ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ ПО ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫМ КАРТИНАМ В ФАЗОСДВИГАЮЩЕЙ ИНТЕРФЕРОМЕТРИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Определение значений фазовых сдвигов по интерференционным картинам в фазосдвигающей интерферометрии

В.И. Гужов, С.П. Ильиных, Кузнецов Р. А., Хайдуков Д.С. НГТУ (Новосибирск, Россия)

Аннотация: В статье рассматривается алгоритм явного определения фазовых сдвигов из серии интерференционных картин, полученных методом пошагового фазового сдвига, решением системы транцендентных уравнений.

Ключевые слова Метод фазовых шагов, интерферограмма, уравнения расшифровки.

I. ВВЕДЕНИЕ

Наибольшее применение при построении интерференционных систем в последние годы получили методы получения и расшифровки интерферограмм на основе пошагового сдвига (пошаговая или фазо-сдвигающая интерферро-метрия, phase-sampling, phase-shifting interfero-metry) [1-12]. Метод пошагового фазового сдвига основан на регистрации нескольких интерференционных картин при изменении фазы опорной волны Si на некоторые известные значения.

Ii(x,y) = Io(x,y){l + V(x,y)cos[f(x,y) + Si ]} , (1)

где i=0,2, ... , m-1, m - число фазовых сдвигов.

На рис. 1 показана принципиальная схема оптической установки, в которой фазовый сдвиг задается перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике.

Основной задачей расшифровки является определение разности фаз интерферирующих волновых фронтов f (x, y) по значениям

зарегистрированных интенсивностей I (x, y). Если фазовый сдвиг известен, то в уравнении три неизвестных: j(x, y) - фазовая разность,

I0(x,y) - средняя интенсивность, V(x,y) -видность. Для их нахождения нам необходимо не менее трех уравнений с различными значениями S...

Решая системы уравнений можно найти все три искомые величины. Формулы для расшифровки выводятся как решение системы тригонометрических уравнений вида (1). Известно большое число выражений для расшифровки с различным числом фазовых сдвигов. Первые известные алгоритмы использовали формулы расшифровки с тремя или четырьмя сдвигами. С возрастанием вычислительной мощности современных компьютеров появилась возможность использовать

алгоритмы с большим числом сдвигов. Так в работе [3] представлен алгоритм, использующий 15 фазовых сдвигов, а в работе [6] - 101 фазовый сдвиг.

Рис.1. Схема интерферометра Тваймана-Грина с перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике.

II. УРАВНЕНИЯ РАСШИФРОВКИ

Нами предложен [10, 11] обобщенный алгоритм расшифровки, позволяющий установить структуру известных алгоритмов и конструировать новые алгоритмы с неограниченным количеством фазовых сдвигов.

f = arctan

-КС

В

этом

C = (cos d0 ,K , cos dm_1 j1 S = (sin d0 ,K , sin dm_1 )T.

(2)

выражении

Si - фазовые

сдвиги, размерность векторов определяется т -числом фазовых сдвигов. 11 - вектор, ортогональный вектору I = (10 ,К , 1т_1 )Т , где 1(х,у) - набор измеренных интенсивностей с различными фазовыми сдвигами д1.

Существует ряд систематических ошибок, которые влияют на правильность определения разности фаз. Это - ошибки при определении интенсивности и ошибки при установлении фазового сдвига. В [13, 14] показано, что основной вклад в погрешность вносят ошибки

при установке фазового сдвига.

Целью данной работы является явное определение действительной величины вносимых фазовых сдвигов путем анализа траектории интерференционных сигналов в двух произвольных точках интерферограммы. В этом случае не требуется априорного знания величины сдвига.

III. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ФАЗОВЫХ СДВИГОВ

Уравнение (1) можно представит в виде:

I,.(x,y) = A(x,y){1 + B(x,y)cos[f(x,y) + 5,.]} ,

(3)

где A(x,y) - средняя яркость, B(x,y) -амплитуда интерференционных полос, f (x, y) -фазовая разность, 5,. - фазовые сдвиги.

Можно сделать допущение, что в различных точках фазовые сдвиги одинаковы. Это предположение выполняется в большинстве случаев, исходя из физических условий проведения эксперимента. Тогда мы можем получить добавочные уравнения, рассматривая решения не в одной, а в нескольких пространственных точках (xk, yk).

\k (x, y) = A (x, y) {1 + Bk (x, y) cos [f (x, y) + 5,. ]}

или

I,k = A [1 + Bk cos (f + 5,)]. (4)

Если мы берем m фазовых сдвигов, то общее число неизвестных в 2 точках будет: 2-3 + m-1.

(I0,i, I0,2, Bi, B2, f1, f2 , Si, 82, S3 ,84) (рис.2).

Считаем, что 80 = 0. Если взять 5 сдвигов, то в 2

точках получится 10 уравнений и 10 неизвестных. Этого достаточно, чтобы точно определить все неизвестные, включая фазовые сдвиги.

В общем случае, число точек к=1, ... , п. Общее число неизвестных: п3+т-1. Число уравнений: п (т-1). Решение можно найти, если общее число уравнений больше или равно числу неизвестных, т. е.:

пт > 3п+(т-1) . (5) В общем случае, число точек к=1, ... , п. Общее число неизвестных: п3+т-1. Число уравнений: п (т-1). Решение можно найти, если общее число уравнений больше или равно числу неизвестных, т. е.:

п т > 3п+(т-1) . (5)

Рис. 2 Две произвольные точки на интерферограмме

Если взять две точки на интерферограмме с координатами Л(хА,уА) и В(хв,ув) при пяти фазовых сдвигах, получим систему из десяти уравнений:

1 (x A ,Ya) = A(xA ,Ya) + B(xA ,Ya)C0S (f (xa,Ya ) )

I2(xA,yA) = ^X^ yA) + yA)cos (f(Уа )+d) !3(xA, Уа ) = A(xA, Уа ) + B(xA, Уа ) cos (f (xA, Уа ) + §2 ) I4(xA, Уа) = A(xA, Уа) + B(xA, yA)cos (f( Уа ) + d3) I5 (xa , Уа ) = A(xa , Уа ) + B(xa , Уа ) cos (f( xA,yA ) + d4 ) I6(xB,yB) = A(xB,yB) + B(xB,yB)cos (f( xB,yB ))

(xB, yB) = A(xB,yB)+B(xB,yB)cos (f(yB ) + d)

I8(xB,yB) = A(xB,yB) + B(xB,yB)c0S (f( xB,yB ) + d2 )

I9(xB,yB) = A(xB,yB) + B(xB,yB)c0S (f( xB,yB )+53 )

I10(xB,yB) = A(xB,yB) + B(xB,yB)c0S (f (xB,yB ) + Dd4 )

Переобозначим интенсивности 11 ... 15 как х}... х5, интенсивности 16 ... /}0 каку}... у5. а уровни средней яркости А(хЛ,уЛ) и

А(хв,ув) - х0 и у0. соответственно. С учетом

принятых обозначений система уравнений (6) примет вид

х1 = х0 + В1 СОБ (ф1 ) у1 = у0 + В2 СОБ (ф2 )

х2 = х0 + В1 СОБ (ф1 +81 ) у2 = у0 + В2СОБ (ф2 +81 )

х4 = х0 + В1 СОБ (ф1 +83) у3 = у0 + В2СОБ ( ф2 +82 )

х3 = х0 + В1 СОБ (Ф1 +82 ) у4 = у0 + В2 СОБ (ф2 +83 )

х5 = х0 + В1СОБ (ф1 +84) у5 = у0 + В2 СОБ (ф2 +84 )

(7)

0 хо

Рис 3. Точки интенсивностей

В уравнении (7) (х, у) - координаты 5 точек. Изобразим эти точки на плоскости х-у (рис. 3). Положение точек на плоскости зависит от параметров, определяемых уравнениями (6). Если менять фазовые сдвиги непрерывно, то точка на плоскости опишет эллиптическую траекторию, то есть, любая точка, соответствующая системе уравнений (6), принадлежит некоторому эллипсу.

Получим уравнение эллипса, используя свойства пучка кривых.

у

х

Рис 4. Пучок кривых второго порядка

Через четыре точки можно провести бесконечное количество кривых второго порядка (эллипсов) (рис.4).

у

о

Рис. 5. Порядок соединения точек пучка кривых

Уравнение пучка кривых второго порядка имеет вид

^12 (х, у) • ^23 (х, у) + а • ^3 (х, у) • ^ (х, у) = 0, (8)

где Гкм(х,у) - уравнение прямой, проходящей

через точки К и N соответственно, а а -коэффициент, позволяющий выбрать определенную кривую в пучке. На рис. 5 показаны прямые, используемые для нахождения уравнения эллипса из пучка кривых.

Уравнение прямой общего вида можно записать

как

ГкДх,у) = Ах + Ву + С = 0.

(9)

Поскольку прямая задана двумя точками на плоскости, то коэффициенты уравнения (9) путем несложных преобразований могут быть получены из канонического уравнения прямой

х - х„

_ У-Ук

хм хк Ум ук (х-хк)(ум -ук)-(у-ук)(хм -хк)

(хм -хк)(ум -ук)

Л = ум - ук

В = -(хм - хк )

= о,

(10а) (10Ь)

(10с)

С = -хкА-

хмВ

Для прямых, показанных на рис. 5, имеем

3

0

(11)

четыре уравнения

^12 (х, у) = ^Х + В^ + С! = 0

^(х,у) = А2Х + В2У + С2 = 0

^з (х, у) = А3х + В3у + С3 = 0 ^ (х, у) = А4х + В4у + С4 = 0

Выберем коэффициент а таким образом, чтобы выбранная из пучка кривая проходила и через пятую точку (рис. 4 - сплошная кривая). Для этого необходимо решить следующее уравнение

(х5,у5) + +а-^5^5) • ^24 (х5 , у5 ) = 0. (12)

Решение данного уравнения имеет вид

(А1х5 + ^у, + С1 а — . . х

( А3х5 + В3у5 + С3 )

х(А2х5 + В2у5 + С2) .

( А4х5 + В4у5 + С4 )'

Уравнение эллипса в общем виде а11х2 + 2а12ху + а22у2 + 2а13х +

+2a23y + a33 = 0.

(13)

(14)

Коэффициенты уравнения (14) находим, раскрывая уравнение (12) и приводя подобные члены

ап — А^А^ + аА3А.4

а12 = 2 [А1В2 + А2В1 +а( А3В4 + АД)]

а22 = В1В2 +аВ3В4 (15)

а13 =1 [АА + А2С1 + а( А3С4 + А4С)]

а23 = 1 [В1С2 + В2С1 +а( В3С4 + В4С3)]

а33 — + аС3Сд Теперь можно сократить число неизвестных в системе уравнений (7), приведя центр эллипса в начало координат. Координаты центра эллипса х0 и у0 находим, решая систему уравнений

I апх0 + а12у0 = а13 | = , (16)

I а21х0 + а22у0 = а23

Xj = Bjcos (fj) yj = B2cos (f2 )

x2 = B1cos (f1 +51) y2 = B2cos (f2 +51)

x4 = B1cos (f1 +53) y3 = B2cos (f2 +52)

x3 = B1cos (f1 + 52) y4 = B2cos (f2 + 53)

x5 = B1 cos (f1 +54) y5 = B2 cos (f2 +54)

Выразим синус первого фазового угла через значения интенсивностей с различными фазовыми сдвигами

x2 = B1 cos (f1 + 81) = B1 cos (f1) cos (81) -

-B1 sin (f1) sin (81), (19a) x3 = B1 cos (f1 +82) = B1 cos (f1) cos (82 )-

-B1 sin (f1) sin (82). (19b)

B1 sin (f1 ) = B1 sin (f1 ) =

x1 cos

(81)

sin

(81)

x3 - x1 cos (82)

(20)

sin (S2)

И, вычитая их друг из друга, получим

xj sin (Sj - S2) + x2 sin (Sj) --x3 sin (S2) = 0,

В векторном виде

(21)

( x v

x„

V x3

(y V

sin (81 -82) sin (82) - sin (81)

Л

= 0,

y1

y2

у3 ) Исключаем

sin (81 82 )

V

sin (81 -82)

sin (82) = 0. (22) - sin (81)

из выражения (22) член

Ь -1-2 I sin (82 )-

x1 У1) В результате получим

s = sin (82 ) = x1y3 - x3y1

21 sin (81 ) x1y2 - x2y1

Аналогично можно получить

У2

^ - У31 Ч У1)

sin

(81 ) = 0. (23)

(24a)

a13 a12 a11 a13

a23 a22 a12 a23

a11 a12 y0 = ' a11 a12

a21 a22 a21 a22

(17)

После исключения переменных х0 и у0 система уравнений (7) примет вид

s = x1y4 - x4y1

Ь31 ■

x1y2 - x2У1

_ x1 У5 - x5 У1

x1y2 - x2y1

Из (18) следует sin (81 -82) B1 sin (f1) +

s41 =

(24b) (24c)

(

x„ = -

0

+Xj cos (82) - x3 cos (8j) = 0:

(24)

sin (8 -82)B2 sin (Ф2) +

+yj cos (82)- y3cos (8j ) = 0. (25)

Из выражений (24), (25) найдем соотношение первого и второго косинусов углов фазовых сдвигов

sin

(8j -82)

X2 - Xj cos (8)

+

sin (8j)

+xj cos (82)- x3cos (8j ) = 0. (26) Раскрывая выражение (26), получим

X X

cos (8) s21 - cos (82) - s21 ^ + = 0, (27)

X

cos (81) s21 - cos (82) + b1 = 0,

(28)

X„

X,

где b1 = s21--L.

X1 X1

Если ввести обозначения для sin (81)

сдвигов как s¡ и cos (81) как c¡ , то

выражение (28) можно переписать в виде

с^21 - с2 + b1 = 0 (29)

С другой стороны, выражая синус через косинус, получим

=^ =±/L

s21

-с,

s1 ±71-с

(29а)

Возводя в квадрат выражение (29а) и приравнивая правую и левую части, получим

1 - с2

1 - с,

s212 = 0

или

2 2 с1 s21

■s212 +1 = 0.

.2 -21 ■ — . (30) Из полученного выражения (30) и уравнения (29) получаем систему уравнений для нахождения косинусов углов сдвига

Г Б21с1 - с2 + Ь1 = 0

I soi с с so

+1 = 0

(31)

X ►

Рис. 6. Решение системы уравнений (31)

Решаем систему уравнений (31), выражая косинус второго угла фазового сдвига из первого

уравнения системы с1

с2 + Ь1

и подставляя его

s

21

)+ 1 = 0.

(32)

во второе уравнение, получим

(с2 + Ь )2 -(с22 + В212

Графически решение системы уравнений (31) может быть представлено как пересечение

2 - 2 ' 1 - 0

гиперболы s212с12

с

2

s21 +1

с прямой

s21 с1 - с2 + Ь1

0 (Рис.6).

Штриховой линией показана область

допустимых решений £ 1 и |с2| £ 1. Уравнение

имеет единственное решение, удовлетворяющее данному условию

2 - Ь -1

■ (33)

с1 =

с2 + Ь1

s

s 21

с2 = 21

2b,

21 1 Аналогично можно найти косинусы остальных углов фазовых сдвигов.

Синусы углов фазовых сдвигов находим следующим образом:

• Выражаем синус первого угла фазового

сдвига через значение его косинуса s1

■c,

Знак перед корнем выбирается равным знаку

выражения х1у2 - х 2 у1 .

• Остальные значения синусов углов фазовых сдвигов для согласования их знаков находим, подставляя найденное значение первого угла фазового сдвига в ранее найденные отношения синусов

s2 s21s1 ;

s3 s31s1 ' s4 s41s1 .

(34)

Определив значения фазовых сдвигов, можно определить исходные фазовые разности использовав уравнение расшифровки (2).

2

IV. ВЫВОДЫ

В статье описан алгоритм расшифровки интерференционных картин, основанный на определении действительных значений фазового сдвига.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки по проекту «Исследование предельных точностей оптических методов измерения параметров движения и мехатронных методов управления движением и разработка новых робототехнических и электромеханических систем», Темплан, проект № 7.559.2011, НИР № 01201255056.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Hariharan P., Oreb B.F., Brown N. Digital phase-measurement system for real-time holographic interferometry // Optics Communication.- Vol.41.-№6.-1982.- pp.393-398

[2] Wyant J.C., Creath K. Recent advances in interferometric optical testing // Laser Focus.- 1985. -pp.118-132.

[3] Wyant J.C. Interferometric optical metrology: basic system and principles // Laser Focus.- 1982.-pp.65-67.

[4] Creath K. Phase-shifting speckle interferometry // Applied Optics. 1985. V.24. P.3053-3058.

[5] E.Greivenkamp and J.H.Bruning, "Phase shifting interferometry," in Optical Shop Testing, Ed. byD.Malacara (Wiley, New York, 1992), Chapter 14, pp. 501-598.

[6] P. de Groot. Phase-shift calibration errors in interferometers with spherical Fizeau cavities // Applied Optics.-1994.-V.34.-No. 16.-pp.2856-2863.

[7] P. de Groot. 101-frame algorithm for phase shifting interferometry. EUROPTO, 1997, Preprint 3098-33.

[8] J. Millerd, N. Brock, J. Hayes, et al., "Modern Approaches in Phase Measuring Metrology," Proc. SPIE. 5856, 14-22 (2004).

[9] P. Gao, B. Yao, N. Lindlein, et al., "Phase-Shift Extraction for Generalized Phase-Shifting Interferometry," Opt.Lett., 2009, 34 (22), 3553-3555.

[10] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р. / Универсальный алгоритм расшифровки. // Научный вестник НГТУ. - 2010. -№4(41) - С. 51-58.

[11] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р. / Устранение ошибок фазового сдвига в интерферометрии // Автометрия. - 2011. -Т. 47, №1.-С. 96-101.

[12] V.I. Guzhov, S. P. Il'yinykh, D. S. Khaidukov and A. R. Vagizov Eliminating phase-shift errors in interferometry // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing.-2011., Vol.47, Nu.1.- pp. 76-80

[13] Гужов В.И., Солодкин Ю.Н. Анализ точности определения полной разности фаз в целочисленных интерферометрах // Автометрия.-1992.-№6.-С.24-30.

[14] Schmit J., Creath K. Extended averaging technique for derivation of error-compensating algorithms in phase-shifting interferometry. //Applied Optics.-1995.-V.34.-No.19.-pp.3610-3619.

Гужов Владимир Иванович -декан факультета Автоматики и

вычислительной техники в Новосибирского Государственного Технического университета,

профессор, доктор технических наук. Он является автором 120 научных работ, в том числе является обладателем 4 патентов. Область научных интересов: программные системы, высокоточные измерения. E-mail: vig@nstu.edu.ru

Ильиных Сергей Петрович -

доцент кафедры «Вычислительная техника» в НГТУ, доцент, кандидат технических наук, автор более 100 научных статей, в том числе, 4 патента и 1 учебник высшей школы.

Область научных интересов и компетенций - лазерные

измерительные системы, обработка изображений.

E-mail: isp51@yandex.ru

Хайдуков Дмитрий Сергеевич -

аспирант Новосибирского Государственного Технического университета.

Кузнецов Роман Александрович

- аспирант Новосибирского

Государственного Технического университета.