Научная статья на тему 'Тонке відносно жорстке включення у пружному просторі під одновісним навантаженням'

Тонке відносно жорстке включення у пружному просторі під одновісним навантаженням Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
65
10
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — М. М. Стадник, І. В. Дідух

Отримано розв'язок задачі для простору з тонким включенням під одновісним розтягом-стиском. Задачу зведено до розв'язку системи двох сингулярних інтегродиференціальних рівнянь. У випадку еліпсоїдального включення одержано замкнуті аналітичні формули для обчислення концентрації напружень у матриці та у включенні.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Thin relatively hard inclusion in matrix under one-axid strain

Solution of the problem for space with the thin inclusion under one-axid strain compression is obtained. The problem is reduced to solution of the system of two singular integral –differential equations. In case of ellipsoidal inclusion analytical formulas for calculating of stress concentration in matrix and in inclusion are obtained.

Текст научной работы на тему «Тонке відносно жорстке включення у пружному просторі під одновісним навантаженням»

5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ

ГАЛУЗ1

УДК 539.3. Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук;

доц. 1.В. Дiдух, канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. nbsis

ТОНКЕ В1ДНОСНО ЖОРСТКЕ ВКЛЮЧЕНИЯ У ПРУЖНОМУ ПРОСТОР1 П1Д ОДНОВ1СНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ

Отримано розв'язок задачi для простору з тонким включениям тд одновюним розтягом-стиском. Задачу зведено до розв'язку системи двох сингулярних штегро-диференщальних рiвнянь. У випадку едшсощадьного включення одержано замкнутi аналiтичнi формули для обчислення концентрацп напружень у матриц та у вклю-ченш.

Prof. M.M. Stadnyk; assoc. prof. I.V. Didukh - NUFWT of Ukraine, L'viv

Thin relatively hard inclusion in matrix under one-axid strain

Solution of the problem for space with the thin inclusion under one-axid strain compression is obtained. The problem is reduced to solution of the system of two singular integral -differential equations. In case of ellipsoidal inclusion analytical formulas for calculating of stress concentration in matrix and in inclusion are obtained.

Постановка i розв'язок задачь Розглянемо пружне тшо, до якого на безмежност прикладеш р1вном1рно розподшеш напруження p. Декартову систему координат Oxyz виберемо так, щоби в1сь Oz була паралельною до зусиль p. У тш розмщено пружне вщносно жорстке (1 < E1 / E = ^<да; E, E\ -модул1 Юнга матрищ та включення вщповщно) елшсощальне включення, яке

X 2 2 z 2

обмежене поверхнею X2++~т = 1 (а, b >> c). Задача полягае у встановленш

a b c

напружень у включенш та концентрацп напружень у матриц бшя нього.

Розв'язок задачу на основ1 математичноi модел1 включення [1], зво-диться до системи двох сингулярних штегро-диференщальних р1внянь

¡¡[azx ]* ln (x -£ + R D ],•

s dxdy s (1)

& L

1 ( д2 Э2Л

2nG

A-

dx dy

2

у

ln(x-£ + R)d&n +— f [dzx] dx + = ^ -2pG>|d2-G'l//d5 + A1;

V Ь } Ь ' hG1 J * S R Gd2 G1Gd2d4 1

2nG

/ ^ Л d2

\\[azy]* ln(y-n+ R)d^dn + D——\\[c7zx]* • ln(y -n + R)d^dn

S OyOx S

^ д2 д2 A'

dy2 dx2

\ ^ J

+ f [,% ] dy + D3Aii[%zL^^dn=-p^-2pG^d2 -^ + A2, (x,y) S, z = 0 hG1 -bL ^W 3 S R Gd2 G1Gd2d4 2 I '

244

Збiрник науково-технiчних праць

х2 у 2 / х2 у2 д2 д2

Тут Б - елiптична область —-+Ат< 1;Ь = с 1 —т-Аг; А = —- +—-;

а2 б2 \ а2 б2 дх2 ду2

я = у1(х-^)2+(у-п)2; А = М(0; а =2М0+(4°'-^;

(3°1 + Е Е1-л 1 -л 1, - л 10-

^3 = „ ^ , , ; О = ; 01 =—— ; (1 = 1 -М; (2 = 1 + М; «3 = 1 - 2м ;

2п 01(1(4 2(2 2(5

«4 = 1 - м; (5 = 1 + Мь = 3 - 4м ; м, М1 - вiдповiдно коефщент Пуассона матри-

цi та включення; [сТ2х ] *, [с ] *, [й 2 ] * - невiдомi стрибки збурених (наявшстю

в тiлi включення) дотичних напружень та нормальних змiщень берегiв трщи-ни 8, на яких ддать навантаження, знесенi з поверхонь включення 2 = ±к; А1,А2 - довiльнi стат. Крiм цього у рiвняннях (1) враховано, що напружено-

деформiвний стан й0 в однорщному тiлi визначаеться поданнями

(с0) = 2 о • Гйо ] =-Р^ 1 - — - • д( й0 )* =д( й 0)* =-МР (2)

(с )*=2р; [й2 ]*= 0(2 ^ а2 Ь2; дх - ду - 0(2' (2)

де [В]*= В + - В~; (В)*= В + + В~, "+" i "-" означае, що значення величини В±

береться вiдповiдно на поверхнях ±к. Тензор напружень с i вектор змiщень й у тш з включенням визначаються суперпозицiею задач [1]

с = с0 + с; й = й0 + й . (3)

Оскшьки розглядаеться вщносно жорстке (1 <£<да) включення, то

вважатимемо, що основними параметрами, як характеризують напружено-деформiвний стан у такому включенш, будуть невiдомi стрибки напружень [с2х] *, \_<с2у] *. Вони повинш задовольняти умови

[<%2х ]*=[<%2У ]*= 0, (4)

якщо £ = 1, М1 = М •

Стрибок змiщень [й2 ] * для такого включення вважатимемо вщомим. Вiн повинен задовольняти умови:

а) якщо £ = 1, м = М

[й 2 ]*= 0, (5)

б) якщо £ —^ да, м1 = 0

[и2 ] *= [й2 ] *+ \й0 ] *= 0 ^ [й2 ] *= -[ й0 ] *. (6)

Враховуючи, що для стрибка змщень [ й2 ] * вiдомi крайнi значення (5), (6) користуючись iнтерполяцiйним пiдходоM' для наближеного визначення [й2 ]* матимемо подання

[й ] Г 1 х2 У2 ; Г рс(0-01) 1 [й2]*=ГТ-02-Г1 = 001(2 , 1

< £ < да . (7)

5. 1мфо|)мацш1м технологи галузi

245

Розв'язок системи рiвнянь (1) шукатимемо у виглядi таких функцiй:

[сzx] *= I С1*—-; [с ] *= I Г32У—Т, (8)

1 - - у_ 1 - - у_

V а2 Ь2 V а2 Ь2

де Г2, Г3 - невiдомi стaлi•

Пщставляючи вирази (7), (8) у рiвняння (1), одержимо таку систему рiвнянь вiдносно Г2, Г3:

Г2

ЬД^1 (к) а (к) а

0 Ь0 с01

+ 2пЬГ3^2^2 (к ) =

= Р(м0(3 + М1)-0(м((5 + 2М1)) + рЕ(к)(0-0)(01(3 +м0); (9)

001(2(4 А0012(1(2(4

ьД^? (к) - Ь3^ (к) - _Ь__

0 а20 с01

+ 2пЬГ_ВД (к )

= Р (м01 (3 + М1)-0 (м (5 + 2М1)) + рЕ (к)(0 - 01 )(0( +М10) 001(2(4 А0012(1(_(4

п

де: Е (кЯ^Т-*^*; „ (к )=МЫШ; * (к ) = а _Е (к> ^ <к >;

п

' (к )='хтЧ; к _=^

0 л/1 - к2$т2в а

Довiльнi стaлi А1, А2 у рiвняннях (9) вибрано такими

А = А_ = - 0рМ' (10)

01(2

щоби розв'язок (8) задовольняв частковий випадок зaдaчi при £ = 1, м1 = М (умова (4)).

Розв'язавши систему рiвнянь (9), одержуемо

Г_ = Г3 = ^ (И)

£а лй? 02 ь

де О = 2 (м£(2 (3 + м1 )- (5 (м(5 + 2м1 )) + Е (к)((5 -£(_ )(£2(3 + м(5 );

= Е(к)(м1й3й5 - к(2£) - 2Лй1d4(5, Я = —.

Анaлiзуючи вирази (8), (11) бачимо, що при £ = 1, м1 =М задоволь-няеться умова (4), а при £ — да, м1 = 0 маемо

[с ] = 2рЬх((3Е(к)-3ЛМ() _с ] = 2ру((3Е(к)-3ЛМ(1 ) (12)

[2х]* = I-_ _ ; ГСТ2У] * = I-_ 2 . (12)

Яа2(2К Е (к^1 -- Ш* Е(кЦ1 - -

246

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Збiрмик мaуково-техмiчмих праць

При c ^ 0 Ï3 (12) отримуемо частковий результат для пластинчастого абсолютно жорсткого елштичного включення

г . -6pbj dix ; -| -6pj diy (13)

[<%zx J* =-1-2—г ' L^zy J * =-1-2—Г ' ('13)

^ E (k W1 - ^ - bd2K mJ1 - ^ - b2

a

з якого для a = Ь (E(k) = п/2) отримуемо вiдомi [2, 3] подання для пластинчастого дископодiбного абсолютно жорсткого включення.

На основi спiввiдношень (7), (8), (11) i даних [1] для обчислення нап-ружень у включенш матимемо формули

CTz

E(k)(aV3C2 -2GCi) _ _ C2Aa2

4Ь— + р' "** " = -й> (X'5 ■ (14)

Пiдставивши у вирази (14) сшввщношення (11), маемо подання

"=рЕ ^^¿О1+р"=" ^" рНх, у)* 5 • (15)

якi виражають напруження в елшсощальному пружному (1 < е < да) включен-т.

Як бачимо цi напруження е сталими, що вiдповiдае вiдомiй теоремi [4] про елшсощальне включення в однорщному полi напружень. У частковому випадку при е ^да, ¡и1 = 0 iз (15) одержуемо формули

р (4-Е (k)-3X^-3) р (Е (k) <з - 3^М) рМ

" =———-+р; "хх = "—-———- ——ху^5 (16)

2ла2к к-2е ^) 2—

для обчислення напружень в абсолютно жорсткому елшсощальному включенш.

При а = Ь iз (16) отримуемо формули для обчислення напружень в абсолютно жорсткому сферощальному включенш. Аналiз виразiв (16) показуе, що при с ^ 0 (випадок пластинчастого абсолютно жорсткого дископодiбного включення) напруження "хх ^ -да i "уу ^-да, а а22 набувае вигляду

3ц-3

C>zz _ Р

1-

V

, (х,y)еS . (17)

2d2K

Введено локальну систему координат Ontz,

х = a cos р -1 sin в + n cos в,

y = b sinp +1 cos в + n sine, z = z, (18)

2 2 х y

де р - кут, що визначае параметричш координати точок елшса — + = 1,

a

b2

в - кут мiж додатними напрямами осей Ох i нормалi до контура 0п . На ос-новi [5] i (7), (8), (18) одержуемо формулу для визначення розподшу напружень "22 у матриц в околi контура елшсощального включення.

(р + п)Jp(2GC1 - a2d3C2) pSpC2a2A л ^ ,

^ = ^--з-+ иу 2-3 + Р, z = 0 - п << a,b, (19)

2d\cJ (р + 2n) 2b J (p + 2n)

bf (p)

де p = —- рад1ус заокруглення вершини включення;

aA2

f (p) = y¡a2 sin2 p + b2 cos2 p . Сшввщношення (19) показуе, що напруження <rzz на контур1 (п = 0) елшсо!дального пружного включення не залежить в1д кута p, тобто е величиною сталою

2GCi + a2ßC2 ,

°zz =-—-+ p . (20)

2d1c

Напруження azz, як визначаються зпдно з формулою (19), можна розглядати, зокрема, як функцш трьох змшних п, c,s, тобто azz = azz (n, c,s).

Поклавши у (19) спочатку п = 0, а пот1м s — да, j = 0 1з виразу (19) одержимо формулу

cz = Р (E (k) (Jd-- к)- 3 jAd1) + (21)

d1d2KE (k)

для наближеного обчислення концентраци напружень у матриц на контур1 абсолютно жорсткого елшсощального включення, з яко! випливае, що при c — 0 напруження azz — -да, при p > 0.

Якщо у сшввщношенш (19) спочатку спрямувати s — да, ju1 = 0, а по-т1м c — 0, то матимемо

zz 2d2KE(k)х/20й ( ), ( )

звщси при a = b одержимо випадок абсолютно жорсткого дископод1бного пластинчастого включення, тобто

azz = + о (п). (23)

nd2K 2п

Спрямовуючи в (22) п — 0, бачимо, що azz — +да при p > 0. Якщо у формул1 (19) спочатку спрямувати c — 0, то при п > 0 розподш напружень azz набувае сталого значення p, тобто не залежить вщ s, що вщповщае ви-падку однорщного тша.

Таким чином, границя функцп lim azz (п, c, s) залежить вщ того, у

п —^0, c —^0, s—да

якш послщовност змшт п, c, s прямують до вщповщних граничних значень, а це означае, що границя не 1снуе. Тому при використанш розв'язку пружно! задач1 для тша з абсолютно жорстким пластинчастим (с = 0) включенням в задачах мехашки руйнування необхщно це враховувати, оскшьки К1Н K

248

Збiрник науково-технiчних праць

(основний параметр лшшно1 мехашки руйнування) для пластинчастого елш-тичного абсолютно жорсткого включення буде приймати pi3Hi значення. Зок-рема, якщо KI визначати згiдно з формулою

KI = lim Jin n azz, (24)

у яку пiдставити вираз (22), то одержимо, що

кi = 3 pd^nbf (р) 2d2kE (к ) Va

Якщо ж для визначення Ki застосувати формулу

Kj limjp azz, (26)

2 р^О

у яку шдставити подання (21), то

Ki = IpSyjnbf (р) 2d2KE (к )Va

Порiвняння мiж собою К1Н KI, що даються формулами (25) i (27), по-казуе, що вони не зб^аються. Це пояснюеться тим, що у формулi (24) не вра-ховуеться вплив на KI торцьових напружень ann, що дiють на контурi включення, якi виражаються другим доданком у правiй частиш рiвностi (19).

Л1тература

1. Стадник М.М. Об одном методе приближенного решения трехмерной упругой задачи для тела с тонким включением// Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 1988, № 1. - С. 53-65.

2. Kassir M.K., Sih G.C. Some three-dimensional inclusion problems in elasticity// Int.J. Solids Struct. - 1968. - V.4. - р.225-241.

3. Силованюк В.П. Жесткое пластинчатое включение в упругом пространстве// Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. - 1984, № 5. - С. 80-84.

4. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М.: Изд-во иностр. лит., 1983. -

296 с.

5. Стадник М.М. Метод розв'язування тривимiрних термопружних задач для тiл з тонкими включеннями// Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 1994, № 4. - С. 30-40.

УДК 621.9.048.6 Т. С. Ярошевич - Луцький НТУ; доц. П.П. Нахаев,

канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв; проф. М.П. Ярошевич, д-р техн. наук - Луцький НТУ

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПЕР1ОДУ РОЗБ1ГУ В1БРАЦШНО1 МАШИНИ З ДЕБАЛАНСНИМ ЗБУДНИКОМ ТА АСИНХРОННИМ

ЕЛЕКТРОДВИГУНОМ

Розглянуто динамiчнi процеси, що вщбуваються тд час розбiгу дебалансного збудника зарезонансно! вiбрацiйноi машини з двигуном обмежено! потужностi■ Про-аналiзовано вплив на процес розб^ жорсткостi пружно! шдвюки робочого органу.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.