CC BY
49
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 2 Физико-математические пауки 2009
УДК 519.7
КЛОНЫ, ко-клоны,
ГИПЕРКЛОНЫ И СУПЕРКЛОНЫ
Н.А. Перязев
Аннотация
Вводится в рассмотрение операция разрешимости па множестве частичных гиперопераций. Определяется суперклоп как алгебра с основным множеством частичных гиперопераций и двуместной операцией подстановки, одноместными операциями циклической перестановки аргументов, транспозиции аргументов, отождествления аргументов, разрешимости и пульместпыми операциями, выделяющими операцию проектирования и всюду неопределенную операцию. Изучается отношение суперклопов к частичным гиперклопам. ко-клопам. клопам. Доказано утверждение об изоморфизме решетки суперклопов и решетки ко-клопов пад одинаковыми множествами.
Ключевые слова: операция разрешимости, гипероперация, клоп, суперклоп, частичная гипероперация, частичный гиперклоп, ко-клоп. решетка.
Введение
Исследования по коночным функциональным системам начаты в работах Е. Поста [1. 2]. В нашей стране изучение таких систем начал С.В. Яблонский [3. 4]. Алгебраический подход к изучению функциональных систем впервые был предложен А.II. Мальцевым [5. 6]. Среди алгебр функций наибольшее распространение получили клоны алгебры операций, замкнутые относительно суперпозиции и содержащие селекторные операции [7. 8]. Наряду с клонами исследуются алгебры отношений (ко-клоны). алгебры частичных операций (частичные клоны), алгебры гипроопораций (гиперклоны), алгебры частичных гиперопераций (частичные ги-порклоиы). Известны соотношения между этими понятиями. Так. решетка клонов аитиизоморфна решетке ко-клонов над одним и тем же множеством [9]. Добавляя к частичным гиперклонам операцию разрешимости простейшего уравнения, получим алгебру, которую назовем суперклоном [10, 11]. Как будет доказано, суперклоны эквивалентны ко-клонам. Но. имея функциональную структуру, суперклоны во многом схожи с клонами. Это позволит, в частности, получить новый метод для изучения решетки клонов.
1. Основные понятия
Отображение из Ап в А называется п-местной операцией на А (будем допускать случай п = 0). Множество всех п-местных операций па А обозначаем через РП > если щи этом А является к-элементным множеством, то используем обозначение РП • Используем также обозначения Ра = и РА и рк = и РП-
п>0 п>0
Пусть ^ С Ра . Алгебр а % = (^; *,(, т, Д, е) типа (2,1,1,1,0} с определенными ниже операциями подстановки (/ * д), циклической перестановки аргументов (/). транспозиции аргументов (т/), отождествления аргументов (Д/) и операцией е. выделяющей операцию в\ € РА называется клоном над А.
Если / € Д П РА и д € Д П Р^, то:
(/ * д)(«1 , . . ап+т— 1 ) = / (д(«1 )? ат+1? • • • ? ап+т—1) При п > 1;
(/ * д)(«1,..От) = п = 0;
(С/)(о1, .. ., Оп) = /(02, .. ., Оп, О1) щи п > 1 и (С/) = ^И п < 1;
(т/)(01, . .. ,0п) = / (02, 01, 03, ...,0п^и п > 1 и (т/) = / при п < 1;
(Д/)(01, . . ., Оп -1) = /(01, 01, 02, . .. ,0п-1) при п > 1,
(Д/) = Ь, если /(0) = Ь для всех 0 € А, иначе (Д/) = ^и п =1,
(Д/) = / при п = 0; е = е2, где е2(01, 02) = 01.
п А Ап
считаем, что А0 = 0. Множество всех п-местных отношений над А обозначаем через ДА) если при этом А является к-элементным множеством, то используем обозначение ДЩ • Используем также обозначения Да = и ДА и Дк = и Дп ■
п>0 п>0
Пусть Е С Да . Алгебра Е = (Е; х, £, т, Д, п, 6) типа (2,1,1,1,1,0} с определенными ниже операциями произведения (дх4), циклической перестановки компонент (Сд), транспозиции компонент (тд), отождествления компонент (Дд) проекции по компоненте (пд) и операцией 6, выделяющей отношение ! € ДА, называется ко-А
(д х 4) = {(01,... ,0п, 61,... ,Ьт}|(01,... ,0п) € д и (61,..., Ьт) € 4};
(С?) = {(02,. .., 0п, 01)1(01,. .. ,0п) € д} при п > 1;
(тд) = {(02, 01, 03, ..., 0п)|(01, .. ., 0п) € д} при п > 1;
(Дд) = {(01,... ,0п-1)|(01, 01, 02,..., 0п-1) € д^и п > 1;
(Сд) = (тд) = (Дд) = д, при п < 1;
(пд) = {(02, . .., 0п)|(01, . .. ,0п) € д} при п > 1,
(пд) = 0 при п < 1;
6 = !, где ! = {(0, 0)| для всех 0 € А}.
Через главные операции ко-клона стандартным образом определяются операции (Д®^ д) отождествления г-й и _7-й компонент и операции (п* д) проекции по г-й компоненте.
Пусть В (А) - множество всех подмн ожеств А, в том числе 0. Отображение из Ап в В(А) называется п-местной частичной гипероперацией па А (также говорят частичная мультиоперация или иодоопродолониая частичная функция). Для мно-пА НА> пРи |А| = к - обозначение
Пусть О С НА. Алгебру © = (О; *, С, т, Д,е) тапа (2,1,1,1, 0) называют ча-
А
(/ * д)(01,..., 0п+т—1) = {а| существует 00 € д(аь..., 0т) такой, что 0 € /(00, 0т+1,..., ат+п-1)^и п > 1 и (/ * д)(01,..., 0т) = /(^И п = 0; (С/)(01, .. ., 0п) = /(02, .. ., 0п, 01) при п > 1 и (С/) = / при п < 1;
(т/)(01, . .. ,0п) = /(02, 01, 03, . .. ,0п) при п > 1 и (т/) = / при п < 1;
(Д/) (01, . .., 0п -1) = / (01, 01, 02, . . .,а„-1^и п > 1,
(Д/) = {0|0 € /(а)^и п = 1, и (Д/) = /, щи п = 0; е = е2, где е2(01, 02) = {01}.
На множество частичных гнпоропораций вводом следующим образом новую операцию. которую назовем операцией разрешимости:
(м/)(аь .. ., а„) = {а|а1 € /(а, а2, . .., а„)}, при п > 1;
(м/) = / при п = 0.
Пусть операция 0, выделяет нульместную операцию о() = 0.
Алгебру К = (К; *,С,т, Д, М, е,0) ™иа (2,1,1,1,1, 0,0), где К С назовем суперклоном над А. Мощность множества А называется рангом клона (ко-клона, гиперклона. суперклона).
Стандартным образом определяется суперклон, порожденный множеством частичных гиперопераций, и для этого используется общепринятое обозначение
(/1, . . . ,/т) .
Используя главные операции суперклона, можно определить:
1) гипероперации проекции по г-му аргументу еП(а1,..., ап) = {а*};
2) операцию транспозиции г-го и ^’-го аргументов
(тг,^'/)(а1, . . . , аг? . . . , а^', . . . , ап ) /(а1, . . . , а^' ? . . . , а* ? а* ? . . . , ап ) ;
3) операцию отождествления -го аргумента с г-м аргументом
(,.7/)( а 1, . . . , а ,7 — 1, а ,7 +1, ... ) ап) /(а 1 ? . . . ? — 1, а*, а^' +1 ? . . . , ап) ;
г
(/ ** ^)(а1? . . . , ап+т—1) /(а1? . . . , аг—1? 6 а *+т? ... 7 ап+т—1);
Ь£з(аг,...,аг+т-1)
5) суперпозицию частичных гиперопераций
(/ * (/1, . .. ,/п))(а1, . .. ,ат) = У / (6Ь...,6„).
Ь*£/*(а1,...,ат)
Частичные гипероперации / та множестве {ао,..., а^—1} можно представлять как функции из {20, 21,..., 2к—1} в {0,1,..., 2к — 1}, получаемые из / при кодировке а* ^ 2*; {а*1,..., а*а} ^ 2*1 + ... + 2*а; 0 ^ 0.
В дальнейшем это представление частичных гиперопераций будет постоянно использоваться.
Нужно отметить, что в суперклонах для суперпозиции но выполняется тождество суперассоциативности
((/ * (5,1,...,5'п)) * (Л'Ь . . . , ^т)) = (/ * ((51 * (^Ь . . . , . . . , (5п * (^Ь . . . , ^т)))).
Действительно, для операций П, /1, /2, определенньж па А = {1, 2} следующим образом:
П(а, 6) =
/1(а) = |
/2(а) = \
а, если а = 6
0, если -с = а
1, если а = 1;
3, если 2. =а
3, если а = 1;
1, если 2, =а
н
Рис. 1. Решетка суперклопов ранга 2
получаем
(!) = ((п * (/ь /2)) * (3)) = (п * ((/1 * (3)), (/2 * (3)))) = (3).
Отсутствие свойства суперассоциативности суперпозиции является основной сложностью при изучении суперклонов, порождаемых множествами частичных гиперопераций.
2. Соответствие суперклонов и ко-клонов
Как легко заметить, каждой п-местной частичной гипероперации на А взаимно однозначно соответствует (п + 1)-местное отношение на А.
Определим х : На ^ ДА+1 так: х(/) = {(а1, • • • ,а„, 6}|6 Є /(аь . .. ,а„)|.
Теорема 1. 1) Пусть К = (К; *, £, т, Д, м, є, 0} - суперклон над А. Тогда х(К) = = (х(К); х,С,т, Д,п,£} является ко-клоном над А.
2) Пусть Е = (Е; х,£,т, Д,п,£} - ко-клон над А. Тогда х-1(Е) =
= (х-1(Е); *, С, т, Д, м, є, 0} является суперклоном над А.
Доказательство. 1) На х(К) операции ко-клопа представимы следующим образом.
Пусть / Є К П Я^и 9 Є К П Я£. Тогда
£ = х(Д є); (Сх(/)) = х(м/);
(т х(/)) = х(т/)^И п = 1, и (тх(/)) = х(м/)^и п = 1;
(Д х(/)) = х(Д/);
(п х(/)) = х(/ * (Д2 є));
(х(/) х хЫ) = х((Д2,п+2(. . . (Дп,2п(((е3 *3 5) *2 (м/)) *1 /) • • •).
В силу полученных формул, так как / Є К 5 Є КиК образует суперклон,
х(К)
2) На х-1(Е) операции суперклона представимы следующим образом.
Пусть ц € Е П ДА и ^ € Е П Д™ • Тогда
£ = Х—1((С (^ х (п £)))); ф = х—1((п2 £)); (С х—1(ц)) = х—1((С2 (т (С”—1 ц))));
(т х—1(ц)) = х—1(т ц) при п > 2 и (т х—1(ц)) = Х— Чз) при п < 2;
(Д х—1(?)) = х—1(Д ц);
(м х—1 (?))= х—1((С (т (С”—1 ?))));
(х—1(ц) * х—1(^)) = х—1(пп (Д„,„+1(^ х ц))).
В силу полученных формул, так как ц € Е,£ € Е и Е образует ко- клон, то Х~1(Е) образует суперклон. □
Пусть £(&) = (Ь(А); С) - решетка подалгебр алгебры А.
Следствие. Верпы следующие соотношения:
1) решетка суперклонов Ь(ЯА) изоморфна решетке ко-клонов Ь(^А);
2) решетка суперклонов Ь(ЯА) антиизоморфна решетке клонов Ь(рА).
Для полноты изложения приведем диаграмму решетки супорклоиов ранга 2 (перевернутая решетка Поста).
На диаграмме (рис. 1) приведены обозначения только для наибольшего, наименьшего, 7-ми максимальных и 5-ти минимальных суперклонов. Определим эти суперклоны через порождающие их частичные гипероперации. При этом для определения гиперопераций будем использовать векторное задание.
H = ( (21), (1333) )
L = ( (1), (2112) )
S = ((2331) )
Fi = ( (31), (1333) )
F2 = ( (23), (3332) )
Mi = ( (1), (23), (1333) ) M2 = ( (2), (31), (3332) ) R = ( (31), (23) )
Ho = ( )
Li = ( (12212112) ) Si = ( (21) )
= ( (1) )
= ( (2) )
M1 = ( (13) )
Fi
F21
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты X- 07-01-00240 и 09-01-00476).
Summary
N.A. Peryazev. Clones, Co-Clones, Hyperclones and Superclones.
Resolvability operation 011 set of partial liyperoperations is introduced into consideration. The superclone is defined as algebra with the basic set of partial liyperoperations and t.wo-place operation of substitution, single operations of cyclic shift of arguments, of argument transposition, of argument identification, of resolvability and nullary operations specifying operation of designing and everywhere uncertain operation. The relation of superclones to partial hyperclones, to co-clones, and to clones is studied. The statement about isomorphism of a lattice of superclones and lattice of co-clones over identical sets is proved.
Key words: resolvability operation, hyperoperation, clone, superclone, partial hyperoperation, partial hyperclone, co-clone, lattice.
Литература
1. Post Е. Determination of all dosed systems of truth tables // Bull. Amer. Math. Soc.
1920. V. 26. P. 427.
2. Post E. Introduction to a general theory of elementary propositions // Amer J. Math.
1921. V. 43. P. 163 185.
3. Яблонский С.В. О суперпозициях функций алгебры логики // Матем. сб. 1952.
Т. 30, Л» 2. С. 329 348.
4. Яблонский С.В, Функциональные построения в k-зпачпой логике // Труды Матем.
ип-та АН СССР им. В.А. Стеклова. 1958. Т. 51. С. 5 142.
5. Мальцев А.И. Итеративные алгебры и многообразия Поста // Алгебра и логика.
1966. 2. С. 3 26.
6. Мальцев А.И. Итеративные алгебры Поста. Новосибирск: Новосиб. гос. уп-т,
1976. 100 с.
7. Szentlrei A. Clones in universal algebra. Montreal: Les Presses de TUniversite de
Montreal, 1986. 166 p.
8. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Springer-Verlag Berlin YeideWat.er Resourses
Research, 2006. 668 p.
9. Бондарчук В.Г., Калу'М-.нин Л.А., Котов В.Н., Ромов Б.А. Теория Галуа для алгебр Поста // Кибернетика. 1969. .V 3. С. 1 10: .V 5. С. 1 9.
10. Перявев Н.А. Недоопределеппые частичные булевы функции // Проблемы теоретической кибернетики: Тез. докл. XV междупар. копф. (Казань, 2 7 июня 2008 г.). Казань: Отечество, 2008. С. 92.
11. Перявев Н.А, Суперклопы педоопределеппых частичных функций // Синтаксис и семантика логических систем: Материалы рос. школы-семипара (Владивосток, 25 29 августа 2008 г.). Владивосток: Дальпаука, 2008. С. 40 42.
Поступила в редакцию 31.03.09
Перязев Николай Алексеевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой математической информатики Иркутского государственного педагогического университета.
E-mail: nikolai. baik.aMiym.aiL cum
