CC BY
35Алгоритмы расшифровки интерференционных картин методом пошагового фазового сдвига
В.И. Гужов, С.П. Ильиных, Кузнецов Р.А., Хайдуков Д. С. Новосибирский государственный технический университет, Новосибирск, Россия
Аннотация: В статье предложен новый подход к построению алгоритмов расшифровки интерференционных картин, полученных методом пошагового фазового сдвига, с помощью которого можно получать конкретные формулы расшифровки для произвольного количества фазовых сдвигов, не прибегая к решению систем тригонометрических уравнений.
Ключевые слова Метод фазовых шагов, интерферограмма, уравнения расшифровки.
I. ВВЕДЕНИЕ
Одним из крупнейших достижений XIX века является осуществление ряда уникальных измерений, обогативших науку многими научными результатами в различных областях знаний. Это выполненные впервые Юнгом измерения длин волн видимого света (0.42-0.47 мкм) и определение размера молекулы, измерение Майкельсоном диаметра гигантской звезды Бетельгейзе, отстоящей на расстояние примерно 200 световых лет, определение им же нового эталона метра в виде длины световой волны красной линии кадмия. В полученном значении 0.64384691, только через 50 лет было внесено уточнение лишь в восьмой знак. И все это благодаря открытию Юнгом интерференции световых волн и созданию на этой основе интерферометров с уникальными возможностями.
Схемы интерферометров отличаются принципиальной простотой, а в качестве эталона используется физическая константа -длина световой волны.
Интерференционные методы позволили осуществить переход от измерения пространственно распределенных величин в дискретных точках к получению измерительной информации сразу по всему полю исследуемого объекта бесконтактным способом, с высокими точностью и быстродействием. Задача состоит в том, чтобы извлечь эту информацию, расшифровать и представить в соответствующем виде.
Иногда это сравнительно просто, если решаются так называемые качественные задачи, когда уже сам характер интерференционной картины позволяет делать важные выводы о состоянии, изменениях в объекте. Однако в подавляющем числе случаев
экспериментатора интересует не только качественная картина, но и количественная информация о процессах, происходящих в объектах. А для этого нужны системы в виде измерительно-вычислительных комплексов, в задачу которых входит получение информации, ее преобразование, обработка и расшифровка и представление результатов в соответствующем виде.
Оптические информационные технологии пережили бум после изобретения лазеров и голографии. Одно время казалось, что электронные системы вот-вот должны уступить им свое место. Однако эйфория оказалась преждевременной, пока в универсальности и в широте применения оптические методы уступают электронным. В настоящее время наиболее перспективна разработка гибридных систем, сочетающих одновременное использование оптических методов и устройств получения информации и электронных методов и средств ее измерения и обработки. В таких системах в качестве первичного системного преобразователя используется интерферометр, преобразующий поле измеряемых величин в поле яркости интерференционной картины, которое, в свою очередь, с помощью электронно-оптических устройств преобразуется в цифровую форму для последующей обработки компьютером.
Прослеживая тенденцию развития когерентно-оптических систем измерения, контроля и диагностики на ближайшее время, можно заключить, что они будут состоять на 10% из оптики, 10% из механики, на 20% из электроники и на 60% из алгоритмического и математического обеспечения. Поэтому важное значение приобретает разработка новых алгоритмических подходов, математических методов обработки и расшифровки интерференционных картин.
Средняя частота колебаний
электромагнитного поля в оптической области спектра составляет около 1015 Гц. Всем приемникам света присуща определенная инерционность. Ее можно охарактеризовать временем установления или разрешения приемника. Так, для глаза это около 0.1 с. Глаз не замечает быстрых миганий света, если они следуют друг за другом через малые по сравнению с этим временем промежутки. Сущест-
вуют приемники, в которых время разрешения может быть сделано гораздо меньше. В ячейках Керра это время может быть доведено до 10-8 -10-9 с. Наиболее быстродействующие фотоэлектрические приемники имеют время разрешения порядка 10-10 с.
В настоящее время ни один приемник света не позволяет измерить мгновенное значение напряженности электрического или магнитного поля в световой волне. Все приемники могут измерять только некоторые значения, усредненные за время, не меньшее времени разрешения приемника. Такую усредненную величину называют интенсивностью света - I. За I мы будем понимать усредненное по времени значение квадрата напряженности электрического поля I = Б2.
Интерференция волн - явление усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складывающихся в пространстве двух (или нескольких) волн с одинаковыми периодами.
Интерференция излучения от независимых источников излучения, например от электрических лампочек, недоступна наблюдению глазом. Возбужденный атом испускает цуг волн в течение времени, характерная длительность которого около 10-8 с. В таком цуге содержится 106-108 волн. В результате различных процессов, например столкновений с другими атомами или ударов электронов, атом может снова вернуться в возбужденное состояние и начать излучать новый цуг волн. Таким образом, получится последовательность цугов, испускаемых атомом через малые и нерегулярно изменяющиеся периоды времени. При наложении цугов, испускаемых двумя атомами, на экране появится какая-то картина интерференционных полос. Положение полос определяется разностью фаз между колебаниями обеих цугов. А такая разность быстро и беспорядочно меняется от одной пары цугов к следующей. В течение секунды система интерференционных полос будет меняться десятки и сотни миллионов раз. В результате глаз или другой приемник света фиксирует усредненную равномерную освещенность.
Устойчивая картина интерференции может наблюдаться только при выполнении условия когерентности. Тогда характерное
распределение амплитуд с чередующимися максимумами и минимумами остается неподвижным в пространстве. В общем случае, когерентностью называют согласованное протекание во времени и в пространстве нескольких колебательных или волновых процессов, проявляющееся при их сложении.
Смещение интерференционных полос при замене одной пары цугов другой происходить не будет, если у цугов начальные фазы меняются, хотя и нерегулярно по времени, но
одинаково. Чтобы этого достигнуть, надо излучение от одного и того же источника расщепить на два или несколько пучков и заставить попадать их на экран различными путями. Если при этом будут накладываться пучки из одного и того же цуга, то интерференционные полосы на экране будут сохранять свое положение и глаз зафиксирует устойчивую (неподвижную) картину.
II. ИНТЕРФЕРЕНЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ
Интерферометр - измерительный прибор, в котором используется интерференция волн.
Существуют интерферометры для звуковых и для электромагнитных волн: оптических (ультрафиолетовой, видимой и инфракрасной областей спектра) и радиоволн различной длины. Наибольшее распространение получили оптические интерферометры, о которых пойдёт речь ниже. Они применяются для измерения длин волн спектральных линий, показателей преломления прозрачных сред, абсолютных и относительных длин, угловых размеров звёзд и пр., для контроля качества оптических деталей и их поверхностей, для контроля чистоты обработки поверхностей и пр.
Принцип действия всех интерферометров одинаков, и различаются они лишь методами получения когерентных волн и тем, какая величина непосредственно измеряется. Пучок света с помощью того или иного устройства разделяется на два или большее число когерентных пучков, которые проходят различные оптические пути, а затем сводятся вместе. В месте схождения пучков наблюдается интерференционная картина, вид которой, т.е. форма и взаимное расположение интерференционных максимумов и минимумов, зависит от способа разделения пучка света на когерентные пучки, от числа интерферирующих пучков, разности их оптических путей (оптической разности хода), относительной интенсивности, размеров источника,
спектрального состава света.
Наиболее используемыми являются двулучевые интерферометры, т.е. оптические системы в которых происходит интерференция двух волновых фронтов. Рассмотрим математическое описание процесса двулучевой интерференции [1]. Когда в пространстве распространяются две волны, то в случае, если среда, в которой они распространяются, линейна (т.е. отсутствует зависимость свойств среды от происходящих в ней процессов) результирующее колебание представляет собой геометрическую сумму колебаний, соответствующих каждой из складываемых волн.
Падающая электромагнитная волна с
напряженностью поля Ег делится на два когерентных пучка: на объектную (тестирующую) волну с напряженностью поля
Es = Ep + Er
Ег и опорную (эталонную) волну с напряженностью поля Ер . В качестве делителя
луча обычно используется полупрозрачное зеркало. После прохождения соответствующих путей и накопления фазовых задержек
происходит суперпозиция волн Ер и Ег на
втором светоделителе. Напряженность
результирующего поля определяется следующим выражением
" " (1)
Основные оптические детекторы реагируют лишь на усредненную интенсивность принимаемого излучения, которая
определяется как
1(х,у)=Е * Е, (2)
где напряженность электрического поля является комплексной величиной
Е( х, у, г ) = Е(х,у)вЮ}г, (3) с комплексной пространственной амплитудой Е(х, у) и гармонической зависимостью от времени. Комплексная пространственная амплитуда
Е(х,у) = Л(х,у)ё9( х,у) , (4) где Л(х,у) модуль напряженности поля, а е1ф(х'у)(х,у) представляет фазовый член. С учетом этих выражений результирующая интенсивность в выходном зрачке координатной системы интерферометра может быть записана как
1(х,у)=Е * Е=(Е+Е)*(Е * + Е *).
_ _ (5)
Если Ер и Ег - когерентные пучки, они
имеют одну и ту же зависимость от времени, то произведение экспоненциальных множителей в (3), зависящих от времени станет равным единице, и выражение (5) примет вид
1(х,у) = (Тр(х,у) + Е(х,у))2. (6)
Выражение (6) может быть преобразовано подстановкой (4)
1(х,у) = лр(х,у)2 + Лг(х,у)2 +
+2Лр (х, у) Лг (х, у) ос8(^р -фг). (7) или подстановкой
10 (х, у) = Лр (х, у)2 + Лг (х, у)2 для средней интенсивности и
V(x,y) =
2Ap(x,y)Ar(x,y) Ap(x,y)2 + Ar(x,y)2
для модуляции интенсивности (видности) выражено следующим образом
1(х, у) = 10 (х, у)(1 + У(х, у) С08((Рр - (рг)) (8)
Это базовое уравнение двулучевой
интерферометрии.
Методы получения когерентных пучков в интерферометрах очень разнообразны, поэтому существует большое число различных конструкций.
Наибольшее применение при построении интерференционных систем в последние годы получили методы получения и расшифровки интерферограмм на основе пошагового сдвига (пошаговая или фазосдвигающая
интерферометрия, phase-sampling, phase-shifting interferometry). Это вызвано простотой задания отдельных значений фазового сдвига, достаточно простыми алгоритмами и высокой точностью расшифровки. При этом существующие схемы интерферометров достаточно просто модифицируются. Благодаря своим достоинствам, PSI-метод получил распространение не только в оптике, но и в смежных областях техники, например, при измерениях в СВЧ диапазоне [2]. Метод пошагового фазового сдвига основан на регистрации нескольких интерферограмм при изменении фазы опорной волны на известные значения. На рис. 1 показана принципиальная схема оптической установки, в которой фазовый сдвиг задается перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике.
Рис.1. Схема интерферометра Тваймана-Грина с перемещением зеркала, закрепленного на пьезокерамике
На рис. 2 показан интерферометр Физо, в котором с помощью пьезокерамики перемещается эталонная поверхность. В интерферометре Физо большую часть пути оптические пучки (опорный и объектный) проходят вместе. Этот интерферометр более устойчив к внешним помехам. Поэтому такие оптические схемы наиболее часто встречаются в измерительных системах, выпускаемых серийно.
Рис. 2. Схема интерферометра Физо с перемещением эталонной поверхности с помощью пьезокерамики
При различных фазовых сдвигах интенсивность интерференционных картин со сдвигом öi можно представить в виде
Ii (x, y) = I0 {1 + V(x, y) cos [ j(x, y) + 8, ]} , (9) где i=1,2,..., m, m - число фазовых сдвигов.
III. УРАВНЕНИЯ РАСШИФРОВКИ
Основной задачей расшифровки является определение разности фаз интерферирующих
волновых фронтов p(x,y) по значениям зарегистрированных интенсивностей 1/х,у).
Известно большое число выражений для расшифровки с различным числом фазовых сдвигов. Первые известные алгоритмы использовали формулы расшифровки с тремя или четырьмя сдвигами. С возрастанием вычислительной мощности современных компьютеров появилась возможность использовать алгоритмы с большим числом сдвигов. Так в работе [3] представлен алгоритм, использующий 15 фазовых сдвигов, а в работе [4] - 101 фазовый сдвиг.
Формулы для расшифровки выводятся как решение системы тригонометрических уравнений вида (1). Нами [8-10] предложен обобщенный алгоритм расшифровки, позволяющий установить структуру известных алгоритмов и конструировать новые алгоритмы с неограниченным количеством произвольных, и не обязательно одинаковых, фазовых сдвигов.
(
j = arctan
I5
Л
Iх- С
В
этом
(10) выражении
\T
C = (cosdo,...,cosdm _i)
S = (sindo,...,sinSm_i)T, di - фазовые сдвиги, размерность векторов определяется m - числом
фазовых сдвигов. I1 - вектор, ортогональный
r t
вектору I = (I0,...,Im_j) , где Ii(x,y) - набор
измеренных интенсивностей с различными
фазовыми сдвигами S¿. Ортогональный вектор
можно найти с
помощью матричного уравнения: а= М • а . Матрица преобразования М должна удовлетворять следующим требованиям:
аег| м| = 0 , (11-1)
М -[1 1 ••• 1 1]Г = 0 (11-2)
Матрица М , удовлетворяющая указанным свойствам (3-1), (3-2), будет иметь следующий вид:
M =
0 1 0 0 0 -1
-1 0 1 0 0 0
0 -1 0 1 0 0
0 0 -1 0 1 0
0 0 0 -1 0 1
1 0 0 0 -1 0
(12)
Отметим, что представленная форма матрицы М - не единственная, в качестве такой матрицы можно использовать любую, удовлетворяющую условиям (11-1, 11-2).
В случае трех сдвигов выражение матрицы М будет иметь следующий вид:
M =
0 -1 1
Отсюда
1 0 -1
-1 1
0
(13).
" 0 1 -1" " I1 ■ ■ 12 -13"
-1 0 1 12 = I3 -11
1 -1 0 _ I3. . I1 -12.
(14)
Перемножая полученный вектор на вектора S и С соответственно, получим
■ 12 -13 ■ T sind
I3 -1, sind2
I1 - 12 sind3
= (I2 -I3)sind + (I3 -Ij)sind2 + (Ij -I2)sind3 (15)
" I2 -13" T cosd
I3 -11 cosd2
_ I1 -12 _ sind,
= (I2 - I3)cos¿j + (I3 - I1)cosd2 + (I1 - I2)cosd3. (16)
Из (15) и (16) с учетом знака получим
(I2 - I3)sind +3 j = arctan- 2 3 13
(I3 - I2)cosd1 + +(I3 -11) sin d2 + (I -12) sin d3 +(I1 -13) cos d2 + (I2 -11) cos d3
(17)
Такое выражение было предложено в одной из ранних работ по расшифровке [5] (Иапкатап
P., Oreb B.F., Brown N.) в 1982 г.
При S1 = 0 o , d2 = 120 o , d3 = 240 o выражение (17) примет вид:
f = arctan л/3—llzll— . (18)
2/1 -12 -13 Еще более простая формула была получена для 81=п/4, 52=3п/4, 82=5п/4 [6]:
13 -12
f = arctan
11 -12
(19)
При фазовых сдвигах равных ^=0, ^2=п/2, д3=п, ^4=3п/2 или (0°, 90°, 180°, 270°) получим выражение, предложенное в работе [7]
j = arctan
(14 - I2) (1 - 1з)
(20)
IV ВЫВОДЫ
В статье описан обобщенный алгоритм расшифровки интерференционных картин, полученных методом пошагового фазового сдвига, с помощью которого можно получать конкретные формулы расшифровки для произвольного количества фазовых сдвигов, не прибегая к решению систем тригонометрических уравнений типа (9).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Работа выполнена по заданию Министерства образования и науки по проекту «Исследование предельных точностей оптических методов измерения параметров движения и мехатронных методов управления движением и разработка новых робото-технических и электромеханических систем», Темплан, проект № 7.559.2011.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Борн М., Вольф Э. Основы оптики- М.:Наука.-1973.- 719с.
[2] K. Will, and A. S. Omar. Phase Measurement of RF Devices Using Phase-Shifting Interferometry. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, Vol. 56, N. 11, November 2008, pp.2642-2647.
[3] P. de Groot. Phase-shift calibration errors in interferometers with spherical Fizeau cavities // Applied Optics.-1994.-V.34.-No.16.-pp.2856-2863.
[4] P. de Groot. 101-frame algorithm for phase shifting interferometry. EUROPTO, 1997, Preprint 3098-33.
[5] Hariharan P., Oreb B.F., Brown N. Digital phase-measurement system for real-time holographic interferometry // Optics Communication.- Vol.41.- №6.-1982.- pp.393-398
[6] Wyant J.C., Creath K. Recent advances in interferometric optical testing // Laser Focus.- 1985. - pp.118132.
[7] Wyant J.C. Interferometric optical metrology: basic system and principles // Laser Focus.- 1982.- pp.65-67.
[8] Гужов В.И., Ильиных С.П., Хайдуков Д.С., Вагизов А.Р. / Универсальный алгоритм расшифровки. // Научный вестник НГТУ. - 2010. - №4(41) - С. 51-58.
[9] Гужов В.И., Ильиных С.П. Компьютерная интерферометрия: Учеб. пособие. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2004. - 252с.- (Серия "Учебники НГТУ")
[10] Ильиных С.П.., Гужов В.И. Обобщенный алгоритм расшифровки интерферограмм с пошаговым сдвигом // Автометрия.-2002.- №3. -С.123-126.
Гужов Владимир Иванович -
декан факультета Автоматики и вычислительной техники в Новосибирского Государственного Технического университета, профессор, доктор технических наук. Он является автором 120 научных работ, в том числе является обладателем 4 патентов. Область научных интересов: программные системы, высокоточные измерения. E-mail: vig@nstu.edu.ru
Ильиных Сергей
Петрович - доцент кафедры «Вычислительная техника» в НГТУ, доцент, кандидат технических наук, автор более 100 научных статей, в том числе, 4 патента и 1 учебник высшей школы.
Область научных интересов и компетенций - лазерные измерительные системы, обработка изображений.
E-mail: isp51@yandex.ru
Хайдуков Дмитрий
Сергеевич - аспирант Новосибирского Государственного Технического университета.
Кузнецов Роман
Александрович - аспирант Новосибирского Государственного Технического университета.
