Моделирование распространения морских волн на мелководье и возможность их фокусировки Текст научной статьи по специальности «Математика»

13. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е., Семенов И.С. Математическое моделирование условий формирования заморов в мелководных водоемах на многопроцессорной вычислительной системе // Вычислительные методы и программирование. - 2013. - Т. 14.- С. 103-112.

14. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е. Восстановление качества вод Азовского моря с помощью численного моделирования // Труды международной науч.-практ. конференции «Преобразование Таганрога - ключ к возрождению России», 29-30 января 2013 г. - С. 135-137.

15. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Фоменко Н.А. Применение адаптивного модифицированного попеременно-треугольного итерационного метода для численной реализации двумерной математической модели движения водной среды // Электронный научно-инновационный журнал "Инженерный вестник Дона". - 2012. - C. 4.

16. Никитина А.В., Чистяков А.Е., Семенов И.С. Расчет распространения токсичной водоросли в Азовском море на вычислительной системе с использованием многопоточности в среде Windows. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ: N 2012614681 от 25.05.2012.

17. Сухинов А.И., Никитина А.В., Семенов И.С. Расчет для модели взаимодействующих фитопланктонных популяций в Азовском море на вычислительной системе с использованием базы экспедиционных данных. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ: N 2012614678 от 25.05.2012.

18. Сухинов А.И., Никитина А.В., Семенов И.С. Расчет для модели взаимодействия планктона и промысловых рыб в мелководном водоеме на вычислительной системе с использованием библиотеки программ эффективного решения сеточных уравнений. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ: N 2012614677 от 25.05.2012.

19. Сухинов А.И., Никитина А.В., Чистяков А.Е., Царевский В.В., Фоменко Н.А. Программный комплекс решения сеточных уравнений для трехмерных задач диффузии-конвекции-реакции итерационными методами. Зарегистрирован в Реестре программ для ЭВМ: N 2012614680 от 25.05.2012.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Никитина Алла Валерьевна - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.; 89515168538; кафедра высшей математики; к. ф.-м. н.; доцент.

Семенов Илья Сергеевич - e-mail: [email protected]; тел.: 89085029807; кафедра высшей математики; аспирант.

Nikitina Alla Valervevna - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovsky, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79515168538; the department of higher mathematics; cand. of pthis.-math. sc. associate professor.

Semenov Ilya Sergeevich - e-mail: [email protected]; phone: +79085029807; the department of higher mathematics; postgraduate student.

УДК 532.5.031

Н.А. Фоменко

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ МОРСКИХ ВОЛН НА МЕЛКОВОДЬЕ И ВОЗМОЖНОСТЬ ИХ ФОКУСИРОВКИ

Цель данной работы заключается в разработке двумерной математической модели волновой гидродинамики, учитывающей геометрию рельефа дна и функцию возвышения уровня. Дискретизация задачи по временному координатному направлению выполнена на основе метода поправки к давлению. Для аппроксимации систем уравнений по пространст-

венным координатам применен интегроинтерполяционный метод, при этом учитывалась заполненность контрольных ячеек. В качестве метода решения сеточных уравнений был использован адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа. Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых процессов в мелководных водоемах. Приведены результаты численных экспериментов, которые демонстрируют влияние геометрии дна на профиль волны, а также возможность придания плоскому профилю волны параболической формы. Результаты численных экспериментов также демонстрируют возможность фокусировки морских волн. Разработанный комплекс программ позволяет определить месторасположение точки фокусировки волны, зависящей от рельефа дна.

Математическая модель; система уравнений Навье-Стокса; заполненность; волновые гидродинамические процессы; рельеф дна; фокусировка волны.

N.A. Fomenko

MODELING OF PROPAGATION OF SEA WAVES IN SHALLOW BASSINS AND THE POSSIBILITY OF THEIR FOCUS

The aim of this work is to develop a two-dimensional mathematical model of wave hydrodynamics, taking into account the geometry of the topography and function of the elevation level. The problem is discretized on a temporary coordinate direction is made on the basis of the amendments to the press. To approximate the systems of equations in the spatial coordinates used integro-interpolation method, it takes into account the occupancy control cells. As a method for solving difference equations was used adaptive modified alternating triangular iterative method of variational type. Developed a program designed to model the propagation of wave processes in shallow waters. Numerical results are presented which demonstrate the influence of geometry on the bottom of the wave profile, as well as the possibility of making a flat wave profile of parabolic shape. Numerical results also demonstrate the possibility of focusing the waves. Developed software to determine the location of the point of focus the waves depends on the topography of the bottom.

Mathematical model; the system of Navier-Stokes equations; the occupancy; the wave hy-drodynamic processes; bottom topography; focusing waves.

Работа посвящена моделированию распространения волновых гидродинамических процессов на мелководье, при этом учитывается рельеф дна и функция возвышения уровня. Изучение процессов, происходящих в мелководных водоемах, связано с анализом влияния на береговую зону и различного вида конструкции волн, приходящих как из открытого моря, так и генерируемых в самой прибрежной акватории. Одним из негативных факторов, влияющих на эксплуатацию побережья, различного рода береговых сооружений и инженерного оборудования вблизи портов, является абразия, представляющая собой процесс разрушения в результате воздействия волн и прибоя. Непрерывное движение водной среды также приводит к необратимым последствиям, таким как изменение рельефа дна, которое происходит в результате подъема и переноса донных отложений. Таким образом, задача защиты инфраструктуры побережья является важной и актуальной. Прибрежные районы морей характеризуются мелководностью, поэтому исследование волновых процессов в данных районах осложняется тем, что волны во многом подвержены влиянию рельефа дна. В связи с этим возникает необходимость в построении математических моделей, учитывающих особенности рельефа дна прибрежной акватории и наличие различных береговых сооружений. Волны оказывают значительное воздействие на прибрежные конструкции, а также на динамику процессов образования берега и изменения рельефа дна.

Постановка задачи. Для построения двумерной математической модели движения водной среды необходимо воспользоваться трехмерной гидростатической моделью [1], исходными уравнениями которой являются:

- система уравнений Навье-Стокса [2]

1 ' ' '

и' + ии'х + УЫу + ки'г =--Р'х+{^/м'х ) + (иУ ) +{ли[ )г ,

1 ; ; ;

у;+ш'х+уу;+= ~-р;+и ) + (и; )у + (V); (1)

- уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

и'х + у; + = 0; (2)

- уравнение гидростатики [3-4]

Р = р% ( + £). (3)

Система уравнений (1)-(2) рассматривается при следующих граничных условиях:

- на дне условие непроницаемости и трения:

р^и'п =т1шЬ (1 X р^'п =тушЬ (гх V = 0 ;

- на поверхности задается подъем уровня и ветровые напряжения:

рпи'п =-тх,Р 0X рщ'п =-ъу,Р 0X к = -£;

- на боковых границах условие свободного выхода:

и'п = 0, уП = 0, £ = 0,

где £ - функция подъема уровня (функция возвышения); V = {и, у, и} - вектор скорости движения водной среды; Р - давление; и , V - коэффициенты турбулентного обмена по горизонтальному и вертикальному направлениям соответственно; g - ускорение свободного падения; р - плотность жидкости; тх,т - тангенциальное напряжение на дне жидкости.

Построение двумерной математической модели гидродинамических процессов. Исследуемая область вписана в прямоугольник. На первом этапе моделирования покроем расчетную область равномерной прямоугольной сеткой

m = mt хщ xrny:

щ = {tn = nht,0 < n < Nt -1, lt = ht (Nt-1)}, mx = {x = ih ,0 < i < Nx -1,lx = h (Nx -1)},

щ

= {у, = ]ку ,0 < ] < Му -1,1; = Ну (у -1)},

где п, I, ] - индексы по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, О; соответственно; Н,, Нх, Ну - шаги по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, О; соответственно; М,, Nх, Му - количество узлов по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, О; соответственно; I,, 1х, 1у - длина расчетной

области по временной координате и пространственным координатным направлениям Ох, Оу соответственно.

Интегрируя уравнение (2) по глубине, получим:

( Н

| (( + / + wг/ = | и[¿г + | + | wг/¿г = — | пйг

ду

}у<Ь. + п(Н)-п(—%) = % + ( + %)и+ ((Н + )'у.

ч—%

В итоге уравнение неразрывности в гидростатическом случае запишется в

виде

%+((Н + %и +((Н + ф)' у = 0.

(4)

Система уравнений Навье-Стокса (1) с учетом гидростатического приближения (3) в случае несжимаемой жидкости (2) запишется следующим образом:

/ ' /

и,+(ш) + (ш)у +(пи) =-8% +(мК ) + (ииу )у + (ли[)1 ,

/ > / + /х + )'у + /г = - 8% + ^ )х + )у + (ЛУ[ )г .

Интегрируя по глубине первое уравнение системы, получим:

Н Н Н Н

| и'(ёг + | (ии) йг + | (уи) уёг + | (пи) г йг =

Н

Н

(5)

= —81 + | (ииХ )х ¿г + | (ми'у )у ¿г + | (щ[ ) ¿г.

Аналогичным образом поступаем со вторым уравнением системы.

После вычисления интегралов система уравнений (1) может быть записана в следующем виде:

(Н + +(Н +%)ии'х +(Н +%уи'у = = —8 (Н + $) +((Н + %)иК)) +((Н + %)Циу )) —-^ ,

(Н +(Н +%иу'х +(Н +%уу'у =

= — 8 (Н +%К+((Н + £)&)', +((Н + %)и'у)' у +—- — .

(6)

Система уравнений (4), (6) представляет собой двумерную гидродинамическую модель, учитывающую геометрию и покрытие пространственной координаты. Рассмотрим полученную систему уравнений при следующих граничных условиях:

- на входной границе задается поток:

и = и, V = V, £= 0;

- на остальных боковых границах условие свободного выхода:

ип= 0, <= 0, %= 0.

Будем считать, что в начальный момент времени жидкость находится в невозмущенном состоянии, и тогда в качестве начального условия для системы уравнений (6) можно использовать следующее выражение:

и = 0, V = 0, % = 0.

Преимуществом разработанной двумерной модели по сравнению с исходной гидростатической трехмерной моделью является меньшая вычислительная трудоемкость. К недостаткам можно отнести меньшую точность.

Применение схем расщепления по физическим процессам для задач гидродинамики. Для математического моделирования движения водной среды будем использовать двумерную моделью, представленную уравнениями (6), (4). Аппроксимируя систему уравнений (6) по временному направлению, получим:

п+1 п

(н + + (Н + £)ии'х + (Н + £)и'у =

= -8 (н+ ££+((Н+£)иих )+((Н+£) ии;))+р-р ,

(Н+(Н+£иу;+(н+фу; =

= -8 (Н + £К+((Н + £) их );х +((Н + £) и; )\ +р-р . (7)

I 'у

Применим схемы расщепления по физическим процессам к системе уравнений (7) [1, 5-6]. Решения исходной задачи первоначально найдем на неком промежуточном временном слое:

п+а п

(Н+(Н+£ии;+{Н+фи; =

=((Н+£)ии х );х+((Н+£)ии;);;+р-р,

(Н + + (Н + £иу'х + (Н + =

=((Н+£)иу;)'х+((Н+£ и;);;+р -р, (8)

а затем на следующем

n+1 n+ &

u — u

(H + £) , =- я (H + {)£,

ht

vn+1 - vn+CT

(H + i)v ^ =-g (H + $)%. (9)

t

Вычислим функцию возвышения уровня, продифференцировав первое уравнение системы (9) по переменной х , второе по у , и сложим полученные выражения:

((Н + £ип+1 );х-((Н + £ип+°1 ((Н + £уп+1)' -((Н + £У+°1

Н Н

= -8 ((Н + £)£х )х-8 ((Н + £)£;))

Подставим в полученное выражение уравнение неразрывности поля вектора скорости (2):

Н ((Н + -Н ((Н + ££)'; =

= -8 ((Н + £ип+°)х-8 ((Н + £уп+°)' . (10)

Система уравнений (8)—(10) решается в несколько этапов:

♦ находим поле скорости на промежуточном временном шаге (8);

♦ вычисляем функцию возвышения уровня водной среды (10);

♦ уточняем поле скорости (9).

Данный способ численного решения задач гидродинамики, при котором вначале находится поле скорости без учета давления (функции возвышения уровня), затем рассчитывается давление, после чего уточняется поле скорости по давлению, носит название метод поправки к давлению.

Дискретная математическая модель гидродинамики. Используем метод баланса [7] для построения конечно-разностных схем.

Дискретные аналоги операторов конвективного исх и диффузионного

(&сх) переноса при частичной заполненности ячеек в случае граничных условий третьего рода

сп (x, ^ z, г) = апс + Рп

могут быть записаны в следующем виде [8]:

с — с

' I \ 1+1, 1 1, 1 исх = (Чх ; и1+1/2,1 -

2к

(Ч2 )и '

(&СХ )'х - (1 &

С, 1 — С—х, 1 2\

с ,■ — с

+1/2,1

С — С

+1,1 "ч 1 / \ -1,1 -72--(Ч2 )1,1 &—

1,1

к2

(Ч1 )1,1 —(Ч2 )1,

&,1

ахСЦ + Рх

К

где чт, т = 0...4 - коэффициенты, описывающие заполненность контрольных ячеек. Дискретный аналог первого уравнения системы (8) имеет вид

(Ч0 ),1 + ^ + (ч )1,1 (/^ + ^ )иП

ип+л ■ — ип+х

1+l, 1 и 1

+1/2,1

+ (Ч2 + (Чз

+ (Ч4

= (Ч1

— (Ч2 + (Чз

— (Ч4

1,1 (Н1—1/2,1

1/2,1 / 1 —1/2,./

1, 1 (Н1,1 + 1/2 + 5,1 + 1/2 ')ип1 + 1/2

1 (Н1,1—1/2 + 5,1—1/2 )и!,1—1/2 ;, 1 (+1/2,1 + 5+1/2,1 )&1 +1/2,1

и"+Л — и

2К

п+X п+X

и;,1+1 — Щ,1

2к,

ип+х — ип+— 1, 1 1—1

2к,

— ип+Х

1,1 (Н—1/2,1

1/2, ,1' )&-1/2,1

1,1 (Н1,1+1/2 + 51,1 +1/2 )&, 1 +

и"+Х — и^

ип++ — ип+х 1+1 ¡, 1

1 (Н1,1—1/2 + 5,1—1/2 )&, 1—1/2

п+Х п+Х

и. . — и. . ,

1 1—1

2К

+ (Ч0У ^— ^

Р Р

где и1 = +(1 — '^)ип1], &е [0,1] - вес схемы [9-10].

(11)

X

У

У

Аппроксимация уравнения (10) имеет вид

+1 -£П £п+1 -£п+1

(«0 ),, ^^^ -Н (Я1 )и (+1„, + +

pn+1 - Sn+1 en+1 - Sn+1

p', j s -1, j i„ t„\ I и , £n J+1 4 j

+h (42 )- ((-1/2,j + Sn-1/2,j ) ~hr-1,j - h (q3 )i,j j+1/2 + pj+1/2 )) h2

x

pn+1 - sn+1

+h (44 )- ((-1/2 + C1/2 ) g'"J -1

hl

(H.+1/2 . + pn+1/2 .)un++a . -(h. . + pn.)un

/ \ \ i+1/2,j +1/2,j I i+1/2,J \ i,J 5i, J I i,

= -g (41 —-

n+ a j

hx

-g (42 L-

к

- g (q ) (Hi,j +1/2 + Pn j+1/2 )/2 -(Hi,j +Sj )v

n+a j

h

y

( ) (Hi,j + S j ) + (H -1/2 + S" j -1/2 )+0, +

-g (44 )i, j -h-+

y

+ (( ) ( ) )+sj)(+a-uu)+

+ g (2 )i,j -(q1 )i,j )-h-+

x

, Ah.. + s. )(vn+a-v..) +g ((44 )i,j - (43 )i,j) ',J g',J[[',J-- , (12)

где и, V- компоненты вектора скорости на источнике.

Аппроксимация первого уравнения системы (9) примет вид

n+1 . n+a

u"T1 - u"+" pn+1 - pn+1

(40 )i,J (H,J + Sj )~-T- = -g (41 )i,J (H++1/2,1 + Pn+1/2,j ))^

x

'Zn+1 £T"+1

-8 («2 ), ( +£"-1/2. . (13)

Таким образом, строится дискретная модель гидродинамики. Для решения полученных сеточных уравнений был применен модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод вариационного типа [7, 11-12].

Результаты численных экспериментов. На основе построенных алгоритмов был разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования распространения волновых процессов в мелководных водоемах. На рис. 1 представлены результаты работы комплекса программ.

Из рис. 1 видно, что при распространении волновых процессов на мелководье структура дна влияет на горизонтальный профиль волны. Также из рис. 1 видно, что профиль волны приобретает параболическую форму, что приводит к фокусировке волны. Актуальность разработки приборов, предназначенных для преобразования энергии гидродинамических волновых процессов в электрическую энергию, не вызывает сомнений. Данной тематике посвящен ряд научных работ, например, данным исследованием активно занимаются сотрудники Института океанологии РАН им. П.П. Ширшова [13].

Рис. 1. Результаты моделирования распространения волновых процессов

Устройство, использующее энергию вертикального движения поплавка, носит название волновой насос и может получать электроэнергию. На рис. 2 представлен принцип работы волнового насоса.

На рис. 3-5 представлены результаты математического моделирования волновых процессов и показана возможность фокусировки морских волн. На рис. 3 показана динамика изменения функции возвышения уровня, зависящая от рельефа дна.

Рис. 3. Функция возвышения уровня, зависящая от рельефа дна

Из рис. 3 видно, что при распространении волновых процессов фронт волны приобретает параболическую форму, за счет формы дна водоема, а затем происходит фокусировка волны. На рис. 4 палитрой показана функция возвышения уровня и поле скорости движения водной среды.

Рис. 4. Функция возвышения уровня

На рис. 4 прямоугольником выделена область фокусировки. На рис. 5 приведена функция возвышения уровня, а также ее максимальные и минимальные значения.

Рис. 5. Минимальные и максимальные значения функции возвышения

Из приведенных рисунков видна возможность фокусировки морских волн. Разработанный комплекс программ позволяет определить месторасположение точки фокусировки волны, зависящей от рельефа дна.

Выводы. Разработанная модель и ее программная реализация позволяют достаточно точно определять месторасположение точки фокусировки волны. Полученные результаты могут быть использованы при установке приборов, преобразующих волновую энергию в электрическую.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Чистяков А.Е. Трехмерная модель движения водной среды в Азовском море с учетом транспорта солей и тепла // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - С. 75-82.

2. Ландау Л.Д., Лифшиц В.М. Гидродинамика. - М.: Наука, 1988. - 733 с.

3. Вольцингер Н.Е., Пясковский Р.В. Основные океанологические задачи теории мелкой воды. - Л.: Гидрометеоиздат, 1968.

4. Чикин А.Л. Трехмерная задача расчета гидродинамики Азовского моря // Матем. моделирование. - 2001. - № 13:2. - С. 86-92.

5. МарчукГ.И. Методы расщепления. - М.: Наука, 1989.

6. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Тимофеева Е.Ф., Шишеня А.В. Математическая модель расчета прибрежных волновых процессов // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 8. - С. 32-44.

7. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы расщепления для задач математической физики. - М.: Наука, 1999. - 319 с.

8. Сухинов А.И., Тимофеева Е.Ф., Чистяков А.Е. Построение и исследование дискретной математической модели расчета прибрежных волновых процессов // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2011. - № 8 (121). - С. 22-32.

9. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989.

10. Сухинов А.И., Чистяков А.Е., Бондаренко Ю.С. Оценка погрешности решения уравнения диффузии на основе схем с весами // Известия ЮФУ. Технические науки - 2011. - № 8 (121). - С. 6-13.

11. Коновалов А.Н. К теории попеременно-треугольного итерационного метода // Сибирский математический журнал. - 2002. - № 43:3. - С. 552-572.

12. Сухинов А.И., Чистяков А.Е. Адаптивный модифицированный попеременно-треугольный итерационный метод для решения сеточных уравнений с несамосопряженным оператором // Математическое моделирование. - 2012. - Т. 24, № 1. - С. 3-21.

13. Горлов А.А., Серых В.Я. Преобразователи энергии волнения для средств океанологических измерений // Современные методы и средства океанологических исследований: Материалы XII Междунар. науч.-техн. конференции «МС0И-2011»: В 2 т. - М.: АПР, 2011. - Т. 1. - С. 35-39.

Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н., профессор Я.Е. Ромм.

Фоменко Наталья Алексеевна - Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Южный федеральный университет»; e-mail: [email protected]; 347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44; тел.: 89034855580; кафедра высшей математики; аспирантка.

Fomenko Natalya Alexeevna - Federal State-Owned Autonomy Educational Establishment of Higher Vocational Education "Southern Federal University"; e-mail: [email protected]; 44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia; phone: +79034855580; the department of higher mathematics; postgraduate student.

УДК 519.6

В.С. Васильев

СХОДИМОСТЬ ИТЕРАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В МОДЕЛЯХ ВЕТРОВЫХ ВОЛНЕНИЙ И ПРИЛИВНЫХ ЯВЛЕНИЙ*

Рассматривается модель ветровых волнений и приливных явлений. Модель состоит из двух нелинейных уравнений в частных производных для поля амплитуд и поля фаз гармонических пульсаций ветрового или гравитационного возмущений. Модель отличается от существующих моделей введением переменной, не имеющей неопределённости в точках нулевой амплитуды. На примере случая однородного воздействия с линейным запаздыванием фазы получены оценки для нормы решения. Данные оценки используются для доказательства сходимости процессов установления решений и для получения ограничений на итерационные параметры. Результаты, с одной стороны, полностью подтверждаются практикой численного моделирования, а с другой стороны, объясняют наблюдающиеся при моделировании эффекты.

Математическое моделирование; нелинейные уравнения в частных производных; вычислительная гидродинамика; сходимость итерационных процессов; котидальная карта.

* Работа поддержана грантом РФФИ № 13-01-00530А_2013.