CC BY
8
5. ШФОРМАЩЙШ ТЕХНОЛОГИ
ГАЛУЗ1
УДК 539.3 Проф. М.М. Стадник, д-р техн. наук - НЛТУ Украти, м. Львiв
ТОНКЕ В1ДНОСНО ПОДАТЛИВЕ ВКЛЮЧЕНИЯ У ПРОСТОР1 ЗА Д11 ОДНОР1ДНОГО НАГР1ВАННЯ I ТРИВ1СНОГО НАВАНТАЖЕННЯ
Отримано розв'язок задачi теорп пружностi для простору з тонким вщносно по-датливим включенням за дп тривiсного розтягу-стиску та однорщного нагрiвання. Задачу зведено до розв'язку сингулярного штегродиференщального рiвняння вщнос-но стрибка змiщень поверхонь включення. Для едшсощадьного включення одержано формули для обчислення концентрацп напружень у матриц та у включенш.
Prof. M.M. Stadnyk-NUFWTof Ukraine, L'viv
A thin relatively tlexible inclusion in an elastic body under steady heating and threeaxial tension
The solution of elastic problem for a body with a thin relatively flexible inclusion subjected to the three-dimensional tension or pressing and steady heating is obtained. The problem was reduced to the singular integro-differential equations upon the jumps of inclusion's boundary displacements. The formulae of stress concentrations both in a matrix and in an inclusion for of one have been received.
Постановка i розв'язок задачь Розглянемо тривим1рне нескшченне пружне тшо, до якого на безконечност прикладеш взаемно перпендикулярш р1вном1рно розподшеш напруження p\, p2, p3. Кр1м цього, тшо зазнае однорщного нагр1ву (охолодження) вщ температури T(1) до T(2), тобто T0 = T(2) - T(1). Декартову систему прямокутних координат Oxyz виберемо так, щоби ос Ox,Oy,Oz були вщповщно паралельш до зусиль p1,p2,p3. У тш розмщено пружне податливе (0 < E1/ E = s< 1; E, E1 - вщповщно модул1 Юнга матер1ал1в матриц та включення) тонке елшсощальне включення, яке обмежене повер-
X 2 2 z 2
хнею X2++ "г = 1 (a, b >> c). Вважаемо, що на поверхт з'еднання р1зних
a2 b c
середовищ мае мюце щеальний тепловий контакт. У задач! потр1бно знайти напруження у включенш та концентращю напружень у матрищ бшя нього.
Користуючись принципом суперпозици, тензор напружень а та вектор перемщень и у тш з включенням представимо у вигляд1 суми
а = а + а0; и = и + и°, (1)
де: а0, и0 - вщом1 напруження i перемщення для однорщного (бездефектного) тша, а, и - збурене поле напружень i перемiщень, спричинене наявшстю у тiлi включення.
Оскiльки включення розглядаеться податливим, то вважатимемо, що визначальним параметром, який характеризуе локальний напружено-дефор-
Нащональний лкотехшчний унiверситет УкраТни
мiвний стан у такому тш, буде невщомий стрибок перемiщень [й 2 ] * берепв елштично! трiщини х2 / а2 + у2 / Ь2 < 1, 2 = ±0, на яких ддать напруження, зне-сенi з поверхонь включення ±Н = ±с -у/ 1 - х2 / а2 - у2 / Ь2 . Стрибки напружень [с%гх] *, \_^гу] * поверхонь включень, як вважатимемо вiдомими, беремо такими, щоби вони задовольняли частковi випадки задача
1) для однородного тша (е = 1, л = л, а = а1; л, л та а, а1 - вщповщно ко-ефщ1енти Пуассона та лшшт коефщ1енти теплового розширення матрицу { включення)
[й2 ]*= 0; [а2х ]*= \_crzy ]*= 0; (2)
2) для порожнини (е = 0)
Кх], = [<М, + М, = °; \°>]. = _<%>]. + [<], = °. (3)
[„ ],=-[^2х ]. = хс ЛРз - Р(2 + ЛР2;
V1 - 5 - $
тобто \<?,у ],=-[.0. ]. = ус ЛР3 - Р2 (2 + л)-2 Р1;
-л/1 - 5 -
(4)
ё2 = 1 +
На основi сшввщношень (2)-(4) i iнтерполяцiйного шдходу одержимо подання
[~ ] = СХ ] = С2 У
[(ТгЧ *= I-2-2; \°> ]*= I-2-2;
1 - Х_ - У_ 1 - Х_ - У_
V а2 Ь2 V а2 Ь2 (5)
С1 = -с (¡Рз- Р (2 + л)- Р2))0"; С2 = -С (лРз -Р2 (2 + л)- Р1))
для наближеного обчислення [а2Х]*, \\а2у]* в усьому дiапазонi змiни е (0 < е < 1), як точно задовольняють обидва крайш (е = 0 i е = 1, л = л) випадки задач^ О, 01 - модулi зсуву матриц та включення.
На основi результатiв [1] i використання виразiв (5) поставлена задача зводиться до розв'язку сингулярного iнтегродиференцiального рiвняння
Оёб - 0Лз дц_ [й2 ]* ё^ёП 2ё4 [й2 ]* =
^Оё У (х + (у -п)2 ^ 1 - х2/а2 - у2/Ь < 2Рз („ о \ „ \ . 2
( (ё4 - 2^1^)- Оё2-6 ) + ——(Р1 + Р2 )(Л1 -¡) + с (Оёзё6 + Ол^) х (6)
010Й2 0ё2 V /
х
V
)( Р3Л£ (* )-5 (С (2 + Л + Р2 ^ (* )-( + л)+ Р )р2(к)
+4-570 (а-а), (х, у)е 5
+
2 2 x2 y2
вщносно стрибка перемщень \üz ]*. Тут S - елштична область —+^ < 1;
a2 b2
d1 = 1 - л ; d3 = 1 - 2л ; d4 = 1 - л; d5 = 1 + л; d6 = 1 - 2л ;
F(k) = -L(((k)-Я(k)); F2(k) =1 fЯ(k)-§K(k)
k 2
k 2
Я (k ) = {\Л - k2 sin2O dO; K (k ) = }-/= 0 0 v1
dO
k2 sin2 O
k2 -
a
- b2
a
AHanÏ3 рiвняння (6) показуе, що його розв'язок треба шукати у виглядi
(7)
2 2 X2 y2
\üz ].= СЦ1 - 02 - Ъ ,
де C3 - невiдомa стала.
Пiдстaвивши вираз (7) у рiвняння (6), одержимо
b
Сз =
GQ1
2d1 ( р3 ( d5d6 -s(d4 - 2лл)) + £ ( + р2 ) (л - л ) + 2GT0d2d5s (a1 - а))
+
+
Q2
b 2
2Àd2d5Я (k )
Тут
рзлЯ (k )-— (( (2 + л) + P2 )F (k )-( p2 (2 + л) + p )F2 (k )
a
Q = Я ( k )( d5d6 - sß1d2d3 ) + 2Àsd1d2d4; Q2 = Я (k )(d5 - ffd2 )(d3d5d6 + ^d¡к);
Л = - • s= Я1
с '* Я '
На основi вирaзiв (5), (7) i даних [1] матимемо сшввщношення:
^=d3bC1Fik)±C2FLikl - GOM.+рз;
4d1 2d1b
(8)
(9)
(гxx = a
ЛС1 + P1 (2 + л) + P2 - рзл
2b
2d2
(10)
(
yy
b ^ + p2 (2 + л) + p1 - рзл, ( y)e s, 2 2d? V У}
для визначення напружень у включенш та
1
о7.7. =■
2d1c
a 2b2d-
2GC3 - ( ) (C1 cos2 ç + C2 sin2 ç) + d1 (a2C1 cos2 ç + b2C2 sin2 ^
+ Рз(11)
для знаходження концентрацп напружень у матрищ бшя нього. Тут f (ç) = у/a2 sin2 ç + b2 cos2 ç ; ç - кут, що визначае параметрично координати точок елiпса.
Пщставивши величини Q, C2, C3 iз формул (5), (8) у вирази (10) та (11), одержимо шукаш подання для обчислення напружень
Нaцiонaльний лкотехшчний унiверситет yKpa'1'ни
x
, 4í d3d4À- 2¡ldlE ( k )
~zz = e (d5 - ed2) -0,aQ V '
V 2AÜ5Q1
P3¡E(k)-b2(pl (2 + ¡) + pi))-(p2 (2 + ¡) + Pl)F (k)!-
E (k)
—7T^(P3(Об-e(d4-2¡¡)) + e(pl + P2)(¡-¡l) + 2GTod2d5e(al-a)) +P3; (12)
Ql
~xx =■
2d5
(p (2 + pi-¡P3 );
~yy =
2d5
(p2 (2 + л) + Pl - Л P3), (x, y) e S
y включeннi та вiдповiдно
-e(d4 - 2¡¡)) + P¡( d5-ed2 ) í¡ + E (k )Q
Qi V 4 2dld2d5 Г Ql
+
+-
x
2Àe
((Pl + P2)(¡ - ¡1 ) + 2GTd2d5 (al - a)) -
í d5 - ed2
Qi
(pl (2 + ¡) + pi)
b2Q3Fl (k ) a 2Qi
+
(dlf2 (ç)-b 2Оз)
V 2dld2d5 2
cos2ç
x
/
f2 (ç)
+
(13)
+
(P2 (2 + Л + Pl)
ЯМ + (dlf1 (ç)- a d ))
+ P3;
Q3 = d3d5dб + edi¡lk,
концeнтpацiï напpyжeнь бiля нього.
Якщо y виpазi (13) поклаети e = О, то одepжимо cпiввiдношeння
2p3Ä щ
+P3
1 +
Л
2d
2 У
l
2dl
(3+л)(( + Pi )-(pi- Pl)
2о2
2
sin ç
^2 (Ç)-a2d3) ^
(14)
якe в^ажае концeнтpацiю напpyжeнь ~zz на контypi eлiпcоïдальноï поpож-нини за тpивicного навантажeння тiла.
Якщо pозpахyнковy модeль (2), (3), (4) включeння pозглянyти y ^о^ тшому (мeнш точному) ваpiантi, тобто вважати, що [~zx]„ = О для
(О < e < 1), то piвняння (б) набувае вигляду
2d4 [üz =
G06 - Gl¡ld3 дц [üz ]* d^dn
2nGldl
V(*-í)2+(y-n)2 J
l - x1 - ¿
a2 b2
(15)
= 2p (Gl (d4 - 2¡l¡) - Gd206 ) + (Pl + P2 ) (¡l - Л) + 4d5T) (a - al ).
GlGdi Gdi
S
Розв'язком рiвняння (15) буде функцiя [йz ] *= Ь 2d1 (р3 (й5й6 - - (й4 - 2ии)) + - (( + p2 )(и - ¡и) + 2GTod2d5s (а1 - а))] •
11 x2 у 2 (16)
GQ1 V а2 Ь2
Тодi для обчислення напружень у включенш матимемо формули
С = (рз (£ ( - 2ии) - d5d6) - £ (р + Р2) (¡и - л) - 2GTod2d5£ (а - а)) + рз;
01 (17)
с%хх = ёуу = 0; (х, у )е
а для знаходження концентрацш напружень у матриц бiля включення - по-дання
2 — 2--о22 = —Мй^б - £ ( - 2ии)) +-—(( + Р2)(и - ¡1) + 2GTod2d5 («1 - а)) + рз .(18)
1з подань (16), (17), (18) при ¡1 = 0, Т0 = 0, р1 = р2 = 0 одержуемо вщо-мий результат [2, 3].
Як частковий випадок (с = 0, - = 0) розв'язано! тут задач^ на основi праць [1, 4] i спiввiдношення (14), одержимо формулу
к = р^п¥(р) (р) С0 х
Е (к)4а 4[аЬ й (19)
Г(3 + -(р2 - р )(( - 2 (р) )}
для визначення коефiцiента iнтенсивностi напружень К1 у тш з елiптичною трiщиною х2 / а2 + у2 / Ь2 < 1. Вона дае змогу врахувати вплив на К/ паралель-них до площини трiщини 2 = 0 зусиль р1 i р2, оскшьки вважалось, що р i р2 на значення К/ не впливають. Тут с0 - шввюь елшсо!да х2 / а2 + у2 / Ь2 + 22 / с02 = 1, який утворюеться унaслiдок перемiщень поверхш елштично! трiщини за ди зусиль р3. Якщо перемiщення вщбуваються у межах пружно! деформаци, то величину с0 можна обчислити на основi сшввщ-ношень (7) або (16), у яких треба покласти - = 0, р1 = р2 = 0. У випадку мало! облaстi пружно-пластичних деформaцiй у вершит трщини с0 визначають експериментально.
Л1тература
1. Стадник М.М. Метод розв'язування тривим1рних термопружних задач для тш з тонкими включеннями // Ф1зико-х1м1чна мехашка матер1ал1в. - 1994. - Т. 30, № 6. - С. 30-40.
2. Панасюк В.В., Андрейк1в О.С., Стадник М.М. Пружна р1вновага необмеженого ть ла з тонким включенням // Доповщ АН УРСР : сер1я А. - 1976. - № 7. - С. 636-639.
3. Панасюк В.В., Стадник М.М., Силованюк В.П. Концентрация напряжений в трехмерных телах с тонкими включениями. - К. : Наук. думка, 1986. - 216 с.
4. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. - М. : Наука, 1974. - 640 с.
