CC BY
13
Серия «Математика» 2013. Т. 6, № 2. С. 84—90
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского государственного университета
УДК 519.7
Типы базисов суперклонов ранга 2 *
И. А. Яковчук
Восточно-Сибирская государственная академия образования
Аннотация. В статье представлена классификация мультиопераций на основе их вхождения в максимальные суперклоны и перечислены все типы базисов суперклонов ранга 2.
Ключевые слова: суперклон; мультиоперация; базис; максимальный суперклон.
1. Введение
Проблема функциональной полноты системы является одним из важнейших вопросов алгебры логики. Большой вклад в решение данного вопроса внес Э. Пост. В частности, он показал, что в множестве булевых функций существует точно 5 максимальных классов. Известно, что в зависимости от вхождения в максимальные классы все функции можно классифицировать в классы эквивалентности, что приводит к естественной классификации базисов. Так, в статье [3] представлены 15 классов булевых функций и перечислены все типы базисов. Всего таких типов 42: один тип ранга 1, 17 типов ранга 2, 22 типа ранга 3, 2 типа базисов ранга 4.
В последнее время исследуются такие функциональные системы как суперклоны. В работе представлены свойства максимальных суперклонов ранга 2, на основе которых даны классификация мультиопераций и описание всех типов базисов булевых суперклонов.
2. Основные понятия и определения
Пусть В (А) — множество всех подмножеств А, в том числе 0. Отображение из Аа в В (А) называется п-местной мультиоперацией на А, где А = {1, 2}. Множество всех мультиопераций на А = {1, 2} обозначим Е.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 12-01-00351.
Мультиоперации / £ Е представим как отображения / : {1, 2}п ^ {0,1, 2, 3}, получаемых из / при кодировке
{1}^1; {2}^ 2; 0 ^ 0; {1, 2}^ 3.
Клоном будем называть множество операций, замкнутое относительно суперпозиции, содержащее все проекции [1].
Суперклон — множество мультиопераций, замкнутое относительно суперпозиции и оператора разрешимости, содержащее все проекции [1].
Система мультиопераций называется полной в Е, если любую муль-тиоперацию можно представить в виде суперпозиции мультиопера-ций данной системы. Полная и независимая система мультиопераций называется базисом в Е.
3. Основные результаты
Для нахождения всех базисов множества мультиопераций воспользуемся свойством антиизоморфности решетки клонов и решетки суперклонов [1], согласно которому максимальными суперклонами являются минимальные клоны Б,Е\,Е2,М\,М2,Ь,К. Определим эти суперклоны через порождающие их мультиоперации. К = ((31), (21)) Ь = ((2112), (1)) Б = ((2331)) Мг = ((2), (3332), (31)) М2 = ((1), (1333), (23)) Е = ((31), (1333)) Е2 = ((23), (3332))
Пусть д £ Е. Определим функцию ф(д) = (аг...а7), а» = 0, если д £ И» и а» = 1, если д £ И», где Я = Б, Н2 = Ег, Н3 = Е2, Н4 = Мь Н5 = М2, Я6 = Ь, Н7 = К.
Очевидно, что в зависимости от принадлежности к максимальным суперклонам все множество мультиопераций разделится на классы эквивалентности, характеризуемые функцией ф(д).
Функция ф(д) не может принимать любые из 128 возможных значений. Данные ограничения описываются следующим предложением.
Предложение 1. В Е справедливы следующие вложения: 1. Б П Е! С Е2;
Б П Е2 С Ег;
3. Б П И С Ш2;
4. Б П И С М1;
5. Б П К С Ц;
6. К П С Иг;
7. К П Е С И2; И1 П И2 С К;
5. Ц П И1 С И2;
10. ц П И2 С И1;
11. Ц П Е П Е С Б;
12. Б П И1 С Е1.
Доказательство. Для доказательства данного предложения используется связь Галуа между клонами и суперклонами, согласно которой можно определить максимальные суперклоны через понятие полуперестановочности операции и мультиоперации [2].
Если для любых элементов а1, ...,0,^, ...,аП, ...,агт из А выполняется включение
/ * ^^ .. ат), ...,д(аП,..., ат)) с д *(/(а1,..., <),...,/ ..., ат),
то говорят, что для / и д верно тождество полуперестановочности.
Если для мультиоперации д и операции / выполняется указанное тождество, то говорят, что / и д полуперестановочны. Таким образом:
д € Е1 & д полуперестановочна с /1 = (11); д € Е2 & д полуперестановочна с /2 = (22); д € Б & д полуперестановочна с /з = (21); д € И1 & д полуперестановочна с /4 = (1112); д € И2 & д полуперестановочна с /5 = (1222); д € К & д полуперестановочна с /б = (11121222); д € Ц & д полуперестановочна с /7 = (12212112).
Следовательно, для доказательства предложения достаточно показать выразимость соответствующих булевых операций:
1. /2(х)= /з(Л(х));
2. /1(х)= /з(/2(х));
3. /5(х,у)= /з(/4(/з(х),/з(у)));
4. /4(х,у) = /з(/5(/з(х),/з(у)));
5. /т(х,у,г) =
= /б(/б(/з(/б(х, у, г)),у, г), /(х, /з(/в(х, у, г)), г), /(х, у, /з(/в(х, у, г))));
6. /4(х,у) = /б(х,у,/1(х));
7. /5(х,у) = /б(х,у,/2(х));
8. /б(х,у,г) = /5(/4(х, у), /4(х, г), /4(у, г));
9. /5(х,у) = /т(х,у,/4(х,у));
10. /4(х,у) = /7(х,у,/5(х,у));
11. /3(ж) = /т(ж, /2(ж), /1(ж));
12. /1(х) = и(х,Ш). □
Теорема. Для суперклона Е существует 394 типа базисов.
Доказательство. В результате удаления значений функции ф(д), противоречащих указанным в предложении свойствам суперклонов, получено 34 класса мультиопераций. Все они представлены в таблице 1 соответствующим значением функции ф(д). Кроме того, чтобы показать, что данные классы не являются пустыми, в таблице для каждого класса приведен пример входящей в него мультиоперации.
Таблица 1
Классы мультиопераций
№ Ф(я) мультиоперадия № Ф(я) мультиоперадия
1 (11111И) (2321) 18 (1010111) (3331)
2 (1111110) (0131) 19 (1001111) (12312322)
3 (1111101) (02011020) 20 (0111100) (21)
4 (1111011) (01111111) 21 (1110010) (20220000)
5 (1110111) (22222220) 22 (1101010) (23)
6 (1101111) (0132) 23 (1010110) (1110)
7 (1011111) (1331) 24 (1001011) (1222)
8 (0111111) (2331) 25 (1000111) (3113)
9 (1111100) (2010) 26 (0001111) (1332)
10 (1111010) (0111) 27 (1110000) (01)
11 (1110110) (2220) 28 (1100010) (2202)
12 (1101101) (2112) 29 (1010010) (1101)
13 (1011101) (1221) 30 (0001101) (12212112)
14 (0111101) (21121221) 31 (1100000) (2)
15 (1101011) (2333) 32 (1010000) (1)
16 (1011011) (30202030) 33 (1000010) (13)
17 (1100111) (03010103) 34 (0000000) (3)
Для того, чтобы система мультиопераций была базисом, согласно определению, необходимо соблюдать условия полноты и независимости. Легко видеть, что система полна, если суммарное значение соответствующих компонент векторного задания функций ф(д) не равна нулю; и независима, если при удалении любой функции из системы суммарное значение компонент имеет по крайне мере одну нулевую координату.
В результате прямой комбинаторной проверки в Е найдено 394 типа базисов. Базисы представлены указанными в таблице 1 порядковыми номерами классов мультиопераций. В зависимости от ранга базиса все типы распределены следующим образом:
— 1 тип ранга 1: (1);
— 187 типов ранга 2:
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (2,7), (2,8), (2,12), (2,13)
(2.14), (2,15), (2,16), (2,17), (2,18), (2,19), (2,24), (2,25) (2,26), (2,30), (3,4), (3,5), (3,6), (3,7), (3,8), (3,10)
(3.11), (3,15), (3,16), (3,17), (3,18), (3,19), (3,21), (3,22) (3,23), (3,24), (3,25), (3,26), (3,28), (3,29), (3,33), (4,5) (4,6), (4,7), (4,8), (4,9), (4,11), (4,12), (4,13), (4,14)
(4.17), (4,18), (4,19), (4,20), (4,23), (4,25), (4,26), (4,30)
(5.6), (5,7), (5,8), (5,9), (5,10), (5,12), (5,13), (5,14)
(5.15), (5,16), (5,19), (5,20), (5,22), (5,24), (5,26), (5,30)
(6.7), (6,8), (6,9), (6,10), (6,11), (6,13), (6,14), (6,16)
(6.18), (6,20), (6,21), (6,23), (6,27), (6,29), (6,32), (7,8) (7,9), (7,10), (7,11), (7,12), (7,14), (7,15), (7,17), (7,20)
(7.21), (7,22), (7,27), (7,28), (7,31), (8,9), (8,10), (8,11)
(8.12), (8,13), (8,15), (8,16), (8,17), (8,18), (8,19), (8,21)
(8.22), (8,23), (8,24), (8,25), (8,27), (8,28), (8,29), (8,31) (8,32), (8,33), (9,15), (9,16), (9,17), (9,18), (9,19), (9,24) (9,25), (9,26), (10,12), (10,13), (10,14), (10,17), (10,18), (10,19) (10,25), (10,26), (10,30), (11,12), (11,13), (11,14), (11,15), (11,16)
(11.19), (11,24), (11,26), (11,30), (12,16), (12,18), (12,23), (12,29) (12,21), (13,15), (13,17), (13,21), (13,22), (13,28), (14,15), (14,16) (14,17), (14,18), (14,19), (14,21), (14,22), (14,23), (14,24), (14,25) (14,28), (14,29), (14,33), (15,18), (15,20), (15,23), (16,17), (16,20)
(17.20), (18,20), (18,22), (19,20), (19,21), (19,27), (20,17), (20,24) (20,25), (21,26), (21,30), (26,27);
— 199 типов ранга 3:
(9,12,22), (9,22,30), (10,23,24)
(12.13.26) (12,17,32)
(12.22.27) (12,26,32) (13,16,27) (13,20,26) (13,24,31) (13,29,31)
(9,12,28), (9,23,30), (11,17,22) (12,13,33) (12,19,32)
(12.22.32)
(12.27.28) (13,16,31)
(13.20.29) (13,25,27)
(13.31.33)
9,12,33), 9,28,30),
11.22.25)
12.14.26) 12,20,22)
12.24.27) 12,27,33) 13,18,27) 13,20,33) 13,25,31) 14,26,31)
(9,13,23), (9,29,30), (12,13,19) (12,15,27) (12,20,26) (12,24,32) (12,28,32) (13,18,31) (13,23,27)
(13.26.31)
(14.26.32)
(9,13,29), (9,30,33), (12,13,24)
(12.15.32) (12,20,28) (12,25,27)
(12.32.33) (13,19,31) (13,23,31) (13,27,29) (15,16,19)
(9,13, 33), (10,16,23)
(12.13.25) (12,17,27) (12,20,33)
(12.25.32),
(13.14.26) (13,20,23)
(13.24.27)
(13.27.33) (15,16,25),
(15.16.26) (15,19,29) (15,26,29)
(16.18.27)
(16.21.23)
(16.23.27)
(16.26.28)
(17.18.24) (17,21,22) (17,23,24) (17,26,29) (18,19,31)
(18.26.31)
(19.22.32)
(19.31.32) (20,26,29)
(20.30.33)
(22.23.26) (22,26,32)
(23.24.31)
(24.25.27)
(26.31.32) (29,30,31)
(15.16.30) (15,19,32) (15,26,32) (16,18,28)
(16.21.25) (16,23,28)
(16.26.31)
(17.18.26) (17,21,24) (17,23,26)
(17.26.32)
(18.21.24)
(18.27.30) (19,23,28) (20,22,26)
(20.26.31)
(21.22.25) (22,23,30) (22,27,30) (23,26,28) (24,27,30) (27,28,30)
(15,17,21) (15,21,25)
(15.27.30)
(16.18.31) (16,22,23) (16,23,31) (16,27,30) (17,18,30)
(17.22.23) (17,23,30) (17,27,30) (18,24,27)
(18.28.30)
(19.23.31) (20,22,30)
(20.26.32)
(21.23.24) (22,25,27)
(22.29.30)
(23.26.31) (25,27,30) (27,29,30)
(15,17,27) (15,25,27) (15,29,30)
(16.19.22)
(16.22.25) (16,25,27) (16,28,30)
(17.19.23) (17,22,27)
(17.24.27)
(17.29.30)
(18.24.28)
(18.30.31)
(19.28.29)
(20.23.26) (20,26,33) (21,24,25)
(22.25.29)
(22.30.32)
(23.27.30) (26,28,29)
(27.30.33)
(15,17,29) (15,25,29) (15,30,32) (16,19,28) (16,22,26)
(16.25.28)
(16.30.31)
(17.19.29) (17,22,29)
(17.24.29)
(17.30.32)
(18.24.31)
(19.22.23)
(19.28.32)
(20.23.30) (20,28,30)
(22.23.24) (22,25,32) (23,24,27) (23,28,30) (26,28,32) (28,29,30)
(15,17,32) (15,25,32) (16,18,21) (16,19,31)
(16.22.30)
(16.25.31) (17,18,19)
(17.19.32) (17,22,32) (17,24,32)
(18.19.28) (18,26,28)
(19.22.29) (19,29,31) (20,26,28)
(20.29.30) (22,23,25) (22,26,29) (23,24,28)
(23.30.31)
(26.29.31)
(28.30.32)
— 7 типов ранга 4:
(24,25,28,29), (24,25,28,32), (24,25,29,31), (24,25,31,32), (24,30,31,32), (25,30,31,32), (30,31,32,33).
□
Список литературы
1. Перязев Н. А. Клоны, ко-клоны, гиперклоны и суперклоны / Н. А. Перязев // Учен. зап. Казан. гос. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. - 2009. - Т. 151, кн. 2. -С. 120-125.
2. Перязев Н. А. Теория Галуа для клонов и суперклонов / Н. А. Перязев // Проблемы теоретической кибернетики : материалы XVI Междунар. конф. -
H. Новгород : Изд-во Нижегород. гос. ун-та. - 2011. - С. 359-363.
3. Classifications and basis enumerations in many-valued logics / M. Miyakawa,
I. Stojmenovic, D. Lau, I. G. Rosenberg // Internationl Symposium on Multiple-Valued Logic. 17 th. - Boston, 1987. - Р. 152-160.
I. A. Yakovchuk
Types of rank 2 superclone bases
Abstract. This article presents classification of multioperations based on their membership in the maximal superclones. Also, all types of rank 2 superclone bases are enumerated.
Keywords: superclone; multiopation; base; maximal superclone.
Яковчук Инна Александровна, аспирант, кафедра математической информатики, Восточно-Сибирская государственная академия образования, 664011, Иркутск, ул. Нижняя набережная, 6 тел.: (3952)240477 ([email protected])
Yakovchuk Inna, East Siberian Academy of Education, 6, Nignaya Naberegnaya St., Irkutsk, 664011 aspirant, Phone: (3952)240477 ([email protected])
