CC BY
37
УДК 550.4
БЫСТРОЕ ДВУХТОЧЕЧНОЕ ТРАССИРОВАНИЕ ЛУЧЕЙ ДЛЯ 3D МЕЖСКВАЖИННОЙ ТОМОГРАФИИ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕННОСТИ СПЕКТРА ЗОНДИРУЮЩЕГО СИГНАЛА
Дмитрий Александрович Неклюдов
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 3, старший научный сотрудник, тел. (383)330-27-96, e-mail: neklyudovda@ipgg.sbras.ru
Максим Игоревич Протасов
Институт нефтегазовой геологии и геофизики им. А. А. Трофимука СО РАН, 630090, Россия, г. Новосибирск, пр. Академика Коптюга, 3, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; Институт проблем комплексного освоения недр РАН, 111020, Россия, г. Москва, Крюковский туп., 4, тел. (383)330-27-96, e-mail: protasovmi@ipgg.sbras.ru
В работе рассматривается решение двухточечной задачи трассирования лучей для трехмерных сред методом изгиба. Рассматривается модифицированный функционал Ферма, обеспечивающий более устойчивое вычисление лучей и времен пробега вдоль них при наличии в среде резких контрастов. Модель среды описывается с помощью полиномов Чебышева, что позволяет получить весьма эффективный алгоритм минимизации на основе нелинейного метода сопряженных градиентов. Разработанный алгоритм предназначен для решения трехмерной задачи кинематической томографии межскважинного пространства.
Ключевые слова: двухточечное трассирование, кинематическая томография, метод изгиба, полиномы Чебышева.
FAST TWO-POINT RAY TRACING FOR THE PROPAGATION OF BAND-LIMITED SIGNALS ORIENTED FOR 3D CROSSWELL TOMOGRAPHY
Dmitry A. Neklyudov
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, Koptyug Prospect 3, Senior Research Scientist, tel. (383)330-27-96, e-mail: neklyudovda@ipgg.sbras.ru
Maxim I. Protasov
Trofimuk Institute of Petroleum Geology and Geophysics SB RAS, 630090, Russia, Novosibirsk, Koptyug Prospect 3, Ph. D., Senior Research Scientist; ICEMR RAS, 111020, Russia, Moscow, Kryukovsky 4, tel. (383)330-27-96, e-mail: protasovmi@ipgg.sbras.ru
In this paper we present an approach for two-point ray tracing in 3D medium using bending method. It is based on a modified Fermat's principle which can provide more reliable ray paths and traveltimes in complex medium. Model is parameterized with Chebyshev polynomials. This fact introduces algorithmic advantages for the ray tracing because travel times and derivatives can be calculated analytically. So nonlinear conjugate gradient method can be applied efficiently. The proposed approach is oriented for 3D crosswell traveltime tomography.
Key words: two-point ray tracing, ray bending, wave-tracing, Chebyshev polinomials.
ВВЕДЕНИЕ
Задачи межскважинной томографии существенно трехмерны. Это связано с тем, что скважины, в которых происходит возбуждение и регистрация сигналов, не являются строго вертикальными, а существенно искривлены в глубине. Кроме того, при построении детальной модели межскважинного пространства зачастую привлекаются данные, полученные в нескольких скважинах, расположенных на значительном расстоянии друг от друга. Таким образом, возникает необходимость выполнять двухточечную трассировку лучей для весьма больших трехмерных моделей. Широко распространенный метод пристрелки зачастую не дает удовлетворительных результатов при наличии в среде резких контрастов, слоев, включений с резко меняющимися характеристиками. В ЗБ "пристрелка" оказывается весьма дорогостоящей в вычислительном плане. Альтернативой методу пристрелки может служить метод изгиба [1]. Он основывается на модификации кривой, изначально соединяющей пару источник-приемник таким образом, чтобы удовлетворить принципу Ферма, т. е. минимизировать время вдоль траектории пробега. На практике оказывается, что в ЗБ-задачах метод изгиба значительно эффективнее решает проблему двухточечного трассирования, чем метод пристрелки. В классической реализации метод изгиба не учитывает ограниченность спектра зондирующего сигнала, что зачастую приводит к нефизическому поведению построенных лучей и времен. В настоящей работе описывается подход, позволяющий отчасти разрешить данную проблему, не прибегая к чрезмерным вычислительным затратам.
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ МОДЕЛИ С ПОМОЩЬЮ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА
В настоящей работе мы полагаем, что трехмерная модель среды, описывающая межскважинное пространство, представляется в виде набора слоев, разделенных неплоскими поверхностями. В каждом слое задана функция «медленности» (величина обратная скорости) б. (х, у), которая зависит от
латеральных координат х, у, но не зависит от глубины z. ^ (х, у) определяется
через 2D чебышевские полиномы Зй степени:
Б.(х,у) = С0 + С1х + С2у + С3ху + С4(2х2 -1) + С5(2у2 -1) + + С6 (2х2 -1)у + С7(2у2 -1)х + С8 (4х3 - 3х) + С9(4у3 - 3у), (1)
где Ск - коэффициенты разложения, различные для каждого слоя. Каждая из поверхностей (х, у), разделяющих слои, описываются полиномами Чебышева по аналогии с (1) со своими коэффициентами разложения Ск. Использование полиномов Чебышева для параметризации модели позволяет получить значительные вычислительные преимущества: времена пробега и их производные по параметрам, определяющим луч, вычисляются аналитически. При решении задачи ЗБ-томографии межскважинного пространства такое
представление модели позволяет существенно снизить число искомых параметров по сравнению со стандартным сеточным представлением модели.
ДВУХТОЧЕЧНОЕ ТРАССИРОВАНИЕ ЛУЧА МЕТОДОМ ИЗГИБА
Мы полагаем, что в каждом слое луч представляет собой отрезок прямой, описываемый координатами точек пересечения с верхней и нижней поверхностями, (х. ,у. ^.), (х.+^у.+1), где ] - индекс слоя. Отметим, что z .
и z.+1 есть функции от (х. ,у. ) и (х.+^у.+1) через представление поверхностей
полиномами Чебышева. Таким образом, для того чтобы построить луч, удовлетворяющий принципу Ферма, мы должны минимизировать целевой
N
функционал т = ^Т. (х. ,у.; х.+1,у.+1) по переменным (хк ,у к) при фиксированном
]=0
положении источника и приемника. Чтобы применить метод сопряженных градиентов, необходимо уметь вычислять значение времени пробега вдоль текущей траектории, а также производные от времени по параметрам, определяющим траекторию (в нашем случае (хк ,ук)). Далее покажем, как получить аналитическое выражение для времени пробега и производных вдоль прямолинейного сегмента луча. Для этого необходимо вычислить криволинейный интеграл первого рода от полиномиальной функции (1) вдоль прямой. Рассмотрим один сегмент луча. Будем считать, что его начальная и конечная точки (пересечение с условно нижней и верхней поверхностями) имеют координаты (х0,у0^0) и (х^^). Используя представление прямой в
ь
параметрическом виде, получаем: т. = Г Б.(х,у)й\ = ГБ. (х0 + а1,у0 + Ы1)М, здесь Ь
0
обозначает общую длину сегмента, а, Ы - косинусы направляющих углов, а = (х1 - х0)/ Ь; Ы = (у1 - у0)/ Ь; I - элемент длины вдоль прямой (независимый параметр). а, Ы и Ь есть функции от координат точек пересечения. Таким образом, необходимо проинтегрировать полиномиальное выражение (1) после соответствующей подстановки х = х0 + а ■ I, у = у0 + Ы ■ I по I в пределах от 0 до Ь.
В итоге после ряда преобразований получается несложное аналитическое выражение для времени пробега вдоль прямолинейного сегмента как функция от координат точек (х0,у0) и (х1,у1). Производные (а также вторые производные) от времени вычисляются дифференцированием полученных аналитических выражений (не приводятся здесь для краткости изложения). Общее время пробега вдоль искомого луча представляется как сумма времен пробега по каждому сегменту. Производная общего времени пробега по переменной есть сумма двух слагаемых - производных времен пробега в двух смежных слоях, ] и ]+1:
йТ _ йТ]+1 + £Гу ^ Xj й Xj й Xj
Имея аналитические выражения для производных времен пробега от координат точек пересечения с поверхностями, мы используем нелинейный
метод сопряженных градиентов для минимизации целевого функционала Ферма. Также можно использовать нелинейный метод Ньютона, что требует получения аналитических выражений для гессиана (матрицы вторых производных). Отметим, что гессиан представляет собой пятидиагональную матрицу. Для учета ограниченности спектра реального зондирующего сигнала мы адаптируем для ЗБ идею, предложенную в работе [2] для двумерной задачи. Суть подхода заключается в том, что вместо функционала Ферма рассматривается модифицированная целевая функция: ко времени пробега вдоль луча добавляется еще одно слагаемое, характеризующее длину луча:
Здесь Т], ¿у - время пробега и длина сегмента луча в ]-ом слое, Т5Е, Ь5Е - время пробега вдоль прямой, соединяющей источник-приемник и ее длина. Положительная константа а - регуляризирующая постоянная, которая определяет меру отклонения искомого, в общем случае искривляющегося, луча от прямой. Процедура минимизации модифицированного функционала практически аналогична той, что используется для функционала Ферма. Для вычисления регуляризирующего параметра а мы используем выражение (18) из работы [2], адаптированное для трехмерного случая.
ЧИСЛЕННЫЕ ЭКСПЕРИМЕНТЫ
Преимущества, которые дает предложенный подход, проиллюстрированы здесь на одном реалистичном численном примере. Трехмерная модель среды состоит из более тысячи тонких слоев, с переменной мощностью до 15 м. В тонкослоистых пачках встречаются слои с резкими скачками скоростей -случай крайне неблагоприятный для стандартных методов трассировки лучей. Две вертикальные скважины расположены на расстоянии 3000 м друг от друга. На рисунке (слева) представлено сечение ЗБ скоростной модели в плоскости скважин. Здесь продемонстрированы результаты двухточечной трассировки для одного источника. На рисунке приведено сравнение результатов двухточечной трассировки методом пристрелки с предложенным выше подходом. Как можно видеть, стандартная пристрелка дает неудовлетворительные времена в нижней части скважины - там, где лучи имеют направления, близкие к горизонтальному. В методе пристрелки лучи, попадая в высокоскоростную пачку слоев, образуют «дыры» (отмечена зеленым овалом), а также области с многократными вступлениями (отмечена синим). В то же время метод изгиба с модифицированным функционалом дает адекватные результаты. Численные эксперименты показывают, что он обеспечивает гораздо более регулярное покрытие модели лучами, чем стандартный метод изгиба.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Предложен алгоритм быстрой двухточечной трассировки лучей для трехмерных моделей на основе метода изгиба. Он основан на использовании модифицированного функционала Ферма, в который вводится дополнительное
слагаемое, регулирующее длину луча. Это позволяет в некоторой степени учитывать эффекты, связанные с ограниченностью спектра реальных зондирующих сигналов. Модель среды для трассировки представляется с помощью полиномов Чебышева, что дает заметные вычислительные преимущества, так как времена пробега и производные вычисляются аналитически. Численные примеры доказывают высокую эффективность представленного алгоритма при работе с достаточно большими трехмерными моделями сред.
Латеральная координата X (м) Время пробега (сек)
Рис. Лучи и времена в реалистичной модели. Слева лучи, полученные методом пристрелки (желтым) и представленным методом (черным). Справав времена пробега, полученные методом пристрелки (красным) и
представленным методом (синим)
Исследования, описанные в данной работе, были поддержаны Российским Научным Фондом, грант №16-17-00029.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Julian, B.R., Gubbins D. Three-dimensional seismic ray tracing // Journal of Geophysical Research. - 1977. - Vol. 43. - P. 95-113.
2. Bube K.P., Washbourne J.K. Wave tracing: ray tracing for the propagation of band-limited signals: Part 1 - Theory // Geophysics. - 2008. - Vol. 73. - P. VE377-VE384.
© Д. А. Неклюдов, M. И. Протасов, 2016
