CC BY
11
Онлайн-доступ к журналу: http: / / mathizv.isu.ru
Серия «Математика»
2019. Т. 29. С. 86-97
УДК 519.716 MSG 08А99,03В50
DOI https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.29.86
Тождества в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности
Н. А. Перязев
Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), Санкт-Петербург, Российская Федерация
Аннотация. В алгебрах мультиопераций, в отличие от алгебр операций, не выполняется тождество суперассоциативности, а верно только тождество полусуперас-социативности. Для более детального изучения тождеств, выполнимых в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности, в данной работе определяется многообразие к которому эти алгебры принадлежат. В частности среди этих тождеств, определяющих многообразие, вводится тождество аналогичное соотношению Де-декинда для бинарных отношений. Из введенных тождеств получены некоторые следствия, выполнимые в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности.
Отметим, что многообразие определяется в сигнатуре, символы которой интерпретируются метаоперациями суперпозиции, разрешимости по первому аргументу и константными метаоперациями проекции по каждому аргументу и нулевой муль-тиоперацией. В этой сигнатуре термальными являются метаоперации пересечения, разрешимости по любому аргументу, полная мультиоперация, а также отношение включения мультиопераций.
Представляет также интерес задача изучения квазитождеств, выполняемых в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности.
Посвящается памяти моего учителя Али Ивановича Кокорина
Ключевые слова: мультиоперация, суперпозиция, алгебра мультиопераций, тождество.
ТОЖДЕСТВА В АЛГЕБРАХ МУЛЬТИОПЕРАЦИЙ 1. Введение
Исследования алгебр п-местных операций и мультиопераций (многозначных частичных операций) на к-элементных множествах проводились с одной стороны при фиксированном к и произвольном п, с другой стороны при произвольном к и фиксированном п.
Первое направление имеет тесные связи с теорией клонов (алгебры операций без фиксации местности) [10]. Отметим работы А. Г. Пинуса, в которых такие алгебры используются для исследования клонов [5-7]. В работах [1;4] алгебры п-местных мультиопераций использовались при изучении суперклонов.
Настоящая работа относится ко второму направлению. В этом направлении первоначально изучались алгебры унарных операций и мультиопераций (в этом случае алгебра операций является моноидом преобразований, а алгебра мультиопераций есть алгебра бинарных отношений [11]). Алгебры п-местных операций, по-видимому, впервые рассмотрел К. Менгер [9]. В таких алгебрах выполняется тождество суперассоциативности (сверхассоциативности). В дальнейшем алгебры обладающие этим свойством часто стали называть алгебрами Менге-ра. Алгебры п-местных отношений со свойством суперассоциативности изучались В. С. Трохименко (см., например, [8]). Исследование алгебр п-местных мультиопераций начато в работах [2;3]. В таких алгебрах тождество суперассоциативности не выполняется, а верно только тождество полусуперассоциативности (см. ниже). Для более детального изучения тождеств, выполнимых в алгебрах п-местных мультиопераций, определяется многообразие, к которому эти алгебры принадлежат. В частности среди этих тождеств, определяющих многообразие, вводится тождество аналогичное соотношению Дедекинда для бинарных отношений [11].
2. Алгебры мультиопераций размерности п
В этом разделе определяются алгебры мультиопераций размерности п, ранга к с множеством метаопераций: (п+1)-местная метаопера-ция суперпозиции, унарная метаоперация разрешимости и константные метаоперации пустая и проекции по всем аргументам.
Пусть А — произвольное неодноэлементное конечное множество, а В ( А) — множество всех подмножеств А, п — натуральное число, больше 1.
Отображение / декартовой степени Ап в В ( А) называется п-местной мультиоперацией на А или мультиоперацией размерности п ранга к, где к мощность множества А.
Для множества всех мультноперацнй размерности те на А используем обозначение или Л4^ когда А произвольное множество мощности к.
Определим следующие мультиоперации на А размерности те: пустая
оа{(11,..., ап) = 0; проекция по г аргументу г € {1,те} е™(аь ..., ап) = {ец}.
Определим следующие метаоперации на множестве суперпозиция мультиопераций /, /1,..., /га €
(/* /ь--,/п)(аь ...,ага) = У /(6Ь...,&„);
Ьг€/г(а1,...,а„)
разрешимость мультиоперации / €
Ои/)(аъ = {а | е /(а, а2,..., ап)}. Определение 1. Алгеброй 71 мультиоперации над множеством А
(га)
'размерности те называется любое подмножество К С , содер-
жащее мультиоперации пустую и все проекции и замкнутое относительно метаоперации суперпозиции и разрешимости.
3. Многообразие Vn
В этом разделе задается многообразие посредством списка тождеств. Некоторые характеристические свойства этого многообразия будут установлены в разделе 5. Отметим, что, как и в случае алгебр мультиопераций размерности те, рассматриваются многообразия Vn при натуральном те > 2.
Тождества многообразия Vn будем записывать в следующей сигнатуре £га = (s, 7г, _L, £\,..., еп ), где s и /л являются (те + 1)-местной и унарной функциональными символами, а остальные нульместными. В этой сигнатуре термально определим следующие символы операций и предикатов:
Т = s(ir(e2),ei,...,ei)]
хАу = s(s(si,7r(si),..., 7г(еп)),х, у, ...,у)]
■Ki(x) = s(ir(s(x,£i,£2, ...,£i-l,£l,£t+l, ■■■,£п)), £i, ¿2, •••
...,£i-i,£i,£i+i, ...,£n) для i € {1, те};
x < У x А у = X.
Определение 2. Многообразие Vn задается следующими тождествами:
1 • ОС /\ ОС — ОС у
2. х А у = у Ах;
3. х А (у А г) = (х А у) А г; ^. х А = х ;
5. в {в (х, у !,■■■, Уп)-, •••) £гп)= <§(ж, в(у Е%г, ..., £%п ), ..., 8(уп, Е%г, ..., £{„))
для всех ¿1,..., гп € {1,..., п};
6. 8(вг,Х1, ...,Хп) = в(Т,Х1, ...,Хг) А ... А Жг-1, •••, Хг-\) АХгА
А«(Т, £¿+1, •••) Жг+1) Л ... А з(Т, хп, ...,хп) для всех г € {1,..., п};
7. в(хо , Х\,..., Хп) — _1_ при Хг — _1_ хотпъ для одного I (Е {0,..., п}; 7г(_1_) =
9. 7Гг(Т) = Т для всех г € {1, ...,п};
10. 7Гг(£г) = е^ для всех г € {1, ...,п};
11. ттг(ттг(х)) = х для всех г € {1,..., п};
12. Иг(х А у) = 7Гг(ж) А 7г¿(у) для всех г € {1,..., п};
13. ...,£¿-1,^,^+1, ...,£п) = щ(7Гу(щ(х)))
для всех г, ] € {1,..., п} и г ф ];
Ц. 7Ту(£г) = з(Т, (е,- Лег), •••, А £г)) для всех 1,3 € {1, ...,п} и г ф ];
15. ф(ж, уг,..., уп), г1}..., гп) < в(х, ¿(Уъ ¿ъ..., хп),..., ,в(уп, г1}..., гп));
16. в(хо, ..., Хг— Хг А у г, Хг-\-\, ..., Хп) ^ ¿>(Жо, ■■■, XХг-\-\, ..., Хп)А
Л,в(хо, ...,Хг-1,уг,Хг+1, ...,хп) всех для г € {1, ...,п};
17. -,Хп)^ <
п
- ,Т,...,Т),£3 + 1,...,£П)
г=1
г
для всех ] € {1 ,...,п};
18. х А в(у, гг,..., гп) < «^(«(ж, 5(^1(^1), ег1, Т,..., Т),..., 8(ттп(гп), Т,...
• ••, Т, £п)) л у), (в(7Г1(2/), х, Т,..., Т) А гг),..., (з(ттп(у), Т,..., Т, х) А гп)).
Отметим, что в силу введенных символов Т,7Гг,Л, < все тождества определены в сигнатуре £га = (в, тт, £\,..., еп, ).
4. Алгебры мультиопераций размерности п принадлежат
многообразию ~Рп
В этом разделе доказывается основной результат работы о том, что алгебры мультиопераций размерности п принадлежат многообразию
Vn, определенному в предыдущем разделе. Прежде чем перейти к этому результату приведем некоторые определения и вспомогательное утверждение:
n-местная полная мультиоперация на А: un(ai,..., ап) = А, для любых а\,..., ап € А; бинарная метаоперация пересечения на множестве (f Г) g)(ai, ...,ап) = /(аь ..., ага) П д(аь ..., ага); отношение включения / С д на множестве : / ^д /(«1, •••, ап) С д(а\,..., ап), для любых аь ..., ап € А; унарная метаоперация разрешимости по аргументу г € {1,те} на « аЫ)
множестве ЛЛА :
(¿¿¿/)(аь ...ап) = {а | a¿ € /(аь ...,, a¿_i, а, ai+í, ..., ага)}. При этом непосредственно следует, что (¿íi/) = (¿í/), a так же:
b € (¿t¿/)(ai,..., ,a¿_i,c, ai+i, ...,ara) с € /(ab ...,, a¿_i, b, ai+í,..., an).
Достаточно очевидно, что пересечение является коммутативной, ассоциативной и идемпотентной операцией, а включение является частичным порядком, соответствующим этому пересечению, причем оп выступает в качестве наименьшего элемента, &ип в качестве наибольшего элемента.
Лемма 1. Верны следующие равенства:
ÍPíf) = ((¿¿(/ * е?> е2 ' •••> е?-1> е™> е?+1' •••' ега)) * е?> е2 ' •••
• ••) е™, е™+1,..., е™^ <9ля ¿ € {1,..., п}; 3■ (fng) = ((е™ * (¿te™),..., (/<)) *f,g,...,g).
Доказательство. 1. Непосредственно следует из определения операции ¿í и мультиопераций е^е^"-
2. Для любых а\, ...,ап € А выполняется
П л /"л,/ f * РП рп п п п га\\ п п п п п
..., е") (ai,..., ап) ^^ а € (/х(/ * е™, ..., е^, е^,..., е™)) (a¿, а2,... ...,a¿_i,ai,ai+i,...,ara) ^^ a¿ € (/ * е™, ..., е?, е™+1,..., е™)(а, а2,... ..., a¿_i, ai, a¿+i,..., ап) a¿ € /(ai, a2,..., a¿_i, a, a¿+i,..., ara) a € (¿t¿/)(ai,..., a¿_i, a¿, a¿+i,..., ara).
3. Пусть аь ..., ara € А. Тогда a € {{é¡ * (¿fe?),..., (¿te™)) * f,g,...
..., g) (ai,..., an) существуют b\,...,bn € А, такие, что a € (e™ *
..., (¿íe™))(6i, ...,&„) и 5i 6 /(ai,..., an),bi € g(ai,..., an) <==> существуют
С\,..., сп € А, такие, что а € е™(сi,..., сп) при этом с\ = Ъ\ и Ci € (/хе™)(&1,..., Ъп). Получаем, что а = С\ = Ъ\ € /(ai,..., ara) и (¡j,éf )(bi,..., bn) ф 0 только в случае &i =
Поэтому а = b\ = € g(ai,..., ara), значит a € (/ П (ai,..., ап). □
Определим интерпретацию X сигнатуры Хга в алгебрах мультиопе-раций размерности n: s соответствует метаоиерация суперпозиции, 7Г — метаоиерация разрешимости, e¿ — мультиоперация проекции по г аргументу, _L — пустая мультиоперация.
Теорема 1. Любая алгебра мулътиопераций размерности п при интерпретации X принадлежит многообразию Vn.
Доказательство. Покажем, что при определенной выше интерпретации I все тождества 1-18 из определения Vn выполняются в любой алгебре мультиопераций 7Z = {R; *, ц, оп, е™,..., е™ ), где R С М.^.
1-4. Тождества для операции пересечения, как было замечено выше, выполняются.
5. ((/*/i,...,/ra)*e™,...,e™) = (/*(/i*e™,...,e™),...,(/ra*e™,...,e™))
для всех ¿i,..., in € {1,..., п}. Для произвольных ai, ...,ап € А выполняется:
a € ((/*/i, •••, /п)*е™,..., е™ )(ai,..., ап) а € (f*fi,...,fn)(ail,...,ain) существуют Ъ\,..., Ьп € А, такие, что a € f(bi,..., bn) и € /i(aí!, •••,ain), а значит bj € (/¿ * e™,...,e™ )(ab ...,ara) ^^
^ a € (/ * (/i * e™,..., e™ ),..., (/„ * e™,..., e™ ))(ab ..., ara).
6. (e? * /i,..., /„) = * /i,..., /i) П ... П Cu™ * /г_ь ..., /¿_i) П /Л
П(мга * /¿+1,..., /г+i) n ... n (un * fn,..., fn) для г € {1,..., n}. Пусть ai,... ,an — произвольный набор элементов из А. а € (e™*/i,..., /п,) (ai, ...,ап) <==> существуют Ьь ...,Ьп € А, такие, что a € (е™ * 6i,..., bn) и € fj(ai,..., ап). А значит a = и для любого с выполняется с € (иа * ¡j,..., ¡j)(ai,..., ап), в частности для с = a
a € ((i/1 * /i,..., /i) П ... П (un * /¿_i,..., /¿_i) П /¿ n(ura * fi+1,..., /i+i) П ...
j ara j.
7. (/o * /l, •••, /ra) = 0ra при fi = on хоть для одного г € {0,..., п}. Непосредственно следует из определения суперпозиции.
8. (1Мп) = оп.
9. (щип) = ип.
10. (^е?) = е™.
11. Ы/хг/)) = /•
12. №(/П#) = (№/)П(/ед).
13. (/ * е™,..., е™_1, е™, ..., е™_1, е™, е™+1,..., е") = (¡ii(¡ij(¡iix)))
для всех г, j € {1,..., п} и i Ф j.
Равенства 8-13 следуют из свойства
а € (¿t¿/)(ai,..., ап) a¿ € /(аь ...
14. (^е™) = (?/>* (е"Пе"),...,(е™Пе™)) для j,i е {1,...,п} и j ф г. Для произвольных ai, ...,ап € А выполняется:
а € (¡j,ief)(ai, ...,ап) ai € е™(а, а2, ...,ага) ai = a¿
(e? П e"),..., (e? П e"))(ab..., ara).
15. Тождество полусуперассоциативности
nj 1 ■ ■ ■ 1 \yn
Пусть ai,... ,an — произвольный набор элементов из А. Если
b е ((до *gi,...,gn)* hi,.. .,hn)(ai,.. .,ап),
то b € (до * gi,.. .,gn)(ci, ...,Сп) для некоторых c¿ € /¿¿(аь..., ап), г = 1,... ,п. А значит b € go(di, ■ ■ ■, dn) для некоторых dj € gj(ci,..., сп), j = 1,... ,п. Отсюда получаем, что
dj € (gj *hi,.. .,hn)(ai,.. .,an),j = 1 ,...,n.
Учитывая b € go(di, ■ ■ ■, dn), в итоге выполняется
b € (до * (gi * hi,..., h
nj 1 ■ ■ ■ 1 \yn
ra
1 an) 7
что и требовалось.
16- (/о*/ъ •••> fí-l, fi^gi, fi+1, •••, /га) С (/o*/l, ..., /¿-1, /¿, fi+l, ..., /га)П n(/o * fi,...,fí-i,gí,fi+i,...,fn) всех для i € {1 ,...,n}. Пусть ai, ...,an — произвольный набор элементов из А. ae(fo* /1,--Jí-iJí ngi,fi+i, ...,xn)(ai, ...,an) существуют bi,..., bn € А, такие, что a € f0(bi,..., bn) и bj € fj(ai,..., an),bi € (/¿ П П gí)(ai,..., an) при г ф j, а значит 6¿ е /¿(ai,..., ara)6¿ € #¿(ai,..., an) => a € (/o * /1, •••, /¿-1, fi, fi+i,..., /n)(ai,..., an) и
a € (/o * /1, •••, fi-i,gi, fi+i, •••, /ra)(ai,..., ara) а значит a принадлежит и пересечению.
17. Ы/о */!,...,/„)) С
га
С П ((^-/i) * е1' ei-i >((^/0) * «га> ип, ...,ип), е"+1,...,е").
г
Пусть ai,..., ara — произвольный набор элементов из А. а € (¡J-j(fo * /1, ••• • ••) /n))(ai,..., ап) aj € (/0 * /1,..., /га))(аь ..., а^_ь a, ai+b ..., ап)
существуют bi,...,bn € Д такие, что aj € fo(bi, • ••, bn) и bi € /¿(аь ...
, aj_i, a, aj-|-i,..., ara
) для г e {1, ..,n} 6¿ € (Hifo)(bi,...
..., bi-i,aj,bi+i,..., bn) и а € (^/¿)(аь ..., a,_i, bi, aj+i,..., ап). Получаем для всех г € {1, ..,п} выполняется а € ((pijfi) * е™, ((//¿/о) *
* ип, ...,ип, éj ,ип, ...,ип),éj+1, ...,ап), а значит а принадле-
г
жит пересечению по всем г.
18. /П {д*Нъ...,Нп) ç ^((f*(^lhl)*efl,un,...,un),...,(^nhn)* *ип,..., ип, еЪ)) П * * /, и",и») П /л),...
...,{{{fjng)*un,...,un,f)nhrS). Пусть ai, ...,ап — произвольный набор элементов из А. Тогда a€(fn(g*hi,..., hn)){ai,..., ап) а € /(аь ..., ап) и а е (g * hi,..., Л.га)(аь •••, (¿и) существуют &i, ...,bn <Е А, такие, что a € g(bi,...,bn) и bi £ Ы(а1} ...,ап). Отсюда следует сц € (щ]ц)(а1,... ...,(1г-1,Ъг,(Н+1,-,ап) Ç ({¡lihi) * (ип, ...,ura)(6i, ...,&„).
г
Получаем
a € (/ * ((/л/я) * ...,un),..., ((/inhn) * un, е™))(6ь ..., Ьп),
а значит
a € ((/ * ((/лhx) * е?, ura,..., ип),..., {{цпкп) * ura,..., ип, е™)) П 5)(Ьь ..., Ъп)
(4.1)
С другой стороны получаем
h € (Hig)(bi, ...bi-i,a, bi+1,..., bn), а так как bi € «(ai,..., an) пае /(ai,..., an), то получаем
^ € (((/ед) *ип,...,ип,^,ип,...,ип) nhi)(ai,...,an)
г
для всех г € {1,..., п} (4.2)
Из равенств (4.1) и (4.2) следует
a G (((/ * (Guifci) * е?, u",u»),..., * u», гЛ <)) П g)*
n) ) v^r, • ••, araj.
□
5. Некоторые следствия из тождеств многообразия V,,
Приведем ряд утверждений, которые следуют из тождеств 1-18, определяемых многообразие ~Рп, а значит при выше определенной интерпретации I сигнатуры Хга верны во всех алгебрах мультиопераций размерности п.
Теорема 2. В любой алгебре класса Тп выполняются утверждения:
1. ±< ж;
2. 7Гг(_1_) = _1_ для г € {1, ...,п};
3. ж^Ег) = 7Тг(еу) для ],% € {1,..., п};
в^Х, £\ , ..., £п) — X,
5. ^¿(^(^¿(ж))) = тт^(тт^тт^(х))) для € {1, ...,п};
6. X <у => 7Гг(ж) < 7Гг(у) для I € {1, ...,п};
7. з(х0 Лу0,Х1,...,хп) < 5(ж0,Ж1,...,жп) А8(уо,х1,...,хп);
8. Хг < Уг для всех г € {0, ...,п} => «(ж0, ...,хп) < ,в(уо, ...,уп)-
Доказательство. Пункты 1-2 непосредственно следуют из определений _1_, 7Гг и тождеств 7, 8.
Пункт 3 следует из тождеств 2, 14:
ТГу(£г) = Т, (еу А •••, А £г)) = (£г Л £?), •••, & Л £,')) = Пункт 4 следует из тождеств 5, 6, 11, 13: ,з(х,£\, ...,£п) =
= ф(Х,£2,£1,£з, ...,£п),£2,£1,£з, -,£п) = ^(^(^(^(^(^(ж)))))) = Ж. Пункт 5 является непосредственным следствием тождества 13. Пункт 6 непосредственно следует из определения < и тождества 12. Пункт 7 следует из определения Л и тождества 15:
в(х0 /\у0,хг, ■ ■ ■, хп) =
= «(«(«(еь 71-1(61), ...,7Г1(ега)),ж0,уо, ...,уо),Х1, ...,хп) < < 71-1(61), ...,7Г1(вп)),5(ж0,Ж1, ...,хп), в(у0,Х1, ...,хп),...
...,в(уо,Х1, ...,Хп)) = «(Ж0,Ж1, ...,хп) Л 5(2/0, ..., Хп).
Пункт 8 несложно следует из определения Л, тождества 16 и выше доказанного пункта 7. □
6. Заключение
Представляет несомненный интерес также задача изучения квазитождеств, выполняемых в алгебрах мультиопераций фиксированной размерности. Некоторые из таких квазитождеств получены в пункте 5 как
следствия введенной системы тождеств. Более общая задача о свойствах элементарной теории класса алгебр мультиопераций фиксированной размерности еще не изучалась.
Список литературы
1. Перязев Н. А., Шаранхаев И. К. Алгебры мультиопераций // Algebra and Model Theory 11. Collection of hahers. Novosibirsk : NSTU Publ., 2017. P. 102-111.
2. Перязев H. A. Алгебры n-местных операций и мультиопераций // XV Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы и приложения» : тез. докл. Тула, 28-31 мая 2018 г. Тула, 2018. С. 113-116.
3. Перязев Н. А. Конечные алгебры мультиопераций // XVI Международная конференция «Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории» : тез. докл. Тула, 13-18 мая 2019 г. Тула, 2019. С. 51-54.
4. Перязев Н. А. Теория Галуа для конечных алгебр операций и мультиопераций ранга 2 // Известия Иркутского государственного университета. Серия Математика. 2019. Т. 28. С. 113-122. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.113
5. Пинус А. Г. Размерности функциональных клонов, метрика на их совокупности // Сибирские электронные математические известия. 2016. Т. 13. С. 366-374. https://doi.org/10.17377/semi.2016.13.032
6. Пинус А. Г. Фрагменты функциональных клонов как метод исследования последних // Algebra and Model Theory 11. Collection of hahers. Novosibirsk : NSTU Publ., 2017. P. 118-129.
7. Пинус A. Г. О фрагментах функциональных клонов // Алгебра и логика. 2017. Т. 56, №4. С. 477-485. https://doi.org/10.17377/alglog.2017.56.406
8. Трохименко В. С. О некоторых алгебрах Менгера отношений // Известия высших учебных заведений. Математика. 1978. № 2. С. 87-95.
9. Menger К. The algebra of fonctions: past. prresent, future // Rend. Matem., 3-4, 20. 1961. P. 409-430.
10. Poschel R., Kaluzhnin L. A. Function and Relaction Algebras. Berlin, 1979. 259 p.
11. Riguet J. Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois // Bull. Soc. math. Ffance, 1-4, 76. 1948. P. 114-155.
Николай Алексеевич Перязев, доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ» им. В. И. Ульянова (Ленина), Российская Федерация, 197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 5 тел.:(812)3464487 (e-mail: nikolai.baikal@gmail.com)
Поступила в редакцию 05.08.19
Identities in Fixed Dimension Algebras of Multioperations
N. A. Peryazev
Saint-Petersburg Electrotechnical University "LETI", Saint Petersburg, Russian Federation
Abstract. In algebras of multioperations, unlike algebras of operations, the superas-sociativity identity does not hold, but only the semi-superassociavity identity is true. For a more detailed study of the identities satisfiable in fixed dimension algebras of multi-operations, this work defines the variety to which these algebras belong. In particular, among these identities defining a variety, an identity is introduced that similar to the Dedekind relation for binary relations. From the introduced identities, some consequences are derived that satisfiable in the fixed dimension algebras of multioperations. Note that the variety is defined in a language whose symbols are interpreted by the superposition metaoperations, the first argument permissibility, and constant projection metaoperations for each argument and the zero multioperation. In this language, the terms are the intersection meta-operations, the permissibility by any argument, the full multioperation, and the inclusion multioperation.
Another interesting task is studying quasiidentities satisfiable in the fixed dimension algebras of multioperations.
Keywords: multioperation, superposition, algebras of multioperations , identity.
References
1. Peryazev N.A.,Sharanchaev I.K. Algebras of Multioperations. Algebra and Model Theory 11. Collection of hahers, Novosibirsk, NSTU Publ., 2017, pp. 102-111. (in Russian).
2. Peryazev N.A. Algebras of те-ary Operations and Multioperations. XV International Conference «Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: modern problems and applications», Tula, Tula State Pedagogical University, 2018, pp. 113-116. (in Russian).
3. Peryazev N.A. Finite Algebras of Multioperations. XVI International Conference «Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: modern problems, applications and history problems», Tula, Thla State Pedagogical University, 2019, pp. 51-54. (in Russian).
4. Peryazev N.A. Galois Theory for Finite Algebras of Operations and Multioperations of Rank 2. The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, 2019, vol. 28, pp. 113-122. (in Russian) https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.113
5. Pinus A.G. Dimension of functional clons, metric on its collection. Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 13, 2016, pp. 366-374 (in Russian). https://doi.org/10.17377/semi.2016.13.032
6. Pinus A.G. Fragments of the functional clones as method of a research of last. Algebra and Model Theory 11. Collection of hahers. Novosibirsk, NSTU Publ., 2017, pp. 118-129 (in Russian).
7. Pinus A.G. On fragments of the functional clones. Algebras and Logic, 2017, vol. 54, no. 4, pp. 477-485. (in Russian), https://doi.org/10.17377/alglog.2017.56.406
8. Trokhimenko V.S. On certain Menger algebras of relations. Izvestiya VUZ. Matematika, 1978, vol. 2, pp. 87-95 (in Russian).
9. Menger K. The algebra of functions: past, prresent, future. Rend. Matem., 1961, vol. 20, 3-4, pp. 409-430.
10. Poschel R, Kaluzhnin L. A. Function and Relaction Algebras. Berlin, 1979, 259 p.
11. Riguet J. Relations binaires, fermetures, correspondances de Galois. BvM. Soc. math. Ffance, 1948, 1-4, vol. 76, pp. 114-155.
Nikolay Peryazev, Doctor of Sciences (Physics and Mathematics). Professor, Saint-Petersburg Electrotechnical University "LETI", 5, Professora Popova st., Saint Petersburg, 197375, Russian Federation, tel.:(812)3464487 (e-mail: nikolai.baikal@gmail.com)
Received 05.08.19
