Трансформаторная модель синхронного генератора Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 621.313

М.А. Шакиров

ТРАНСФОРМАТОРНАЯ МОДЕЛЬ СИНХРОННОГО ГЕНЕРАТОРА

M.A. Shakirov

TRANSFORMER MODEL OF SYNCHRONOUS GENERATORS

Разработана новая теория синхронных турбо- и гидрогенераторов, в основу которой положен непосредственный анализ движения электромагнитной энергии от ротора к статору с использованием понятия о векторе Пойнтинга.

ЯВНОПОЛЮСНЫЙ РОТОР; НАПРЯЖЕННОСТЬ МАГНИНОГО ПОЛЯ; НАПРЯЖЕННОСТЬ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ; ВЕКТОР ПОЙНТИНГА; ОБМОТКА СТАТОРА.

The paper presents a new theory of synchronous turbo and hydro generators, based on direct analyzing the motion of electromagnetic energy from the rotor to the stator using the concept of the Poynt-ing vector.

SALIENCY ROTOR; MAGNETIC FIELD STRENGTH; ELECTRIC FIELD INTENSITY; POYNTING VECTOR; STATOR WINDING.

Принято считать, что наивысший уровень понимания работы электротехнических устройств достигается тогда, когда он объясняется с учетом движения энергии или потока мощности, т. е. с помощью известного вектора Пойнтинга П= Е хН . С этих позиций рассматриваются, в частности, передача энергии вдоль проводов линий, излучение антенн, потери на вихревые токи в массивных шинопроводах, магнитный поверхностный эффект в стальных листах и т. д. В ряде случаев такой подход может не только уточнить, но и полностью перевернуть традиционные представления об электромагнитных процессах в устройстве. Примером служит переворот в понимании роли так называемого "потока рассеяния" в пространстве между обмотками силового трансформатора. В действительности оказалось, что этот поток играет важную роль в передаче мощности от первичной обмотки во вторичную [1—3]. В данной статье показано, что аналогичная ситуация возникает при объяснении принципа действия синхронных электрических машин.

Примечание 1. Полученная в работе [4] формула для вектора Пойнтинга П в синхронных машинах некорректна, поскольку ее не удается связать с известными выражениями для активной мощности синхронных машин и тем более с передачей реактивной мощности в нагрузку. В [5, с. 149] картины векторов [4] дополнены линиями магнитного поля. Оба автора утверждают о существовании мистической "составляющей вектора Пойнтинга (П ), циркулирующей в воздушном зазоре", т. е. по касательной к окружности посреди воздушного зазора. Более того, утверждается, что при чисто индуктивной или емкостной нагрузках только такая составляющая вектора Пойнтинга имеет место. Этот сомнительный вывод повторяется в учебниках по электрическим машинам [6-8].

Цель данной статьи не только продемонстрировать надуманность подобных представлений, но и дать совершенно новый подход при определении вектора Пойнтинга синхронного генератора, в котором важнейшую роль играет, как и в трансформаторе, поток рассеяния в воздушном зазоре машины. Третья цель — построение теории явноплюсных машин на базе вектора

Пойнтинга без обращения к идее двух реакций Андре Блонделя.

Для облегчения понимания новых идей рассматривается идеализированный синхронный генератор с магнитной проницаемостью стали ц = ^ и сопротивлением обмотки фазы статора Яоб = 0 . Все уравнения записываются для одной фазы однопериодной, т. е. двухполюсной, машины с полюсным делением т = пБ / 2, где Б — диаметр по средней поверхности воздушного зазора. Число витков в фазе — w , число фаз — т = 3. Число витков обмотки постоянного тока (¡^) на роторе равно w^ . Обмотки бесконечно тонкие. Комплексы синусоидальных величин, включая магнитные потоки, записываются относительно их действующих значений.

Неявнополюсный синхронный генератор

Центральной является идея уподобить обмотку фазы статора вторичной обмотке трансформатора, поскольку постоянный магнитный поток вращающегося ротора воспринимается ею как первичный переменный магнитный поток. Новизна состоит в использовании модели с неподвижным ротором, которую будем называть трансформаторной моделью синхронного генератора (рис. 1), поскольку в ней:

вращающийся с угловой скоростью ю поток ротора Ф0 (создаваемый током ротора ^) заменен комплексным потоком Ф0 неподвижного ротора;

расположение фазы обмотки статора с током I выбирается таким, чтобы обеспечивалось бла-

Stator

Рис. 1. Трансформаторная модель синхронного генератора

гоприятное условие в отношении охвата ею потока Ф0 ;

все фазы воспринимают ротор одинаковым образом, а следовательно, аналогичная модель имеет место и для двух других фаз с токами 1е-У2п/3 и 1еУ2п/3; их взаимное влияние будет учтено на заключительном этапе после получения соотношений для выделенной на рис. 1 фазы;

число витков фазы принимается равным

w '

'ko6W >

(1)

где коб — обмоточный коэффициент; фаза подключена к сопротивлению нагрузки ^нагр;

при холостом ходе ^нагр = ^) в фазе индуктируется ЭДС

¿0 = УюwФ . (2)

Величина Ф0 определяется током J^ = ¡^ / >/2 источника тока, внутреннее сопротивление которого равно бесконечности. Таким образом,

wJf

Ф0 = -М-, (3)

R

M

M

где Л/ — продольное магнитное сопротивление потоку Ф0 , равное

М П2 кцк5 25 _ п2 25'

RM

(4)

8 ц0/т 8 ц0/т Здесь / — длина машины; 5' = кц к55, где к5 — коэффициент воздушного зазора; кц — коэффициент насыщения. Если гт1 — радиус ротора, то = гт1 +5' — радиус статора. Коэффициент п2 /8 учитывает синусоидальное распределение поля.

Рис. 2. Вектор Пойнтинга П(х) в воздушном зазоре синхронного генератора

При нагрузке, т. е. при токе I ^ 0 , под действием МДС обмотки статора (VI) создается поток (Фа0 + Фа), в целом направленный навстречу потоку Ф0 (см. рис. 1). Часть Фа этого потока непосредственно встречается с потоком Ф0 в роторе и потому называется потоком реакции. Результирующий поток, проходящий через ротор, равен

Ф„* =Ф0 - Фа . (5)

МДС I проводит этот поток через сопротивление Ям, следовательно,

Ф =

^ п

а пЫ Яй

'ай1

(6)

где Ьай — собственная индуктивность фазы,

Ёай —

'ай дЫ

8 ц07т

(7)

Фа0 —

а0 „ы Яа

(8)

где ЯЫ — магнитное сопротивление потоку Фа0 , равное

яЫ — 1- т

(9)

2 ц078'

Напряженность магнитного поля вдоль оси воздушного зазора

1 Фа /2 _

На —

Цо 87 ЦоЯЫ 87

*1 — —. (10)

Примечание 2. Соотношение (10) удовлетворяет граничному условию равенства поверхностного тока касательной составляющей напряженности магнитного поля на поверхности статора. Соотношение (8) следует рассматривать в качестве одного из допущений трансформаторной теории.

Согласно модели (см. рис. 1) магнитный поток в статоре равен

Ф — Ф0 - Фа0 — (Ф0 - Фа ) - Фа0. (11)

Как и в трансформаторе, в промежутке между обмотками возникает электрическое поле. Напряженность этого поля легче всего определить вначале на оси х . Согласно закону электромагнитной индукции

ф Ёй7 — Ёг(х)21 — ЦФ^ - Фа(х)) —

:уш(Ф0 - Фа - Фа(X)) ,

(12)

причем интеграл взят по контуру, охватывающему весь поток ротора и часть потока Фа0, отсчитываемого от поверхности ротора радиуса

гго( :

Фа(X) — 2Ц0На/(х - гт() — 2Н!(х - гго(). (13)

Индекс г в обозначении Ё2 (х) указывает, что напряженность электрического поля направлена по оси вращения ротора, т. е. перпендикулярно плоскости (см. рис. 2). Из (12) вытекает

• . Ф0 - Фа - Фа (X) Ё2 ( X ) — 7Ю —0-21-5-

(14)

что с учетом (2), (6), (13) и (10) можно переписать в виде

Ёг (X) — Ё0

21*

7-7®

^- - ^На , (15)

или

Магнитный поток Фа0 , проходящий вдоль оси воздушного зазора, обычно ассоциируется с "тангенциальным потоком рассеяния в зазоре":

1

Ёг (x) — 21*7(Ё0 - - 7Ц0 21 (x - гШ )На) (16) где xad — индуктивное сопротивление фазы

— ®Ёай. (17)

Далее полагаем, что (16) имеет место в любой точке зазора в пределах статорной обмотки на расстоянии от центра г — X . Иными словами, вместо (16) можем записать (при гш < г < г8Ш)

Ёг (г) — ^Ъ (Ё0 - - 7®*'Ц02/(г - ГШ )На), (18)

что с учетом примечания 2 следует отнести еще к одному допущению рассматриваемой трансформаторной теории. Вектор Е г (г) перпендикулярен вектору Нс. Совместно они определяют вектор Пойтинга

П(г) — Ег (г) х На , (19)

направленный от ротора к статору. Его величина равна

П(г) — Ё2 (г На— Ё2 (г) — ,

т

что после учета правой части (18) дает

П(г) —

(20)

1

2т7

(

Ё0 - JXadI-7®*'Ц027(г - г0)—

I . (21)

Из этой формулы вытекает, что на поверхности ротора (г — гш) вектор Пойтинга равен

' * 2 (22)

П — 2Т7(Ё0^ - jXadI2),

а на поверхности обмотки статора (га1 — гш + 8') с учетом обозначения (9)

2

П2 =

1

2т/

V

Введя обозначения

. * 2 W

¿01 - Кё1 - Ую

¿а =

W

дМ

х0=шХ0 ,

(23)

(24)

получаем

П2 =

2т/

¿01 - УхаД - Уха1 г

= 2Г7- Ух^

(25)

Здесь хё — синхронное сопротивление фазы не-явнополюсного генератора:

Хё = хаё + Хо . (26)

Мощность, отводимая с поверхности ротора в направлении рассматриваемой фазы статора, равна

¿1ф = 2т/П1 = Е01* - ]Ха^12, (27) а подводимая к поверхности обмотки статора ¿2ф = 2т/П2 = Е01 - ухё12 . (28)

Мощность, затрачиваемая на возбуждение магнитного поля (Фа) вдоль оси воздушного зазора, равна

А^ = ¿ф - = ](ха - Хаё )12 = ух012, (29) что согласуется с известной схемой замещения синхронного генератора и векторной диаграммой с отображением уравнений (11) для магнитных потоков (рис. 3). Диаграмма начинается с построения векторов и и I нагрузки при заданном угле ф между ними и дополнения их треугольником магнитных потоков. К напряжению и под углом п /2 проводится вектор магнитного потока в статоре

Рис. 3. Схема замещения и векторная диаграмма неявнополюсного синхронного генератора при активно-индуктивной нагрузке (цсталь = <^, сопротивления обмоток Яоб = 0 )

Ф =

5

и

У юw

(30)

а 0 и Фа

к которому пристраиваются векторы Ф (см. (8) и (6)), направленные параллельно току I. В соответствии с (11) проводим вектор магнитного потока, создаваемого обмоткой ротора,

Ф0 = Ф5 + Фа + Фа 0

(31)

Умножение обеих частей этого уравнения на уюw' превращает его в уравнение для напряжений синхронного генератора

¿0 = и + у (хаё + ха )1,

(32)

векторная диаграмма которого получается поворотом диаграммы для потоков на угол п /2 против часовой стрелки. На диаграмме жирными линиями показаны также векторы напряженности магнитного и электрического полей. Согласно (10) вектор На сонаправлен с током I. Вектор Е21 — напряженность электрического поля на поверхности ротора (х = гт(). Согласно (14) он равен

Ф ,

= Ую

ую

Ф0 - Фа 2/

(33)

и направлен перпендикулярно Ф0. Вектор напряженность у поверхности обмотки

2

статора (х = гш + 5'). Согласно (14) он равен

¿2 2 = У ю

Ф0 - Фа - Фа0

У ю-

Ф

(34)

2/ 2/ и направлен перпендикулярно Ф5, т. е. сона-правлен с и .

Замечание 1. Модель (см. рис. 1) и полученные на ее основе соотношения для вектора Пойнтинга, включая их связи с формулами для мощности генератора, опровергают мистические представления о каком-либо "циркулирующем в воздушном зазоре потоке электромагнитной мощности", распространяемой в [4—8]. Не должно возникать сомнения и относительно вектора Пойнтинга в точках зазора, близких к оси симметрии фазы (т. е. оси у ), например в точке а (см. рис. 2). Полагая для простоты, что в ней имеет место лишь радиальная составляющая Н = Нт и Е1 Ф 0, приходим к выводу, что в этой точке вектор Пойнтинга имеет лишь составляющую, направленную вдоль оси зазора против часовой стрелки, т. е. Па = Пт. Но такой же вектор Пойнтинга будет иметь место в симметрич-

2

ной точке b, показанной на рис. 2, но направленный (из-за изменения ориентации вектора Ez) против часовой стрелки, т. е. Пь = -Пт. Суммарный эффект от этих величин будет нулевым, и, следовательно, циркуляционный поток мощности в зазоре не возможен.

Замечание 2. Фазы трехфазного генератора связаны взаимной индуктивностью M = -Lad / 2 [8, с. 284]. Их развязка приводит к замене собственной индуктивности фазы Lad так называемой "главной индуктивностью с учетом всех фаз обмотки", т. е. к замене Lad величиной Lad - M = 3Lad / 2. Иначе говоря, вместо (7) следует пользоваться формулой

_ _ 3 iVTW 2

ad _ 2 RM _ 2 28'

(35)

Поскольку все фазы выдают одинаковую мощность в симметричную трехфазную нагрузку, то для получения полной мощности трехфазной машины следует выражения (27)—(29) умножить на три. Их вывод основывался на учете тангенциального потока Фа0, обычно называемого потоком рассеяния. Однако без него нельзя понять природу передачи энергии через зазор синхронной машины. Из этого следует, что Фа0 необходимо рассматривать не как поток рассеяния, а как рабочий поток в зазоре машины. С этих позиций далее рассматривается передача мощности и в явнополюсном генераторе.

Явнополюсный синхронный генератор (ЯСГ)

В 1899 году выдающийся французский физик и инженер Анри Блондель (1863—1938) опубликовал труд «Эмпирические теории синхронных генераторов», в котором изложил теорию двух реакций якоря — основы современной методологии всех учебников по ЯСГ. Из названия труда следует, что автор рассматривал свою теорию как эвристическую и, следовательно, строго говоря, нуждающуюся в подтверждении или уточнении. Ниже работа ЯСГ рассматривается с новой точки зрения, без разложения МДС реакции якоря на продольную и поперечную составляющие. Изложение основано на выявлении вектора Пойнтинга в явнополюсном синхронном генераторе.

При вращении ротора постоянный магнитный поток Ф0, возбуждаемый током ротора, встречает на своем пути постоянное магнитное

сопротивление зазора шириной 28. Поэтому в ЯСГ условия для протекания магнитного потока Ф0 через воздушный зазор в статор те же, что и в неявнополюсном синхронном генераторе. Он создается источником тока Jу и преодолевает постоянное магнитное сопротивление R^ (4), создавая в обмотке фазы статора ЭДС

E0 = jaw'Ф0, откуда Ф0 = E0 / jaw'. (36)

С учетом примечания 2 следует также принять, что выражение для напряженности магнитного поля HG в воздушном зазоре у поверхности обмотки статора ЯСГ совпадает с соотношением (10) для неявнополюсного синхронного генератора.

Явнополюсность ротора проявляется в отношении двух возникающих под действием МДС обмотки статора (w' I) магнитных потоков, Ф0 и Фа . Пути каждого из них включают воздушные участки, дважды за период T = 2п / a изменяющих свою магнитную проводимость. Это принуждает трансформаторную модель (см. рис. 1) применительно для ЯСГ рассматривать в качестве параметрической магнитной цепи. Магнитная проводимость на пути потока реакции Ф0 варьируется из-за изменения длины воздушного зазора и может быть описана зависимостью [9, стр.19]

Л8(t) = Л0 + Л2 cos2(at + в), (37)

где в — угол между вектором тока фазы статора и поперечной осью ротора q (или вектором E0), причем

(38)

Лй _Л0 + Л2 -

Л _Л0-Л2:

где Лй и Лд — продольная (по оси й) и поперечная (по оси д) проводимости воздушного зазора. При этом

1 (39)

Ч Лд

— магнитные сопротивления соответственно по продольной й и поперечной д осям ротора. На модели (см. рис. 1) ось й совпадает с осью у , а ось д — с осью X . Очевидно, что

d л„

Ло _

Л2 _

Лй+Л

Лй -Л?

(

1

RM R

R m Rd

R

M

q )

(40)

Для мгновенного значения магнитного потока реакции можно написать следующее выражение:

Фв (t) = w'Im sin (eût)Л5 (t) = = w'Im sin (rot)(Л0 + Л2 cos2(rot + в)) =

Л2

= w ' Im Л0 sin et - w ' I^—^sin^et + 2в) + + w'Im^^sM?et + 2p) ,

(41)

в котором зачеркнуто слагаемое, соответствующее 3-ей гармонике, как не представляющее интереса (в действительности оно компенсируется аналогичными слагаемыми от других фаз). С учетом соотношений (40) получаем

Фа (t )=w 2

(

1

RM R

M

q y

Im sin et -

- w' 1

4

f

M

R

M

q

Im sin(rot + 2p), (42)

или в комплексной форме

Ф =

а

w'I

■ f

1

1

M

R

M

q y

wi

■ f

M

R

M

q y

,j 2в

(43)

Используя понятия об индуктивностях по

продольной и поперечной осям

Lad =

w

2

w

„м ' Laq = „м ' (44)

R

aq

R

M

можем также записать

Ф =-

а

w

1 ( Lad + L

aq

T - T Л

Lad Laq 2в

преобразования выражения для мгновенного значения этого потока

Фа (t) = w'Im sin (et)Ла (t)

(46)

будет аналогичен преобразованиям (41)—(45), что позволяет по аналогии с (45) записать следующее выражение для "тангенциального" потока на оси воздушного зазора:

Ф°о = w

1 ( Lad + Laq

Lad Laq ej2в

I. (47)

2 4 I

V /

Физический смысл элементов в этом выражении определяется по аналогии с элементами (44), и можно принять

L

'ad

L,

ad

- (48)

11

Обозначив напряженность электрического поля в зазоре у поверхности обмотки фазы статора через Еп, согласно закону электромагнитной индукции получаем

EZ2 = j Ю

Ф0 -Фa -Фа0 21

(49)

После подстановки сюда правых частей (36), (45) и (47) находим

( E0 - j Xad + Xaq I + jXad - Xaq y 2в -

EZ2 =

1

21 w'

j

ad + xgq j

I + j-

Xad xaq ji2в

2 4

где обозначено:

xad = eLad, xaq = eLaq,

IeJ

xad =eLad.

I . (45)

2 4

ч у

Магнитная проводимость Ла (^) на пути потока Фа варьируется из-за изменения поперечного сечения воздушного канала. Увеличение сечения этого канала до наибольшего значения (при этом достигается максимальное значение Ла проводимости канала по отношению к потоку Фа ) происходит одновременно с образованием наименьшей длины воздушного зазора на пути потока Фа (то есть достижением максимального значения проводимости (Л5 ^ Л^) по отношению к потоку Фа). Иначе говоря, магнитная проводимость Ла ^) изменяется синхронно Л5 (^), и закон вариации проводимости воздушного канала на пути потока Фа по форме совпадает с формулой (37). Поэтому и результат

xaq = eLaq-

(50)

Принимая далее

хё = ю1аё + ю1аё , хд = ю1ад + ю1а? , (51)

можно напряженность электрического поля записать также в виде

EZ2 =

1

(

21 w'

xd + xq

E0 - j^^I + j

xd xq y 2в

. (52)

2 4

V У

Перемножив левые и правые части (52) и (10), получаем выражение для вектора Пойнтинга у поверхности обмотки статора:

П2 = Ez Ha =

1

2т/

f

E0I - j

xA + x

q г 2

12 + j-

xA - x.

q-ej 2eI2

. (53)

2 4

У

Таким образом, мощность, передаваемая в нагрузку фазы, равна

¿2ф = 2т/П2 =

2

— Е01 _ Л

+ ^

12 + еЛ2вI

(54)

или

$ — ¿01

2 — ¿01

-(л* + *Ха )12, (55)

где 1а — главное сопротивление якоря ЯСГ в заданном режиме его работы,

Za — Ла + *Ха — 1

Xd + ^

xd_^q_ : 2р

. (56)

2 4

Приравнивая коэффициенты при действительных и мнимых членах в правой и левой частях этого выражения, получаем

К —

^ x„

-8т2р;

Х—

^ + ^

xd xд

-С082р.

(57)

(58)

2 4

Эти величины зависят от угла в между ЭДС ¿0 и током I. Они отличаются от приводимых в учебниках [8, с. 542] наличием в знаменателях выражений для Ла и второго слагаемого Ха четверки вместо двойки! Определение параметров с учетом всех фаз осуществляются по правилу, представленному в замечании 2.

Как и в случае неявнополюсного синхронного генератора, векторную диаграмму ЯСГ можно получить пристраиванием к заданным векторам и, I нагрузки векторной диаграммы для магнитных потоков (рис. 4). Вначале проводим перпендикулярно и вектор магнитного потока в статоре Ф,, вычисляемого с помощью (30), к которому согласно (31) необходимо при-

бавить потоки Фс0 и Фа . Для удобства в соответствии с (47) и (45) представим эти потоки в виде

~ (59)

(60)

(61)

где

фс 0 —-

ф „ — Ф' „ _ Фв„ •

^с0 ^с0 ^с0 '

Ф — Ф' _ Фв

^ а ^ а ^ а ' 1 (^сй + ) \ — 1 (^сй + ^д) ^

w

фв — фс 0 —

2 2 1 (^сй _ ) Л

w' 4

1 (xсd

'сд'е12в1 —

ф' —

юw' 4

1 (^ай + ^ад )

Xсq) е* 2в1;

'ад' I — 1 ^"ай + ад)

w

юw

фв —

1 (^ай ^ад) ^2р I

Xaд) Л

W^ 4

1 (^а^й

2 I —

(62) I; (63)

юw

4

еЛ Щ.

(64)

после чего уравнение для потоков ЯСГ (31) принимает вид

Ф0—ф,+(Фс0 _ФС0)+(Фа _Фв), (65)

что и отражено на рис. 4. Потоки фс0 и фа совпадают по фазе с током I, тогда как потоки фС0

и фв софазны с вектором IеЛ2в. Поэтому для наглядности на диаграмме построен также вспомогательный вектор IеЛ2в. Условие (48) приводит

Рис. 4. Схемы замещения и векторная диаграмма явнополюсного синхронного генераторам при активно-индуктивной нагрузке ( Ихталь — ^ , сопротивления обмоток Лоб — 0 )

к тому, что потоки Фс0 и Фа также оказываются софазными и лежат на одной прямой. Умножение обеих частей уравнения для потоков (65) на jww' превращает его в уравнение для напряжений синхронного генератора:

.(xod + xoq ) f .(xod - xoa )

Eo = U + j

I - j

+j

2 4

. (xad + xaq ) j - . (xad - xaq ) j2pI

(66)

2 ' 4

Иначе говоря, векторная диаграмма для напряжений получается простым поворотом диаграммы для потоков на п /2 против часовой стрелки. На диаграмме выражение (66) представлено в обозначениях

¿0 = и + (Аиа-Аи а) + (Аиа-Аив ) =

= Айа+Айа; (67)

au:= j

.(xod + xaa ) ;

2

j;

AU в =

.(xod xaa) j

j

4

-ej2вI;

(68)

AUa= j

. (xad + xaa ) i

2

I;

AU e =

. (xad xaa) j

4

-ej2вI ;

(69)

Аиа = Аиа - Аи а ; Аиа =Аиа-Аив . (70)

Уравнению (66) соответствует схема замещения в левой части (см. рис. 4) с несимметричными управляющими сопротивлениями по току. Вспомогательные пунктирные линии на векторной диаграмме представляют собой перпенди-

Рис. 5. Упрощенный вид векторной диаграммы явнополюсного синхронного генератора при активно-индуктивной нагрузке (Дгтяпь = ^ , сопротивления обмоток як = 0 )

куляры, опущенные на соответствующие векторы; они служат для пояснения направления комплексных величин (68), (69). Утолщенными линиями выделена диаграмма напряжений упрощенной схемы замещения, изображенной в правом верхнем углу рис. 4 с главным сопротивлением 2а якоря ЯСГ (см. (56)—(58)), входящим в уравнение

¿0 = и + ZaI = и + (Яа + ]Ха У . (71) На диаграмме жирными линиями показаны также векторы напряженности магнитного (Н а) и электрического (¿2 2) полей у поверхности статора. Согласно (10) вектор На сонаправлен с током I. Вектор Е 2 равен

• . Фо - Фа - Ф Е7_ 2 = j 0 a

21

= j ю Ф j 2l

(72)

и направлен перпендикулярно Ф5, т. е. сона-правлен с вектором и .

С учетом обозначений (51) выражению (66) можно придать вид

¿0 = и + У I - У^^е>I. (73)

Слагаемые этого выражения показаны на упрощенной векторной диаграмме (рис. 5).

Расхождение между трансформаторной теорией и теорией двух реакций А. Блонделя

В основе теории Блонделя — эвристическое допущение о существовании в машине продольного потока Фаё реакции, обусловленного продольным током ^, и поперечного потока реакции Фа?, обусловленного поперечным током I?. Эти потоки являются частями общего потока Фа реакции якоря: Фа = Фаё +Фа?. Принципиальное отличие рассмотренной трансформаторной теории — в отсутствии подобных искусственных допущений, поскольку явнополюсность учитывается через естественное изменение сопротивления магнитной цепи на пути потоков реакции Фа и рассеяния Фа каждой фазы. Это привело к тому, что выражения (57), (58) для составляющих главного сопротивления якоря Za = Да + ]Ха оказались отличными от аналогичных формул, вытекающих из теории А. Блонделя (табл. 1).

В связи с этим представляет интерес рассмотреть, как в новой теории видоизменяется векторная диаграмма А. Блонделя. Поскольку в его диаграмме используется разложение тока

Электротехника -►

Таблица 1

Сравнение соотношений теории А. Блонделя и трансформаторной теории

Величины и уравнения

Теория двух реакций Блонделя

Трансформаторная теория

Активное сопротивление ЯСГ

Ra = Xd Xq sin 2в

Ra = %d Xq sin2p

Реактивное сопротивление ЯСГ

Xa =

^d+k - Cos2P

Xa =

^d+k - Xd-Xl CCS2P

Уравнение напряжений ЯСГ

E0 = U + jxdI d + jxqI q

E0 = U + jxdId + jxqI q -

; Xd - Xq j + .Xd - xq j - j-л-Id + j-:-Iq

Угловая характеристика активной мощности

mE0U . P =-— sin 0-

mU

Xd 2 ^

mE0U .

P =-0-sin 0-

(3Xd + Xq )/4

1___1_

^xq xd

sin20

mU 2

8xdxq

2 (3xd + xq )(3xq + xd )

/ \ 1 1

^ q

sin20

Угловая характеристика реактивной мощности

Q =

mEU -0—cos 0 +

xd

mU 2 / 1 1

2 v xq xd

mU 2 f 1 1

2 v xq xd

mEoU

Q =-0-cos 0 -

(3Xd + Xq )/4

cos 20-

mU 2

8xdxq

/ \ 1 1

2 (3xd + xq )(3xq + xd )

mU 2

16xdxq

2 (3xd + xq )(3xq + xd )

V q "d f

— + — v xq xd

cos 20-

фазы на продольный (1й) и поперечный ), необходимо и нам выполнить это разложение, как показано на диаграмме (рис. 6). Комплексная форма этих составляющих тока может быть представлена в виде

• ■ I.

Id = - J I sin pejP = Iq = Iccs p-eje =

2

1 + eJ 2e

I:

I = Id + h •

(74)

(75)

(76)

С учетом этих соотношений уравнение для напряжений (73) можно преобразовать к формуле, приведенной в правой колонке табл. 1.

Примечание 3. Эта формула легко получается, если предварительно представить (73) следующей цепочкой равенств:

Eo = U + j

-I--

I + j-

-I=

=u+j-2

Xd (1 - ej 2в) j + Xq (1 + e 2e) I

+ J-

-I =

= U + j 2(XdId + JXqIq ) + (Id + Iq ) =

= U + j(xdI d + jxqI q ) - j^Vd + jVi ) +

= U + j(xdI d + jXqI q ) - j|(Vd + jXqIq ) + . X j + Xn

+(Id + Iq );

(77)

после чего получаем искомое выражение для Eo (см. табл. 1), отображенное также на векторной диаграмме (см. рис. 6).

Примечание 4. Вывод выражения для активной мощности P связан с проектированием напряжения U и падений напряжений в диаграмме (см.рис. 6) на направление вектора E0 и направление, перпендикулярное ему, в результате чего можно написать

Eo = U cos 0 + xdId - ^^Id =

3xd + xn = и cos 0+——q-Id;

U sin 0 = x„I„ + Xd Xq Iq ,

q q 4 q

(78)

(79)

Рис. 6. Векторная диаграмма явнополюсного синхронного генератора с использованием разложения тока I на продольную (^) и поперечную (I?) составляющие

откуда следует h

E0 -U cos б .

lri -:—tt . in — ~

U sin б

(3xd + Xq )/4 * (3xq + Xd )/4 Учитывая, что ф — в - б , имеем

P — mUI cos ф — mUI cos(P - б) — — mU (I sin в sin б +1 cos в cos б) = = mU (ld sin б + Iq cos б).

(80)

(81)

Выполнив замену Id и I по формулам (80),

можно написать:

/

P — mU

4 Ео-

U cos б . Л . U sin б

sin б + 4-cos б

3xd + Xq

= sin б + m2U2

(3xd + Xq )

mE0U (3xd + xq)/4

+ m2U2

1

3xq + xd 1

-sin б + m2U2

3xd + xq 3 xq + xd

2( xd - xq ) (3xd + xq )(3xq + xd )

sin2б = sin2б —

mE0U

(3 xd + xq)/4

2xdxq

-sin б +

(3xd + xq )(3xq + xd )

v xq

J_ xd

sin2б,

что совпадает с выражением для P, записанным в правой колонке табл. 1.

Примечание 5. Аналогичным образом выводится выражение для

Q — mUI cos ф — mUI sin(e - б) — — mU (I sin в cos б-1 cos в sin б) =

= mU (Id cos б-Iq sin б), (82)

что после замены Id и Iq по формулам (80) дает Г Е0 - U cos б " Л

Q — = 4

mU

V

mE0U

0

3xd + xq

-cos б

3x¿ + xq

-cos б

-4mU2

. U sin б . n -4-sin б

3xq + xd

cos2 б sin2 б

-+-

3xd + xq 3xq + xd

_ . mE0U = 4-0—cos б-

- 4mU

3xd + xq 2 xd + 2xd cos2

I + xq + 2xq sin

- 4mU

= mE0U

(3xd + xq ) (3xq + xd )

= mEU Q

=-0-cos б-

(3 xd + xq )/4

2 (xd - xq )cos26 + 2(xd + xq )

(3xd + xq )(3 xq + xd )

(3 xd + xq )/4

X

cos б-

4mU xdxq

(3xd + xq )(3xq + xd )

X

/ 1 \ 1 cos 2б + 2 / 1 \ 1

+-

V xd xq J V xd xq J

Отсюда напрямую вытекает выражение для () в правой колонке табл.1.

Построение диаграммы (см. рис. 6) по заданным и, I и ф осуществляется с помощью отрезка АО , перпендикулярного вектору I, благодаря чему находим направление вектора ¿0 и, следовательно, угол в. Длина АО определяется из треугольника АВО . Угол при вершине А равен в , и поэтому для рис. 6 имеем

16

1.4 1,2 1

0.8 0.6 0.4 0.2 О

! : .........:......~ 'NX :........ !

1/ KM !

.......;.....N\ " .......;......... j :

j I r4 \ .......i.........l^N : V.......I.........

и ; i ! ! X Л ■ Ч\~!........- w

i j j

1 i i ......xt".......

i ! i г .......1.........i........ i\\ .........L\._

! ! 0^82.8° | : \ i \

Рис. 7. Угловые характеристики активной мощности ЯСГ

Q

0 5

s i,i6°

Рис. 8. Угловые характеристики реактивной мощности ЯСГ

AQ =

1

AB =

1

cosв cosв

f 3xq + Xd Л Iq f 3xq + Xd Л

I 4 V cos в I 4 V

f х i + Xd xq iЛ

xq1q + л Jq

I.

(83)

После этого ток I можно разложить на составляющие id, I и построить всю диаграмму.

Пример. Найдем, пользуясь формулами новой теории, угловые характеристики активной и реактивной мощностей явнополюсного генератора с относительными параметрами xd = 1,1, Xq = 0,75 и cos ф = 0,8 при ф > 0 . Путем построения векторной диаграммы (рис. 6) описанным выше методом устанавливаем, что при номинальной нагрузке (U = 1, I = 1) значение ЭДС получается равным E0 = 1,797, а номинальный угол нагрузки 0ном = 24,05°. Пользуясь формулами для мощностей Р и Q из правой колонки табл. 1, убеждаемся (проверяем), что в этом случае

Рном = 0,8; Q = 0,6.

—ном ' ' 5£ном '

Подставив найденные значения E 0 = 1,797 в выражение Р (0) и Q(0) из правой колонки

табл. 1, получаем угловые характеристики, приведенные сплошными линиям на рис. 7, 8.

Для сравнения пунктиром на этих рисунках представлены кривые, полученные при тех же значениях xd , Xq и cosф в учебнике [10, с. 720] на основании теории А. Блонделя, согласно которой при номинальной нагрузке (U = 1, I = 1) получается значение ЭДС, равное E0 = 1,87 , и 0ном = 22°27'. Различия свойств этих характеристик отмечены в табл. 2

Вывод

За более чем 100-летнюю историю явнопо-люсных синхронных машин впервые показана возможность создания альтернативы теории двух реакций А. Блонделя. В отличие от нее новая теория основывается на менее жестких допущениях, что дает надежду на получение большей точности и достоверности в отображении реальных процессов, протекающих в синхронных гидрогенераторах и других синхронных машинах с явнополюсными роторами. С другой стороны, как первый шаг, изложенный материал нуждается в тщательной проверке, включая экспериментальные исследования.

Таблица 2

Сравнение угловых характеристик

Р

Величины Теория двух реакций Блонделя Трансформаторная теория

0 P наиб 0 Q=0 Qнаиб 77,4° 1,749 47,8° 0,791 82,8° 1,786 51,16° 0,787

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шакиров М.А. Теория трансформаторов. Часть 1: Идеализированный трансформатор с тонкими обмотками // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2012. № 3. Т. 2 (154). С. 85-110.

2. Шакиров М.А. Теория трансформаторов. Часть 2: Идеализированный трансформатор с обмотками конечной толщины // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2012. № 4 (150). С. 21-52.

3. Шакиров М.А. Теоретические основы электротехники. Тензоры в ТОЭ. Электродинамика. Теория относительности. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011.

4. Брон О.Б. Электромагнитное поле как вид материи. М.: ГЭИ, 1962.

5. Туровский Я. Техническая электродинамика. М.: Энергия, 1974.

6. Поливанов К.М. Теоретические основы электротехники. М.: Энергия, 1969.

7. Важнов А.И. Электрические машины. Л.: Энергия, 1969.

8. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины. М.: Энергия, 1980.

9. Важнов А.И. Основы теории переходных процессов синхронной машины. Л.: Энергия, 1960.

10. Вольдек А.И. Электрические машины. Л.: Энергия. 1974.

REFERENCES

1. Shakirov M.A. Teoriya transformatorov. Chast 1: Idealizirovannyy transformator s tonkimi obmotkami. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2012. № 3(154). Т. 2. S. 85-110. (rus.)

2. Shakirov M.A. Teoriya transformatorov. Chast 2: Idealizirovannyy transformator s obmotkami konechnoy tolshchiny. Nauchno-tekhnicheskiye vedomosti SPbGPU. 2012. № 4 (150). S. 21-52. (rus.)

3. Shakirov M.A. Teoreticheskiye osnovy elektrotekh-niki. Tenzory v TOE. Elektrodinamika. Teoriya otnositel-nosti. SPb.: Izd-vo Politekhn. Un-ta, 2011. (rus.)

4. Bron O.B. Elektromagnitnoye pole kak vid materii. M.: GEI, 1962. (rus.)

5. Turovskiy Ia. Tekhnicheskaya elektrodinamika. M.: Energiya, 1974. (rus.)

6. Polivanov K.M. Teoreticheskiye osnovy elektrotekh-niki. M.: Energiya, 1969. (rus.)

7. Vazhnov A.I. Elektricheskiye mashiny. L.: Energiya, 1969. (rus.)

8. Ivanov-Smolenskiy A.V. Elektricheskiye mashiny. M.: Energiya, 1980. (rus.)

9. Vazhnov A.I. Osnovy teorii perekhodnykh protsess-ov sinkhronnoy mashiny. L.: Energiya, 1960. (rus.)

10. Voldek A.I. Elektricheskiye mashiny. L.: Energiya. 1974. (rus.)

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРЕ

ШАКИРОВ Мансур Акмелович — доктор технических наук профессор кафедры теоретических основ электротехники Санкт-Петербургского государственного политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. E-mail: [email protected]

AUTHOR

SHAKIROV Mansur A. — St. Petersburg State Polytechnical University. 29, Politechnicheskaya St., St. Petersburg, 195251, Russia. E-mail: [email protected]

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014