CC BY
8ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
2015 Серия: Физика Вып.3 (31)
УДК 532.5.032
Собственные азимутальные колебания цилиндрического пузырька в сосуде конечного объема
А. А. Алабужев a'b, М. И. Кайсинаb
a Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, Пермь, ул. Академика Королева, 1 b Пермский государственный национальный исследовательский университет, 614990, Пермь, ул. Букирева, 15 email: alabuzhev@mail.ru
Рассматриваются собственные азимутальные колебания газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью конечного объёма в цилиндрическом сосуде. В равновесном состоянии пузырек имеет форму цилиндра и ограничен в осевом направлении двумя параллельными твердыми поверхностями. Скорость движения линии контакта пропорциональна отклонению краевого угла от его равновесного значения. Исследована зависимость частот и декрементов затухания собственных колебаний от параметров задачи. Частоты собственных колебаний уменьшаются с увеличением радиуса сосуда и увеличиваются с ростом геометрического параметра (отношение равновесного радиуса пузырька к его высоте). Для основной частоты каждой моды существует интервал значений постоянной Хокинга, на котором эта частота обращается в нуль. Длина этого интервала растет с увеличением геометрического параметра.
Ключевые слова: собственные колебания; азимутальные колебания; линейные колебания; динамика контактной линии; цилиндрический пузырек
1. Введение
Данная статья продолжает цикл работ [1-6], посвященных изучению собственных и вынужденных колебаний цилиндрического газового пузырька.
В работах [1, 2] изучались осесимметричная мода собственных колебаний и вынужденные колебания цилиндрического газового пузырька в однородном пульсационном поле давления. Предполагалось, что внешняя поверхность жидкости свободная, т.е. поверхностное натяжение на внешней поверхности жидкости достаточно мало, и им можно пренебречь. Фактически это означает, что внешняя жидкость окружена невесомым газом с постоянным безразмерным давлением, равным единице. Трансляционная мода собственных колебаний такого пузырька исследовалась в [3], азимутальные моды - в [4]. Твердая внешняя стенка у жидкости учитывалась в работах [5, 6] при исследовании влияния осесимметричных вибраций и в работе [5] - трансляционных.
В перечисленных выше работах движение линии контакта трех сред (твердая пластина-
жидкость-газ) описывалось эффективным граничным условием, допускающим линейную связь между скоростью движения линии контакта и краевым углом [7] (равновесный краевой угол предполагается прямым):
дС* = Лк-ЧС, (1.1)
г*
где С - отклонение поверхности от равновесного
положения, Л* - феноменологическая постоянная (постоянная Хокинга), к - вектор нормали к твердой поверхности. Условие (1.1) описывает два важных предельных случая: фиксированной контактной линии и фиксированного краевого угла при д£*Iд = 0 и к -УС* = 0 соответственно.
В работе [7], при изучении затухания стоячих волн на поверхности жидкости между двумя вертикальными стенками, было показано, что граничное условие (1.1) приводит к затуханию колебаний, за исключением двух указанных выше предельных случаев. Следовательно, затухание связано с взаимодействием движущейся контактной линии с неровностями (шероховатостями) твердой поверхно-
© Алабужев А. А., Кайсина М. И., 2015
сти, а параметр Л зависит от свойств жидкости и поверхности. Отметим, что условие (1.1) отличается от работ, посвященных растеканию жидкости [8-11] или взаимодействию капли (пузырька) со стенкой [12, 13].
Кроме упомянутых выше работ [1-7] условие (1.1) использовалось при исследовании колебаний полусферической капли несжимаемой жидкости на подложке [14, 15], полусферического газового пузырька в жидкости конечной глубины на подложке [16], жидкого (капиллярного) моста [17], цилиндрической капли [18] и сжатой капли (имеющей форму фигуры вращения) [19-21].
Условие фиксированной контактной линии, которое является предельным случаем (1.1), использовалось, например, при исследовании собственных колебаний жидкого моста в поле тяжести [22], параметрической неустойчивости полуцилиндрической капли слабовязкой жидкости на подложке [23] и цилиндрической капли [24]. Другой предельный случай, фиксированный контактный угол, рассматривался, например, при изучении колебаний сжимаемой полусферической капли на подложке [25] и цилиндрической капли несжимаемой жидкости при многочастотном воздействии [26].
В работах [27-29] использовалось более сложное граничное условие, учитывающее гистерезис краевого угла [30, 31]:
дС*
дГ
= Л*
У-Ус ,У>Ус
0, У < Ус У + Ус ,У<-Ус
(1.2)
ный идеальной жидкостью плотностью р* (рис. 1). В сосуде находится газовый пузырек, который в состоянии равновесия имеет форму цилиндра радиусом г0* и высоты И*. Краевой угол между боковой поверхностью пузырька и твердыми плоскостями в равновесии прямой.
Газ в пузырьке считаем невесомым. Состояние газа описывается политропным процессом. В работах [1, 3, 16, 28] было показано, что в этом случае пульсационное давления газа оказывает влияние только на объемную моду собственных колебаний. Следовательно, при исследовании поверхностных мод это давление можно не учитывать, и пузырек ведет себя как капля несжимаемой жидкости.
В силу симметрии задачи будем использовать цилиндрическую систему координат (г * ,а , 2*).
Боковую поверхность пузырька можно описать соотношением:
г* = г* + С* (а, 2 , Л ),
где С* (а, 2*, Л*) - функция, описывающая отклонение поверхности от равновесного положения.
где У = дС*/дг* - отклонение краевого угла от
равновесного значения, 2* - координата, ортогональная к твердой поверхности и увеличивающаяся вглубь жидкости. Условие (1.2) хорошо описывает результаты экспериментальных работ [32, 33] при малых отклонениях краевого угла.
При исследовании движения цилиндрической капли жидкости в переменном электрическом поле [34-36] использовалось модифицированное условие (1.1): скорость движения контактной линии пропорциональна сумме отклонения краевого угла и скорости быстрых релаксационных процессов, частоты которых пропорциональны удвоенной частоте электрического поля.
В данной работе рассматриваются азимутальные собственные колебания цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью в замкнутом сосуде конечного объема.
2. Постановка задачи
Постановка рассматриваемой задачи аналогична [5, 6]. Рассмотрим замкнутый сосуд цилиндрической формы радиуса К* и высоты И*, заполнен-
Рис. 1. Геометрия задачи
Выберем в качестве единиц измерения времени - Р7, радиальной координаты - г*, осевой координаты - И* , отклонения поверхности - амплитуду колебаний А*, скорости - Л'^а /р*ег0*3 , давления - Аа* / г*2, где а*. - коэффициент поверхностного натяжения.
Рассматриваемая система описывается следующими линейными уравнениями (задача линеаризуется по малой относительной амплитуде внешнего воздействия):
р = А + Ю2 2еш 1 дл
Аф = 0,
(2.1)
г = 1:
1 д ( д Л 1 д2 д2
А =--1 г— + — —- +—г
г дг У дг) г да дг
[ р ]=С+Ч+ь 2 дС, ,
11 да2 дг2 дл дг '
(2.2)
*
г
*
н
г
■ = +1/2:
dP = 0,
dz
z = ±1/2, г = 1: ^ =
' 8t dz
r = R:
dP = 0,
dr
(2.3)
(2.4)
(2.5)
* / * ¡ * rn=rn ,¡pj* /ст .
p( r, z, t ) = Re (r, z) ^e™
(r, z ) =
да
x(( «mn ап (r)+m втп (r)) cos (2^«z)+
n=0
(«ÜАП (r) + bOBO (r))sin((2n + 1) *z)),
= i
c(z,t) = Re| z)eimae™
L( z ) =
= d(e' ch
где Q - частота собственных колебаний, а
(e)
,( o)
b
( o)
b
(e)
„( e)
„(o)
d
(e)
d
(o)
где р - потенциал скорости жидкости, р - давление жидкости, С - отклонение боковой поверхности пузырька от положения равновесия, г = г*/г0* , 2 = 2*/к" - безразмерные координаты; квадратными скобками обозначим скачок величины на границе раздела между жидкостью и пузырьком.
Краевая задача (2.1)-(2.5) содержит следующие безразмерные параметры: малую относительную амплитуду е = Л* / г0*, параметр смачивания
Я = Л*/а/р*г0*/ст* , геометрический параметр й = г0*/ к*, радиус внешней поверхности Л = Л**/ г0*, безразмерная частота вибраций -
(3.1)
(3.2)
Vm2 -1
+ d(o' sh
y¡m2 -1
да
^(c« cos(2^nz) + sin((2n + l)nz)),
неизвестные амплитуды, i - мнимая единица,
АО (r) = rm, B« (r) = rm, Amn (r) = Im (2nnbr), ВП (r) = Km (2nnbr), Amn (r) = Im ((2n +1) TTbr) и Bmn (r) = Km ((2n +1) TTbr) при n > 1, Im , Km -
модифицированные функции Бесселя m-го порядка, m > 2 - азимутальное квантовое число, n -волновое квантовое число. Вид решения (3.2) написан исходя из кинематического условия (2.2), а два первых слагаемых (3.2) являются частным решением условия баланса нормальных напряжений (2.2). Решения (3.1), (3.2) являются суммой четных и нечетных мод собственных колебаний, где под четностью подразумеваем четность функций относительно смены знака координаты z.
Подставляя решения (3.1), (3.2) в задачу (2.1)-(2.5), получаем спектрально-амплитудную задачу, собственными числами которой являются частоты Q собственных колебаний. Из решения этой задачи следует, что собственные числа находятся из следующих уравнений: для четных мод:
(
Q2
3. Собственные колебания
Рассмотрим собственные азимутальные колебания цилиндрического газового пузырька. Решение задачи (2.1)-(2.5) будем искать в виде рядов Фурье по собственным функциям оператора Лапласа. Для потенциала р и отклонения поверхности С запишем решения следующим образом:
/о
O(e )2 -O2 m,0 O
V
(-1)n m
\
¿ Q(e)2 - O2
1 mn O
+ ch
4m2 -11 m2 -1 , ÍVm2 -1
(3.3)
Im ~2b
im iOb
sh
ome,*2 = m (m2-1)
Zm ~2b
m+1 _ ^
r2 m+1 +1
= о,
O(e)2 =(m2 -1 + 4л2 n2b2) % ,
m.n V ! F(e) '
mn
F(e) = B(e) (1) Ar2 (R ) - а (e) (, ) mn mn \ J . , . mn \ f >
Bmn),( r ) &:> = 4^(1)-B(n'(1)
Bmn ( r )
:(e)
/
J mn
m2 -1 + 4л2n2b2 для нечетных мод:
(3.4)
mn
mn
mn
^ =( m-i+(2n+1)2 ж2ь2 )
F(o) = r(°) (i) Amn (R) - a(o) (1)
mn n ( ) ß(o)' (д) Amn ()
mn ( )
Go) = 4n'(i)-Bmm)'(i)Am (R)
Smn
4 (-l)nb
B(o)' (R)
mn
Vm -1
m2 -1 + (2n +1)2 ж b
-ch
2b
уравнения (3.4), &т1к+1 (т > 2, к = 0,1,...). Таким образом, частоты Отп собственных колебаний с нечетным индексом п будут соответствовать нечетным модам (3.4), а с четным п - четным модам (3.3).
Зависимости частот и коэффициентов затухания первых мод собственных колебаний для т = 2 и т = 3 от параметра X показаны на рис. 2 и 3.
30 -I
Здесь Q(e„, Q(O„ - частоты собственных колебаний пузырька с фиксированным краевым углом (т.е. при к ^ ю); АП (г) = аЛП (r)¡dr,
Am) (r) = ¿A2 (r )/dr, Bmn (r) = dBmn (r )/dr,
Bmmn' (r)=dB(mi (rV5r, fn,n - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции ch (z\¡m~ -1 / b) по
базисным функциям cos (2nnz) , gmíi - коэффициенты разложения в ряд Фурье функции sin (z / b) по базисным функциям sh (z^¡m2 -1 / b). Частоты
20 -
10 -
0
n=2
n=1
n=0
0.01 0.1 1 10 X 100
a
Qe>n и Q^i обращаются в нуль при значениях
2(е) и О(о)
т,п т,п
геометрического параметра Ь равных 1/ (2жп) и 1/ ((2п + 1)я) соответственно. При меньших значениях ь квадраты этих частот становятся отрицательными, что соответствует развитию неустойчивости Рэлея (или Рэлея-Плато) для цилиндрического столба жидкости [37-40]. Следовательно, возможное минимальное значение Ь = 1/ я, что равняется половине длины волны Рэ-леевской неустойчивости.
Полученные уравнения (3.3), (3.4) качественно похожи на аналогичные уравнения для нахождения частот собственных колебаний цилиндрической капли несжимаемой жидкости [18] и цилиндрического пузырька в жидкости со свободной поверхностью [4] и решались методом секущих.
4. Результаты
Уравнения (3.3), (3.4) будут иметь действительные решения только в двух предельных случаях: X = 0 (закрепленная линия контакта) и (фиксированный краевой угол). В общем случае, эти уравнения имеют комплексные корни, что приводит к затуханию колебаний, которое вызвано диссипацией на линии контакта.
Аналогично работам [1-6] для удобства будем обозначать частоты четных мод, определяемых уравнением (3.3), От1к (т > 2, к = 0,1,...), а частоты нечетных мод, которые являются решением
8 -|
lm(Q2,n) -6 -
4 -
2 -
0 -
0.01
0.1
10 X 100
Рис. 2. Зависимость от X (Ь = 1, К = 5): а - частоты Яе (О2и) >' б - коэффициента затухания
^ (П2,п ) •
Частота собственных колебаний монотонно уменьшается с увеличением X (рис. 2, а, 3, а). Эти графики качественно совпадают с аналогичными зависимостями из работ [1, 3, 4]. Отметим, что для Яе (О) строится только одно решение, сопряженное ему решение (четное относительно оси абсцисс) на графиках не приводится. Наибольшее значение частоты имеет пузырек с закрепленной линией контакта (X = 0), наименьшее - с фиксированным краевым углом (X^■<x). Максимальное затухание достигается при конечных значениях параметра X (рис. 2, б, 3, б). Как уже отмечалось выше, коэффициент затухания свободных колебаний 1т (О) ^ 0 в предельных случаях X ^ 0 и
X^■<x (рис. 2, б, 3, б). Отметим также, что значения инкрементов затухания увеличиваются с ро-
mn
б
стом волнового числа п (рис. 2, б, 3, б), т.е. более высокочастотные колебания (рис. 2, а, 3, а) затухают быстрее. Кроме того, для более высоких мод зависимости частоты и коэффициента затухания будут аналогичными.
На рис. 4-6 приведены частоты и инкременты затухания трех первых мод для трех значений геометрического параметра Ь. В качестве примера на рис. 7 также построена основная частота и инкремент затухания свободных колебаний моды т = 2 для нескольких значений Ь.
Из графиков следует, что значение частоты (рис. 4, а, 5, а, 6, а, 7, а) растет с Ь (т.е. с увеличением равновесного радиуса или уменьшением высоты пузырька). Максимальное значение коэффициента затухания тоже увеличивается с ростом Ь (см. рис. 4, б, 5, б, 6, б, 7, б).
Действительная часть частоты От0 обращается
в нуль на некотором интервале значений X (рис. 4, а, 5, а, 6, а). Длина этого интервала зависит от параметра Ь и растет с увеличением значений.
При Ь = 1 действительная часть основных частот 0 не обращается в нуль при любом значении X (рис. 4а). Однако при Ь = 2 уже существует интервал значений X, на котором Яе(^20) = 0 (рис. 5, а), а при Ь = 2 подобные интервалы есть уже для Яе (^20) и Яе (^30) (рис. 6, а).
30 -|
20 -
10 -
0 -
n=2
n=1
n=0
0.01 0.1 1 10 X 100
а
n=2
8 —| Im(Ü3,n) -642 -
'"I ........I
0.01 0.1 1 10 X 100
б
Рис. 3. Зависимость от X (b = 1, R = 5): а -частоты Re (Q3 п ) ; б - коэффициента
затухания Im (^Зи)
12 -1 Re(Qm,0)
8-________
4-
\ m=4
\
V m=3 m=2
0.01 0.1 1
а
10 X 100
3-i |m(Qm,0)
2 -
1 -
'"I ........I ........I ........I
0.01 0.1 1 10 X 100
б
Рис. 4. Зависимость от X (b = 1, R = 5): а - частоты Re (Qm 0); б - коэффициента затухания Im (Qm 0)
16 "I
Re(Qm,0)" 12 -
8 -
4 -
T
T"
m=4
m=3
m=2
С
0.01 0.1 1
а
20 —| |m(üm,c) -1510-
5-
0
10 X 100
m=2
I IIIIII I......I
0.01 0.1 1
б
10 X 100
Рис. 5. Зависимость от X (b = 2, R = 5): а - частоты Re (Qm 0); б - коэффициента затухания Im (Qm 0)
0
0
24 -| 18 -12 -6 -
т=4 т=3 т=2
I I 11Ш| 0.01 0.1
П 1Т1 ГТ| 10 Я 100
30-1 1т(°т,0)
20-
10-
0-
ТТ
0.01 0.1 1
б
10 Я 100
Рис. 6. Зависимость от X (Ь = 3, К = 5): а - частоты Яе (От 0); б - коэффициента затухания 1т (От0)
12
Ке(О2_0) I
8-
4-
Ь=2
Ь=1.5
Ь=1
Ь=0.5
\ «
••. I \ I : I
: I
I I ■ I ■ I ■ 1|—I 1111Ш|—г п мш|—I 11 ■ 1Ш| 0,01 0,1 1 10 X 100
а
12-1
1т(О20)
8-
4-
I
' Ь=2
0-
0,01 0,1
10 я, 100
20 -I
|т(О2) 15 -
100—1
|т(О) -
75-
Ь=3,
\Ь=5
Ь=1
___У ..-V
11111М| "ГТпП||р'"Г'ТУм'Г|||—I I 1111М|
I I I I I I
I I
■; Ь=5
0.01 0.1 1 а
10 X 100
I ШМ| II I ||Ш|—I I I М1М|-1 I I ШМ|
0.01 0.1 1 10 X 100
20 -, |т(О3) 15 -
100—1
|т(О) -
75-
0.01 0.1 1 в
I 1Ш1| II I 111М|-1 I I 11М1|-1 I I ШМ|
0.01 0.1 1 10 100
20 -| 1т(О4) -15 -
100—1
1т(О4) -75-
1ь=3; !
у
11 |||И| I 111|||||—I 111|||||—I 111||||| 0.01 0.1 1 10 100
д
7Ь=3
тш]—I П|им|—I I ||ш||—I I ||ш|| 0.01 0.1 1 10 X 100
Рис. 8. Зависимость коэффициента затухания 1т (О) монотонного режима от X (К = 5): а, в, д - четные моды; б, г, е - нечетные моды
6-1 ^е(О20)
4-
Р=5
Р=2
0.01 0.1 1
а
10 х 100
3-1 1т(О2,0)
2 -
1 -
0
0.01 0.1 1 10 X 100
б
Рис. 7. Зависимость от X (К = 5): а - частоты Яе (О о) >' б - коэффициента затухания 1т (О о)
Рис. 9. Зависимость от X (Ъ = 1): а -частоты Яе (О2 0); б - коэффициента затухания 1т (О о)
50-
0 -
5 -
б
Ь=5
а
50-
25-
10 % 100
г
Ь=5
50-
10 -
25-
5 -
е
2
б
Точке обращения в нуль действительной части частоты От 0 (рис. 5, а, 6, а, 7, а) соответствует
точка ветвления для коэффициентов затухания (рис. 5, б, 6, б, 7, б). Для других частот п > 1 такую зависимость обнаружить не удалось (рис. 2, а, 3, а, 8, а).
Похожий эффект был обнаружен при изучении собственных колебаний капли несжимаемой жидкости [14, 18] и пузырька [4]: обнаружено, что основная частота любой моды обращается в нуль на некотором интервале значений X начиная с некоторого критического значения геометрического параметра Ь. Величина этого интервала увеличивается с ростом Ь. Появление таких интервалов обусловлено сильным взаимодействием линии контакта с подложкой. Отметим, что при изучении трансляционной моды в работах [3, 14, 18] было обнаружено, что основная частота такой моды обращается в нуль начиная с некоторого значения X = X. При этом такое характерное значение X существует при любых значениях Ь.
Для осесимметричных мод [1, 6, 18] наблюдается обратный эффект: частота основной моды собственных колебаний может обращаться в нуль на некотором интервале значений X, но длина этого интервала уменьшается с увеличением геометрического параметра Ь. Такая зависимость основной частоты осесимметричной моды от параметра X отличается от зависимостей других мод.
Кроме колебательного режима существует и монотонный режим, т.е. когда корни уравнений (3.3), (3.4) - только мнимые числа. Эти два режима не взаимодействуют до тех пор, пока частота колебательного режима не обращается в нуль. На рис. 8 построены инкременты затухания монотонного режима для трех значений параметра Ь. Из графиков на рис. 8 а, в, д видно, что для четных мод при больших значениях Ь существуют интервалы значений X , на которых инкремент затухания принимает три разных значения. Для нечетных мод (рис. 8 б, г, е) таких интервалов нет при любых значениях параметра Ь.
С увеличением радиуса сосуда значения частот довольно близки (см. рис. 9), поэтому при конечных Я можно рассматривать внешнюю жидкость (и, соответственно, сосуд), как имеющую бесконечный объем (Я ^да). Отметим также, что значения частот собственных колебаний пузырька с фиксированным краевым углом О^, Ослабо меняются при конечных Я и в пределе Я ^ да от Я не зависят.
5. Заключение
Рассмотрены азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического газового пузырька, окруженного несжимаемой жидкостью в замкну-
том сосуде. Учитывалась динамика контактной линии: скорость движения контактной линии предполагалась пропорциональной отклонению контактного угла от равновесного значения. Коэффициент пропорциональности, так называемый параметр смачивания X (постоянная Хокинга), характеризует свойства жидкости и материала подложки. Равновесный краевой угол прямой.
Найдено, что для любой азимутальной моды собственных колебаний основная частота колебаний может обращаться в нуль, начиная с некоторого значения геометрического параметра Ь, на интервале значений параметра X. Длина этого интервала растет с увеличением Ь.
Частоты уменьшаются с увеличением радиуса сосуда Я и увеличиваются с ростом геометрического параметра Ь. Инкремент затухания также увеличивается с ростом Ь или волнового числа п. Также отметим, что значения частот азимутальных мод не зависят от давления газа внутри пузырька.
Показано, что увеличение постоянной Хокинга приводит к уменьшению частоты собственных колебаний. Наименьшую собственную частоту имеет свободно скользящий по твердым поверхностям пузырек.
Работа выполнена при финансовой поддержке проекта РФФИ № 14-07-96017-р-урал-а.
Список литературы
1. Алабужев А. А. Поведение цилиндрического пузырька под действием вибраций // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. Т. 7. № 2. С. 151-161.
2. Кайсина М. И. Динамика цилиндрического пузырька в переменном поле давления // Математическое моделирование в естественных науках. 2014. Т. 1. С. 107-110.
3. Алабужев А. А., Кайсина М. И. Трансляционная мода собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2015. Вып. 1 (29). С. 35-41.
4. Кайсина М. И. Азимутальные моды собственных колебаний цилиндрического пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2015. № 2 (29). С. 37-45.
5. Кайсина М. И. Колебания цилиндрического пузырька под действием продольных или поперечных вибраций // Математическое моделирование в естественных науках. 2015. Т. 1. С. 189-194.
6. Алабужев А. А., Кайсина М. И. Влияние движения линии контакта на осесимметричные колебания цилиндрического пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2015. Вып. 2 (30). С. 56-68.
7. Hocking L. M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 253-266. .
8. Воинов О. В. Гидродинамика смачивания // Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. 1976. № 5. С. 76-84.
9. де Жен П. Ж. Смачивание: статика и динамика // Успехи физических наук. 1987. Т. 151, вып. 4. С. 619-681.
10. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rol-ley E. Wetting and spreading // Review of Modern Physics. 2009. Vol. 81. P. 739-805.
11. Кирюшин В. В. О течениях с движущейся линией контакта // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 2. С. 23-34.
12. Клименко Л. С., Любимов Д. В. Генерация среднего течения пульсационным потоком около цилиндрического газового пузырька // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2011. Вып. 1. С. 9-13.
13. Клименко Л. С., Любимов Д. В. Генерация среднего течения пульсационным потоком около искривленной свободной поверхности // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2012. № 1. С. 33-43.
14. Любимов Д. В., Любимова Т. П., Шкляев С. В. Неосесимметричные колебания полусферической капли // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2004. № 6. С. 8-20.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate // Physics of Fluids. 2006. Vol. 18, 012101.
16. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate // Physics of Fluids. 2008. Vol. 20, 052102.
17. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges // Physics of Fluids A. 1991. Vol. 3. N. 12. P. 2866-2874.
18. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на собственные колебания цилиндрической капли // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. № 5. С. 78-86.
19. Алабужев А. А. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского. 2011. № 4-3. С. 622-624.
20. Алабужев А. А. Вынужденные колебания сжатой капли с учетом движения контактной линии // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4 (22). С. 7-10.
21. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Влияние динамики контактной линии на колебания сжатой капли // Прикладная механика и техническая физика. 2012. Т. 53. № 1. С. 1-12.
22. Демин В. А. К вопросу о свободных колебаниях капиллярного моста // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2008. № 4. С. 28-37.
23. Картавых Н. Н., Шкляев С. В. О параметрическом резонансе полуцилиндрической капли на осциллирующей твердой подложке // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2007. Вып. 1 (6). С. 23-28.
24. Алабужев А. А. Влияние вязкости на устойчивость колебаний цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. 2013. № 1. С. 3-5.
25. ИванцовА. О. Акустические колебания полусферической капли // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 3 (21). С. 16-23.
26. Алабужев А. А., Любимов Д. В. Поведение цилиндрической капли при многочастотных вибрациях // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2005. № 2. С. 18-28.
27. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop // Physics of Fluids. 2009. Vol. 21, 072104.
28. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: Interplay of compressibility and contact angle hysteresis // Physics of Fluids. 2011. Vol. 23, 102105.
29. Алабужев А. А. Динамика цилиндрической капли с учетом влияния гистерезиса краевого угла // Вестник Пермского университета. Серия: Физика. 2012. Вып. 4 (22). С. 3-6.
30. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate // Journal of Fluid Mechanics. 1987. Vol. 179. P. 267-281.
31. Miles J. W. The capillary boundary layer for standing waves // Journal of Fluid Mechanics. 1991. Vol. 222. P. 197-205.
32. AblettR. An investigation of the angle of contact between paraffin wax and water // Philosophical Magazine. 1923. Vol. 46. P. 244-256.
33. Dussan V. E. B. On the spreading of liquids on solid surfaces: static and dynamic contact lines // Annular Review of Fluid Mechanics. 1979. Vol. 11. P. 371-400.
34. Кашина М. А. Влияние переменного электрического поля на колебания цилиндрической капли // Математическое моделирование в естественных науках. 2014. Т. 1. С. 120-122.
35. Алабужев А. А., Кашина М. А. Колебания цилиндрической капли в переменном электрическом поле // Технические науки - от теории к практике. 2014. № 41. С. 124-128.
36. Кашина М. А., Алабужев А. А. Вынужденные колебания цилиндрической капли в переменном неоднородном электрическом поле // XIX Зимняя школа по механике сплошных сред: сборник статей / Институт механики сплошных сред Уральского отделения РАН. Пермь, 2015. С. 105-110.
37. Plateau J. A. F. Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur // Mémoires de
l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. 1849. Ser. 23. P. 5.
38. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity // Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. 1863. P. 270-285.
39. LordRayleigh. On the instability of jets // Proceeding of London Mathematical Society. 1878. V. 10. P. 4-13.
40. Lord Rayleigh. On the instability of cylindrical fluid surface // Philosophical magazine. Series 5. 1892. V. 34. P. 177-180.
References
1. Alabuzhev A. A. Behavior of a cylindrical bubble under vibrations. Computational Continuum Mechanics. 2014, vol. 7, no. 2, pp. 151-161 (In Russian).
2. Kaysina M. I. Dinamika cilindricheskogo puzyr'ka v peremennom pole davleniya. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2014, no. 1, pp. 107-110 (In Russian).
3. Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Average flow generation by pulsating flow near cylindrical gas bubble. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2015, no. 1 (29), pp. 35-41 (In Russian).
4. Kaysina M. I. Azimuthal modes of eigen oscillations of a cylindrical bubble. Bulletin of Perm University. Mathematics. Mechanics. Computer Science. 2015, no. 2 (29), pp. 37-45 (In Russian).
5. Kaysina M. I. Kolebaniya cilindricheskogo puzyr'ka pod deistviem prodolnyh ili poperechnyh vibracii. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2015, no. 1, pp. 189-194 (In Russian).
6. Alabuzhev A. A., Kaysina M. I. Influence of contact line motion on axisymmetric vibrations of a cylindrical bubble. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2015, no. 2 (30), pp. 56-68 (In Russian).
7. Hocking L. M. The damping of capillary-gravity waves at a rigid boundary. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 253-266.
8. Voinov O. V. Hydrodynamics of wetting. Fluid Dynamics. 1976, vol. 11, no. 5, pp. 714-721.
9. de Genn P. G. Wetting: Statics and dynamics. Review of Modern Physics. 1985, vol. 57, pp. 827863.
10. Bonn D., Eggers J., Indekeu J., Meunier J., Rol-ley E. Wetting and spreading. Reviews of Modern Physics. 2009, vol. 81, pp. 739-805.
11. Kiryushin V. V. Flows with a moving contact line. Fluid Dynamics. 2012, vol. 47, no. 2, pp. 157-167.
12. Klimenko L. S., Lyubimov D. V. Average flow generation by pulsating flow near cylindrical gas bubble. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2011, no. 1 (16), pp. 9-13 (In Russian).
13. Klimenko L. S., Lyubimov D. V. Generation of an average flow by a pulsating stream near a curved free surface. Fluid Dynamics. 2012, vol. 47, no. 1, pp. 26-36.
14. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Non-axisymmetric oscillations of a hemispherical drop. Fluid Dynamics. 2004, vol. 39, no. 6, pp. 851-862.
15. Lyubimov D. V., Lyubimova T. P., Shklyaev S. V. Behavior of a drop on an oscillating solid plate. Physics of Fluids. 2006, vol. 18, 012101.
16. Shklyaev S., Straube A. V. Linear oscillations of a hemispherical bubble on a solid substrate. Physics of Fluids. 2008, vol. 20, 052102.
17. Borkar A., Tsamopoulus J. Boundary-layer analysis of dynamics of axisymmetric capillary bridges. Physics of Fluids A. 1991, vol. 3, no. 12, pp. 2866-2874.
18. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the contact-line dynamics on the natural oscillations of a cylindrical droplet. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2007, vol. 48, no. 5, pp. 686-693.
19. Alabuzhev A. A. The effect of contact line dynamics on the oscillations of an oblate drop. Vestnik of Lobachevsky University of Nizhni Novgorod. 2011, no. 4-3, pp. 622-624 (In Russian).
20. Alabuzhev A. A. Forced oscillations of an oblate drop. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 4 (22), pp. 7-10 (In Russian).
21. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Effect of the contact-line dynamics on the oscillations of a compressed droplet. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2012, vol. 53, no. 1, pp. 9-19.
22. Demin V. A. Problem of the free oscillations of a capillary bridge. Fluid Dynamics. 2008, vol. 43, no. 4, pp. 524-532.
23. Kartavih N. N., Shklyaev S. V. O parametrich-eskom rezonanse polucilindricheskoi kapli na os-ciyliruyushei tverdoi podlozhke. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2007, no. 1 (6), pp. 23-28 (In Russian).
24. Alabuzhev A. A. Vliyanie vyazkosti na ustoichiv-aost' kolebanii cilindricheskoi kapli. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2013, no. 1, pp. 3-5 (In Russian).
25. Ivantsov A. O. Akusticheskie kolebaniya polusfericheskoi kapli. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 3 (21), pp. 16-23 (In Russian).
26. Alabuzhev A. A., Lyubimov D. V. Behavior of a cylindrical drop under multi-frequency vibration. Fluid Dynamics. 2005, vol. 40, no. 2, pp. 183-192.
27. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V. Stick-slip dynamics of an oscillated sessile drop. Physics of Fluids. 2009, vol. 21, 072104.
28. Fayzrakhmanova I. S., Straube A. V., Shklyaev S. Bubble dynamics atop an oscillating substrate: In-
terplay of compressibility and contact angle hysteresis. Physics of Fluids. 2011, vol. 23, 102105.
29. Alabuzhev A. A. The influence of contact angle's hysteresis on the cylindrical drop's dynamics. Bulletin of Perm University. Series: Physics. 2012, no. 4 (22), pp. 3-6 (In Russian).
30. Hocking L. M. Waves produced by a vertically oscillating plate. Journal of Fluid Mechanics. 1987, vol. 179, pp. 267-281.
31. Miles J. W. The capillary boundary layer for standing waves. Journal of Fluid Mechanics. 1991, vol. 222, pp. 197-205.
32. Ablett R. An investigation of the angle of contact between paraffin wax and water. Philosophical Magazine. 1923, vol. 46, pp. 244-256.
33. Dussan V. E. B. On the spreading of liquids on solid surfaces: static and dynamic contact lines. Annular Review of Fluid Mechanics. 1979, vol. 11, pp. 371-400.
34. Kashina M. A. Vliyanie peremennogo elektrich-eskogo polya na kolebaniya cilindricheskoi kapli. Matematicheskoe modelirovanie v estestvennyh naukah. 2014, no. 1, pp. 120-122 (In Russian).
35. Alabuzhev A. A., Kashina M. A. Kolebaniya cilindricheskoi kapli v peremennom elektriches-
kom pole. Tehnicheskie nauki - ot teorii k prak-tike. 2014, no. 41, pp. 124-128 (In Russian).
36. Kashina M. A., Alabuzhev A. A. Vynuzhdenney kolebaniya v peremennom neodnorodnom el-ektricheskom pole. XIX Zimnyaya shkola po me-hanike sploshnyh sred. Sbornik statei. Institute of Continuous Media Mechanics of UB RAS, Perm, 2015, pp. 105-110 (In Russian).
37. Plateau J. A. F. Sur les figures d'equilibre d'une masse liquide sans pesanteur. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique. 1849, ser. 23, p. 5 (In French).
38. Plateau J. A. F. Experimental and theoretical researchers on the figures of equilibrium of a liquid mass withdrawn from the action of gravity. Annual Report of the Board of Regents of the Smithsonian Institution. 1863, pp. 270-285.
39. Rayleigh, Lord. On the instability of jets. Proceeding of London Mathematical Society. 1878, vol. 10, pp. 4-13.
40. Rayleigh, Lord. On the instability of cylindrical fluid surface. Philosophical magazine Series 5. 1892, vol. 34, pp. 177-180.
Influence of contact line motion
on axisymmetric vibrations of a cylindrical
bubble
A. A. Alabuzhevab, M. I. Kaysinab
a Institute of continuous media mechanics UB RAS, Akademik Korolev str., 1, 614013, Perm; b Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm; email: alabuzhev@psu.ru
We study the eigenoscillations of a cylindrical gas bubble surrounded by an incompressible fluid in a cylindrical container. The bubble has a cylindrical shape in equilibrium and is bounded axially by two parallel solid surfaces. Dynamics of contact line is taken into account by an effective boundary condition: velocity of the contact line is assumed to be proportional to deviation of the contact angle from the equilibrium value. The equilibrium contact angle is right. Dependence of the eigenfrequen-cy and damping rates on the parameters of the problem are investigated. Eigen frequency decreases with decreasing container radius and increase with the geometrical parameter. For the fundamental frequency of each mode there is a range of the Hocking's constant values on which this rate is zero. The length of this interval increases with the geometrical parameter.
Keywords: eigenoscillations; azimuthal oscillations; linear vibrations; dynamic contact line; cylindrical gas bubble
