Тонке теплопровідне включення у пружному просторі за дії на безмежності теплового потоку Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 539.3 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук - НЛТУ Украши, м. Льв1в

ТОНКЕ ТЕПЛОПРОВ1ДНЕ ВКЛЮЧЕНИЯ У ПРУЖНОМУ ПРОСТОР1 ЗА Д11 НА БЕЗМЕЖНОСТ1 ТЕПЛОВОГО ПОТОКУ

Одержано точний розв'язок системи сингулярних iнтегро-диференцiальних piB-нянь, до яко! зведена термопружна задача для тша з теплопровщним пружним тонким включенням. Вважали, що на безмежностi тiла дie одноpiдний тепловий потiк, перпендикулярний до серединно! площини включення. Внаслiдок виписаш формули для обчислення концентраци напружень бшя включення та напружень у ньому, а та-кож вщповщних коефiцieнтiв iнтенсивностi напружень Кц i Кщ . Пpоаналiзовано вплив конф^ураци включення на концентpацiю та штенсившсть напружень для де-яких часткових випадгав задачi.

Ключовг слова: система штегро-диференщальних piвнянь, теплопpовiдне пружне включення, тепловий потж.

Базовими параметрами для оцшки м!цност! та довгов!чност! т!л з пружними включеннями за ди температурного поля е коефщенти концентраци та 1нтенсивност1 напружень для вщповщних термопружних задач. Тер-мопружш задач1 для жорсткого пластинчастого елштичного включення, коли на його поверхш тдтримуеться постшна температура або на безмежносп т!-ло знаходиться тд д!сю ршномфного теплового потоку, напрямок якого па-ралельний чи перпендикулярний до площини включення, дослщжено i вста-новлено К1Н Kj [1-3]. Нижче розв'язано термопружну задачу i знайдено кон-центращю напружень i вщповщш К1Н Кц i Кш для теплопровщного пруж-ного тонкого включення у т!л! за ди теплового потоку на безмежносп, напрямок якого перпендикулярний до серединно! площини включення.

Постановка задач1 i 11 розв'язок. Розглянемо тривимфне иотропне т!ло, у якому виберемо систему прямокутних декартових координат Oxyz. У тш роз-мщено пружне (0<е = G1/G <<», G1,G - модул! зсуву включення та матриц

вщповщно) тонке включення, обмежене поверхнею z = ±h = ±cV 1 -x2 / a 2 -y2/ b2 (maxh << d; p<< d ; d - найменше значения дтметра серединно! площини включення S ; p - радгус заокруглення його вершини).

На безмежност на т!ло дк тепловий пот!к 1нтенсивност1 q = const, напрямок якого е перпендикулярним до серединно! S площини включення z = 0. Вважають, що на поверхш з'еднання матриця-включення е щеальний мехашчний i тепловий контакти. Задача полягае у визначенш термшних напружень у включенш та у матриц! б!ля нього. Користуючись вщомим результатом [4], зведемо !! до розв'язку тако! системи сингулярних штегро-дифе-pенц!альних р!внянь

+ SK-2d3A U&zli dtdn-[u] = ad2 (2 — SSEb. d^dn +

8nG1d1 BAi'S R h 4ned1 diS R

,d(u0) , fuAl-_{<h;

dA h G1

.^Агг!£ЕЪ —ШЫ*—

8псС10 дЪ» К 4псС1 д!" 1 д1

[йАз-,]*^^— I С^Сп

д1

О; К*']- П ^

Оф -

4псС1 дЪ Д К

(1)

01;

(х, у) е Д ; 7 = 0; , = 1,2; 1 = х; 12 = у; а1 = а; а2 = Ь вiдносно стрибкiв вектора збурених перемщень ^й ] * та тензора напружень [с] * для трщини, на берегах яко! 7 = ±0 дтоть напруження, знесенi iз повер-

хонь пружного включення 7 = ±И.

Тут Д- елштична область х2/а2 + у2/Ь2 < 1; А = д2/Эх2 + д2/ду2; (А)*,[А]* - вщповщно сума i рiзниця величини А на поверхнях включення

±Ь; К = ^(х -£)2 + (у -п)2 ; А? ^(Л-) - довiльнi функцп, якi пiдлягають визна-ченню; Т = Т0 + Т; Т0 = / 1 - температура у суцшьному тiлi [5]; 1 - коефь цieнт теплопровщносп матрицi; а - коефiцieнт теплового розширення мат-рицi; Т - збурене температурне поле у тш; С = 1 - С2 = 1 + С3 = 1 -к = 3 - ц - коефщент Пуассона матрицi; й0, С0 - вiдповiдно вектор змь щень i тензор напружень у суцшьному тшц й = й + й 0; С = сс + сс0.

Стрибок температури [Т]* визначаемо iз рiвняння, яке з врахуванням

гармошчносп та лшшно! залежностi температури Т вщ висоти включення набувае вигляду [4]:

[Т] *С^сСп

2п1ь

И1о

[Т ]*+АД

Д у/(х-^)2 + (у-п)2

4пд1

41 = Ч\ 1 -

1о

(2)

тобто

[Т ]*= 2дф^1 - х2/а2 - у2/Ь2 / (1Д (к ) + 1Ь1) ; Л2 =-

-Ь2

(3)

Тут 1Ь - коефiцiент теплопровщносл включення; 1 = Ь / с;

п/2 _

Д (к)= { 71 - к 2$,т2всСе.

о

Розв'язок рiвнянь (1) подамо у вигаад:

[йх] *= С1х^/1 - х2/ а2 - у2/ Ь2 ; [йу ] *= С^у^1 - х2/ а2 - у2/ Ь2 ;

д

С ] *= Сз д- (^ 1 - х2/а2 - у2/Ь2 ); [С2] *= С 4 дд^(ул/1 - х2/а2 - у2/Ь2 ); [с„ ] *= [С2] + [С2],

(4)

де Q, C2, C3, C4 - невiдомi cталi величини.

Пiдcтавивши вирази (4) y piвняння (1), отpимyeмо Формули:

1 rfN1F5(k) + 3hF3(k) +1 + NQsJfh2Fl (k)R2 _ N2hRQ6 h a2e c hA0 If a2

N Щ + N3hF3 (k )

Cl =

a A0

F2 (k)R2

a*' a 2A0

N2R3Q9 ^

hAo

C2 =-

NlhF4(k) + 3F3 (k) +1 + NhQiJ fF (k)R _ N2R3Q9 „2 „ „2A J H > 2 hA0

N2Q7 + N3F3 (k)Yh2Fl (k)R2 _ N2hR3Q6

hA0

a A0

= 1 rGff 3hF4 (k) + 3F3 (k)Y 3d3F5 (k ) + 1 J 9 F2 (k)

сз=GA0[Cl[Г^Т^^Jt 2dlh + cJ_^a2 (k)

3hF3(k)C f£_ 3dsFs(k) _ 3hdsF3(k)

a2dl

2b

2a2

C4=-

GA0

3F3(k) C f£_ 3d3hF4(k) _ 3dsFi(k)

hdl [ c 2a2

2b

+C2f f 3Fs(k) + 3hF3(k)Jf 3hd3F4(k) +П k

hdl a2 Jt 2dla2 c J 2dl2a2

+R3 f (( (k )F3 (k ) _ F2 (k )F4 (k )) _ )

для обчиcлення Cb C2, C3, C4. Тут

n, =-

3 (2 + sd3 ) n 3 (sk_ 2d3 ) ; ^ 3 (2¡u + sd3)

2ed1

4Gedi

N3

2^ + Ed3) ; F3 (k ) = 1 2sdi W 0 Vl

(5)

n//2 cos2 в sin2 в

_ k 2 sin2 в

de;

„ /, ч 2 sin4ede „ ,, ч ? cos4ede ad2q,(2_s) F4 (k F5 (k )=R2=-^

R3

0vi _ k-sin2 в M (( (k ) + ::) 2ad2q,

A0=G2

di (( (k) + ::) f

^ F4 (k ) + iï-3^ F5 (k ) + lU-3^ F3 (k ) 2d,a2 W c Jt 2d,h W c J f 2d,a V '

л

334

Збipник наyково-теxнiчниx пpаць

А1 = ( ЬМ^4 (к) + 3*3 (к) +1 + Ь^2б4 У N1*5 (к) + 3Ь*3 (к) +1+ ЩОя

а2 Ье с а2А0 Ь а2е с ЬА0

_( N3*3 (к ) + N267 ¥ ЬМ* (к ) + ЬМ225 ^ Ь ЬА0 Д а2 а2А0

& = <5С (* (к 2( ОС, *4 С 2+ 3 * (к 2]+ СЕ./} (к 2

20» I ас! *4 (к 2+ 3 *3 (к 2)(*4 (к 2*5 (к * (к 2;

а=(^ *3 (к 2*4 (к 2++* (к 2

9С3р 20С12а 2

*3 (к 2 ((4 (к 2*5 (к 2- *32 (к 22;

05=-0Гс ((к 2*4 (к 2+*2 (к 2*3 (к * (к 2(2 (к 2-*4 (к 2*5 (к 22;

*1 (к 2 = *4 (к 2 + *3 (к 2; *2 (к 2 = *5 (к 2 + *3 (к 2;

67 = Ос ((к 2*5 (к 2+ас * (к 2*4 (к 2+3 *32 (к 2

*3 (к 2((4 (к 2*5 (к 2-*32 (к 22;

(6)

20С12а

а - 0(*(к2(СЬ"><к2+5*3<к>)+%*(к2

3ЬС3 (к2+^32*3(к>]((4(к2*5(к2-(к22

20С1а2 ^ С1Ь

й = ^0С (£ *1 (к 2*3 (к 2 + *2 (к 2*5 (к 2]+2|0 *2 (к 2(( (к 2-*4 (к 2*5 (к 22;

А 312(х 2 = А «(у 2 = 0.

Перейшовши у спiввiдношеннях (5) до границ е ^ 0 або е ^ да, одержимо вщповщно результати для випадюв елшсо!дальних теплопровщно! по-рожнини або теплопровщного абсолютно жорсткого включення. Якщо у (5) перейти спочатку до границi е ^ 0, а поим с ^ 0 i покласти 1 = 0, то одержимо вщомий [6] розв'язок для елштично! теплоiзольованоl трщини. Очевидно, що коли матерiали матрицi i включення одинаковi (е = 1;1 = 1о), то iз виразiв (5) матимемо, що С1 = С2 = С3 = С4 = 0 .

На основi результапв працi [4] та виразiв (4), (5) для визначення нор-мальних i дотичних напружень на поверхш з'еднання матрицi-включення ±к одержимо стввщношення:

<zx =-

3x 2db

( (k) + C4F3 (k)) - GQ f aa2F4 (k) + dF (k)] - ■F3 (k)

2ad2b3Gqi ^ (k) 3a2 (( (k) + XbX) 1 ( )

< = < = 2dib

f (C3F3 (k) + C4F5 (k )) - GC2 f F5 (k ) + b0dlF3 (k) I - ^GCiF3 (k) -

2ad2bGqi )2 (k )

(x, y)e S.

3(( (k ) +Ы)

Встановлено, що найбiльшого значення напруження <zx i <zy досяга-ють на контурi областi S, тобто вщшарування включення вiд матриц (якщо воно вiдбуваeгься) починаеться з його вершини, а у ^mpi включення дорiв-нюють нулю.

Користуючись рухомою локальною прямокугною системою координат Ontz з початком на контурi областi S, матимемо асимптотичш подання для стрибкiв змщень та напружень у малому околi межi елiпса

[üx]*= C1yJ-2f (ф) na / b cos^ + O (n); [üy] *= C2^J-2f (ф) nb / a sin^ + O (n) ;

[<zz] *= (C3 + C4))-2nf (ф)/ (ab) - (C3 cos2 ф + C4 sin2 фф^-ab / (2nf (ф)) + O (n) ,(8)

де нехтуемо доданками порядку O (n), f (ф) = <Jа2 sin2 ф + b2 cos2 ф, On - зов-нiшня нормаль до контуру област S ; ф - кут, що визначае параметричш ко-ординати точок елшса (x2/ y2 + y2/ b2 = 1; |n| << a, b).

Формули переходу для змiщень i напружень у системi координат Ontz матимуть вигляд:

[ün]*=[üx]*cose + [üy ]*зтв; [üt]*=-[üx ],sme + [üy ]*cose; (9)

[ст^ ] *= [<zz] * cos (в - ф) ; [<zz2] *= [<zz] * sin (ф - в),

де: [<Zn] * i [<*] * - напруження, вектори згинних моментiв яких перпенди-

кулярнi вiдповiдно до площин t = 0 i n = 0; в - кут мiж додатними напрямка-ми осей Ox i On ; cose = bcosф/f (ф); sine = asinф/f (ф). На основi виразiв (8), (9) одержимо

[ün ] *= (Ci cos2ф + C2 sin2 ф) yf-2nabТ/ф) + O (n ); [üt]*=(-C1a2 + Cb2)sin2^-n /(2abf (ф)) + O(n) ;

J *= (b cos2 ф + a sin2 ф) [(C3 + C4))-2n / (abf (ф))

(10)

-(C3cos2^ + C4 sin2 ф) )-ab / (2nf3 (ф)) + О (и);

Jl^ *= (b -a)т2ф[(С3 + C4))-2n/(abf (фф) -

- (C3 cos2 ф + C4 sin2 ф))-ab /(2nf3 (ф)) /2 + О (и).

Користуючись поданнями (10) i результатами працi [4], матимемо формули:

щоб обчислити К1Н Кп (!) i Кш (!) для елштично! трщини, на берегах z = ±0 яко! дiють напруження, знесенi i3 поверхонь z = ±h пружного теплоп-ровiдного елшсощального включення. Очевидно, що для сферо!дального (a = b) включення Кш (!) = 0 для будь-якого значення ф. Якщо у формулах (11) перейти спочатку до границi c ^ 0, то тодi, як це випливае i3 виразiв (5), lim Кп (!) = Кп = 0; lim Кш (!) = Кш = 0 для пружного включення, де Кп i

Кш - загальноприйнят позначення К1Н.

Якщо у виразах (11) перейти спочатку до гранищ s ^ 0, то одержимо формули для обчислення К1Н Кп (!) i Кш (!) у випадку елштично! трiщини, на берегах z = ±0 яко! дiють напруження, знесенi iз поверхонь z = ±h елшсо-!дально1 теплопровщно! порожнини. Перейшовши у поданнях (11) послiдовно до гранищ s ^ 0, c ^ 0 i поклавши !b = 0, одержимо вiдомi [6] формули для обчислення К1Н Кп i Кш у випадку термоiзольованоl елштично! трiщини.

Якщо у виразах (11) перейти спочатку до гранищ s , то одержимо подання для обчислення Кп (!) i Кш (!) у випадку елштично! трщини, на поверхнях z = ±0 яко! дiють напруження, знесенi з поверхонь z = ±h елшсо-!дального абсолютно жорсткого теплопровiдного включення. Для пластин-частого (c ^ 0) абсолютно жорсткого (s^ro) термоiзольованого (!b = 0) чи теплопровщного (!b ф 0) включення величини Кп = Кш = 0, що випливае iз виразiв (5), (11).

Для визначення концентрацп напружень uzn i uzt у матрищ в околi включення використаемо сшввщношення [4]:

(11)

sin2ф GI —C — + C2—

2иКп (!) Ц п(р + 2и )3 + lzn (0) рРр / (р + 2и)

( = Кш(Х)Цп(р + 2п) , р = Ь/(р)/(а)2), (12)

де агп (0) - збуренi дотичнi напруження на контурi областi Я .

Дослщження першо! формули (12) на екстремум показуе, що найбшь-шого значення агп досягають для п = р(2Кп ())-3агп(0)Л/Лр)/(2КП ())), яке

залежить вiд пружних та геометричних параметрiв включення. У конкретному випадку, за необхщносп, це значення п можна завжди обчислити, вико-ристовуючи вирази (7), (11). Вважаючи, що у поданнях (12) п = 0, р> 0, на основi (7), (11) i умови рiвностi контактних напружень на контурi областi Я , одержимо формули:

3а I

цвЬ2С2

М/ (() [

Fэ (к)

^ ((к)+С^э (к)) - Св I ^ Д (к)+а^э (к) ]

2а^2Ьэ0^1^[ (к ) 3а2 (( (к ) + )))

СО$2р~

аэ

(3)+с4))-

-С2 в ( « (к ) + ^ « (к (к ) +

8т2 р >

аЬ 8т 2р

4с/ (р)

в|-Ьа + -С2 |-/ -а] (Сэ0О82р + С481И2ф] ,

(13)

2/ (р)а

якi служать для обчислення величини напружень у матрищ на контурi Я бiля пружного елшсо!дального включення. Для сферо!дального (а = Ь) включення (С = С2, С3 = С4) формули (13) значно спрощуються i набувають вигляду

( О 1 )

3п 16^1

а3с3 - 2С\в+-

&аа2ад\в

а я = 0.

(14)

3 ())п + 2)))

Пiдставляючи у вирази (13) величини Сь С2, С3, С4 вiдповiдно для е = 0 або е ^ ю, матимемо вщповщш подання для обчислення напружень агп i ( у матрищ бшя елшсощально! порожнини або елшсо!дального абсолютно жорсткого включення.

Якщо для визначення контактних напружень (п = 0) на контурi област Я , коли с << а, Ь, використати вщоме [7] подання агп (0) = КП ()) / ^жр, що не забезпечуе 1х рiвностi, то на основi виразiв (12) при п = 0 матимемо

( = Кп (Ц/^жр, (15)

де Кц ()) подаеться виразом (11).

Ддставляючи СьС2,С3,С4 iз спiввiдношень (5) при е ^0, с ^0, )Ь = 0 у формулу (15) i спрямовуючи р^ 0, одержимо, що агп ^ ю, тобто матимемо результат для трщини. Якщо у виразах (7), (11), (13) перейти до границ а ^ю, то за вщповщних значень кута р матимемо подання для тунельного елштичного пружного теплопровщного включення, тобто розв'язок плоско! i антиплоско1 задач.

сг

гп

Лтратура

1. Подильчук Ю.Н. О термонапряженном состоянии трансверсально-изотропного тела с жестким эллиптическим включением / Ю.Н. Подильчук, В.В. Добривечер // Прикладна механика. - 1996. - № 1. - С. 11-17.

2. Подильчук Ю.Н. О термонапряженном состоянии трансверсально-изотропного тела с жестким эллиптическим включением, подверженном действию равномерного теплового потока в плоскости включения / Ю.Н. Подильчук, В.В. Добривечер // Прикладна механика. -1996. - № 8. - С. 31-39.

3. Пассос Моргадо А.Х. Распределение напряжений в бесконечном трансверсально-изот-ропном теле с жестким эллиптическим включением в равномерном тепловом потоке / Пассос А.Х. Моргадо, Я. Пивник, Ю.Н. Подильчук // Прикладна механика. - 1995. - № 11. - С. 3-10.

4. Стадник М.М. Метод розв'язування тривимiрних термопружних задач для тш з тонкими включеннями / М.М. Стадник // Фiзико-хiмiчна мехашка матерiалiв. - 1994. - № 6. - С. 30-40.

5. Партон В.З. Механика упругопластического разрушения / В.З. Партон, Е.М. Морозов. - М. : Изд-во "Наука", 1985. - 503 с.

6. Стадник М.М. Елштична трщина у простер шд дieю теплового потоку на безмеж-носп / М.М. Стадник // Фiзико-хiмiчна мехашка матерiалiв. - 2010. - № 3. - С. 38-41.

7. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 640 с.

Стадник М.М. Упругое тонкое теплопроводящее включение в пространстве при действии теплового потока на бесконечности

Получено точное решение системы сингулярных интегро-диференциальных уравнений, к которой сведена трехмерная термоупругая задача для тела с теплопро-водящим упругим тонким включением. Считается, что на бесконечности тела действует однородный тепловой поток, перпендикулярный к срединной плоскости включения. В результате выписаны формулы для вычисления концентрации напряжений возле включения и напряжений в нем, а также соответствующих коэффициентов интенсивности напряжений Кц и Кщ. Проанализировано влияние конфигурации включения на концентрацию и интенсивность напряжений для некоторых частных случаев задачи.

Stadnyk M.M. Elastic thin heat-conducting inclusion in a space under the action of a heat flux applied at infinity

The exact solution of system singular integro-differentional equations, to which three-dimensional thermoelastic problem for body with thermal conductive elastic thin inclusion is reduced, has been obtained. It is consider, that homogenous heat flow, which is perpendicular to middle plane of the inclusion, acts on the infinity of body. As results, formulae for evaluation of concentrations of stresses near inclusion and stresses in it and corresponding stress intensity factors Кц and Кщ have been written. The influence of configuration of inclusion on concentration and intensity of stresses has been analyzed for some partial cases of problem.

УДК 629.113.001 Проф. €.В. Харченко, д-р техн. наук;

здобувач Т.Ю. Пгдгайний - НУ "Львгвська полтехшка "

ВИЗНАЧЕННЯ НИЖЧИХ ВЛАСНИХ ЧАСТОТ КОЛИВАНЬ КУЗОВА АВТОБУСА ЛАЗ-А152 ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНИМ

ШЛЯХОМ

Експериментально визначено нижчi власш частоти коливань кузова автобуса ЛАЗ-А152. Описано методику експерименту та вимiрювальну апаратуру. Результати експерименту ж^вняно з результатами, отриманими теоретичним шляхом. Пщтвер-джено адекватшсть запропонованих теоретичних метсдав. Запропоновано рекомен-дацп щодо практичного застосування теоретичних методiв.

Ключовг слова: власш частоти, коливання, кузов, автобус.