Трехбазисные квазигруппы с обобщенным тождеством Уорда Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА

2008 Теоретические основы прикладной дискретной математики № 1(1)

УДК 512.816+512.548.7

ТРЕХБАЗИСНЫЕ КВАЗИГРУППЫ С ОБОБЩЕННЫМ ТОЖДЕСТВОМ УОРДА

В.А. Кыров

Горно-Алтайский государственный университет E-mail: [email protected]

В данной работе изучается трехбазисная частичная квазигруппа с обобщенным тождеством Уорда. Доказывается, что эта квазигруппа является феноменологически симметричной. Изучаются феноменологически симметричные подквазигруппы.

Ключевые слова: квазигруппа, тождество Уорда, трехбазисная квазигруппа с обобщенным тождеством Уорда, трехбазисная феноменологически симметричная квазигруппа.

Как известно, квазигруппой Уорда называется квазигруппа (C,°) с тождеством Уорда [1]:

(a°b)°(c°b) = (a°c),

где ° - бинарная операция; a, b, с - произвольные элементы множества C. В теории квазигрупп доказывается, что любая квазигруппа Уорда изотопна некоторой группе. В данной работе изучаются трехбазисные частичные квазигруппы с тождеством, обобщающим тождество Уорда, и устанавливается связь таких квазигрупп с физическими структурами. Квазигрупповая терминология приводится по монографии [2].

1. Трехбазисная квазигруппа с обобщенным тождеством Уорда

Пусть B - некоторое множество, а Ов” с Bn - некоторое подмножество.

Определение 1. Трехбазисной квазигруппой с обобщенным тождеством Уорда называется частичная трехбазисная квазигруппа (B, Ов”, B, ф) с отображением ф: B*QBn — B и системой аксиом К1 - К3.

К1. V <xi, ..., x„>, <bi, ..., b„> £ О/ 3 ! у е Q/: ф(хк,у) = bk, к = 1, ..., п.

К2. V у е Ов” V b е Ов 3 ! x е B: ф(х, y) = b, где Ов с B.

Построим два вспомогательных отображения: Fz: Ов” — Ов”, z = <z1, ..., zn> е Овп: Fz(y) = (ф^1у), ..., ф(zny)), у е Овп, и Fw: B——B, w е Ов: Fw(x) = ф(х^), x е B. Из аксиом К1 и К2 следует биективность построенных отображений.

К3. Обобщенное тождество Уорда:

ф ^(x, ai, ., an), ф(у1, ai, ., an), ., ф(Уп, ai, ., an)) = ф(x, yi, ., yn), (1)

где <yi, ...,yn>, < ai, ..., an> е Ов”, xеB.

По трехбазисной квазигруппе с обобщенным тождеством Уорда (B, Ов”, B, ф) можно построить квазигруппу Уорда (Ов”, р) с бинарной операцией

p(X, Y) = (ф(xl, yi, ., yn), ., ф(xn, yi, ., yn)), где X = < xi, ., xn>, Y = <yi, ., yn> е Ов”. Аксиомы квазигруппы (Ов”, р) следуют из К1 - К3, причем тождество Уорда имеет вид

P(P(X, A), p(Y, A)) = р(Х, Y). (2)

Теорема 1. Квазигруппа Уорда (Ов”, р) изотопна группе (Ов”, •) с бинарной операцией X-Y = р(Х, 0(Y)), где 0(A) = р(Е, A), р(А, A) = Е.

Доказательство. Сначала в тождестве (2) положим Y = A, тогда р(р(Х, A), p(A, A)) = р(Х, A). Так как точки A и X произвольные, то по свойству однозначной разрешимости уравнений квазигруппы p(A, A) = Е, следовательно, p(A, Е) = A. Обозначим 0(A) = р(Е, A) (из определения квазигруппы следует биективность этого отображения). Несложно также доказать, что р(Е, p(X, A)) = p(A, X), 0(0(X)) = X. Рассмотрим теперь квазигруппу, изотопную квазигруппе Уорда с бинарной операцией X-Y = p(X, 0(Y)). Однозначная разрешимость для новой операции очевидна.

Лемма. Квазигруппа (Ов”, •) является лупой с единицей Е.

Действительно, X-Е = p(X, 0(Е)) = <0(Е) = Е> = X; Е-Y = р(Е, 0(Y)) = 0(0(X)) = X ■

Докажем ассоциативность. Рассмотрим тождественное равенство

(X-A)^0(Y-A) = X-0(Y), (*)

которое вытекает из (2). Очевидно, X-Y = p(X, 0(Y)) = р(Е, p(0(Y), X)) = р(Е, 0(Y^0(XO = 0(0(Y)^0(X)). Полагая в

тождестве (*) Y = Е и пользуясь выше доказанной леммой, имеем (X-A)-0(A) = X. Тогда в тождестве (*) берем

A = Z, Y-A = 0(U). Заметим, что (Y-A)-0(A) = 0(U)-0(A) = Y. Элементарные расчеты дают ассоциативность (X-Z)-U = X(Z-U). ■

Докажем некоторые свойства трехбазисной квазигруппы с обобщенным тождеством Уорда.

Теорема 2. Справедливы следующие свойства трехбазисной квазигруппы (В, Овп, В, ф) с обобщенным тождеством Уорда (1):

1) ф( а\, а1, ..., ап) = в\, ..., ф( ап, а1, ..., ап) = еп, V А = < аь ..., ап>є Овп, Е = < еь ..., еп>є Овп - постоянная точка;

2) ф(х, еі, ..., еп) = х;

3) ф(еі, аі, ., ап) = 0і(аі, ., ап), ., ф (еп, аі, ., ап) = 0п(аі, ., ап);

4) ф(еі, 0і(аі, ., ап), ., 0п(аі, ., ап)) = аі, ., ф(еп, 0і(аі, ., ап), ., 0п(аі, ап)) = ап.

Доказательство. Воспользуемся связью трехбазисной квазигруппы (В, Овп, В, ф) с квазигруппой Уорда

(Овп, р). Тогда свойства 1 - 4 будут результатом покомпонентной записи соответствующих свойств квазигруппы (Овп, р). Другими словами, 1 - это покомпонентная запись равенства р(А, А) = Е, 2 - соответственно тождества р(А, Е) = А, 3 - равенства р(Е, А) = 0(А) и, наконец, 4 - тождества 0(0(Х)) = X. ■

2. Трехбазисная феноменологически симметричная квазигруппа ранга (и+1, 2) и ее связь с трехбазисной квазигруппой с обобщенным тождеством Уорда

Рассмотрим три множества Ы, Ы, В и отображение / ЫхЫ ^ В, называемое метрическим. Пусть выполняются аксиомы [2].

А1. V <ь ..., гп> є Омп V <Ьь ..., Ъп> є Овп 3 ! а є Ы: /(іка ) = Ьк, к = 1, ..., п, где Омп с Ып и Овп с Вп.

А2. V а є О^ V Ь є В 3 ! і є Ы: /(іа ) = Ь, где О^ с Ы.

А3. V <г0, іі, ..., іп> є Ы*Омп V <а0, а1 > є ЫхО^ существует связь

/00 = /11, ■■■,/пЪ/10, ■■■,/n0),

где/тп /( іт,ап).

Построим два вспомогательных отображения: Гу. Ы ^ Овп, у = </1, ..., уп> є Омп, с явным видом

Г(а) = (/(Да), ..., /(/па)), и Гу: Ы ^ В, ує О^: Гу(г) = /(/у). Из аксиом А1 и А2 следует биективность этих

отображений.

Определение 2. Говорят, что на множествах Ы, Ы, В с метрическим отображением / Ы*Ы ^ В задана физическая структура ранга (п+1, 2), если выполняются аксиомы А1 - А3.

Из аксиом А1, А2 также следует, что на множествах Ы, Ы, В определена частичная трехбазисная квазигруппа с операцией /. По аксиоме А3 это специальная трехбазисная квазигруппа, которую будем называть феноменологически симметричной ранга (п+1, 2) и обозначать (Ы, Ы, В, /).

Обозначим х = /(¿у),уі = /(/Ча), ...,уп = /(/па). Тогда метрическое отображение можно переписать так:

/(іа) =/(ГЛ(x), ^/Уь ., .Уп)) = 7(х .Уь ., .Уп).

Построенное отображение 7 : ВхОвп ^ В, очевидно, удовлетворяет таким аксиомам:

Б1. V <хі, ..., хп>, <Ьі, ..., Ьп> є О/ 3 ! .у є В: 7 (хку) = Ьк, к = 1, ..., п.

Б2. V .у є Овп V Ь є Ов 3 ! х є В: 7 (х, .у) = Ь.

Б3. V <х0, х1, ..., хп>єВхОвп V <г0, г1 >є Овп х Овп существует связь

7 00 = ё( 7 0Ъ 7 11,■■■, 7 пі, 7 10^7 п0^

где Т/ = 7 (х» У

Таким образом, отображение 7 задает физическую структуру ранга (п+1, 2). Другими словами, определена феноменологически симметричная трехбазисная квазигруппа ранга (п+1, 2), которую обозначим (В, Овп, В, 7).

По квазигруппе (В, Овп, В, 7) строится новая частичная трехбазисная квазигруппа (Вп, Овп, Вп, Р) с бинарной операцией

Р (ХУ) = (7 (хі, .Уі, ., .Уп), ., 7 (хп, .Уі, ., .Уп)), (3)

где X = (хі, ., хп) є Вп; У = (уь ., у) є О/. _

Теорема 3. Для трехбазисной квазигруппы (Вп, Овп, Вп, Р) выполняется тождество, обобщающее ассоциативность

Х(У7) = (ХУ)2,

где Хє Вп, У, 2 є Овп.

Доказательство можно найти в работе [3].

Если в бинарной операции (3) Xє Овп, то Р (ХУ) є Овп. Из теоремы 3 тогда следует, что Овп является группой с бинарной операцией (3) и единицей Е = (е1, ., еп) = (/(лу), ., /С/пу)). Поэтому трехбазисная ква-

Трехбазисные квазигруппы с обобщенным тождеством Уорда

23

зигруппа (Вп, Одп, Вп, ¥) является почти просто транзитивной группой преобразований множества Вп с параметрической группой Одп. Тогда, очевидно, феноменологически симметричная трехбазисная квазигруппа ранга (п+1, 2) (В, Одп, В, /) является транзитивной группой преобразований множества В с параметрической группой Од".

Теорема 4. Тождество из аксиомы Б3 для феноменологически симметричной трехбазисной квазигруппы ранга (п+1, 2) (В, Од", В, /) эквивалентно обобщенному тождеству Уорда:

/ (/ (х, аь ■ ■ ■, ап), / (у1, аь ..., а^, ...,/ (у, аь ..., ап)) = / (х, /1, ..., у) (4)

или / (/ (х, а1, ., ап), / (уь а1, ., ап), ., / (уп, а1, ., ап)) =

= / ( / (X, ¿1, ., Ьп), / (у1,Ъ\,--;Ъг),-~, / (Уп,Ъ1,...,Ьп) ), (4')

где / (х, /1, ..., уп) = / (х, (у1, ..., у)-1), V <у1, ..., у>, < аь ..., ап>, < Ъ1, ..., Ъп> е Одп, х е В.

Доказательство. Из определения отображений / и / следует выполнимость аксиомы Б2, т. е. одно-

значная разрешимость этих функций относительно первого аргумента. Поэтому, разрешая тождество (4') относительно первого аргумента левой части, получаем аксиому Б3.

Докажем теперь обратное. Для этого в тождестве теоремы 3 положим У = А, 2 = (ХА)-1. После приведения подобных имеем (ХА)(УА)-1 = ХУ-1. Каждая компонента этого тождества совпадает с (4). ■

Из теоремы 4 следует, что четверка (В, Одп, В, /) также образует феноменологически симметричную трехбазисную квазигруппу ранга (п+1, 2), изотопную квазигруппе (В, Овп, В, /).

Из теоремы 4 вытекает, что трехбазисная феноменологически симметричная квазигруппа (В, Одп, В, /) ранга (п+1, 2) является трехбазисной квазигруппой с обобщенным тождеством Уорда (1). Верно и обратное.

Теорема 5. Трехбазисная квазигруппа (В, Одп, В, ф) с обобщенным тождеством Уорда является трехбазисной феноменологически симметричной квазигруппой ранга (п+1, 2).

Доказательство. Пусть (В, Одп, В, ф) - трехбазисная квазигруппа с обобщенным тождеством Уорда (1). С ее помощью строится квазигруппа Уорда (Одп, р), изотопная группе. Для этого изотопа, очевидно, можно записать тождество (4). Тогда все свойства феноменологически симметричной трехбазисной квазигруппы ранга (п+1, 2) будут выполнены. ■

Таким образом, существует два способа определения физической структуры ранга (п+1, 2). Первый основан на аксиоме А3, а второй - на обобщенном тождестве Уорда (1).

3. Феноменологически симметричные трехбазисные подквазигруппы ранга (к+1, 2)

Рассмотрим феноменологически симметричную трехбазисную квазигруппу (В, Одп, В, /) ранга (п+1, 2), которая, напомним, является группой преобразований множества В. Из аксиомы Б1 вытекает транзитивность этой группы преобразований. Рассмотрим ее стационарную подгруппу Gen = (В', О'дп-1, В', /) [4], оставляющую на месте точку еп, В' с В - совокупность точек, подвижных относительно этой подгруппы. Заметим, что параметрическая группа О'дп-1 стационарной подгруппы Gen изоморфна группе, состоящей из

совокупности точек X = <х1, ..., хп-1, еп>, У = <у1, ...,у-ь еп>е О'дп-1 с Одп: ¥ (ХУ) е О'дп-1. Тогда

/ (х, У1, ., .Уп-1, еп) = х', / (ер, У1, ., .Уп-1, еп) = Ур, / (еп, У1, ., У-1, еп) = еп, (5)

гдер = 1,., п - 1. Несложно проверить, что для множества (В', О'дп-1, В', / ) выполняются аксиомы Б1 - Б3. Легко доказываются аксиомы Б1, Б2. Для проверки аксиомы Б3 необходимо в тождестве (4) положить ап = уп = еп, а затем воспользоваться равенствами (5). Таким образом, (В', О'дп-1, В', /) - феноменологически симметричная частичная трехбазисная подквазигруппа ранга (п, 2) в (В, Овп, В, /). Эта подквазигруппа задает физическую структуру ранга (п, 2).

Две феноменологически симметричные квазигруппы (В, Одп, В, /) и (В', О'дп, В', /') ранга (п+1, 2) будем называть эквивалентными, если группы Одп и О'дп изоморфны.

Теорема 6. Две феноменологически симметричные трехбазисные подквазигруппы (В', О'дп-1, В', /') и (В", О"вп-1, В", /" ) ранга (п, 2) квазигруппы (В, Одп, В, / ) с неподвижными точками еп и е'п, эквивалентны.

Доказательство. Из определения стационарной подгруппы следует, что группы (В', О'дп-1, В', /') и (В", О"дп-1, В", /") сопряжены [4], следовательно, изоморфны. ■

Если в стационарной подгруппе Gen = (B', B', f) зафиксировать еще одну точку, то, очевидно, по-

лучится феноменологически симметричная частичная трехбазисная подквазигруппа ранга (n, 2) в (B, QB", B, f), значит, по теореме 6 эта подквазигруппа будет единственна, с точностью до эквивалентности.

Продолжая фиксировать точки, получим феноменологически симметричную частичную трехбазисную подквазигруппу ранга (k+1, 2) в (B, QB", B, f), k < n, причем имеет место следующая теорема, аналогичная 6.

Теорема 6'. Две феноменологически симметричные трехбазисные подквазигруппы (B', Q'Bk, B', f') и (B", Q"Bk, B", f" ) ранга (k+1, 2) квазигруппы (B, QB", B, f) с неподвижными точками {em} и {e'm}, эквива-

лентны. ■

4. Пример

Рассмотрим феноменологически симметричную трехбазисную квазигруппу ранга (4, 2) на проективной прямой RP. В таком случае B = RP, а метрическое отображение - это проективное преобразование в RP:

— ax + b ae, + b ae2 + b ae3 + b

f =--------, u = —1----, v = —2----, w = —3----,

cx + d ce, + d ce2 + d ce3 + d

где <e1, e2, e3> e Qrp, матрица из коэффициентов обратима. Обобщенное тождество Уорда (4) выражается через сложное отношение четырех точек. Рассмотрим теперь феноменологически симметричную трехбазисную подквазигруппу ранга (3, 2), т. е. зафиксируем точку e3:

— ax + b ae, + b ae2 + b ae3 + b

f = -------, u = —-----, v = —2---, e3 = —3----.

cx + d ce, + d ce2 + d ce3 + d

Эта подквазигруппа эквивалентна полной аффинной группе преобразований прямой R (теорема 6):

f = ax + b.

И наконец, рассмотрим феноменологически симметричную трехбазисную подквазигруппу ранга (2, 2), т.е. зафиксируем две точки е2 и e3:

— ax + b ae, + b ae2 + b ae3 + b

f = -------, u = —1---, e2 = —2-, e3 = —3--------.

cx + d ce, + d ce2 + d ce3 + d

В явном виде метрическое отображение следующее:

f = xu(e2 + e3 - el) - xe2e3 - ue2e3 + exe2e3 xu - xex - uex - e2 e3 + el (e2 + e3)

Оно задает групповую бинарную операцию в B' = RP/{e2, e3} с единицей e1, которая изоморфна мультипликативной группе поля действительных чисел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Chatterjea S.K. On Ward quasigroups // Pure Math. Manuscript. 1987. V. 6. P. 31 - 34.

2. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп. М.: Наука, 1967.

3. СимоновА.А. Обобщенное матричное умножение как эквивалентное представление теории физических структур // Приложение к книге Ю.И. Кулакова «Теория физических структур». М., 2004.

4. Горбацевич В.В., Онищик А.Л. Группы Ли преобразований // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1988. Т. 20. С. 108 - 248.