Проективная геометрия и феноменологическая симметрия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.816+514.142

Проективная геометрия и феноменологическая симметрия

Владимир А. Кыров*

Горно-Алтайский государственный университет, Ленкина, 1, Горно-Алтайск, 649000,

Россия

Получена 18.05.2011, окончательный вариант 25.09.2011, принята к печати 10.11.2011 В данной 'работе изучается физическая структура максимального 'ранга в проективном пространстве (РУ)е над алгеброй гиперкомплексных чисел V. Доказывается, что эту структуру образует группа проективных преобразований пространства (РУ)'я.

Ключевые слова: проективное пространство, группа проективных преобразований.

В начале XIX в. возникла проективная геометрия, источником появления которой служит графика и архитектура. Большой вклад в развитие проективной геометрии внесли: Понселе, который изучал проективные свойства фигур, Шаль и Штейнер, развившие синтетическое направление, Дезарг, доказавший важные теоремы, приведшие к понятию гармонической группы элементов, и др.

На современном этапе можно выделить два подхода к определению проективной геометрии [1]. Первый — синтетический, в основу которого положены аксиомы связи, порядка и непрерывности. Второй подход аналитический, связанный с введением в проективном пространстве сложного отношения четырех точек. В проективной геометрии ключевое значение имеет изучение проективного отображения. Семейство проективных отображений, сохраняющих основное отношение n+3 точек в пространстве размерности n, в одномерном случае совпадающее с гармоническим отношением, образует группу проективных преобразований. Можно доказать, что единственным инвариантом проективной группы является основное отношение. Это дает возможность выхода для проективной геометрии на Эрлангенскую программу Ф. Клейна.

В данной статье предлагается новый подход к определению проективной геометрии, в основу которой положена система аксиом теории физических структур, появившейся при анализе фундаментальных законов физики. Данный подход устанавливает связь проективной геометрии не только с теорией групп преобразований, но и с теорией квазигрупп. Так, в частности, основное отношение в проективной геометрии имеет естественную квазигрупповую интерпретацию.

1. Физическая структура ранга (n + 1,2)

1. Рассмотрим два топологических пространства B и N.

Определение 1. Говорят, что на топологических пространствах B и N определена физическая структура (ФС) ранга (n + 1,2), если существует непрерывное отображение f : B х N ^ B, называемое метрическим, и выполняются аксиомы [2]: А1. V(ib i2, ...,in} е QBn, V(bb b2,..., bn} e QBn, 3!a e N:

f (ii, a) = bi, f (i2, a) = b2,. .., f (in, a) = bn,

* kfizika@gasu.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

где Пдп с Вп — открытое и плотное подпространство.

Построим отображение Fjlj2...jn : N ^ : ^^...¿п(а) = (/(я«), /(.72«), • • •, /Оп«)), где (71, .72, • • •, } € . По А1 данное отображение — биекция.

А1'. Отображение Fj•1 : N ^ , где (71, .72, • • •,7п} € , является гомеоморфизмом.

А2. V« € отображение /а : В ^ В, на элементах задаваемое формулой /а(г) = /(га), является гомеоморфизмом, причем С N — открытое и плотное подпространство.

А3. (Аксиома феноменологической симметрии) V{г0, ¿1, ¿2, • ••,«п} € В х и V{аo, а} € N х существует функциональная связь:

/(го«о) = д(/(«о«), /(¿1«), /(¿2а), • • •, /(г„а), (¿1«о), /(¿2«о), • • •, /(¿п«о)), где д : Пдп х Пдп х В ^ В — непрерывное отображение.

2. Введем обозначения и = /(71а), и = /(72а), •••,№„ = /(7„а), г = /(¿7), где 7 € . Таким образом, исходная метрическая функция записывается так:

/(««) = /^"^г)^-1...¿з (иь и2, • • •, и«)) = /(г, иь и2, • • •,№„), (1)

где / : В х Пдп ^ В. Построенное отображение / — непрерывно и удовлетворяет аксиомам А1 — А3, т.е. задает метрическое отображение ФС ранга (п+1,2).

Обозначим /(7т7) = ет, т = 1, 2, • • •, п, Е = (в1, в2, • • •, еп). Тогда можно доказать [2]:

/(ет, ^1, ^2, • • •, и„) = ит, /(г, в1, в2, • • •, е„) =

3. На Пдп введем бинарную операцию:

^Ъ^ • • • ^пХ^Ь^ • • • ,»п) = (/1,/2, • • • ^„^ (2)

причем /т = /(гт, и2, • • •, ип). В работе [2] доказывается, что бинарная операция (2) является квазигрупповой [3]. Эту операцию можно расширить до отображения Б : Вп х Пдп ^ Вп, которое индуцирует отображение / : В х Пдп ^ В. Явный вид для Б совпадает с (2), при условии (¿1, 22, • • •, 2п) € Вп. Можно доказать тождество [2]:

(ХУ)£ = X(У£), X € Вп, У,^ € • (*)

Если X € Пдп, то тождество (*) служит аксиомой ассоциативности, поэтому квазигруппа Пдп с бинарной операцией (2) будет непрерывной группой с единицей Е. В общем случае (*) задает основное свойство группы преобразований [4], остальные свойства вытекают из А1 и А2, поэтому множество отображений Б образует непрерывную группу преобразований с параметрической группой Пдп, индуцирующее также непрерывную и транзитивную группу преобразований пространства В с действием / : В х Пдп ^ В.

4. Теорема 1. Тождество из аксиомы А3 эквивалентно следующему:

/(/(г, аь • • •, а„), /(и^, аь • • •, а„), • • •, /(и« аь • • •, а„)) =

= /(/(2, 61, • • •, 6„), /(иь 61, • • •, 6„), • • •, /(и„, 61, • • •, 6„)), (3)

причем /(2,^1 ,,••,№„) = /(г, (иь • • •, и„)-1), V {иь •••,№„}, {а^^а«}, {61^ „,6«} € , ^ € В, (и1, • • •, ип)-1 — элемент, обратный к (и1, • • •, ип) в группе .

Тождество (3) несложно представить в виде

/(/(г, а1, • • •, а„), /(^1, а1, • • •, а„), • • •, /(и„, аь • • •, а„)) = /(г, • • •, №„)■ (3')

Доказательство. Из определения отображений / и / следует выполнимость аксиомы А2, т.е. однозначная разрешимость этих функций относительно первого аргумента. Поэтому разрешая тождество (3) относительно первого аргумента левой части, получаем аксиому А3.

Докажем теперь обратное. Для этого в тождестве (*) положим У = Л, Z = (УЛ)-1. После приведения подобных имеем (ХЛ)(УЛ)-1 = ХУ-1. Каждая компонента этого тождества совпадает с (3'). □ Отметим, что тождество (3') является обобщением тождества Уорда для квазигруппы с бинарной операцией • [5]:

(х • а) • (у • а) = х • у.

Это обобщение получено из аксиомы феноменологической симметрии, которая есть результат анализа физических законов.

Заметим, что отображение / : В х ^ В также задает ФС ранга (п+1,2), т.е. непрерывную группу преобразований пространства В.

2. Физическая структура ранга (4,2) на проективной прямой над алгеброй гиперкомплексных чисел

1. Рассмотрим вещественную алгебру гиперкомплексных чисел V. Элементами алгебры V являются гиперкомплексные числа вида

2 = хо + Х1«1 +-----+ хягя,

где хо,..., х8 — действительные числа, ¿1,...,— мнимые единицы, умножение которых определяется по формулам

¿«¿в = РаДО + РаД1«1 +-----+ РаДзЬ,

где рад0,... ,раДя — действительные числа, а, в = 1,..., в.

Если в = 1, то алгебра гиперкомплексных чисел совпадает с полем действительных чисел Д. При в = 2 существуют три неизоморфные алгебры гиперкомплексных чисел — это алгебра комплексных чисел (¿2 = -1), алгебра двойных чисел (¿2 = 1) и, наконец, алгебра дуальных чисел (¿2 = 0). При в = 3 имеем 11 неизоморфных ассоциативных алгебр гиперкомплексных чисел ранга 3 [6]. Из них две некоммутативные и 9 коммутативных.

Можно показать, что множество делителей нуля алгебры гиперкомплексных чисел V нигде не плотно в V.

2. Далее полагаем п = 3, т.е изучаем ФС ранга (4, 2). Обозначим через В — у р с VP открытое и плотное подмножество точек х £ VP таких, что (х, х',х''} £ П(ур)з С (Пур)3. Проективная прямая VP определяется стандартным образом, т.е как пучок прямых в V2. Метрическое отображение / : Пур х П(ур)з ^ Пур задает действие непрерывной группы преобразований в Пур.

Теорема 2. Три пары точек (22,^2), (23,ад3) подмножества Пур проектив-

ной прямой VP над алгеброй гиперкомплексных чисел V, причем Л = (21, 22, 23), С = (^1,^2,адз) £ 1(ур)з, = /(21, а1, а2, аз), ^2 = ./(22, а1, а2, аз), ^з = ./(23, а1, а2, аз), однозначно определяют преобразование, переводящее эти точки друг в друга.

Действительно, так как А, С, Z £ П(ур)з, причем С = AZ, то элемент Z находится однозначно.

Эта теорема формулируется и для отображения / :

Теорема 2'. Три пары точек (г^и^), (г2,ад2), (г3,ад3) подмножества ПуР, причем А = (гь 22,23), С = (^1,^2,^3) е )з, = /(^1,а1,а2,аз), ^2 = /(^2,01,02,03), = /(г3, а1, а2, а3), однозначно определяют преобразование.

Сформулируем теперь основную теорему.

Теорема 3. ФС ранга (4,2) с метрической функцией / : ПуР х П(УР)з ^ ПуР на подмножестве ПуР проективной прямой УР над ассоциативной алгеброй гиперкомплексных чисел V существует и с точностью до системы проективных координат единственна. В явном виде для метрической функции имеем

' аг + Ь ...

г' = ~, (4)

сг + а

где г = — — неоднородная проективная координата, матрица ( а Ь ) обратима. 22 \с а/

Заметим, что в проективной геометрии проективной прямой УР метрическое отображение (4) интерпретируется как проективное преобразование. Если V = Д, то (4) — проективное преобразование обычной, т.е вещественной, проективной прямой [1].

Доказательство теоремы 3. Проективные однородные координаты в УР обозначим (А1, А2). Левая часть тождества (3) в проективных координатах имеет вид (А1, Л2), а правая часть — (А1,А2). Поэтому это тождество имеет такой вид:

А1 = А1, Л2 = А2.

В проективной геометрии преобразование / называется проективным. Две различные проективные системы однородных координат связаны линейными функциями, поэтому

А1 = С11А1 + С12А2, А2 = С21А1 + С22А2, (**)

причем матрица С = ( С11 С12 ) обратима. Тогда проективное преобразование / задается

с21 с22

уравнениями (**) или (4). Этим самым существование доказано. Единственность следует из построения проективных координат. (4) можно записать еще в таком виде:

' ^2 - г ^3 - г

г=-^-. (5)

и>2 — и>1 ^3 —

Эта формула в проективной геометрии интерпретируется как сложное отношение четырех точек [1]. По (5) легко записать явный вид тождества (3):

/(^2, а1, а2, а3) — /(г, а1,а2,а3) _ /(^3, аь а2, а3) — /(г, аьа2,а3)

/(^2, а1, а2, а3) — /а1, а2, а3) /(^3, аь а2, а3) — /а1, а2, а3)

/(^2,в1,в2,в3 ) — /(г,в1,в2 ,&) . /(^3,в1,в2 ,в3) — /(г,в1,в2,в3)

(3 )

/ (М2,в1,в2,в3) — / (^1,в1,в2,в3) / (И3,в1,в2,в3 ) — / (^1,в1,в2,в3)

3. Можно показать, что отображение

г ' = /(г, ^2, в3), в3 = /(в3,и>1,и>2,е3), е3 е Оур, (6)

на ПуР/{е3} задает ФС ранга (3,2) (несложная проверка аксиом А1, А2, А3), т.е. непрерывную группу преобразований. Явный вид такого метрического отображения следующий:

' аг + се2 + ¿в3 — ав3 ав1 + Ь ав2 + Ь

г = -П-, = -П, = -—,. (7)

сг + а се1 + а се2 + а

Пусть ез = то. Тогда (7) принимает вид

, (и — и>2)г + ^2е1 —

е1 — е2

(7')

Заметим, что группа (6) является стационарной подгруппой с неподвижной точкой ез транзитивной группы преобразований (4). В работе [7] утверждается, что любые две стационарные подгруппы транзитивной группы преобразований изоморфны.

Две физические структуры ранга (п +1, 2) с метрическими функциями /, /' : В х N — В называются эквивалентными, если группы Пв и изоморфны.

Теорема 4. Две ФС 'ранга (3,2) с метрическими функциями (7) и (7 ') эквивалентны.

4. Рассмотрим в группе (6) преобразования, оставляющие точку е2 неподвижной. Эти преобразования задают на 0.УР/{е2,е3} метрическое отображение

2 ' = /(г, и, е2,ез), ез = /(ез, иь е2, ез), е2 = /(е2, иь е2, ез), и = /(е1 , иье2,ез) (8) ФС ранга (2,2). В явном виде для (8) имеем:

' аг се2ез ^^ — е^ = с^^ + ез — е1) — е2ез] (9)

сг + а — с(е2 + ез)' или

' г^1(е2 + ез — е1) — ге2ез — и^ез + е^ез

г = -7-ч-• (9 )

ги — ге1 — — е2ез + е1(е2 + ез)

Заметим, что формула (9) в 0.УР/{е2,ез} задает квазигрупповую бинарную операцию. Эта квазигруппа является группой.

Теорема 5. Группа 0.УР/{е2,ез} с бинарной операцией (9) является изоморфной группе /{0, то} с бинарной операцией

г ' = ги. (10)

Группа 0.УР/{0, то} изоморфна группе обратимых элементов алгебры гиперкомплексных чисел.

Доказательство. Доказательство первой части этой теоремы следует из теоремы 4. Очевидно, группа 0.уР/{0, то} состоит из обратимых элементов алгебры гиперкомплексных чисел V. Так как единственной открытой и плотной подгруппой в V является только мультипликативная, то группа 0.уР/{0, то} совпадает с мультипликативной подгруппой. □

5. Теорема 6. На подмножестве 0.УР проективной прямой VP задается ФС ранга (4,2) тогда и только тогда, когда алгебра гиперкомплексных чисел V ассоциативна.

Доказательство. Действительно, ФС ранга (2,2), построенная редукцией ФС ранга (4,2) над проективной прямой VP, изотопна группе с бинарной операцией (10). Если умножение в V неассоциативно, то построенная бинарная операция также не будет ассоциативной, т.е. не задает группу. Противоречие. Обратное очевидно. □

6. Теорема 7. ФС ранга (п + 1, 2), п ^ 4, с метрической функцией / : НуР х N —^ ^ V Р не существует.

Доказательство. Предположим, что ФС ранга (п +1, 2), п ^ 4, существует. В тождестве (3 ') положим а^ = ей, к = 4,..., п, а также зафиксируем произвольные точки и:

/(/(г, а1,.. ., а„), /(иь аь .. ., а„), /(и^, а1 .. ., а„), /(из, аь ..., а„), иц,. .. ,и„) =

= /(г, иь и2,. .. ,и„).

Тогда метрическая функция (1) при фиксированных и^, к = 4,..., п, удовлетворяет аксиомам А1, А2, А3 при п = 3, т.е. задает ФС ранга (4,2). Тогда для метрической функции, согласно теореме 3, получаем

/ = а(и>4,..., июп)х + Ь(и>4,..., ип) с(и4,. .., ип)г + ¿(и4,.. ., ип)

Это общий вид метрической функции ФС ранга (п + 1, 2), п ^ 4 на подмножестве Пур проективной прямой УР. Видно, что данная функция вырождена по координатам второго множества, т.е. не задает ФС ранга (п + 1,2), п ^ 4. □

3. Физическая структура ранга (в + 3,2) на проективном пространстве УРв, в ^ 2, над алгеброй гиперкомплексных чисел

1. В данном параграфе полагаем п = в + 2, т.е изучаем ФС ранга (5,2), (6,2) и т.д. Проективное пространство УРя определяется стандартным образом, т.е пучок прямых в V8+1. Обозначим через В — Пурs С УР8 открытое и плотное подмножество точек х £ УРя таких, что (х, ж1,..., хя) € П(ура)*+2 С (Пура )я+2. Метрическое отображение / : Пур* х 0.(урв)в+2 ^ Пур* задает действие непрерывной группы преобразований в Пур*.

Теорема 8. п пар точек (г1, и1),..., (гя+2, и8+2) подмножества Пур* проективного пространства УРя над алгеброй гиперкомплексных чисел V, причем А = (г1,..., 2я+2), С = (иь . .., ия+2) € П(ур*)*+2, и1 = /(г1, Я1,.. ., ая+2), .. ., ия+2 = /(г8+2, аь .. ., ая+2), однозначно определяют преобразование, переводящее эти точки друг в друга.

Теорема 9. ФС ранга (в+3, 2), в ^ 2, с метрической функцией / : Пур* х П(ур^ Пур* на подмножестве Пур* проективного пространства УРя над ассоциативной алгеброй гиперкомплексных чисел V существует и с точностью до системы проективных координат единственна:

Л а^1 + аДг2 + ••• + а^8 + а1 а^1 + а2г2 + ••• + а;1гв + ая . .

2п =-2—2-8-,...,г=-—2-8- (11)

а^1 + а2^2 + • • • + а8гя + а а^1 + а2г2 + • • • + а8г8 + а

где г1,..., гя — неоднородные проективные координаты точки г, матрица коэффициентов системы обратима.

Доказывается как теорема 3.

2. Рассмотрим в (11) подмножество, оставляющих на месте точки вк+1,..., еп £ Пур* преобразований. Обозначим через Пур* (ек+1,..., еп) подпространство в Пур$ подвижных точек относительно данных преобразований. Тогда имеем отображение

г ' = /(г, иь . .., ей+1,. .., еп), ег = /(ег, иь.. ., , ей+ь ..., еп), 1 = к + 1,.. ., п, (12)

которое в Пур* (ек+1,..., еп) задает ФС ранга (к + 1,2), т.е. непрерывную группу преобразований. Если фиксируется другой набор точек е£+1,..., еп, то получаем новое метрическое отображение, также задающее ФС ранга (к + 1,2) на Пур* (е£+1,..., еп):

г' = /(г,и1,...,ик,ек+ь... ,еп^ ег = /(ег,и1,...,ий,ек+ь... ,еп^ 1 =к+1,...,п. (1)

Теорема 10. Две ФС ранга (к +1,2) с метрическими функциями (12) и (12') эквивалент-

ны.

Доказывается так же, как и теорема 4.

3. Рассмотрим проективную плоскость над алгеброй гиперкомплексных чисел. Из теоремы 9 следует существование и единственность ФС ранга (5,2):

12 а1г + а2г + а а

Ь1г1 + Ь2г2 + Ь

С1г1 + С2г2 + с1 С1г1 + С2г2 + с

По теореме 10 фиксируя точку, получаем ФС ранга (4,2), эквивалентную структуре:

г п = а1г + а г 2 =

Ь1г1 + Ь2 г2 + Ь

с1г1 + с1 с1г1 + с

Если зафиксировать еще одну точку, то получим ФС ранга (3,2):

г '1 = а1г1 + а, г'2 = Ь2г2 + Ь. И, наконец, фиксирование третьей точки дает ФС ранга (2,2)

гп = а1г1, г '

1 ~'2- Ь2г2.

4. Рассмотрим частный случай вещественной проективной плоскости ДР2. Тогда предыдущие формулы примут соответственно следующий вид — для (5,2):

' а1Х + а2У + а . Ь1Х + Ь2у + Ь

х =-, у =

для (4,2): для (3,2):

и, наконец, для (2,2):

с1Х + с2у + с

а1Х + а ' У

с1Х + с2У + с Ь1Х + Ь2 у + Ь

с1Х + с с1Х + с

х' = аХ + Ь, у ' = су +

аХ, у

су.

5. Рассмотрим еще действительное проективное пространство. Из теоремы 9 следует существование и единственность триметрической ФС ранга (6,2):

а1Х + а2у + а3г + а

¿1Х + ¿2у + а3г + а'

у=

Ь1Х + Ь2у + Ь3г + Ь ^х + ¿2у + а3г + а'

с1Х + с2у + с3г + с

¿1Х + ¿2у + а3г + а

Фиксируя точку, получаем ФС ранга (5,2), эквивалентную структуре с метрическим отображением:

а1Х + а2у + а

у

¿1Х + ¿2у + а

Фиксируя вторую точку, получаем ' а1Х + а '

у

Ь1Х + Ь2у + Ь ¿1Х + ¿2 у + а'

Ь1Х + Ь2у + Ь

с1Х + с2 у + с3г + с

¿1х + Й2 у + а

с1Х + с3г + с

¿1х + а " ¿1Х + а ' ¿1Х + а

Фиксируем теперь третью точку:

х ' = а1Х + а, у ' = Ь2у + Ь, г' = с3г + с.

Х

Х

Х=

г=

г

И, наконец, фиксируя четвертую точку, приходим к структуре ранга (2,2):

х' = Я1Ж, у' = г ' =

6. Теорема 11. На подмножестве з проективного пространства УРя существует ФС 'ранга (в + 3,2) тогда и только тогда, когда алгебра гиперкомплексных чисел V ассоциативна.

Доказательство. Рассмотрим ФС ранга (в + 3,2) на подмножестве з проективного пространства УРя с метрическим отображением (13). Фиксируя в + 1 точек, приходим к ФС ранга (2,2), эквивалентной структуре с отображением

гп = а1г1, .. ., г'8 =

Данное метрическое отображение является групповой операцией в-кратного прямого произведения мультипликативной группы алгебры гиперкомплексных чисел V. Значит, алгебра гиперкомплексных чисел V ассоциативна. Обратное очевидно. □

7. Теорема 12. ФС ранга (п + 1, 2), п ^ в + 3 с метрической функцией / : з х N ^ з не существует.

Доказательство. Предположим, что ФС ранга (п + 1, 2), п ^ в + 3, существует. В (3') положим а^ = е^, к = в + 3,..., п, а также зафиксируем произвольные точки и^:

/(/(г, аь ..., а„), /(иь аь . .., а„), /(ш2, а1 . .., а„),. .., /(и8+2, а1,.. ., а„), ия+з,.. ., ю„) =

= / (г, иьи2,. . .,ю„).

Тогда метрическая функция (1) при фиксированных и^, к = в + 3,..., п, удовлетворяет аксиомам А1, А2, А3 для п = в + 2, т.е. задает ФС ранга (в + 3,2). Поэтому для метрического отображения, согласно теореме 9, получаем

п = а1 (иа+з, ... ,мв)г1 + а2(иа+з,.. ., ип)г2 +-----+ а8 (иа+з, ..., + а1(иа+з,.. ., тта)

а1(ия+з,. . ,,ип )г1 + а2(ия+з, .. ., ю„)^2 +-----+ а8(и8+з,. . ,,ип + а(ия+з,. . .,№„) '

'Я = а1 (иа+з,.. ., Мп)^1 + а2(иа+з,. .., ип)г2 +-----+ а|(иа+з,. .., + а8(иа+з, .. ., тта)

а1(ия+з,.. ., Шп)^1 + а2(ия+з,. .. ,Юп)^2 +-----+ а8(и8+з,.. ., Мп)^8 + а(ия+з, .. ., Мп)

Это общий вид метрического отображения ФС ранга (п +1, 2), п ^ в + 3, на подмножестве з проективного пространства УРя. Видно, что данное отображение вырождено по координатам второго множества, т.е. не задает ФС ранга (п +1,2), п ^ в + 3. □

Список литературы

[1] Н.В.Ефимов, Высшая геометрия, М., ФМ, 1961.

[2] А.А.Симонов, Обобщенное матричное умножение как эквивалентное представление теории физических структур, Приложение к книге Кулакова Ю.И. "Теория физических структур", М., Компания Юниверс Контракт, 2004.

[3] В.Д.Белоусов, Основы теории квазигрупп и луп, М., Наука, 1967.

[4] Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы, М., Наука, 1973.

[5] S.K.Chatterjea, On Ward quasigroups, Pure Math. Manuscript, (1987), №6, 31-34.

[6] Г.Г.Михайличенко, Р.М.Мурадов, Физические структуры как геометрии двух множеств, Горно-Алтайск, Изд-во Горно-Алт. гос. ун-та, 2008.

[7] Э.Б.Винберг, А.Л.Онищик, Основы теории групп Ли, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., ВИНИТИ, 20(1988), 5-101.

[8] Г.Г.Михайличенко, Феноменологическая и групповая симметрия в геометрии двух множеств (теории физических структур), Докл. АН СССР, 24(1985), №1, 39-41.

[9] В.В.Горбацевич, А.Л.Онищик, Группы Ли преобразований, Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, М., ВИНИТИ, 20(1988), 108-248.

Projective Geometry and Phenomenological Symmetry

Vladimir A. Kyrov

In this paper it is investigated the physical structure of the maximal range in a projective space (PV)s

over the algebra of hypercomplex numbers V. It is proved that this structure is formed by the group of

projective transforms of the space (PV)s.

Keywords: projective space, group of projective transforms.