Томография времен первых вступлений в углепородном массиве Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 622.83

ТОМОГРАФИЯ ВРЕМЕН ПЕРВЫХ ВСТУПЛЕНИЙ В УГЛЕПОРОДНОМ МАССИВЕ

Максим Игоревич Протасов

Институт проблем комплексного освоения недр РАН, 111020, Россия, г. Москва, Крюковский тупик, 4, младший научный сотрудник, тел. (383)330-27-96, e-mail: [email protected]

Леонид Анатольевич Назаров

Институт проблем комплексного освоения недр РАН, 111020, Россия, г. Москва, Крюковский тупик, 4, доктор физико-математических наук, зав. лабораторией горной информатики, тел. (383)217-24-46, e-mail: [email protected]

Лариса Алексеевна Назарова

Институт проблем комплексного освоения недр РАН, 111020, Россия, г. Москва, Крюковский тупик, 4, доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник лаборатории горной информатики, тел. (383)217-24-46, e-mail: [email protected]

Проведено исследование задачи томографии времен первых вступлений с целью оценки ее применимости для определения скоростного строения угольного пласта. Приемники сейсмических волн располагаются в штреке вдоль отрабатываемого слоя. Регистрация волн в массиве ведется по мере отработки слоя. В исследовании использованы экспериментальные зависимости скоростей распространения упругих волн от гидростатического напряжения, устанавливаемые в лабораторных условиях при испытании образцов горных пород.

Ключевые слова: томография, времена первых вступлений, угольный массив.

TOMOGRAPHY OF THE FIRST ARRIVAL TRAVEL TIMES IN COAL-ROCK MASS

Maxim I. Protasov

ICEMR RAS, 111020, Russia, Moscow, 4 Kryukovsky, Junior Research Scientist, tel. (383)330-27-96, e-mail: [email protected]

Leonid A. Nazarov

ICEMR RAS, 111020, Russia, Moscow, 4 Kryukovsky, D. Sc., Head of the laboratory, tel. (383)217-24-46, e-mail: [email protected]

Larisa A. Nazarova

ICEMR RAS, 111020, Russia, Moscow, 4 Kryukovsky, D. Sc., Main Research Scientist, tel. (383)217-24-46, e-mail: [email protected]

The task of tomography of the first arrival travel times is investigated with the purpose of evaluating its applicability for determining the velocity structure of a coal mass. Receivers of seismic waves are located along the layer being processed. Wave registration in the coal mass carried out as the layer is worked out. In the study, the experimental dependences of the velocities of elastic waves with respect to the hydrostatic stress are used, which are established in laboratory conditions during the testing of rock samples.

Key words: tomography, first arrivals, coal-rock mass.

Введение

Существует обширная литература, посвященная анализу различных аспектов томографии, связанных как с ее теоретическим исследованием (существование и единственность решения, оценки его устойчивости), так и с численной реализацией. Наиболее детально изучен случай так называемых полных данных, когда источники и приемники заполняют некоторую кривую, целиком окружающую целевую область [3]. Существует ряд результатов и для решения обратной задачи при неполных данных для некоторых специальных геометрий расположения источников и приемников [1]. Для произвольной неполной системы наблюдения все известные нам результаты основываются на численной реализации решения системы линейных алгебраических уравнений, возникающих при конечномерной аппроксимации исходного интегрального оператора. Здесь надо подчеркнуть, что задача томографии является классическим примером условно-корректной задачи, так как она сводится к решению линейного интегрального уравнения первого рода с компактным оператором [2]. Следовательно, для построения ее численного решения необходимо привлечение регу-ляризирующей процедуры, наиболее удачной из которых, на наш взгляд, является сглаживание получаемого на промежуточных итерациях численного решения путем проектирования его на построенный специальным образом базис [4]. Именно такой подход, основанный на использовании многомасштабного базиса, реализован нами для исследования и решения задачи томографии угольного пласта.

Метод и теория

Задача томографии сводится к решению томографической системы линейных уравнений:

МАп = АТ. (1)

Здесь Ап - это искомая поправка модели (медленность), М - это томографическая матрица, т. е. матрица производных от времен пробега по медленности, АТ - это невязка времен пробега, т. е. разница между наблюденными временами и вычисленными в текущей модели.

Как было сказано ранее, задача является условно-корректной, поэтому необходимо использовать регуляризирующие процедуры. Прежде всего нами решается предобусловленная система [4]:

ЬМЯБАП = ЬАТ. (2)

Здесь Ь = diag (Ь^) = ехр(-АЛТ?.)

м

-1

- это диагональная матрица кова-

риации данных. Она отвечает за взвешивание строк, нормирует влияние каждого луча и «наблюдения» и уменьшает влияние «плохих» данных. Матрица

R = diag(Rj) =

V J

Mt\ отвечает за взвешивание столбцов и нормирует вклад

каждой ячейки при решении системы методом наименьших квадратов. Матрица S - это сглаживающий оператор, он является BD-сверткой по пространству. В процессе решения эта матрица накладывает ограничения на пространственную гладкость поправки. На самом деле вначале находится самая гладкая составляющая модели, далее происходит ее уточнение путем уменьшения окна сглаживания. Полное решение линейной задачи представляется как сумма ре-

N

шений, полученных на каждом шаге сглаживания: An' = ^ S.Anj. Поэтому в ито-

j=1

ге решается система:

N

LMRY, S J An = LAT. (3)

j=i

Далее предобусловленная система решается в норме L15, при этом целевая функция записывается в следующем виде:

F = |\LMRSAnLAT| + X 2|| Aa '||2. (4)

Решение находится методом IRLS (Iterative Reweighted Least-Squares). IRLS решает набор взвешенных задач методом наименьших квадратов с рекурсивно обновляемой матрицей весов.

Численные примеры исследования задачи томографии угольного пласта

На рис. 1 представлена синтетическая модель угольного пласта перед началом выработки, которую мы использовали для тестирования и исследования решения задачи томографии. В качестве начальной модели была использована однородная среда со скоростью продольных волн, равной 1000 м/с. На рис. 2 представлена восстановленная модель пласта в случае, когда приемники размещены на противоположной границе относительно границы, где работает комбайн. Соответствующие невязки времен для начальной модели и для восстановленной модели представлены на рис. 3. Входные невязки составляют порядка 15-20 мс, невязки в восстановленной модели составляют 1-2 мс. Необходимо отметить, что такие невязки чувствительны для достаточно высокочастотного сигнала порядка сотен Герц. Однако модель в этом случае далека от истинной ввиду недостаточной освещенности. На рис. 4 представлены восстановленные модели пласта в случае, когда приемники размещены на боковых границах относительно границы, где работает комбайн. Соответствующие невязки времен представлены на рис. 5. Вновь невязки в восстановленных моделях составляют порядка 1-2 мс. Модель при таких расстановках приемников

восстанавливается достаточно хорошо в части, которая находится ближе к стороне работы комбайна. В части модели, которая находится ближе к противоположной стороне, восстановление модели недостаточно корректное. Такой эффект объясняется недостаточной освещенностью этой части модели. На рис. 6 представлена восстановленная модель пласта в случае, когда работают два комбайна, а приемники размещены на боковых границах. Соответствующие невязки времен представлены на рис. 7. Невязки времен имеют поведение, аналогичное предыдущим случаям, однако модель в данном примере восстанавливается достаточно корректно во всей области. Объяснением данному результату вновь является освещенность, в этом случае она достаточно хорошая для всей модели.

Рис 1. Синтетическая модель угольного пласта

Рис. 2. Восстановленная модель пласта в случае, когда приемники (желтым) размещены на противоположной границе относительно границы, где работает комбайн (красным)

Рис. 3. Входные невязки времен (синим) и невязки времен в восстановленной модели (красным), когда приемники размещены на противоположной границе относительно границы, где работает комбайн

I

1

Рис. 4. Восстановленная модель пласта в случае, когда приемники (желтым) размещены на боковых границах относительно границы, где работает комбайн (красным)

Рис. 5. Входные невязки времен (синим) и невязки времен в восстановленной модели (красным), когда приемники размещены на боковых границах относительно границы, где работает комбайн

Рис. 6. Восстановленная модель пласта в случае, когда приемники (желтым) размещены на боковых границах относительно границы, где работают два комбайна (красным)

Рис. 7. Входные невязки времен (синим) и невязки времен в восстановленной модели (красным), когда приемники размещены на боковых границах относительно границы, где работают два комбайна

Заключение

При условии, если возможно выделить и извлечь времена пробега сигнала от комбайна на частоте порядка сотен герц, можно использовать томографию для определения скоростной структуры. Система наблюдения, когда приемники расположены на боковых границах пласта, дает возможность определить корректно структуру скоростной модели при условии, если работают два комбайна на противоположных сторонах либо получены времена отражения от границ пласта волны.

Исследования, описанные в данной работе, были поддержаны Российским Научным Фондом, грант №16-17-00029.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гольдин С.В. К теории лучевой сейсмической томографии: 1. Преобразование Радона в полосе и его обращение // Геология и геофизика. - 1996. - № 5. - С. 3-18.

2. Кабаник А.В., Орлов Ю.А., Чеверда В.А. Численное решение задачи линейной сейсмической томографии на проходящих волнах: случай неполных данных // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2004. - Т. 7, № 2(18). - С. 54-67.

3. Наттерер Ф. Математические аспекты компьютерной томографии. - М.: Мир, 1990. -

280 с.

4. A decade of tomography / Marta Jo Woodward, Dave Nichols, Olga Zdraveva et al. // Geophysics. - 2008. - Vol. 73(5). - P. VE5-VE11.

© М. И. Протасов, Л. А. Назаров, Л. А. Назарова, 2017