ТРАЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕРФЕРОГРАММ В МЕТОДЕ ФАЗОВЫХ ШАГОВ. НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Траекторный анализ интерферограмм в методе фазовых шагов. Новые возможности

С.П. Ильиных

Новосибирский государственный технический университет (НГТУ, Россия)

Аннотация: Предлагается новый подход к анализу интерферограмм, полученных метом фазовых сдвигов. На основе анализа траектории интерференционных сигналов вводятся новые критерии оценки параметров, что позволяет повысить достоверность расшифровки интерферограмм и служит основой для обоснования и разработки новых алгоритмов

Ключевые слова: Наноизмерения, метод фазовых шагов, лазер, эталон.

I. ВВЕДЕНИЕ

Стремительное развитие нанотехнологий требует адекватного аппаратурного и технологического обеспечения, в том числе, наличия высокоточных измерительных средств. Существующие средства неразрушающего контроля и измерений используют эффекты взаимодействия излучения с веществом и в основном ориентированы на применение в области механики и твердотельной электроники. В качестве измерительного эталона используется длина волны излучения. Для повышения точности измерений необходимо повышать частоту излучения в область ультрафиолетового и рентгеновского диапазонов. Но такие виды излучения не могут быть использованы для измерения параметров биологических объектов. Наиболее подходящим для этой цели являются лазерные интерференционные измерительные системы, использующие видимый диапазон излучения. Однако точность таких систем, в настоящее время, не превышает сотые доли длины волны лазерного излучения (несколько нанометров), что не позволяет применять их для исследования наноразмерных объектов. Повышение точности измерительных систем возможно двумя путями: путем совершенствования аппаратных средств и путем разработки высокоточных методов анализа измерительной информации. Диапазон измеряемых величин сопоставим с неконтролируемым уровнем стабильности приборных средств измерений и требует значительного усложнения приборной части систем, что делает такие системы уникальными и препятствует их широкому распространению, ограничивая область их применения лабораторными исследованиями. Другой путь связан с разработкой алгоритмических способов компенсации случайных и систематических искажений погрешностей в

измерительных системах и является наиболее перспективным решение проблемы.

В интерференционных методах измерений наиболее используемыми являются двулучевые интерферометры, в которых происходит интерференция двух волновых фронтов, один из которых отражается от объекта, а другой от опорной поверхности. Измерительная система регистрирует интерференционную картину, образованную наложением двух волн.

Распределение интенсивности света I (x, y) в

такой картине может быть представлено в виде

I (x, y ) =

= A (x, y) [i + V (x, y) cos (Ф( x, y))], (1) где A (x, y) - средняя интенсивность, B (x, y) -амплитуда модуляции интенсивности, ф( x, y) -

разность фаз интерферирующих полей.

Существует два подхода к автоматизированному анализу измерительных интерферограмм.

Качественный подход, когда измерительная информация содержится во взаимном расположении интерференционных полос, которое определяет вид интерферирующих волновых фронтов и позволяет сделать вывод о форме (параметрах) измеряемого объекта или процессе их изменения в зависимости от способа получения интерферограммы. Для описания интерферограммы достаточно получить информацию о серединах интерференционных полос. Отметим, что существующие алгоритмы выделения середин интерференционных полос используют либо их отслеживание, либо вычисляют их местоположение по определенным признакам (например, по значениям знака первой и второй производных поля яркости интерферограммы). Существующие алгоритмы крайне неустойчивы к шумам, присутствующим в интерферограммах, и поддаются полной автоматизации только при относительно простой картине интерференционных полос. Расшифровка производится в интерактивном режиме, когда оператор указывает реперные точки на серединах полос с последующей их аппроксимацией [1].

Количественный подход, при котором целью интерференционных измерений является выявление функции j( x, y) из данных,

содержащихся в интерференционной картине.

К важнейшим достижениям интерферометрии за последнее время можно отнести метод фазовых шагов [1] и другие методы, развитые на его основе. На рис. 1 показана обобщенная схема реализации данного метода.

Компьютер

Ж

Устройство внесения фазового сдвига

Первичный преобразователь (интерферометр)

Фотоприемное устройство

Рис. 1. Схема измерительной установки

В качестве первичного преобразователя обычно используется интерферометр Майкельсона, Тваймана-Грина, возможно использование иных типов интерферометров, например, многопроходный интерферометр Фабри-Перо. Названный метод первоначально был предложен для автоматизации интерференционных измерений и позволил не только повысить информационную емкость измерений, но, в ряде случаев, и повысить их точность. Достоинствами метода являются его сравнительная простота и возможность полной автоматизации процесса расшифровки интерферограмм. В данном методе регистрируют несколько интерферограмм с внесением фазового сдвига между экспозициями интерферограмм. В этом случае интерференционный сигнал описывается системой уравнений

Ij = A [1 + V cos(F +A (j ) ], (2) где Djj - вносимый фазовый сдвиг,

j e( 0...N).

Обобщенная формула анализа

(расшифровки) интерферограмм приведена в [2].

Представим выражение (2) в векторной форм е

I = A + (V cos Ф)C + (V sin F)S ,

I • с1

Ф = arctan r r, (3)

I • S1

®

где C = (cos A(0,... cos A (n )T, размерность векторов определяется числом фазовых сдвигов

A (pn. Здесь оператор (a • b) означает

®1 ®1

скалярное произведение векторов, а S и C -

векторы, ортогональные векторам S и C , соответственно. Учитывая известное свойство скалярного произведения

(а ■ Ъ) = -(а L■ Ъ) , (4)

алгоритм расшифровки в векторной форме примет следующий вид

1С

—. (5)

Ф = arctan:

II. АНАЛИЗ ПРОБЛЕМЫ

Анализ точностных характеристик интерференционных систем с пошаговым фазовым сдвигом показал, что наиболее существенной является погрешность измерения, обусловленная нарушением гипотез о постоянстве контраста и яркости интерференционных полос. Поэтому для практической реализации предельных точностных характеристик измерительных систем требуется компенсация случайных и систематических искажений поля яркости интерферограмм и калибровка фазовых сдвигов.

Для улучшения качества интерферограмм используются методы линейной и нелинейной фильтрации [3]. При линейной фильтрации исходный сигнал /(х) представляется в виде

аддитивной суммы полезной I (х) шумовой

I * (х) составляющих

1(х) = I (х) +1* (х), (6)

где х - пространственная или частотная области локализации сигнала.

Целью фильтрации является получение оценки полезной составляющей 1( х) при

минимуме потерь измерительной информации. Все многообразие методов фильтрации можно разделить на две группы:

Первая группа методов, используя априорную информацию о модели полезного сигнала, вычисляет оценку параметров модели сигнала I (х). Другая группа методов

применяется, когда априорная информация о форме сигнала отсутствует. В этом случае задаются законом распределения шумовой части сигнала I* (х) и производят оценку его

параметров. Также может использоваться комбинация этих методов. Успешность оценки параметров сигнала и выбора параметров фильтра зависит от соотношения сигнал/шум ]].

При пространственной фильтрации, оценка этого параметра производится путем сравнения интерференционного сигнала в точках соответствующих темным серединам полос, где уровень полезного сигнала близок к нулю и в точках, соответствующих светлым серединам полос, в которых уровень полезного сигнала максимален

Р ( 5 + П )

h = -

Р (n)

где P ( 5 + n ) - мощность смеси сигнала с шумом, P ( s ) - мощность шума.

Однако, представительность такой оценки невелика, так как соотношение точек соответствующим серединам интерференционных полос к общему количеству точек интерферограммы не превышает 1-2%, а аппроксимация закона шумовой составляющей может быть выполнена только для достаточно больших интервалов дискретизации, что значительно снижает точность оценки.

При частотной фильтрации вычисляют пространственный спектр сигнала, вырезают шумовую часть спектра и выполняют обратное преобразование спектра, восстанавливающее пространственный сигнал. Определение шумовой части спектра достаточно сложная техническая проблема и требует априорного знания либо структуры сигнала, либо структуры шума. В практических измерениях производится исключение из спектра составляющих, имеющих величину менее 5-10% от величины спектральной составляющей, имеющей максимальный вес. Достигаемая точность расшифровки не выше 1-5% .

Трудность применения данного подхода при практическом анализе интерферограмм заключается в том, что форма измеряемого волнового фронта, как правило, неизвестна. Закон распределения шумовой составляющей I * ( x ) имеет большую вариабельность, которая

не позволяет получить достоверные оценки его параметров, так как отсутствуют надежные критерии, позволяющие отделить полезный сигнал I ( x ) от шумовой составляющей I* ( x).

При нелинейной фильтрации модель измеряемого сигнала I% ( x) имеет более

сложную структуру

I (x) = I (I* (x))

В отдельных случаях, например, когда сигнал I% ( x) имеет мультипликативную структуру

I ( x ) = I ( x )• I * ( x ) ,

используя принципы обобщенной линейной фильтрации, ее можно привести к линейной зависимости методом гомоморфного преобразования (обобщенная линейная фильтрация)

log [I ( x )] = log [I ( x )• I * ( x)] = log [ I ( x)] + log [ I * ( x )]

В общем случае используют различные, априорно задаваемые, законы поведения шумовой составляющей I* (x) и (или)

полезного сигнала I ( x ) - линейный и нелинейный тренды, закон изменения сигнала или его огибающей (медианная фильтрация, анализ локальных гистограмм) и т.д. Однако и при таком подходе к фильтрации интерферограмм не удается избежать отмеченных выше трудностей. Отметим еще раз, что основной из них является невозможность корректного разделения полезной и шумовой составляющих при априорно неопределенной форме полезного сигнала, т.к. полезный сигнал может иметь шумоподобную составляющую. Например, даже при относительно простом линейном тренде, шумовая составляющая имеет сплошной спектр, который маскируется спектром полезного сигнала. Точность расшифровки при таком подходе также не превышает 1-2%. Отметим, что большинство алгоритмов компьютерной графики, предназначенные для улучшения качества изображений, не могут быть использованы для измерительных задач, так как предназначены для улучшения визуального восприятия изображения, и их применение приводит к искажению измерительной информации [2].

Таким образом, весьма актуальной является задача разработки новых принципов высокоточного анализа интерферограмм.

Для успешного решения данной проблемы необходимо определить признаки измеряемого сигнала, инвариантные к профилю интерференционных полос. С этой целью предлагается производить анализ интерференционных сигналов в пространстве интенсивностей интерференционных сигналов.

III. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Представим набор интенсивностей I.(x,y), входящих в уравнение расшифровки (2) в виде вектора в пространстве интенсивностей I.

I = ( Ii( x, y) 12 (x, y) ... In (x, y) )T ,

где n - число интерферограмм с различными фазовыми сдвигами (см. рис.2). Для упрощения далее обозначение ( x, y) опускаем.

При изменении фазы Ф( x, y) в окрестности

произвольной точки ( x, y) на интерферограмме

годограф вектора I будет описывать определенную траекторию в пространстве

интенсивностей I. .

Для определенности представим вектор I в трехмерном пространстве интенсивностей.

Рис. 2. Интерферограммы с различными фазовыми сдвигами

Пусть имеется три интерферограммы с фазовыми сдвигами A j = 0°, A j2 и A j = A j3 = -A j2,

A1 + BjCOS (Ф)

A2 + B2COS (Ф + Aj) . (7а)

vA3 + B3 cos (Ф-A j)y

В случае, когда значения Ai и Bi не изменяются в области анализируемой окрестности (x, у), т.е. Ai = const и

B, = const, имеем

f ¡1 у

12 =

V ¡3 у

С ¡i У

12 =

V ¡3 У

Л

A2 + B2 cos (Ф + A j) VA3 + B3 cos (Ф-Aj)

(7б)

Определим вид данной траектории в пространстве интенсивностей. Для этого необходимо исключить параметр Ф из уравнений (7), выполнив ряд преобразований:

I. - A л в,

12 - A2 B2

I3 - A3

V B3 У

cos (Ф) cos (Ф + Aj) cos (Ф-Aj)

Подставив первое уравнение в остальные с

учетом подстановки sin Ф = +V1 — cos2 Ф , получим:

С12 A2 ^ B2

I3 - A3

V B3 У

Г

С >

V B. У

с ¡¿Aл

VV B. У

cos A j+ cos A j±

sin A j

1 -

¡, - A.

B

sin A j

1 У

Уравнение траектории получим, возводя в квадрат и суммируя уравнения

Í ^2 Í Л 2 f

¡. -Al (2sin2 Aj-1)+ ¡2 -A2

V B. У

V B2 У

+

¡3 A3

V B3 У

2sin2 Aj (8)

Полученное уравнение показывает, что в общем случае при изменении фазы интерференционной полосы от нуля до 2р годограф описывает кривую (8), которая является эллиптической траекторией.

На рис. 3а-в показаны профили интерференционных полос 11... 13 и соответствующая им траектория - рис. 3г.

2

2

г)

Рис. 3 Профили интерференционных полос (а)-(в) и соответствующая им траектория (г)

Отметим, что в случае, когда 2sin2 Дф — 1 =

то есть

Дф2 3 = ± —, ± , и равенстве

амплитуд интерференционных полос В1 = В2 = В3 = В, уравнение (8) переходит в

уравнение окружности

(/ —4)2+(/2 — 4)2 +(/3 — 4)2 = ^3в^ (9)

с центром в точке /0

Г а Л А

V А3 У

Интенсивность интерференционных полос в многопроходных интерферометрах, например, Фабри-Перо - пропорциональна степенному полиному, степень которого равна числу проходов. Ниже показаны интенсивность интерференционных полос и соответствующие

им траектории для 4, 7 и 11-проходных интерферометров (см. рис. 4).

При отсутствии шумов измеренные значения

интенсивностей

I, , !2 и I3 будут принад-

лежать данной траектории независимо от вида профиля интерференционных полос (рис. 2г). При практических измерениях вследствие случайных шумов и систематических искажениях в тракте интерференционных

I, I,

13 не

систем измеренные значения ц , 12

будут принадлежать данной траектории. Таким

образом, отклонение измеренных значений ^

от разрешенной траектории может выступать в качестве индикатора ошибки независимо от вида интерференционного и искажающего сигналов, что позволяет эффективно разделять их, даже если они обладают спектральным подобием.

п = 4 п = 7 п = 11

Рис. 4. Профили интерференционных полос и соответствующие им траектории интерференционных сигналов в многопроходных интерферометрах

Отметим, что в практических измерениях данный случай наиболее часто встречается и существующие классические методы анализа интерференционных сигналов в таких случаях неработоспособны.

Идентификация параметров траектории

С учетом возможных искажений траекторию (8) можно описать следующим образом

Г ¡2 -( 4 +^2 ) ^

B2 +ЛВ2

+

(

+

¡3 -( А3 +ЛА3 ) В3 +ЛВ3

= 2зт2 Лф

(10)

Для компенсации искажений удобно представить траекторию интерференционного сигнала в виде суммы идеальной траектории и траектории ее возмущающей части

/ (ЛА + А, ЛВ + В, ф) = = / (А, В, ф) + / (ЛА, А, ЛВ, В, ф) (11)

2

Идеальной траекторией (идеалом) назовем траекторию (8), получающуюся из (10) при предположении об отсутствии искажений, т.е. DA = 0 и DB = 0 . Для идентификации параметров идеальной траектории можно воспользоваться методом МНК. Для уменьшения сложности расчетов удобно описать трехмерную траекторию в виде системы ее проекций

X2 - 2XY cos Dj + Y2 - sin2 Dj = 0, X2 - 2XZ cos D j2 + Z2 - sin2 D j2 = 0, (12) X2 -2XY cos(D j -Dj) +Y -sin2 (Dj -D j) = 0,

где

Z =

X =

f 1 - 4 л

B

Y =

f h_4 Л

Bn

1\ 4

B.

а D j - фазовый сдвиг между

3 У

интерферограммами 11 и /2, а Д^2 - между интерферограммами 11 и 13, соответственно.

Учитывая, что уравнение проекции траектории является кривой второго порядка, решение ищется в виде матрицы коэффициентов квадратичной формы [9]. Например, проекция на плоскость ХУ примет следующий вид

a11 X + a22Y + a12 XY + a13 X + a23Y + a33 = 0

fa a12 a Л 13

4xy = a21 a22 a23

V a31 a32 a33 у

(13)

где коэффициенты матрицы с точностью до постоянного множителя равны: 1

aii =

B

2 '

a,,

:a31 = -

B1B2

cos D j,

42

a

B„

—7--—— cos D j

V B1

a23 a32

—2--1— cos D j

V B1

B1B2

У

f A2 AA 4

a33 = sin2 Dj - "¿2-2l^cosDj +

V B1 B1B2 B

2

2 У

Тогда значение средних яркостей интер-ферограмм можно определить, решая систему уравнений

4 =1

1 D

a

a

a23 a22

4 =1

2D

a

a

a

a

(14)

где D - детерминант матрицы 4X

Значения интенсивностей B1 и B2 получаем из значений коэффициентов a11 и a22 1 1

B

B„

(15)

Фазовый угол сдвига Дф также может быть

оценен из найденных коэффициентов

A B,B9 cos Дф = —— (16) а,

43

Аналогично можно определить параметры остальных проекций траектории. Отметим, что использование всех проекций траектории позволяет определить два значения для каждого параметра, что позволяет выполнить оценку погрешности вычислений по их невязке

Рху ® Рх1,Ру1 АРх = Рх, - Рх2

Pхz ® Pх2,Pz1 ^ АРу = Ру -Ру2 .

РУ2 ® PУ2,PZ2 APz = PZl - PZ2

Родственные алгоритмы

Определение середин интерференционных полос.

Покажем, что, учитывая особенности траектории интерференционных сигналов, можно реализовать эффективные беспереборные методы определения середин

интерференционных полос. Поскольку траектория имеет вид эллипса, то ее точки перегиба будут соответствовать на большой полуоси - точкам экстремума (середин полос), а на малой полуоси - линиям нулевой фазы. Для выделения таких точек требуется рассчитать точки перегиба и выполнить сортировку данных, удерживая те точки, которые попадают в заданную окрестность О около точек перегиба. Точки перегиба, в общем случае, можно вычислить, решая систему уравнений для трехмерной траектории. При эллиптической траектории точки перегиба будут являться вершинами эллипса. Наиболее просто их можно определить, приведя уравнение траектории к каноническому виду. Тогда координаты вершин будут определяться размерами большой и малой полуосей эллипса. Выполнив преобразование обратное к канонизации траектории, получим искомые координаты точек перегиба. Величина окрестности О определяется исходя из требуемой точности нахождения

местоположения середин полос. Такой подход позволяет полностью автоматизировать процесс определения положения середин

интерференционных полос независимо от их сложности.

Получаем уравнения для определения середин интерференционных полос:

и

1

1

2

a12 = a21 =

и

р (X, У, 7 ) = 0

р' 1 XX р" 1 ЖУ Р ' 1 XZ р 1 X

р' 1 УX р" УУ р' 1 У7 Р ' У

р" 1 ж р' 1 7У Р ' 1 77 Р ' 7

р' 1 X Р ' У Р ' 7 0

= 0

Также можем получить три системы уравнений соответствующих проекций:

р (X, У) = 0

р '

1 XX р'

1 УХ

р'

1 ХУ р"

УУ

р'

1 X р'

У

= 0

р'х ру 0

р (X, 7 ) = 0

Определение соотношения сигнал-шум и закона изменения шумовой составляющей интерференционного сигнала.

Наличие случайных некоррелированных шумов приводит к рассеиванию точек вокруг траектории идеала. На рис. 5 показаны поля яркости интерферограмм с некоррелированным фазовым шумом, что соответствует, например, спекл-шуму. На рисунке 6а-в показаны профили

интерференционных полос ¡1 . ¡3 и

соответствующие им траектории - рис. 6г.

В отличие от ранее рассмотренных методов, знание траектории идеала позволяет рассчитать соотношение сигнал-шум в каждой точке интерферограммы. Оценка производится путем сравнения длин векторов: вектора, имеющего минимальное расстояние от измеряемой точки Р1 (х, у) до точки пересечения с идеалом

Р ' 1 XX р ' 1 XZ р' 1 X Р2 (х, у) и вектора, соединяющего точку

р" 1 ZX р' 1 77 р' 7 = 0 , Р2 (х, у) с центром траектории Р0 (х, у).

р' 1 X р ' 1 7 0 Амплитуда шумовой составляющей равна

■ р (У, 7 ) = 0 А1 (х,у) = Р! (х,у)-Р2 (х,у), а амплитуда

р" 1 УУ р " У7 р' 1 X полезного сигнала равна

А (х, у )=Р2 (х, у )-Рс (х, у).

р" 1 7У р ' 77 р' 1 7 = 0 .

р ' У р' 7 0

12 13

Рис. 5. Поля яркости интерферограмм с различными фазовыми сдвигами

Тогда оценку соотношения сигнал-шум можно определить как

ч А1 (х, у)

1 (х, У )= 1) V А (х, у)

Найденные значения амплитуд шума корректно определяют закон распределения шумовой составляющей в каждой точке интерферограммы, что позволяет построить оптимальный фильтр для их устранения.

Классификация вида искажений

Рассмотрим изменение вида траектории при искажениях различного рода.

а) При нелинейной передаточной характеристике фотоприемника, регистрирующего интерферограммы, происходит искажение профиля интерференционных полос. Нелинейность передаточной характеристики можно аппроксимировать степенной функцией

вида J = (I)Г. На рис. 7(а) показан вид

передаточной характеристики для различных значений у.

в)

Рис. 6. Профили реальных интерференцион

На рис. 7(б-д) показаны соответствующие им профили интерференционных полос и траектории интерференционных сигналов.

Искажение профиля интерференционных полос приводит к смещению траектории из-за изменения уровня средней яркости и ее деформации (отклонению от плоскостности) вследствие неравномерности изменения интенсивности интерференционных полос.

б) При неравномерности коэффициента чувствительности (усиления) по полю приемного устройства происходит изменение

полос (а-в) и соответствующая им траектория (г)

амплитуды регистрируемых интерференционных полос. На рис. 8 показаны поля яркости интерферограмм с линейным изменением контраста интерференционных полос. На рис. 9(а-в) показаны профили

интерференционных полос ¡1 . ¡3 и

соответствующая им траектория - рис. 9(г).

в) При неоднородности коэффициента неоднородности фоновой засветки происходит изменение средней яркости регистрируемого поля яркости интерферограммы.

Рис. 7. Передаточные характеристики (а), профили интенсивностей (б-г) и траектории (д), получающиеся при различных значениях у.

Рис. 8. Поля яркости интерферограмм с различным контрастом

ЗООг

в;

Рис. 9. Профили полос и их траектория при изменении контраста интерферограмм

На рис. 10 показаны поля яркости интерферограмм с линейным изменением средней яркости. На рисунке 11(а-в) показаны

профили интерференционных полос 11... 13 и

соответствующая им траектория - рис. 11 (г).

Как следует из рассмотренных примеров, каждому виду искажений присущ индивидуальный вид искажения траектории, что

II 12 13

Рис. 10. Поля яркости интерферограмм с изменяющейся средней яркостью

позволяет определить наличие и вклад определенного вида искажений в поведение траектории, что позволяет конструировать оптимальные фильтры для их устранения, а также визуализировать и автоматизировать сложные процессы калибровки интерференционных систем.

в;

Рис. 11. Профили полос и их траектория при изменении средней яркости интерферограмм

Из рис. 6-11 следует, что наличие искажений в приемном тракте приводит к расслоению траектории. Изгиб траектории связан со сменой знака направления изменения фазы.

г) Покажем, что при операциях «улучшения» качества интерферограмм, связанных, например, с фильтрацией спекл-шума, происходят неконтролируемые искажения поля яркости интерферограмм. Основным критерием качества такого «улучшения» считается максимальное приближение профиля, получающихся при преобразованиях поля яркости интерференционных полос, к косину-соидальному виду. На рис. 12(а-в) показаны профили интерференционных полос до и после

фильтрации и соответствующие им траектории - рис. 12(г).

Из рисунка 12(г) видно, что траектория после индивидуальной фильтрации

интерферограмм распадается, а центр траектории смещается, хотя результаты фильтрации, как следует из рис. 12(а-в), исходя из рассмотренного критерия, можно считать «идеальными». Распадение траектории обусловлено артефактами, возникающими в результате фильтрации: несогласованное изменение амплитуды и средней яркости интерференционных полос. Данное

обстоятельство приводит к необходимости к согласованной (совместной) фильтрации интерферограмм.

Рис. 12. Результаты фильтрации поля яркости интерферограмм

Коррекция траектории

Искажение и (или) распадение траектории может быть скорректировано, как уже отмечалось, двумя способами: путем коррекции характеристик фотоприемного тракта (аппаратурная компенсация) или путем определения параметров искажающей траектории (алгоритмическая компенсация).

Наиболее привлекательным представляется второе направление, так как при этом не усложняется аппаратная часть интерференционной системы.

Непосредственное определение параметров искажений из уравнения (10) сопряжено со значительными трудностями, так как сложно явно разрешить уравнение относительно параметров возмущающей части идеала, поэтому целесообразно использовать численные методы решения. Можно упростить задачу, приняв предположение о локально линейном изменении амплитуды и средней яркости интерференционных сигналов, так как изменение этих параметров, как правило, имеет в основном низкочастотный характер в сравнении с распределением фазового профиля интерференционной картины. Тогда уравнение (11) можно привести к следующему виду

/ (ДА + А, ДБ + Б,р) = / (А, Б,р) +

+/ (ДА,А, Б,р) + /2 (А, АБ, Б,р) (17) где /1 (ДА, А, Б,р) - функция искажений вызванных изменением средней яркости, а / (А, АБ, Б,р) - изменения амплитуды,

соответственно.

При линейном изменении средней яркости функция /1 описывает возмущающую траекторию, которая имеет вид циклоидной пространственно кривой. Линейное изменение амплитуды интерференционных полос описывается функцией /2, и ее траектория имеет вид спиралевидной пространственной кривой. Возмущающая траектория может быть определена как

/* (ДА, А, ДА, Б, р) =

= а/1 (ДА, А, Б, р) + Ь/2 (А, ДБ, Б, р(,

вклад доли вложения каждой из функций и их параметры определяются по минимальной невязке

/* (ДА, А, ДА, Б, р)- / (А, Б, р) =

= а/х (АА, А, Б,ф) + р/2 (А, АВ, Б, р)

Дополнительные уравнения можно получить, используя инвариантные свойства идеала, который является плоской кривой, т. е. имеет нулевое кручение

( Г , Г , Г ) Т , , 2 =0, [Г', г"]|

здесь ( *, *, *) обозначает смешанное произведение, а г - вектор функция с

координатами (х, у, ъ). В координатах:

T ■

t ( / // // / m г / т\ , г(пт п т\

( х у - у х ) + z ( х y - y x ) + z ( x y - y x )

(

/2 , /2 . /2 x + y + z

)(

"2 , "2 , №2 x + y + z

)

Приведение траектории к круговой форме осуществляется с учетом постоянства кривизны пространственной круговой кривой

K =

/ / п т\

( r , r , r )

|[ r' ï

= const.

В координатах:

K :

\i " ' " /^2 il"' V(z y - y z ) +(x z

ff f\2 / ff f ff f\2 z x ) +(y x - x y )

: const .

/ /2 . /2 . /2 \ ( x + y + z )

Для круговой пространственной кривой

кривизна равна К = —.

Отметим, что приведение траектории к круговой форме фактически эквивалентно фильтрации интерференционного сигнала и коррекции вносимых фазовых сдвигов до кж

величины Ар = ——, что позволяет увеличить точность интерференционных измерений до

величины

l

и не требует калибровки

1000

вносимых фазовых сдвигов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложен новый подход к высокоточному анализу данных в автоматизированных интерференционных измерительных системах. На основе траекторного представления интерференционных сигналов можно визуализировать и автоматизировать сложные процессы измерений и калибровки интерференционных систем. Определены подходы и разработаны методы и алгоритмы, позволяющие повысить точность

интерференционных систем с пошаговым фазовым сдвигом до субнанометрического диапазона.

Работа поддержана грантом по проекту Министерством образования и науки, Темплан, проект № 7.559.2011.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Dunn G. A. Transmitted-light interference microscopy: a technique born before its time //

Proceedings of the Royal Microscopical Society.- 1998.-33.-P.189-196.

[2] Васильев В.Н., Гуров И.П. Компьютерная обработка сигналов в приложении к интерферометрическим системам. - СПб: БХВ Санкт-Петербург, 1998. -237 с.

[3] В.К.Кирилловский. Оптические измерения. Часть 5. Аберрации и качество изображения. СПб ГУ ИТМО. 2006.- 107с.

[4] Creath K. Phase-shifting speckle interferometry// APPLIED OPTICS.- 1985.-Vol. 24.- № 18.- P. 30533058.

[5] Гужов В.И., Ильиных С.П. Компьютерная интерферометрия, Новосибирск, НГТУ. 2004.-252с.

[6] Рабинер Л.Р., Гоулд В. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978.

[7] De Nicola S., Ferraro P., Gurov I., Koviazin R. and Volkov M. Fringe analysis for moiré interferometry by modification of the local intensity histogram and use of a two-dimensional Fourier transform method //Meas.Sci.Technol.2000. V.11. № 9. P.1328-1334.

[8] Визильтер Ю.В., Желтов С.Ю., Князь В.А., Ходарев А.Н., Моржин А.В. Обработка и анализ цифровых изображений с примерами на LabVIEW и IMAQ Vision. М.: ДМК пресс, 2007. 464 c.

[9] Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — 4-е издание. — М: Наука, 1978.

Ильиных Сергей Петрович -доцент кафедры «Вычислительная техника» в НГТУ, доцент, кандидат технических наук, автор более 100 научных статей, в том числе, 4 патента и 1 учебник высшей школы. Область научных интересов и компетенций - лазерные измерительные системы, об работка изображений. E-mail: isp51@yandex.ru

z

0

3