностных гравитационных волн при подходе к берегу.

Численное моделирование уравнения мелкой воды; нелинейные поверхностные грави-; ; .

I.B. Abbasov, A.A. Neverov

NUMERICAL SIMULATION REFRACTION OF NONLINEAR SURFACE GRAVITY WAVES ON THE BASIS OF SHALLOW WATER EQUATION

This work considers the problems of numerical simulation of refraction of nonlinear surface gravity waves under shallow bay conditions. The discrete model is based on shallow-water nonlinear equations. Are resulted boundary and initial conditions. The method of splitting into physical processes receives system from three equations. Then we define the approximation order and investigate stability conditions of the discrete model. The sweep method was used to calculate the system of equations. Bottom lines are simulated on the basis of schedules of sedate functions. Transformation of profile surface gravity waves is presented at the approach to coast.

Numerical simulation of shallow-water equation; nonlinear surface gravity waves; refraction; profile transformation.

Нелинейные поверхностные гравитационные волны в условиях мелководья описываются уравнениями мелкой воды. Актуальным остается вопрос исследования волновых явлений на поверхности мелководных акваторий для учета их влия-