ТРАНСЛЯЦИОННАЯ МОДА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ПУЗЫРЬКА Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2015 Серия: Физика Вып. 1 (29)

удк 532.5.032

Трансляционная мода собственных

цилиндрического пузырька

А. А. Алабужева'ъ, М. И. Кайсинаъ

a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1 b Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: alabuzhev@mail.ru

колебаний

В работе рассматривается трансляционная мода собственных колебаний газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью. В равновесном состоянии пузырек имеет форму цилиндра и ограничен в осевом направлении двумя параллельными твердыми поверхностями. Окружающая жидкость ограничена свободной поверхностью. Скорость движения линии контакта пропорциональна отклонению краевого угла от его равновесного значения. Исследована зависимость частот и декрементов затухания от параметров задачи. Показано, что основная частота может обращаться в нуль. Частоты собственных колебаний уменьшаются с увеличением радиуса свободной поверхности внешней жидкости, увеличиваются с ростом геометрического параметра и не зависят от давления газа внутри пузырька.

Ключевые слова: динамика контактной линии; собственные колебания; цилиндрический пузырек

1. Введение

Нестационарное движение линии контакта трех сред привлекает внимание исследователей благодаря большому количеству разнообразных эффектов [1, 2]. Наиболее часто, в силу его простоты, используется условие, примененное в [3], где изучается затухание стоячих волн между двумя вертикальными стенками. Указанное условие предполагает линейную связь между скоростью движения контактной линии и краевым углом (в случае прямого равновесного краевого угла):

С = Лк -УС', (11)

дг ь

где С* - отклонение поверхности от равновесного

положения, Л* - феноменологическая постоянная (постоянная Хокинга), к - вектор нормали к твердой поверхности. Отметим, что условия фиксированной контактной линии и постоянного краевого угла являются частными случаями граничного условия (1.1): дС'/дt = 0и к -УС* = 0 соответственно. В работе [3] было показано, что граничное условие (1.1) приводит к затуханию колебаний за исключением двух указанных выше предельных значений Л- . Отметим, что затухание связано, в первую очередь, с взаимодействием движущейся

контактной линии с неровностями (шероховатостями) твердой поверхности. В [3] также приведены результаты качественного сравнения с экспериментами. Кроме того, в [3] было продемонстрировано, что шлифовка поверхности увеличивала параметр Л* в несколько раз. То есть параметр Л* характеризует еще и степень обработки поверхности подложки. Таким образом, параметр Л* зависит от свойств жидкости и поверхности.

Собственные колебания полусферического пузырька на твердой подложке и вынужденные колебания под действием поперечных вибраций изучались в работе [4]. Для учета динамики контактной линии использовалось краевое условие (1.1); в работе [5] - более сложное граничное условие, учитывающее гистерезис краевого угла [3]. Для полусферической капли на подложке аналогичные исследования проводились в [6, 7]. Трансляционная мода собственных колебаний и вынужденные продольные колебания полусферической капли на подложке с учетом (1.1) изучались в [8].

Условие (1.1) используется также в работе [9] при изучении собственных осесимметричных колебаний жидкой зоны в условиях невесомости. Показано, что затухание колебаний связано главным образом с движением контактной линии (за

© Алабужев А. А., Кайсина М. И., 2015

исключением предельных случаев дС* /дt = 0 и

к -УС' = 0).

В работе [10] исследовались собственные колебания цилиндрической капли несжимаемой жидкости, окруженной другой жидкостью и ограниченной в осевом направлении твердыми плоскостями. Для описания движения контактной линии использовалось эффективное граничное условие (1.1). В работе [11] изучалось поведение сжатой капли, которая в равновесии имела форму фигуры вращения, т.е. равновесный краевой угол был отличен от прямого.

В работе [4] рассмотрены осесимметричная мода собственных колебаний и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька в однородном пульсационном поле давления.

В данной работе продолжаются исследования, начатые в работе [4], и рассматривается трансляционная мода собственных колебаний цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью конечного объема.

2. Постановка задачи

Рассмотрим колебания газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью с плотностью р*. Здесь и в дальнейшем величины с индексом I относятся к пузырьку, е - окружающей жидкости. Система ограничена двумя параллельными твердыми плоскостями (рис. 1), расстояние между которыми равно к *. В отсутствие внешних сил пузырек имеет форму цилиндра радиусом г0*.

Краевой угол между боковой поверхностью пузырька и твердыми плоскостями в равновесии равен ж/2. На расстоянии К * от оси симметрии жидкость, окружающая пузырек, ограничена свободной поверхностью.

* 2

* £ 5ЙЙ: N Г) -О^ОЛ > Ге * Рг

г ъххжВ

Рис. 1. Геометрия задачи

В силу симметрии задачи будем использовать цилиндрическую систему координат (г',а ,г'), в которой поверхность капли будет описываться уравнением: г' = г'0 + 0 (г*,а ,^), где

С [г * ,а , t *) - отклонение поверхности от равновесного положения.

Выберем в качестве единиц измерения времени

- 4р*г'*ЪI, радиальной координаты - г'*, осевой координаты - к *, отклонения поверхности - амплитуду колебаний А *, скорости - А ст/р*г0*3 , давления - А V/г0*2, где ст* - коэффициент поверхностного натяжения, и ниже запишем все уравнения и граничные условия в безразмерных переменных.

Движение жидкости будем рассматривать как потенциальное. В пренебрежении вязким затуханием давление жидкости будет описываться уравнениями Бернулли, а потенциал скорости - уравнением Лапласа (задача линеаризуется по малой амплитуде внешнего воздействия)

р = -д® , А® = 0 . (2.1)

Ре дt ®е ( )

Здесь введен потенциал скорости жидкости соотношением V = У®, ре - пульсационное давление жидкости, t = tст"1 [р*г*) - безразмерное

время. Пульсационное поле ре отписывает отклонение давления от равновесного значения.

Газ в пузырьке считаем невесомым. Состояние газа описывается политропным процессом с показателем политропы и . Суммарное давление газа в пузырьке описывается условием

(р.0 + р,^) = рГо"Р ,

где е^р^ - безразмерное равновесное давление газа в пузырьке, 0 = Р'*г'* /ст* , Р* - размерное равновесное давление газа в пузырьке, р - пуль-сационное давление в пузырьке, К0 = ж - безразмерный равновесный объем пузырька, V (г) = V0 (1 + 2е 0), С =С(?,t) - безразмерное

отклонение поверхности от равновесного значения, е - малый параметр (малая безразмерная амплитуда колебаний будет определена ниже),

(0 = (2ж) 11 - угловые скобки означают

осреднение по поверхности пузырька = (г). В

результате для пульсационного давления газа в пузырьке получаем выражение

р, = -2прР*г*/СТ О = -Р0 О. (2.2)

На поверхности раздела пузырек-жидкость должно выполняться условие баланса нормальных напряжений и кинематическое граничное условие

Г = 1: И=С + ^С + дС , , (2.3)

ь да2 дг2 дt дг

где г = г */г* , г = 2 */И* - безразмерные координаты, а квадратными скобками обозначим скачок величины на границе раздела между внешней жидкостью и пузырьком.

На твердых поверхностях необходимо поставить условия непротекания

z = ±1/2 : ^ = 0 .

dz

(2.4)

Скорость движения контактной линии пропорциональна отклонению контактного угла от равновесного значения [3]

z =±12, г = 1: ^ =

' 8t dz

(2.5)

Предполагаем, что поверхностное натяжение на внешней поверхности жидкости достаточно мало и им можно пренебречь:

r = R :

% = 0.

(2.6)

Это модельное условие позволяет не рассматривать движение внешней линии контакта, что технически упрощает решение задачи, оставляя основные эффекты поведения пузырька. Фактически условие (2.6) означает, что внешняя жидкость окружена невесомым газом с постоянным безразмерным давлением, равным единице.

Краевая задача (2.1)-(2.6) содержит следующие безразмерные параметры: малую относительную амплитуду е = А */г'* , параметр смачивания

b = ro7h'

рУИ °

разом:

да

^(r,z) = i(r) + b{:]B{:] (r ))cos(2rniz} +

n =0

+ (a'0)4le) (r) + ЬВ) (r ))cos((2n + l)^z)),

C(a,z,t) = Re(#(z)eiaeM) , (3.2) £(z ) = dz + d^2 +

да

+XC) cos(2nnz) + cO) cos((2n + 1)nz)),

n=0

где a - частота собственных колебаний, an), a), bn), bj), c(e), co), d, d2 - неизвестные амплитуды, A<e) (r )= r , A(e) (r )= I (2плЬг ) при n - 1, A(o) (r ) = I ((2n +1) яЬг ) , ) (r ) = K (2n яЬг ) при n - 1, B<e) (r )= r-1, B,(o) (r)= K ((2n +1) яЬг) , ^ , K - модифицированные функции Бесселя, i -мнимая единица. Вид решения (3.2) написан исходя из кинематического условия (2.3), а два первых слагаемых (3.2) являются частным решением условия баланса нормальных напряжений (2.3).

Подставляя решения (3.1), (3.2) в задачу (2.1)-(2.6), получаем спектрально-амплитудную задачу, собственными числами которой являются частоты a собственных колебаний. Из решения этой задачи следует, что собственные числа находятся из уравнений для четных мод:

ia

(e )2

- (-1)П af . 1

a

2 1=1 Qle)2 -a2 6

+ Я = 0, (3.3)

Q<e)2 =

(2nnbf

геометрический параметр

F„

Ai:) (R q )

Bl K(1)

b(: ) (r 0)

- Aie 41)

при

радиус внешней поверхности

R = R*/r0* , a = a\jp*r*/и" - безразмерная частота.

3. Собственные колебания

Рассмотрим трансляционную моду собственных колебаний цилиндрического пузырька. В дальнейшем под четностью мод будем понимать четность относительно вертикальной координаты. Решение задачи (2.1)-(2.6) будем искать в виде рядов Фурье по собственным функциям уравнения Лапласа (2.1). Для потенциала < и отклонения поверхности С запишем решения следующим об-

n — 1 F = A(e) (1)-B(e) (1)A) (R 0) f = 4 ( 1) > 1, F An (1) Bn (1)в (e)(R0) , f n2n2

0,e)2_2b2(R 2 + 1) ^ - 2

(R2 -1)

для нечетных мод:

ia

^(-1)n a2gn ,

z

Qio)2 -a2 2

+ Я = 0.

(3.4)

n2 2 2n + 12b2

G„

A(o) (R ) ^ bI K(1) A^ - A(0 K(1)

Gn = AO (1) - bI) (1) ^^, gn =

% (r,a,z,t) = Re(^(r,z)eiaeia), (3.1)

'^(Я о )' " я2 (2п +1)2' Здесь О^), ) - частоты собственных колебаний пузырька со свободно скользящей контактной линией (т.е. при Л^да), А%)'(г) = дА%) (г)/дг ,

ЕС У (r) = дВ<" (r )/dr , ВС У (r ) = дБ? (r )/dr , fn -коэффициенты разложения в ряд Фурье функции z2 по базисным функциям cos (Innz) , gn - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции z по базисным функциям sin ((2n + i)^z). Уравнения (3.3), (3.4) решались методом секущих.

4. Результаты

Вначале отметим, что полученные уравнения (3.3), (3.4) не зависят от давления газа P0, поэтому пузырек ведет себя как капля несжимаемой жидкости нулевой плотности.

15 -|

Re(Q) _------^

\ »

10 - I

5 -

0,1

тттр-10

100

9 -| Im(Q)_

6 -

3 -

0,1

I "л 1 Щ

10 X 100

тов затухания первых мод О0, ^ собственных колебаний от параметра Л показаны на рис. 2.

На рис. 3, 4 приведены частоты и инкременты затухания двух первых мод для трех значений геометрического параметра Ь.

Частота монотонно уменьшается с увеличением Л (рис. 2, а). Наибольшее значение частоты имеет капля с закрепленной линией контакта (X = 0), наименьшее - свободно скользящая капля (Л —ж). Максимальное затухание достигается при конечных значениях параметра Л . Как уже отмечалось выше, коэффициент затухания 1т (О) — 0 в предельных случаях Л — 0 и Л —^ ж (рис. 2, б).

12 -i

Re(Q0) _

8-

4-

—i мши'-г-

0,1

10

15

Im(Qo) 10

Рис. 2. Зависимость частоты Ив (О) (а) и коэффициента затухания 1т (О) (б) от Л (К = 5); О - сплошная линия, О - штриховая

Нетрудно убедиться, что комплексные алгебраические уравнения (3.3), (3.4) имеют комплексные решения, что приводит к затуханию колебаний, которое вызвано диссипацией на линии контакта. Полученные уравнения качественно похожи на аналогичные уравнения для нахождения частот собственных колебаний цилиндрической капли несжимаемой жидкости [10].

Для удобства будем обозначать частоты четных мод, определяемых уравнением (3.3), О2к (к = 0,1,2,...), а частоты нечетных мод, которые являются решением уравнения (3.4), О2А+1 (к = 0,1,2,...). Зависимости частот и коэффициен-

I I 111М| I I I

0,1 1 10 Л 100

б

Рис. 3. Зависимость частоты Ив (О0) (а) и коэффициента затухания 1т (О0) (б) от Л (К = 5); Ь = 1 - сплошная линия, Ь = 2 -штриховая линия, Ь = 3 - пунктирная линия

Действительная часть частоты О0 обращается в нуль начиная с некоторого значения Л (рис. 2, а; 3, а). То есть такие "изгибные" колебания существуют только для достаточно малого параметра смачивания и обусловлены сильным взаимодействием капли с подложкой. В случае фиксированного краевого угла пузырек свободно скользит по подложке и колебания, сопровождающиеся движением центра масс пузырька, невозможны. При более высоких значениях Л возвращающая сила, действующая на пузырек со стороны подложки, недостаточна для возникновения колебательного

0

0

X

X

а

а

5

0

б

движения. В этом случае наблюдается затухающее поступательное движение пузырька по инерции (рис. 2, б). Это критическое значение Л растет с увеличением Ь . Подобное явление было обнаружено и для несжимаемых капель, окруженных жидкостью [8, 10]. Точке обращения в нуль действительной части частоты (рис. 2, а; 3, а) соответствует точка ветвления для коэффициентов затухания (рис. 2, б; 3, б). Кроме того, из рис. 3, а и 4, а видно, что значение частоты растет с Ь (т.е. с увеличением равновесного радиуса или уменьшением высоты пузырька). Максимальное значение коэффициента затухания тоже увеличивается с ростом Ь (см. рис. 3, б; 4, б).

40 —|

Re(Q1) -30-

20-

10-

\

—I I I 11111-1 I I I ММ|—I—I I I ММ|

0,1 1 10 я 100

a

20

Im(Q1)

10

Re(Q0)'

4-

тт]—I I 1111111—I I I lllll|

0,1 1 10 Я 100

а

15 —I

Im(Qo) . 10-

0,1

10 Я 100

б

I I I 11111 I I I 111111 I П

0,1 1 10 Л 100

б

Рис. 4. Зависимость частоты Ив (а) и коэффициента затухания 1т (б) от Л (Я = 5); Ь = 1 - сплошная линия, Ь = 1.5 -штриховая линия, Ь = 2 - пунктирная линия

Кроме колебательного (периодического) режима существует еще и монотонный (апериодический) режим, при котором корни уравнения (3.3) имеют только мнимую часть (рис. 3, б). Эти два режима не взаимодействуют до тех пор, пока частота колебательного режима не обращается в ноль.

С увеличением объема внешней жидкости частота (рис. 5, а) и декремент затухания (рис. 5, б) трансляционной моды уменьшаются. Отметим, что значения частот при Я = 5 и Я = 200 довольно близки, поэтому при больших Я можно рассматривать внешнюю жидкость, как имеющую бесконечный объем (Я ^да).

Рис. 5. Зависимость частоты Ив (^0) (а) и коэффициента затухания 1т (^0) (б) от Л (Ь = 1); Я = 2 - сплошная линия, Я = 5 -штриховая линия, Я = 200 - пунктирная линия

5. Заключение

Рассмотрены собственные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного другой жидкостью со свободной поверхностью и находящегося между двумя твердыми поверхностями. Учитывалась динамика контактной линии: скорость движения контактной линии предполагалась пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного значения. Коэффициент пропорциональности, так называемый параметр смачивания (постоянная Хокинга), характеризует свойства жидкости и материала подложки. Равновесный краевой угол прямой.

Найдено, что для основной моды собственных колебаний, которая описывает трансляционные движения колебания пузырька, частота колебаний может обращаться в нуль начиная с некоторого значения Л . Частота уменьшается с увеличением радиуса свободной поверхности внешней жидкости Я и увеличивается с ростом геометрического параметра Ь . Также отметим, что значения частот трансляционной моды не зависят от давления газа внутри пузырька.

Показано, что увеличение постоянной Хокинга приводит к уменьшению частоты собственных колебаний. Наименьшую собственную частоту имеет свободно скользящий по твердым поверхностям пузырек.

5

5

0

Работа выполнена при финансовой поддержке

проекта РФФИ № 14-07-96017-р-урал-а.

Список литературы

1. де Жен П. Ж. Смачивание: статика и динамика // Успехи физических наук. 1987. Т. 151, вып. 4. С. 619-681.

2. Воинов О. В. Гидродинамика смачивания // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976. № 5. С. 76-84.

3. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 267-281.

4. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, 052102.

5. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, 102105.

6. Lyubimov D. V., Lyubimova T P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18, 012101.

7. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, 072104.

8. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 6. С. 8-20.

9. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges // Physics of Fluids A. 1991. Vol. 3, N. 12. P. 2866-2874.

10. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48, № 5. С. 78-86.

11. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53, № 1. С. 1-12.

12. Алабужев А. А. Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций // Вычисли-

тельная механика сплошных сред. 2014. Т.7, № 2. С. 151-161.

References

1. de Gennes P. G. Smachivanie: statika i dinamika. Uspehi fizicheskikh nauk. 1987, vol. 151, issue 4, pp. 619-681. (In Russian).

2. Voinov O. V. Gidrodinamika smachivaniya. Iz-vestiya AN SSSR. Mehanika zhidkosti i gaza. 1976, no. 5. pp. 76-84. (In Russian).

3. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 267-281.

4. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate. Physics of Fluids. 2008, vol. 20, 052102.

5. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis. Physics of Fluids. 2011, vol. 23, 102105.

6. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate. Physics of Fluids. 2006, vol. 18, 012101.

7. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop. Physics of Fluids. 2009, vol. 21, 072104.

8. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Neosesimmetrichnye kolebaniya polusfericheskoi kapli. Izvestiya RAN. Mekhanika zhidkosti i gaza. 2004, no. 6, pp. 8-20. (In Russian).

9. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges. Physics of Fluids A. 1991, vol. 3, no. 12, pp. 2866-2874.

10. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Vliyanie dina-miki kontaktnoi linii na sobstvennye kolebaniya cilindricheskoi kapli. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika. 2007, vol. 48, no. 5, pp. 7886. (In Russian).

11. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Vliyanie dina-miki kontaktnoi linii na kolebaniya szhatoi kapli. Prikladnaya mekhanika i tehnicheskaya fizika. 2012, vol. 53, no. 1, pp. 1-12. (In Russian).

12. Alabuzhev A. A. Povedenie cilindricheskogo puzyr'ka pod deistviem vibracii. Vychislitel'naya mekhanika sploshnyh sred. 2014, vol.7, no. 2, pp. 151-161. (In Russian).

Translational mode of eigen oscillations of a cylindrical bubble

A. A. Alabuzhevab, M. I. Kaysinab

a Institute of Continuous Media Mechanics UB RAS, Academ. Koroleva str., 1, 614013, Perm b Perm State University, Bukireva St. 15, 614990, Perm email: alabuzhev@psu.ru

The translational mode of eigen oscillations of a cylindrical gas bubble surrounded by an incompressible fluid with a free non-deformable external interface are investigated in this article. A surface tension coefficient of external interface is small and negligible. Bubble is bounded by two parallel solid planes. Dynamics of contact line is taken into account by an effective boundary condition: velocity of the contact line is assumed to be proportional to deviation of the contact angle from the equilibrium value. The equilibrium contact angle is right. Depending on the frequency and damping rates of the parameters of the problem are investigated. It is shown that the fundamental frequency may vanish. Eigen frequency decreases with increasing radius of the outer liquid surface, increase with the geometrical parameter and do not depend on the gas pressure inside the bubble.

Keywords: dynamic contact line; eigen oscillations; cylindrical gas bubble