Аффинная геометрия как физическая структура Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.816+514.142

Аффинная геометрия как физическая структура

Владимир А.Кыров*

Горно-Алтайский государственный университет, Ленкина 1, Горно-Алтайск, 649000,

Россия

Получена 15.08.2008, окончательный вариант 10.10.2008, принята к печати 15.11.2008 В данной работе изучается физическая структура максимального 'ранга в аффинном пространстве Vе над алгеброй гиперкомплексных чисел V. Доказывается, что эту структуру образует группа аффинных преобразований пространства Vа.

Ключевые слова: физическая структура, гиперкомплексные числа.

Введение

Рассмотрим алгебру гиперкомплексных чисел V [1]. Ее элементами являются гиперкомплексные числа: z = xo + x\i\ + ••• + xsis, где xo ,xi,... ,xs — действительные числа, ii,...,is — мнимые единицы, умножение которых определяется по формулам iaiß =

paß0 + Paß1 ii +-----+ Paßsis, Paß0,paßx, ■ ■ .,paßs — действительные числа, a, ß = 1,..., s.

Если s = 0, то алгебра гиперкомплексных чисел изоморфна полю действительных чисел R. При s = 1 существуют три неизоморфные алгебры гиперкомплексных чисел: это алгебра комплексных чисел (i2 = -1), алгебра двойных чисел (i2 = 1) и алгебра дуальных чисел (i2 = 0). При s = 2 имеем 11 неизоморфных ассоциативных алгебр гиперкомплексных чисел [2].

В данной работе изучается физическая структура в аффинном пространстве над алгеброй гиперкомплексных чисел. Примером является полная группа аффинных преобразований вещественной плоскости [3].

1. Определение физической структуры ранга (n + 1,2)

Рассмотрим два множества B и N. Пусть Qßn с Bn и Qn С N — некоторые максимально допустимые подмножества.

Определение 1. Говорят, что на множествах B и N определена физическая структура ранга (n + 1,2), если существует отображение f : B х N ^ B, называемое метрическим, и выполняются аксиомы [4]:

А1. V(ii, ...,in) е Qßn, V(bi, ...,bn)e QBn, 3!a e N: f (ii, a) = bi,..., f (in, a) = bn. Построим отображение Fj1...jn : N ^ Qßn: Fj1 ...jn (a) = (f (jia),...,f (jna)), где (ji, .. . ,jn) e Qßn, которое по аксиоме А1 является биекцией.

А2. Va е Qn отображение fa : B ^ B, на элементах задаваемое формулой fa(i) = f(ia), является биекцией.

* e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

А3. (Аксиома феноменологической симметрии.) У{%о, %1, . . . , гГ1) € В х 0вп и У{ао, а) € N х существует функциональная связь:

/ (%оао) = д(/(%оа), / (%1а),.. ., / (гпа), (нао), ..., / (%пао)),

где д : х х В ^ В.

Обозначим ш = /(о 1а),. .. ,шп = /(]па), г = /(г-у), где 7 € . Поэтому

/ (га) = / (Е-1 (г), Е-(ть ..., Шп)) = /(г, Ш1,..., Шп). (1)

Построенное формулой (1) отображение / : В х 0вп ^ В удовлетворяет аксиомам А1—А3, т.е. является метрическим отображением физической структуры ранга (п+1,2). На 0вп построим бинарную операцию:

(г1,...,гп)(ш1,...,шп) = {¡^...^пХ (2)

причем /т = /(гт,Ш1,... ,шп). В [4] доказывается, что бинарная операция (2) является групповой. Ее можно расширить до отображения Б : Вп х 0вп ^ Вп, индуцирующее отображение / : В х 0вп ^ В. Явный вид Б совпадает с (2) при условии (г1,..., гп) € Вп. Справедливо тождество [4]:

(ХУ = X (У Я), (*)

где X € Вп, У, Я € 0вп. Если X € 0вп, то тождество (*) является аксиомой ассоциативности. Отображение Б задает действие группы 0вп в Вп, что следует из тождества (*) и аксиом А1 и А2 [5]. Оно также индуцирует транзитивное действие в В: / : В х 0вп ^ В.

Теорема 1. Тождество из аксиомы А3 эквивалентно следующему:

1(1 (г, А), /(Ш1,А),..., / (шп, А)) = /(/(г, В),Ц(шъ В),..., /(шп, В)), (3)

причем / (г, Ш) = / (г, Ш-1), У Ш = {ш1,..., шп),А = {а1,..., ап), В = {Ь1,... ,Ьп) € 0Вп, У г € В, Ш-1 — элемент, обратный к Ш в группе 0вп.

Тождество (3) несложно представить в виде

/ (/(г, А), / (Ш1, А),..., / (шп, А)) = / (г, Ш). (3')

Доказательство. Из определения отображений / и / следует выполнимость аксиомы А2. Поэтому разрешая (3) относительно первого аргумента левой части, получаем тождество из А3. Докажем обратное. Для этого в (*) положим У = А, Я = (УА)-1. После приведения подобных имеем (ХА)(УА)-1 = ХУ-1. Каждая компонента этого тождества совпадает с (3'). □

Отметим, что (3') является обобщением тождества Уорда для квазигруппы с бинарной операцией • [6, 7]:

(х • а) • (у • а) = х • у.

2. Аффинная геометрия как физическая структура ранга (в + 2, 2)

Полагаем п = в + 1, в € N. Пусть В = Vя. Метрическое отображение / : Vя х 0(у = )=+1 ^ Vя задает действие группы 0(ул)л+1 в Vя.

Теорема 2. Физическая структура ранга (в + 2, 2), в ^ 1, с метрическим отображением / : Vя х 3)3+1 ^ Vя в аффинном пространстве Vя над ассоциативной алгеброй гиперкомплексных чисел V существует и с точностью до системы аффинных координат единственна. Явный вид метрического отображения:

г'1 = а\г1 + а\г2 +-----+ а\г3 + а1,. .., г'8 = а^г1 + а|г2 +-----+ а83г8 + а8, (4)

где г1, .. ., гя — аффинные координаты точки г, матрица коэффициентов системы обратима.

Заметим, что в аффинной геометрии прямой V метрическое отображение (4) интерпретируется как аффинное преобразование. Если V = Д, то (4) — аффинное преобразование вещественной прямой [8].

Доказательство. Аффинные координаты в Vя обозначим (Л1,...,Л8). Левая часть тождества (3) является записью метрического отображения в аффинных координатах (Л1,...,Л8), а правая часть — запись этого же отображения в координатах (Л1,..., Л8,). Поэтому тождество можно записать системой равенств: Л1 = Л1,..., Л8 = Л'8. В аффинной геометрии такое отображение / является аффинным. Две различные аффинные системы координат, как известно, связаны линейными функциями, тогда

Л1 = С11Л1 +-----+ С1ЯЛЯ + С1, .. ., Л8 = е81Л1 +-----+ сяяЛя + с8, (**)

причем матрица коэффициентов обратима. Поэтому аффинное преобразование / задается уравнениями (**) или (4). Этим самым существование доказано. Единственность следует из построения аффинных координат. □

Зафиксируем точки общего положения ек+1, .. ., е8+1 € Vя. Пусть Vs(ek+l, .. ., е8+1) — множество подвижных точек в Vя относительно преобразований, оставляющих неподвижными точки ек+1,..., ея+1. Тогда можно показать, что отображение

г' = /(г, . ..,, ей+ь .. ., е8+Д ег = /(ег, .. ., , ек+1, ..., е8+1), (5)

где I = к + 1,..., в + 1, на Vя(ек+1,..., е8+1) задает физическую структуру ранга (к + 1,2), т.е. группу преобразований. Если фиксируется другой набор точек общего положения е£+1,..., е*+1, то получаем новое метрическое отображение, также задающее структуру ранга (к + 1,2) на Vs(ek+1,..., е*+1):

г' = Дг ..., ^к, ек+ъ..., е*+1^ е* = Л^ ...,^к, ек+ъ..., е*+1). (5')

Заметим, что группа (5) является стационарной подгруппой транзитивной группы преобразований (4) с неподвижными точками ек+1,..., е8+1. Известно, что любые две стационарные подгруппы транзитивной группы преобразований изоморфны.

Две физические структуры ранга (п + 1, 2) с метрическими отображениями /, /' : В х N ^ В называются эквивалентными, если группы Пв и ПД изоморфны.

Теорема 3. Две физические структуры ранга (к + 1,2) с метрическими отображениями (5) и (5') эквивалентны.

Теорема 4. В аффинном пространстве Vя существует физическая структура ранга (в + 2,2) тогда и только тогда, когда алгебра гиперкомплексных чисел V ассоциативна.

Доказательство. Рассмотрим физическую структуру ранга (s + 2,2) в пространстве Vs с метрическим отображением (4). Фиксируя s точек, приходим к физической структуре ранга (2,2), эквивалентной структуре

z'1 = z1 + a1 zs, .. ., z/s-1 = zs-1 + as-1zs, z/s = aszs.

Это метрическое отображение, в которую входит произведение гиперкомплексных чисел, задает квазигрупповую операцию. Данная операция ассоциативна тогда и только тогда, когда алгебра гиперкомплексных чисел ассоциативна. □

Теорема 5. Физическая структура ранга (n + 1, 2), n ^ s + 2, с метрическим отображением f : Vs х N ^ Vs не существует.

Доказательство. Пусть физическая структура ранга (n + 1, 2), n ^ s + 2, существует. В тождестве (3') положим a^ = e^, k = s + 2,... ,n, а также зафиксируем произвольные точки wfc:

f (f (z, A), f (w1, A),..., /К+1, A), ws+2,..., wn) = f (z, W).

Тогда метрическое отображение (1) при фиксированных w^, k = s + 2,..., n удовлетворяет аксиомам А1, А2, A3 для n = s + 1, т.е. задает физическую структуру ранга (s + 2,2). Поэтому для метрического отображения, согласно теореме 2, получаем

z'1 = a1(ws+2,. .., w„)z1 +-----+ a1(ws+2, .. ., w„)zs + a1(ws+2,. .. ,w„),

z's = a1(ws+2, .. ., w„)z1 +-----+ a:!(ws+2,. . .,w„ )zs + as(ws+2,. .., w„).

Это общий вид метрического отображения структуры ранга (n +1, 2), n ^ s + 2 в Qys. Данное отображение не содержит точек W1,..., ws+1, следовательно, не задает структуру ранга (n +1, 2), n ^ s + 2. □

Список литературы

[1] И.Л.Кантор, А.С.Солодовников, Гиперкомплексные числа, М., Наука, 1973.

[2] Р.М.Мурадов, Гиперкомплексные числа ранга 3, Наука. Культура. Образование, Горно-Алтайск, 2004, № 15/16, 107.

[3] В.А.Кыров, Квазигрупповые свойства аффинных групп, Доклады VI Сибирской научной школы-семинара с международным участием „Компьютерная безопасность и криптография — SIBECRYPT'07 Приложение к журналу Вестник Томского государственного университета. Серия Математика. Кибернетика. Информатика, 2007, № 23, 37-41.

[4] А.А.Симонов, Обобщенное матричное умножение как эквивалентное представление теории физических структур, Приложение к книге Кулакова Ю.И. "Теория физических структур" , М., 2004.

[5] Л.С.Понтрягин, Непрерывные группы, М., Наука, 1973.

[6] В.Д.Белоусов, Основы теории квазигрупп и луп, М., Наука, 1967.

[7] S.K.Chatterjea, On Ward quasigroups, Pure Math. Manuscript, (1987), no. 6, 31-34.

[8] Н.В.Ефимов, Высшая геометрия, М., ФМ, 1961.

Affine Geometry as a Physical Structure

Vladimir A.Kyrov

We consider the physical structure of maximal rank in the affine space Vs over the algebra of hypercomplex numbers V. It is proved that this structure is given by the group of affine transformations of the space Vs.

Keywords: physical structure, hypercomplex numbers.