CC BY
9
5. ШФОРМАЦШЙИШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 539.3. Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук;
доц. 1.В. Дiдух, канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. nbsis
ТОНКЕ В1ДНОСНО ЖОРСТКЕ ВКЛЮЧЕНИЯ У ПРУЖНОМУ ПРОСТОР1 П1Д ОДНОВ1СНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ
Отримано розв'язок задачi для простору з тонким включениям тд одновюним розтягом-стиском. Задачу зведено до розв'язку системи двох сингулярних штегро-диференщальних рiвнянь. У випадку едшсощадьного включення одержано замкнутi аналiтичнi формули для обчислення концентрацп напружень у матриц та у вклю-ченш.
Prof. M.M. Stadnyk; assoc. prof. I.V. Didukh - NUFWT of Ukraine, L'viv
Thin relatively hard inclusion in matrix under one-axid strain
Solution of the problem for space with the thin inclusion under one-axid strain compression is obtained. The problem is reduced to solution of the system of two singular integral -differential equations. In case of ellipsoidal inclusion analytical formulas for calculating of stress concentration in matrix and in inclusion are obtained.
Постановка i розв'язок задачь Розглянемо пружне тшо, до якого на безмежност прикладеш р1вном1рно розподшеш напруження p. Декартову систему координат Oxyz виберемо так, щоби в1сь Oz була паралельною до зусиль p. У тш розмщено пружне вщносно жорстке (1 < E1 / E = ^<да; E, E\ -модул1 Юнга матрищ та включення вщповщно) елшсощальне включення, яке
X 2 2 z 2
обмежене поверхнею X2++~т = 1 (а, b >> c). Задача полягае у встановленш
a b c
напружень у включенш та концентрацп напружень у матриц бшя нього.
Розв'язок задачу на основ1 математичноi модел1 включення [1], зво-диться до системи двох сингулярних штегро-диференщальних р1внянь
¡¡[azx ]* ln (x -£ + R D ],•
s dxdy s (1)
& L
1 ( д2 Э2Л
2nG
A-
dx dy
2
у
ln(x-£ + R)d&n +— f [dzx] dx + = ^ -2pG>|d2-G'l//d5 + A1;
V Ь } Ь ' hG1 J * S R Gd2 G1Gd2d4 1
2nG
/ ^ Л d2
\\[azy]* ln(y-n+ R)d^dn + D——\\[c7zx]* • ln(y -n + R)d^dn
S OyOx S
^ д2 д2 A'
dy2 dx2
\ ^ J
+ f [,% ] dy + D3Aii[%zL^^dn=-p^-2pG^d2 -^ + A2, (x,y) S, z = 0 hG1 -bL ^W 3 S R Gd2 G1Gd2d4 2 I '
244
Збiрник науково-технiчних праць
х2 у 2 / х2 у2 д2 д2
Тут Б - елiптична область —-+Ат< 1;Ь = с 1 —т-Аг; А = —- +—-;
а2 б2 \ а2 б2 дх2 ду2
я = у1(х-^)2+(у-п)2; А = М(0; а =2М0+(4°'-^;
(3°1 + Е Е1-л 1 -л 1, - л 10-
^3 = „ ^ , , ; О = ; 01 =—— ; (1 = 1 -М; (2 = 1 + М; «3 = 1 - 2м ;
2п 01(1(4 2(2 2(5
«4 = 1 - м; (5 = 1 + Мь = 3 - 4м ; м, М1 - вiдповiдно коефщент Пуассона матри-
цi та включення; [сТ2х ] *, [с ] *, [й 2 ] * - невiдомi стрибки збурених (наявшстю
в тiлi включення) дотичних напружень та нормальних змiщень берегiв трщи-ни 8, на яких ддать навантаження, знесенi з поверхонь включення 2 = ±к; А1,А2 - довiльнi стат. Крiм цього у рiвняннях (1) враховано, що напружено-
деформiвний стан й0 в однорщному тiлi визначаеться поданнями
(с0) = 2 о • Гйо ] =-Р^ 1 - — - • д( й0 )* =д( й 0)* =-МР (2)
(с )*=2р; [й2 ]*= 0(2 ^ а2 Ь2; дх - ду - 0(2' (2)
де [В]*= В + - В~; (В)*= В + + В~, "+" i "-" означае, що значення величини В±
береться вiдповiдно на поверхнях ±к. Тензор напружень с i вектор змiщень й у тш з включенням визначаються суперпозицiею задач [1]
с = с0 + с; й = й0 + й . (3)
Оскшьки розглядаеться вщносно жорстке (1 <£<да) включення, то
вважатимемо, що основними параметрами, як характеризують напружено-деформiвний стан у такому включенш, будуть невiдомi стрибки напружень [с2х] *, \_<с2у] *. Вони повинш задовольняти умови
[<%2х ]*=[<%2У ]*= 0, (4)
якщо £ = 1, М1 = М •
Стрибок змiщень [й2 ] * для такого включення вважатимемо вщомим. Вiн повинен задовольняти умови:
а) якщо £ = 1, м = М
[й 2 ]*= 0, (5)
б) якщо £ —^ да, м1 = 0
[и2 ] *= [й2 ] *+ \й0 ] *= 0 ^ [й2 ] *= -[ й0 ] *. (6)
Враховуючи, що для стрибка змщень [ й2 ] * вiдомi крайнi значення (5), (6) користуючись iнтерполяцiйним пiдходоM' для наближеного визначення [й2 ]* матимемо подання
[й ] Г 1 х2 У2 ; Г рс(0-01) 1 [й2]*=ГТ-02-Г1 = 001(2 , 1
< £ < да . (7)
5. 1мфо|)мацш1м технологи галузi
245
Розв'язок системи рiвнянь (1) шукатимемо у виглядi таких функцiй:
[сzx] *= I С1*—-; [с ] *= I Г32У—Т, (8)
1 - - у_ 1 - - у_
V а2 Ь2 V а2 Ь2
де Г2, Г3 - невiдомi стaлi•
Пщставляючи вирази (7), (8) у рiвняння (1), одержимо таку систему рiвнянь вiдносно Г2, Г3:
Г2
ЬД^1 (к) а (к) а
0 Ь0 с01
+ 2пЬГ3^2^2 (к ) =
= Р(м0(3 + М1)-0(м((5 + 2М1)) + рЕ(к)(0-0)(01(3 +м0); (9)
001(2(4 А0012(1(2(4
ьД^? (к) - Ь3^ (к) - _Ь__
0 а20 с01
+ 2пЬГ_ВД (к )
= Р (м01 (3 + М1)-0 (м (5 + 2М1)) + рЕ (к)(0 - 01 )(0( +М10) 001(2(4 А0012(1(_(4
п
де: Е (кЯ^Т-*^*; „ (к )=МЫШ; * (к ) = а _Е (к> ^ <к >;
п
' (к )='хтЧ; к _=^
0 л/1 - к2$т2в а
Довiльнi стaлi А1, А2 у рiвняннях (9) вибрано такими
А = А_ = - 0рМ' (10)
01(2
щоби розв'язок (8) задовольняв частковий випадок зaдaчi при £ = 1, м1 = М (умова (4)).
Розв'язавши систему рiвнянь (9), одержуемо
Г_ = Г3 = ^ (И)
£а лй? 02 ь
де О = 2 (м£(2 (3 + м1 )- (5 (м(5 + 2м1 )) + Е (к)((5 -£(_ )(£2(3 + м(5 );
= Е(к)(м1й3й5 - к(2£) - 2Лй1d4(5, Я = —.
Анaлiзуючи вирази (8), (11) бачимо, що при £ = 1, м1 =М задоволь-няеться умова (4), а при £ — да, м1 = 0 маемо
[с ] = 2рЬх((3Е(к)-3ЛМ() _с ] = 2ру((3Е(к)-3ЛМ(1 ) (12)
[2х]* = I-_ _ ; ГСТ2У] * = I-_ 2 . (12)
Яа2(2К Е (к^1 -- Ш* Е(кЦ1 - -
246
Збiрмик мaуково-техмiчмих праць
При c ^ 0 Ï3 (12) отримуемо частковий результат для пластинчастого абсолютно жорсткого елштичного включення
г . -6pbj dix ; -| -6pj diy (13)
[<%zx J* =-1-2—г ' L^zy J * =-1-2—Г ' ('13)
^ E (k W1 - ^ - bd2K mJ1 - ^ - b2
a
з якого для a = Ь (E(k) = п/2) отримуемо вiдомi [2, 3] подання для пластинчастого дископодiбного абсолютно жорсткого включення.
На основi спiввiдношень (7), (8), (11) i даних [1] для обчислення нап-ружень у включенш матимемо формули
CTz
E(k)(aV3C2 -2GCi) _ _ C2Aa2
4Ь— + р' "** " = -й> (X'5 ■ (14)
Пiдставивши у вирази (14) сшввщношення (11), маемо подання
"=рЕ ^^¿О1+р"=" ^" рНх, у)* 5 • (15)
якi виражають напруження в елшсощальному пружному (1 < е < да) включен-т.
Як бачимо цi напруження е сталими, що вiдповiдае вiдомiй теоремi [4] про елшсощальне включення в однорщному полi напружень. У частковому випадку при е ^да, ¡и1 = 0 iз (15) одержуемо формули
р (4-Е (k)-3X^-3) р (Е (k) <з - 3^М) рМ
" =———-+р; "хх = "—-———- ——ху^5 (16)
2ла2к к-2е ^) 2—
для обчислення напружень в абсолютно жорсткому елшсощальному включенш.
При а = Ь iз (16) отримуемо формули для обчислення напружень в абсолютно жорсткому сферощальному включенш. Аналiз виразiв (16) показуе, що при с ^ 0 (випадок пластинчастого абсолютно жорсткого дископодiбного включення) напруження "хх ^ -да i "уу ^-да, а а22 набувае вигляду
3ц-3
C>zz _ Р
1-
V
, (х,y)еS . (17)
2d2K
Введено локальну систему координат Ontz,
х = a cos р -1 sin в + n cos в,
y = b sinp +1 cos в + n sine, z = z, (18)
2 2 х y
де р - кут, що визначае параметричш координати точок елшса — + = 1,
a
b2
в - кут мiж додатними напрямами осей Ох i нормалi до контура 0п . На ос-новi [5] i (7), (8), (18) одержуемо формулу для визначення розподшу напружень "22 у матриц в околi контура елшсощального включення.
(р + п)Jp(2GC1 - a2d3C2) pSpC2a2A л ^ ,
^ = ^--з-+ иу 2-3 + Р, z = 0 - п << a,b, (19)
2d\cJ (р + 2n) 2b J (p + 2n)
bf (p)
де p = —- рад1ус заокруглення вершини включення;
aA2
f (p) = y¡a2 sin2 p + b2 cos2 p . Сшввщношення (19) показуе, що напруження <rzz на контур1 (п = 0) елшсо!дального пружного включення не залежить в1д кута p, тобто е величиною сталою
2GCi + a2ßC2 ,
°zz =-—-+ p . (20)
2d1c
Напруження azz, як визначаються зпдно з формулою (19), можна розглядати, зокрема, як функцш трьох змшних п, c,s, тобто azz = azz (n, c,s).
Поклавши у (19) спочатку п = 0, а пот1м s — да, j = 0 1з виразу (19) одержимо формулу
cz = Р (E (k) (Jd-- к)- 3 jAd1) + (21)
d1d2KE (k)
для наближеного обчислення концентраци напружень у матриц на контур1 абсолютно жорсткого елшсощального включення, з яко! випливае, що при c — 0 напруження azz — -да, при p > 0.
Якщо у сшввщношенш (19) спочатку спрямувати s — да, ju1 = 0, а по-т1м c — 0, то матимемо
zz 2d2KE(k)х/20й ( ), ( )
звщси при a = b одержимо випадок абсолютно жорсткого дископод1бного пластинчастого включення, тобто
azz = + о (п). (23)
nd2K 2п
Спрямовуючи в (22) п — 0, бачимо, що azz — +да при p > 0. Якщо у формул1 (19) спочатку спрямувати c — 0, то при п > 0 розподш напружень azz набувае сталого значення p, тобто не залежить вщ s, що вщповщае ви-падку однорщного тша.
Таким чином, границя функцп lim azz (п, c, s) залежить вщ того, у
п —^0, c —^0, s—да
якш послщовност змшт п, c, s прямують до вщповщних граничних значень, а це означае, що границя не 1снуе. Тому при використанш розв'язку пружно! задач1 для тша з абсолютно жорстким пластинчастим (с = 0) включенням в задачах мехашки руйнування необхщно це враховувати, оскшьки К1Н K
248
Збiрник науково-технiчних праць
(основний параметр лшшно1 мехашки руйнування) для пластинчастого елш-тичного абсолютно жорсткого включення буде приймати pi3Hi значення. Зок-рема, якщо KI визначати згiдно з формулою
KI = lim Jin n azz, (24)
у яку пiдставити вираз (22), то одержимо, що
кi = 3 pd^nbf (р) 2d2kE (к ) Va
Якщо ж для визначення Ki застосувати формулу
Kj limjp azz, (26)
2 р^О
у яку шдставити подання (21), то
Ki = IpSyjnbf (р) 2d2KE (к )Va
Порiвняння мiж собою К1Н KI, що даються формулами (25) i (27), по-казуе, що вони не зб^аються. Це пояснюеться тим, що у формулi (24) не вра-ховуеться вплив на KI торцьових напружень ann, що дiють на контурi включення, якi виражаються другим доданком у правiй частиш рiвностi (19).
Л1тература
1. Стадник М.М. Об одном методе приближенного решения трехмерной упругой задачи для тела с тонким включением// Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 1988, № 1. - С. 53-65.
2. Kassir M.K., Sih G.C. Some three-dimensional inclusion problems in elasticity// Int.J. Solids Struct. - 1968. - V.4. - р.225-241.
3. Силованюк В.П. Жесткое пластинчатое включение в упругом пространстве// Фiз.-хiм. механiка матерiалiв. - 1984, № 5. - С. 80-84.
4. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. - М.: Изд-во иностр. лит., 1983. -
296 с.
5. Стадник М.М. Метод розв'язування тривимiрних термопружних задач для тiл з тонкими включеннями// Фiз.-хiм. мехашка матерiалiв. - 1994, № 4. - С. 30-40.
УДК 621.9.048.6 Т. С. Ярошевич - Луцький НТУ; доц. П.П. Нахаев,
канд. техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв; проф. М.П. Ярошевич, д-р техн. наук - Луцький НТУ
ДОСЛ1ДЖЕННЯ ПЕР1ОДУ РОЗБ1ГУ В1БРАЦШНО1 МАШИНИ З ДЕБАЛАНСНИМ ЗБУДНИКОМ ТА АСИНХРОННИМ
ЕЛЕКТРОДВИГУНОМ
Розглянуто динамiчнi процеси, що вщбуваються тд час розбiгу дебалансного збудника зарезонансно! вiбрацiйноi машини з двигуном обмежено! потужностi■ Про-аналiзовано вплив на процес розб^ жорсткостi пружно! шдвюки робочого органу.
