CC BY
38
336 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).
УДК 539.374
ТОЧНЫЙ АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ
© 2007 Ю.Н.Радаев1
В работе рассматривается математическая модель распределения напряжений в пластической зоне у вершины трещины нормального отрыва (трещины типа I) в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. В качестве критерия текучести принято условие текучести Мизеса. Опираясь на формальную статическую определимость задачи, получены точные формулы для вычисления напряжений в пределах локализованной у вершины трещины пластической зоны. Приводится сравнение полученных в работе точных результатов с результатами численного анализа распределения напряжений, проведенного Хатчинсоном в 1968 г.
1. Вводные замечания
Пластическая зона у вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния часто моделируется по схеме Даг-дейла (D.S. Dugdale) узкой полосой на продолжении трещины, поскольку для большинства мягких металлов экспериментально наблюдается именно такая картина локализации пластических деформаций. Модель Дагдейла локализации пластических деформаций у вершины трещины нормального отрыва в упруго идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния детально рассматривается в большинстве руководств по механике разрушения (см., например, [1, 2]). Схема Дагдейла основана на использовании критерия текучести Треска. Ясно, что интерес также представляет расчет локализации пластических деформаций у вершины трещины нормального отрыва при условии текучести в форме Мизеса. В представляемой работе обсуждаются модель ’’диффузионного” пластического течения у вершины трещины, предложенная в [3], построение на ее основе
хРадаев Юрий Николаевич ([email protected]), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.
сетки скольжения и распределения напряжений у вершины трещины нормального отрыва в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. Анализ напряжений будет проведен по неполной схеме в рамках формально статически определимой постановки. В отличие от работы [3], в настоящем исследовании будут найдены точные формулы для напряжений и дано сравнение полученных точных результатов с результатами численного анализа распределения напряжений, проведенного Хатчинсоном в 1968 г.
Кратко остановимся на содержании работы. Сразу же после введения, во втором разделе, следуя [4], приводятся основные уравнения теории пластического плоского напряженного состояния на основе критерия текучести Мизеса. Дана классификация уравнений для напряжений и скоростей и определены (в области гиперболичности) характеристические направления и соотношения вдоль характеристических линий. В третьем разделе приводится решение [3], описывающее распределение напряжений в пластической зоне у вершины трещины нормального отрыва (трещины типа I) в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. Это решение требует расчета двух угловых величин, определяющих форму пластической зоны, которые удовлетворяют системе двух тригонометрических уравнений. Указанная система так же, как и в статье [3], но с большей степенью точности анализируется численно. Внимательное рассмотрение полученных результатов позволяет выдвинуть дополнительное соотношение между упомянутыми углами. В четвертом разделе статьи дается строгое обоснование этого дополнительного соотношения, а затем и точное решение той тригонометрической системы уравнений, точное решение которой не удавалось получить ранее. В итоге появляется возможность вывести точные формулы, описывающие распределение напряжений в пределах пластической зоны. Заключительный раздел работы посвящен доказательству еще одного соотношения, связывающего угловую величину, определяющую положение одного из трех составляющих пластическую зону элементов, с углом наклона одного из семейств характеристических линий.
2. Основные соотношения теории пластического плоского напряженного состояния при условии текучести Мизеса
Уравнения пластического плоского напряженного состояния были получены и исследованы В.В. Соколовским (1945 г.), а также Р. Хиллом (1949 г.). Основные соотношения теории пластического плоского напряженного состояния рассматриваются в монографиях [4-7]. Известно, что уравнения теории плоского напряженного состояния (в отличии от случая плоской деформации) не могут быть получены как частный случай пространственных уравнений. (Это обстоятельство отмечалось многими авторами.
См., например, [6, с. 261.]) Поэтому уравнения плоского напряженного состояния не могут рассматриваться как частный случай трехмерных уравнений теории пластичности. Плоское напряженное состояние идеально пластического тела характеризуется формальной статической определимостью. Уравнения равновесия, сформулированные с помощью условия текучести Мизеса, имеют переменный тип.
Рассмотрим, следуя [4], плоское напряженное состояние идеально пластического тела, характеризующееся условиями О13 = 0, О23 = 0, О33 = 0. Будем считать, что критерий текучести принят в форме Мизеса:
Ojj - О11О22 + о22 + 3о12 = 3к2. (2.1)
Это же условие может быть сформулировано с помощью главных нормальных напряжений
о2 - О1О2 + о2 = 3к2,
или
(О1 + О2)2 + 3(О1 - О2)2 = 12к2. (2.2)
Ясно, что это уравнение определяет эллипс, расположенный в плоскости О1О2 (так называемый эллипс текучести).
Условие пластичности удовлетворяется, если ввести угол ш (0 ^ ш ^ п), определяющий напряженное состояние на эллипсе текучести согласно
1 1 /т
-(oi - 02) = к sin со, -(oi + 02) = У Ък cos со.
Следовательно, главные нормальные напряжения могут быть представлены как
01,2 = 2&cos ^со + — j . (2.3)
Ясно, что О1 > О2, если 0 < ш < п.
Учитывая, что
Он = ^(01 + о2) + ^(01 - о2) cos 20,
1 1 О22 = ^(Ol + 02) - 2 (°1 " °2) COS 20’
О12 = 2^°! - O2)sin20, поле напряжений в пластической зоне можно представить как
Oi 1 = k( V3 cos со + sin со cos 20),
°22 = k( V3 cos со — sin со cos 20), (2-4)
О12 = к sin ш sin 20,
где 0 — угол наклона главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему главному напряжению О1, к оси Х1.
Дифференциальные уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния сводятся к двум уравнениям
дай + дап _ 0
дхх дх2 ’ (9
dOl2 + 3022 _ 0 дх\ дх2
Уравнения равновесия и условие пластичности содержат три компоненты напряжений Оц, О12, 022- Следовательно, эта система соотношений может рассматриваться независимо от уравнений, содержащих перемещения. Таким образом, напряжения могут быть проанализированы по формально статически определимой схеме.
Соотношения ассоциированного закона течения имеют вид (di, д2 — частные прозводные по декартовым координатам xi, Х2):
д\У\ _ д2У2 _ div2 + d2v\ ^ ^
20ii - О22 2022 - Oil 6012
Здесь Vi, V2 —декартовы компоненты скорости.
Уравнения статики и кинематики с учетом (2.4)—(2.6) приводятся к
(V3 sin со - cos со cos 20)<9i со - cos со sin 20<9гсо+
+2 sin w(sin 20di 0 - cos 20d20) = 0,
Г (2-7)
-(V3 sin ш + cos ш cos 20)д2ш + cos ш sin20diw+
+2 sin ш(cos 20д10 + sin 20д20) = 0;
- (cos со + V3 sin со cos 20)(<9iv2 + <92vi) + 2 V3 sin со sin 20<9ivi = 0,
j— # j— # # (2*S)
- (cos ш - V3 sin ш cos 20)(дlV2 + д2Vl) + 2 V3 sin ш sin 20д2V2 = 0.
Уравнения плоского напряженного состояния, как известно, гиперболичны при условии
n 5n
6 < “ < ~6
и эллиптичны, если
Значения
п 5п
0 ^ со < —, — < со ^ jt.
66
п 5п
CO = —, CO = — 6 6
соответствуют параболическому вырождению уравнений плоского напряженного состояния. Рассмотрим далее лишь гиперболический случай. Характеристики статической и кинематической систем, как нетрудно проверить, совпадают.
Для определения характеристических линий составим характеристическое уравнение, например, для системы кинематических уравнений (2.8). Характеристический определитель есть
-(cosco + V3 sin ш cos 29)v2 + 2 V3 sin со sin 20V! -(cos со + V3 sin со cos 20)vi
-(cosco- V"3 sin CO COS 29)^2 -(cosco- V3 sin CO COS 20)Vi + 2 V3 sinco sin29v2
| Здесь Vi , v2 — декартовы компоненты единичного вектора нормали к характеристической кривой. Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, приходим к характеристическому уравнению
/
V3(cosco- V3 sin со cos 29) I— I -6sincosin29-н V3(cosco + V3 sin <x> cos 29) = 0,
W/ V2
откуда после ряда преобразований находим дифференциальные уравнения характеристик ________
dx2 V3sin29± -^3 - ctg2co
dxi Уз cos 29 - ctg со
п
Введем угол \|/ (0 ^ \|/ ^ —) согласно
0 ctg ш
2\|) = к — arccos——.
V3
Можно показать, что выполняется соотношение
(2.9)
tg ¥ =
А
п
sin | со н—
____6
л
sin | со---
6
а дифференциальные уравнения характеристик приводятся к виду
dx2 dx2
— = tg (0 + \|/) , — = tg (0 - \|/) dxi dxi
или (а, в — характеристические координаты)
дx2 дxl дx2 дxl
(2.Ю)
Выведем далее соотношения вдоль характеристических линий, следующие из статических уравнений плоского напряженного состояния. С этой целью удобнее всего воспользоваться уравнениями равновесия в форме Ламе—Максвелла, т.е. уравнениями равновесия, сформулированными в изоста-тической координатной сетке (см., например, [8, с. 75])
да1 <90 _
—— + (oi - о2)—— - 0,
до i до 2 (О 1
да2 дв2 (2-11)
-----1- (oi - о2)--= 0,
dS2 к JdS1
где
дд -----= 1 • V, -----= m-V,
dSi dS2
l, m — единичные векторы, касающиеся изостатических траекторий. Преобразуем уравнения Ламе—Максвелла, учитывая
j п \ j п
oi - о2 = 2к sin со, Oi = 2&cos ^со - — j , о2 = 2кcos + —
В результате получим систему уравнений
I п N дш д0
sin со - — ------sin со-— = О,
j 6 / до i до 2 (212)
j п\ дш1 д02 (2.12)
sin со н—--------------sin со-= 0.
I 6 )dS2 dSi
Преобразуем далее операторы производных по направлениям изостати-ческих траекторий
dt = .L, ъ = —
dS\ dS2
к производным вдоль характеристических линий, обозначая соответствующие операторы через di и d2. Начнем с несколько более общего случая, когда первая из траекторий отклоняется на угол Yi по ходу часовой стрелки от первой изостатической траектории, а вторая — на угол Y2 против хода часовой стрелки. Оба угла считаются неотрицательными и Yi + Y2 Ф 0, Yi + Y2 Ф п. Несложные вычисления приводят к следующим формулам:
COS \|/i - COS \|/2 COS(\|/i + \|/г)- COS \\f2 - COS \|/i COS(\|/i + \|/2) —
d\ = -------------7.-----------------------d\ +---------------------------d2,
sin2(Yi + Y2) sin2(Yi + Y2)
- sin\|/i - sin\|/2 cos(\|/i + \|/г)— sin\|/2 + sin \|/i cos(\|/i + \|/г)
d2 =---------------------------------------d\ +---------------------------d2.
sin2(Yi + Y2) sin2(Yi + Y2)
Замечая, что первая характеристическая линия отклоняется на угол Y по ходу часовой стрелки от первой изостатической траектории, а вторая — также на угол Y, но против хода часовой стрелки, имеем
1 — —
d\ - ------------{d\ + d2),
2cfV______________ (2.13)
d2 = —-----------(~d\ + d2).
2 sin Y
Вводя полученные для производных вдоль изостатических траекторий выражения (2.13) в систему (2.12), приходим к системе
V3 . - - - -
^ sin2\|/(^/i + d2)(i) — (d2 — d\)Q — 0,
V3 . - - - -
^ sin2\|/(^2 — ^i)co — (d\ + d2^Q — 0.
Складывая и вычитая уравнения этой системы, приходим к соотношениям вдоль характеристик
V3 - -
sin2\|/<5?iсо + d\Q = 0,
V3 - -
sin 2\|/й?2С0 - d2Q = 0,
ИЛИ
V3 . „ д(х> <90 п
— sin2\|/— + — = О,
2 да да
V3 . „ <9со дв
-----sin 2vr—----------- = О,
2 v<9|3 ар
где
ctgco = -л[3 cos 2\|/.
Замечая затем, что
V3
(2.14)
^ ■ sin 2\|/й?со = - ^3 - ctg2co<ico, и вводя функцию X = Х(ш) согласно
— -^3 — ctg2co<ico = —dk,
имеем интегрируемые соотношения вдоль характеристик
Поскольку
д
—о, - 0) = о,
(2.15)
5^ + в> = °-
3 sln2 2¥d¥
dk =
1 + 3 cos2 2¥
то
2
. Г 3 sin2 2YdY _ 4
^ = 1---о-----Т^Г~ = -arctg(2ctg2\|/) - \|/ + const,
J i + 3 cos2 2y
и, полагая значение постоянной равным п/2, после несложных преобразований находим
tgX = tg3¥ =
sln(№ + п/б) ]3/2
(2.16)
sin(ш - п/6)
Рассмотрим далее кинематические соотношения для случая плоского напряженного состояния. Для этого обратимся к уравнениям ассоциированного закона течения (2.6) (или (2.8)). После ряда простых преобразований система кинематических уравнений может быть представлена в виде
sin(0 - у) sin(0 + у)(д^2 + д^О + sin 20^1 VI = 0, cos(0 - у) cos(0 + у)(д^2 + д2Vl) + sin 20д2V2 = 0
или
д^2 + д2у1
1ё20 = ---------—,
д1 VI - д2У2 sin20 дlV2 + д2Vl
cos2у дlVl + д2V2
Для перехода к дифференцированиям вдоль характеристик в полученных уравнениях можно воспользоваться формулами
д
--- = cos Qd\ - sin Qd2,
д xl д
--- = sin Qd\ + cos Qd2,
д xl
которые в сочетании с
1 — —
d\ - ------{d\ + d2),
2 cos ¥
d2 = —-----( d\ + d2)
2 sln ¥
позволяют заменить частные дифференцирования по декартовым координатам согласно
д 1 — —
— = . (sin(0 + \|/)й?і - sin(0 - \|f)d2),
д х1 2 sln 2¥
д 1 — —
— = ———(- cos(0 + \|/)й?і + cos(0 - \|f)d2).
д х2 2 sln 2¥
Вдоль характеристик могут быть получены неинтегрируемые уравнения для скоростей (vl, V2 — декартовы компоненты скорости)
fl + tg(e+Y)^ = 0, ^+tg(e-^=0. (2.17,
Преобразуем уравнения (2.17), вводя в них вместо декартовых компонент скорости Vl, V2 компоненты v<a>, v<p>, представляющие собой ортогональные проекции вектора скорости на характеристические направления (см. рис. 1). Для этого заметим, что
VI = ^2 + V2 сое у, у2 = л1у21 + у2 У’ где у — угол наклона к оси Х1 вектора скорости, а также
V<a> = -yjvj + v2 COs(Y - 0 + \|/), V<p> = -yjvj + V2 cos(y - 0 - \|/),
откуда сразу же находим
V<a> = Vl cos(0 - ¥) + V2 sln(0 - ¥), v<e> = Vl cos(0 + ¥) + V2 sln(0 + ¥)•
Рис. 1. Ортогональные проекции вектора скорости на характеристические направления, отклоняющиеся на угол от первой главной оси тензора напряжений
Разрешив полученные уравнения относительно vi, V2, имеем
vi = — (v<a> sin(0 + \|/) - v<p> sin(0 - \|/)),
sin 2y
Vo = —— (-V<a> COS(0 + \|/) + V<R> COS(0 - \|/)).
sin 2y
Подставляя эти выражения в характеристические соотношения
dvi dv2
cos(0 - \|/)—-----1- sin(0 - = 0,
da da
dvi dv2
cos(0 + \|/)—— + sin(0 + \|/)—f = 0, dp dp
учитывая, что
д0 дХ 3 sln2 2¥ д¥
dp dp i + 3cos22y dp’
d0 dX 3 sin2 2\|/ d\|/
da da i + 3 cos2 2y da ’
и выполняя необходимые преобразования, приходим к характеристическим соотношениям для скоростей в форме
dv<a> „ cos 2ш dw
—7— + 2 . (cos 2\|/v<a> - v<p>)— = 0, da sin 2y da (oie)
dv<p> cos 2ш dy l-J
----■ о (c°s 2\|/v<p> - v<a>)— = 0,
dp sin 2^ dp
в которых угол ш исключается с помощью
3 cos2 2y - i
cos 2ш =
3 cos2 2¥ + 1
Заключая этот раздел работы, приведем необходимые для дальнейшего уравнения в полярной системе координат г, ф.
В полярной системе координат уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния приобретают вид
дОгг 1 догф Огг — Офф
~Г~ + ~ я +----------- = °’
дг г дф г
дОгф 1 дОфф 2Огф
—я----1---я----1------=
дг г дф г
При переходе к полярной системе координат имеем
Огг = ^(ОП + 022) + ^(Оц - О22) COS 2ф + Оі28Іп2ф,
1 1
Офф = г(Оц + о22) - -(Он - о22) cos 2ф - 012 Sin 2ф,
1
оГф = _2('°11 ~~ °22') sin 2(р + °12 COS 2(р’
и, следовательно, в условиях плоского напряженного состояния огг = к "V3 cos со + sin со cos!
к [ V3 cos со + sin со cos 2(0 - ф)], Офф = к [ V3 cos со - sin со cos 2(0 - ф)],
огф = к sln ш sln 2(0 - ф).
3. Напряжения в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом теле
Определим распределение напряжений в окрестности вершины трещины типа I (трещина нормального отрыва) в условиях плоского напряженного состояния, когда начало текучести соответствует условию Мизеса, исследуя статически определимую задачу, состоящую в отыскании решения системы дифференциальных уравнений равновесия для случая плоского напряженного состояния.
Введем полярные координаты г, ф, поместив полюс координатной системы в вершину трещины. Через огг, оГф, Офф будем обозначать физические компоненты тензора напряжений.
Полагая, что у вершины трещины напряжения имеют при г ^ 0 асимптотику вида
О;/г, ф) = о[0)(ф) + 0(га) (а > 0) (3.1)
и подставляя (3.1) в дифференциальные уравнения равновесия и условие текучести, можно в принципе получить поле напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом теле. На самом деле первый
член асимптотики (3.1) уже дает точное распределение напряжений, и присутствие слагаемого O(ra) в этой формуле чисто номинально.
Условие текучести Мизеса при плоском напряженном состояния имеет форму
а2гг - а,.гафф + о2ф + 3a^ = 3k2, (3.2)
где к — предел текучести при сдвиге.
Уравнения равновесия сводятся к двум уравнениям
darr 1 d°™ arr - °фф
д r а Л r (3.3)
д°™ 1 дофф 2огф
—я-------------1-я-1-=
dr r дф r
Условие текучести и уравнения равновесия, в частности, удовлетворяются, если положить
arr = к cos ф, Офф = 2к cos ф, оГф = к sin ф. (3.4)
Эти соотношения определяют решение для напряжений (см. [7, с. 237, 238]) в веерообразной области простой волны с криволинейными характеристиками вида r2 sin ф = const, примыкающей к области равномерного напряженного состояния. Для декартовых компонент напряжений, связанных с физическими компонентами arr, О,-ф, Офф соотношениями
ап = arr cos2 ф + Офф sin2 ф - оГф sin 2ф,
а22 = arr sin2 ф + Офф cos2 ф + оГф sin 2ф,
1 2*
при этом справедливы формулы
a11 = к cos3 ф, a22 = к cos ф(2 + sin2 ф), a12 = -к sin3 ф. (3.5)
Заметим, что полярная ось ф = 0 является асимптотической линией
криволинейного семейства характеристик и соответствует параболическому вырождению уравнений статики плоского напряженного состояния. Компоненты напряжений на указанной оси вычисляются в виде arr = к, Офф = 2к.
Известно [3] и иное представление компонент тензора напряжений, позволяющее удовлетворить условию текучести (3.2),
arr = a + b cos 2§(ф) + c sin 2§(ф),
Офф = a - b cos 2§(ф) - c sin 2§(ф), (3.6)
оГф = -b sin 2§(ф) + c cos 2§(ф),
где a, b, c — такие постоянные, что
°12 = ^ (arr — Офф) sin 2ф + ar ф cos 2ф,
a
2 + 3b2 + 3c2 = 3к2. (3.7)
Действительно, выполняя подстановку (3.6) в (3.2), убеждаемся в необходимости выполнения равенства (3.7).
Подставляя (3.6) в уравнения равновесия (3.3), находим, что
т.е. 'Э’(ф) = ф - фО, где фО — постоянная.2
Необходимо отметить, что найти решение задачи, удовлетворяющее граничным условиям на берегу трещины и условиям симметрии на продолжении трещины, используя лишь одно из представлений (3.4) или (3.6), не удается. Поэтому предполагается, что поле напряжений описывается формулами (3.4) или (3.6) в различных характерных областях3 полуплоскости
О ^ ф ^ п. Границы областей определяются из условия непрерывности компонент тензора напряжений ОГф и Офф при переходе через эти границы. Компонента Огг может в принципе претерпевать разрыв.
Установлено, что существуют три характерные клинообразные области (рис. 2) с границами ф = ф^ и ф = ф^. В области О < ф < ф^ решение имеет форму простой волны (3.4). В областях ф^ < ф < ф^ и ф^ < ф < п реализуется равномерное напряженное состояние, и поле напряжений определяется формулами (3.6). В секторе ф^ < ф < п, примыкающем к свободному от нагрузок берегу трещины, напряжения без труда определяются (здесь реализуется состояние равномерного сжатия величины ЛІЗ к) и, следовательно, постоянные а, Ь, с известны: "&(ф) = ф, а = b = — V3&/2, с = 0. В секторе же ф^ < ф < ф^ необходимо определить другой набор констант a, b, c в представлении для напряжений (3.6).
Условия непрерывности компонент тензора напряжений ОГф, Офф на лучах ф = ф^ и ф = ф^ выполняются за счет выбора постоянных a, b, c и положений ф^, ф^. Действительно, на пять постоянных a, b, c, фob, ф^ накладываются пять условий: требование (3.7) и четыре условия, следующих из непрерывности компонент тензора напряжений ОГф, Офф при переходе через границы ф = ф^ и ф = ф^ рассматриваемых характерных областей.
Если теперь удовлетворить двум условиям непрерывности при ф = ф^ за счет выбора постоянных a, b, c в решении для напряжений в секторе
2Последнее обстоятельство позволяет вместо представления (3.6) получить также представление
Огг = a + b cos 2ф + c sm2ip,
Офф = a - b cos 2ф - c sln 2ф,
Огф = -b sln2ф + c cos 2ф, где a', b, o' — постоянные, удовлетворяющие условию
a'2 + 3b'2 + 3c'2 = Зк2.
3Ясно, что решения уравнений в каждой из характерных областей должны иметь форму простых волн.
1( п — алхо1) = 54,70
Рис. 2. Поле характеристик в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях пластического плоского напряженного состояния (модель ’’диффузионного” течения)
фоЪ < ф < фос, связанных также уравнением (3.7)4, то величины углов фос
4Упомянутые постоянные вычисляются в виде
Заметим также, что
а 1
—— = - (-1 + 3 сое 2фос),
л[Ъ к 4
Ъ 1
—=Г = т(1 + сое 2фос),
л/Зк 4
с 1
—=Г = - 8т2фос.
л/Зк 2
а' 1
—— = -(-1 + 3 сое 2фос), л/Зк 4
Ъ' 1 2
—— = -(сое 2фос + 3 сое- 2фос - 2),
-УЗ к 4
= —(8Іп2фос + 3 сое2фос він2фос). -УЗ к 4
(3.8)
и фой в итоге находятся из условии непрерывности при ф = ф0ь:
2 1
— cos (pob = - (-1 + 3 cos 2фое) -
V3 4
-- (1 + cos 2фое) cos 2 (фоЬ - фое) - - sin 2фое sin 2 (фоЬ - фое),
1 1
— sin (fob = -- (1 + COS 2фое) sin 2 (фоЪ - фос) +
V3 4
+ - sin 2фое COS 2 (фоЪ - фое) •
Численное решение приведенной системы тригонометрических уравнении было выполнено с помощью Maple V и дает следующий результат5:
фоЪ = 79, 84497189° = 1,393557651... рад, фос = 151,2377253° = 2,639596260... рад.
(3.9)
Можно показать, что система тригонометрических уравнений (3.8) имеет единственное решение. На рис. 3 изображены кривые, неявно определяемые каждым из уравнений указанной системы. Они имеют единственную точку пересечения внутри квадрата [0, п] X [0, п].
Vo,
ab
Рис. 3. К единственности решения системы тригонометрических уравнений (3.8). Темная линия — кривая, неявно определяемая первым уравнением системы (3.8)
Интересно отметить, что в точке пересечения рассматриваемых кривых происходит их касание. Окрестность точки касания представлена на рис. 4.
5 Мы приводим весьма точный результат для величин углов фос и ф0ь. Погрешность при вычислении указанных углов приводит к существенному изменению величины напряжения 0п в клинообразной зоне ф0ь ^ ф ^ фос.
Кривая, неявно определяемая первым уравнением системы (3.8), имеет нулевую кривизну в точке касания. Общая касательная имеет нулевой наклон к оси абсцисс. Ясно поэтому, что для вычисления углов фос и фоъ при численной реализации необходимо весьма точное представление тригонометрических уравнений, образующих систему (3.8): в противном случае точки пересечения не будет существовать или возникнут два близких решения рассматриваемой системы.
<Р0
2.6396
639598
639596
639594
639592
2.63959
1.393 1.3932 1.3934 1.3936 1.3938 1.394
об
Рис. 4. Касание кривых, неявно определяемых системой тригонометрических уравнений (3.8), в точке их пересечения
Распределение напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в упругом идеально пластическом материале, подчиняющемся критерию текучести Мизеса, в каждой из трех характерных клинообразных областей задается формулами (физические компоненты тензора напряжений относятся к величине УЗ к, где к — предел текучести на сдвиг) [3]:
0 ^ ф ^ фоъ, фоЪ = 79,84497189°
2 1 .
0(| (| — 2агг — соз ф, оГф — зш ф,
уз уз
фoЪ ^ ф ^ фoc, фoc = 151,2377253°
Огг = ^(-1 + Зсоз2фое)+
+ ^(1 + cos 2фое) cos 2(ф - фое) + ]- sin 2фое sin 2(ф - фое), 4 1 2
Orf
1
-'qpqp — ®гг + гу ( 1+3 COS 2фос),
2 1
О™, = --(1 + cos 2фое) sin 2(ф - фое) + - sin 2фое cos 2(ф - фое);
4
2
агг = --(1 + cos 2ф),
1
ФФ = -^(1 - cos 2ф),
огф = - віп 2ф.
Полученное распределение напряжений показано на рис. 5. Видно, что напряжения агг разрывны при ф = ф0С, однако остаются непрерывными при переходе через луч ф = ф0у.
Декартовы компоненты тензора напряжений в секторе ф0ь < ф < ф0С вычисляются в форме
О11
1
= -(4 cos 2фое - 3 sin 2фое),
V3£ 4
= ^(1 + 2 cos 2фое - 3 cos2 2фое), 12 = - sin 2фое(1 + 3 cos 2фое).
V3£ 4
Для декартовых компонент напряжений в секторах равномерного напряженного состояния фоь < ф < фос и фос < ф < п можно получить соответственно значения
011 = a + b cos 2фос - с sin2фoe = 0.0054822196...k, о22 = a - b cos 2фос + с sin2фoc = 0.5234987241...k,
012 = b sin2фoc + с cos2фoc = -0.9537275934...k;
Оц = - л[Ък, о22 = °12 = 0.
(3.10)
Поле характеристик, соответствующих локальному пластическому течению вблизи вершины трещины, изображено на рис. 2. Линия трещины является асимптотической линией криволинейных характеристик в области центрированного поля 0 < ф < ф0ь, для которого решение уравнений равновесия имеет форму простой волны.
Вычислим наклон характеристик в областях равномерного напряженного состояния ф0ь < ф < ф0С и ф0С < ф < п. Для этого заметим (см., например,
[4]), что характеристики имеют наклон к горизонтальной оси, равный
е ± у,
¥
0
2
Рис. 5. Угловое распределение компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях пластического плоского напряженного состояния (модель ’’диффузионного” течения)
где 0 — наклон изостаты, соответствующей наибольшему главному нормальному напряжению,
1 п
СОЗ 2\|/ =--СО, 012 = 2А'соз(со ч—).
Уз 6
Углы у и ш должны находиться в следующих пределах:
п 5п п
6 < Ш < ~6~’ °<’|'<Г
у— л 2 те
В зоне фос < ф < л имеем: (3\ = 0, 02 = -уЗк, 0 = —, со = —, \|/ =
1 1
= — агееоз —, следовательно,
11
0 + \|/ = -(л + агееоз -).
23
В зоне фоъ < ф < фос наклон первой главной оси напряжений
2012 Ъ sm2фoc + с cos2фoc Ъ tg2фoc + с
011 - 022 Ъ COs2фoc - с SІn2фoc Ъ - с tg 2фо
Учитывая, что
т.е.
получаем также
а Ь с 1 .
— н---= сое 2фог, —— = — 8іп2фог,
УЪк л[Ък ^ л[Ък 2 фое’
2с
2фое = tg 20 =
а + Ь’ 3Ьс + ас
Ь2 - 2с2 + аЬ
Далее определяем главные напряжения
в\ 2 = а ± л/ь2 + с2,
откуда сразу же находим
л а + ЛІЬ2 + с2
со = — + агссов---------------------,
6 2 к
следовательно,
а + УЬ2 + с2 1
1 2^ л/3 А
сое 2\|/ =-----------— со = -
Уз
1
а + л/Ь2 + с2 2к
VЪ2 + с2
а + "V Ь2 + ~2к
+
Уз
А
1
а + Уй2 + с2 2£
В результате наклон характеристик в зоне ф0Ь < ф < ф0с вычисляется в виде
1 3Ьс + ас
0 ± \|/ = — агс^ ■
2 Ь2 — 2с2 + аЬ
л - агссов
а + Уй2 + с2 1
2£ л/З А
Уй2 + с2
а + "V Ь2 + ~2к
Уз-
(3.11)
Заметим, что наклон характеристик в рассматриваемой зоне может быть определен также из следующей формулы:
tg(0 ± V) =
УЗ віп 20 + УЗ - сі<і2ш УЗ сое 20 - с^со
Углы наклона характеристик в зоне ф0Ь < ф < ф0с были найдены численно:
0 + V = 84,9623° = 1,48287... рад,
2
2
+
Полученные численные данные, касающиеся поля скольжения, несколько отличаются от тех, которые обычно приводятся в литературе, а их интерпретация приводит к ряду новых результатов. Так, на основании только что проделанного численного анализа, для угла наклона одного из семейств характеристик6 по отношению к лучу ф = фоь имеем
фоЬ - (Q - ¥)1фоЬ<ф<фос = 89,9"..Л
а это позволяет выдвинуть предположение о том, что
п
фob - (9 - ¥)1фо6<ф<фос = 2’ (3.12)
т.е.
tg(0 - У^фоЬ = -1
или
V3 sin 20 - V3 -ctg2co
-ctg9 оЪ =--------------------------------------------. (3.13)
V3 cos 20 - ctg№
Таким образом, характеристики в зоне ф0ь < ф < фос, имеющие наклон 0 - у к горизонтальной оси, ортогональны лучу ф = ф0ь.
Воспользуемся далее тем обстоятельством, что (см. рис. 3) в точке касания кривых вдоль каждой кривой
^ = 0. (3.14)
^фоЬ
Поэтому, дифференцируя оба уравнения системы (3.8) по переменной ф0ь соответственно вдоль кривых, неявно определяемых этими уравнениями, и учитывая приведенное выше равенство, получим
22 ---Р sin Ц)оЬ = cos Ц)ос sin 2(ф0ь - (jfw) - sin 2(foc cos 2(<fob - ц>ос),
г 2 (3-15)
---- cos ФоЬ = cos фое cos 2(ф0ь - фое) + sin 2фое sin 2(ф0ь - фое).
V3
Нетрудно заметить, что второе уравнение системы (3.8) будет совпадать с первым из уравнений в системе (3.15), а из первого уравнения в (3.8) с учетом второго уравнения системы (3.15) находим
21
— совфоь = соз2фое--. (3.16)
уз з
Отметим также, что в точке касания кривых, неявно определяемых уравнениями системы (3.8), как показывает численный анализ, кривизна
6Имеются в виду характеристики, наклоненные к горизонту под углом 0 - у.
первой кривой равна нулю (см. рис. 4). Следовательно, в точке касания рассматриваемых кривых для первой из них
d2ф,
ос
dy
2 = 0. (3.17)
ob
Двукратное дифференцирование первого уравнения системы (3.8) по переменной фой вдоль кривой, определяемой этим уравнением, с учетом (3.14) и (3.17) дает уравнение, совпадающее со вторым уравнением системы (3.15).7
Уравнение (3.16) позволяет устранить угол фоь из расчетной схемы и свести анализ поля характеристик к решению одного уравнения относительно угла фос.
Таким образом устанавливаются соотношения между неизвестными углами, не усматриваемые из численных результатов невысокой точности.8 Мы сейчас дадим строгое обоснование всех выдвинутых предположений и полученных на их основе соотношений. Оказывается, что могут быть получены точные значения для углов фоь, фос, а следовательно, и точные формулы для распределения напряжений.
4. Точные формулы для напряжений
Снова рассмотрим тригонометрическую систему (3.8)
21
— cos ФоЪ = -(-1 + 3 cos 2фое)-
V3 4
--(1 + cos 2фое) cos 2(ф0ь - фое) - - sin 2фое sin 2(цоЪ - фос),
14 1 2
— sin ц>оЪ = --(1 + COS 2фос) sin 2(фоЪ - Фос) +
3 1
+ - sin 2фое COS 2(фob - Фос)-
Для удобства введем следующие обозначения:
21
А = — cos фоЪ ~ ^(-1 + 3 cos 2фое),
1
В = — sin ((.„/„
V3
С = --(1 + cos 2фое),
D = i sin 2фос.
(4.1)
(4.2)
7Поэтому отсюда уже нельзя извлечь никаких новых соотношений для углов фоь и фос.
8В известной нам литературе по рассматриваемой проблеме приводятся численные результаты, обладающие весьма заметной погрешностью.
В этих обозначенях система (4.1) приобретает вид
A = C cos 2^ъ - фoc) - D sin 2^ъ - фoc), B = D cos 2^ъ - фoc) + C sin 2^ъ - фoc)•
(4.3)
Ясно, что система (4.3) линейна относительно со$2(фоь-фос), $т2(фоь-фос). С помощью (4.3) выразим их через А, В, С, О. Вычисляя необходимые определители
C -D D C
= С2 + D2 = (i(l + cos 2фое))2 + (і sin 2фос)2 =
16'
= —(5 + 2 cos 2фое - 3 cos2 2фое) =
16
(1 + cos 2фoc)(5 - 3 cos 2фoc),
(4.4)
находим
A -D B C
C A D B
= AC + BD,
= BC-AD,
cos 2^ъ - фoc) = sin 2^ъ - фoc) =
AC + BD
C2 + D2 ’ BC-AD
C2 + D2'
(4.5)
Возведем каждое из уравнений (4.5) в квадрат и почленно их сложим. Затем, умножив полученное равенство на (С2 + О2)2 и перенеся все слагаемые в левую часть, имеем:
(AC + BD)2 + (BC - AD)2 - (C2 + D2)2 = (AC)2 + (BD)2+
+ (BC)2 + (AD)2 - (C2 + D2)2 = (A2 + B2)(C2 + D2)-
- (C2 + D2)2 = (C2 + D2)((A2 + B2) - (C2 + D2)) =
= 2^4^ + cos 2(Poc)(5 - 3 cos 2фос)((-8 л[ъ cos (pob - 3 + 9 cos 2фое)2+
+ 48(1 - cos2 ф^) - 9(5 + 2 cos 2фoc - 3 cos2 2фoc)) = 0.
(4.6)
Равенство 3 cos 2фос - 5 = 0 выполняться не может. Уравнение cos 2фос + + 1 = 0 дает корни, не удовлетворяющие исследуемой системе тригонометрических уравнений. Следовательно, остается лишь вариант:
12(12 cos2 ф0у + 4 ЛІЗ cos ц>0у - 12 ЛІЗ cos 2фое cos ц>0у + 9 cos2 2фое-
- 6 cos 2фое + 1) = 12(12 cos2 фob - 4 л[3(3 cos 2фое - 1) cos ф0ь+
+ (3 cos 2фое - І)2) = 12(2 л[ь cos фаь - 3 cos 2фое + І)2 = 0.
Отсюда находим, что
2 V3 cos ф0ь - 3 cos 2фое + 1=0, (4.8)
или
3 cos 2фое - 1
совф^ =------------------. (4.9)
2 V3
Нетрудно видеть, что полученное соотношение в точности совпадает с
(3.16), и приведенные рассуждения могут служить его строгим обоснованием.
Снова рассмотрим исходную систему тригонометрических уравнений (4.1). Преобразуем ее с помощью соотношений
- sin 2фoc sin 2^ъ - фoc) = cos 2фoЪ - cos 2фoc cos 2^ъ - фoc),
sin 2фос cos 2(фоЬ - фос) = sin 2фоЬ - cos 2фос sin 2(фоЬ - фос).
Перенося затем члены, не включающие множители cos 2(ф0ь - фос) и sin2(фob - фос), в левые части уравнений системы (4.1) и учитывая, что cos2фob = 2 cos2 ф0ь - 1, получим:
Г 2 13 1 2
— COS фоЪ + -7 - -7 COS 2фое - -(2 COS фоЪ - 1) =
V3 44 2
= --(1 + 3 cos 2фое) cos 2(фоЬ - фос), (4.10)
-J= sin фоЪ - sin фоЪ COS (pob = -^(1 + 3 COS 2фое) sin 2(ф0ь - фос).
Далее возведем оба уравнения системы (4.10) в квадрат и сложим. В результате имеем
1 2 2 3 3 2 2
((— - COS ф0ъ) Sin ф0ь) + (— COS фоЪ+ -7 - -7 COS 2фое - COS Ц)оЬ) -
V3 V3 4 4
- (-(1 + 3 cos 2фое))2 = 7 + - COS2 фоЬ + — cos (pob----------------------- cos3 фоЬ- (4.11)
4 6 2 V3 V3
г 3 3 2
- V3 cos ф„6 cos 2ф„,. - - cos 2ф„ + - cos фЛ cos 2ф„,. = 0.
Подставим в уравнение (4.11) полученное выше соотношение (4.9):
5 1/3 cos 2фое - 1 \2 1 13 cos 2фое - 1
6 2 \ 2V3 / V3 V 2V3
2 / 3 cos 2фое - 1 \3 к (Ъ cos 2уос - 1\
~Vl( 2V3 ) -^[ 2V3 Г2ф“~
3 3 / 3 cos 2фое - 1 \2
- - cos 2фое + - ^-----—------j cos 2фое = (4Л2)
3 . 9 2 7 53
= - cos 2фое - - cos 2фое - - cos 2фое + — =
= ^(27 cos3 2фое - 81 cos2 2фое - 63 cos 2фое + 53) =
= ^((3 cos 2фое)3 - 9(3 cos 2фое)2 - 21(3 cos 2фое) + 53) = 0.
Относительно переменной х = 3cos2фoc уравнение (4.12) является кубическим
х3 - 9х2 - 21х + 53 = 0. (4.13)
Совершая в уравнении (4.13) подстановку х = 8у + 3, после ряда преоб-
разований получим
х3 - 9х2 - 21 х + 53 = (8y + 3)3 - 9(8y + 3)2 - 21(8y + 3) + 53 =
3 3 1 (4.14)
= 512_у - 384_у - 64 = 128(4у^ - Зу - -) = 0,
или
cos(?)= \ = 4у3 ~3y' ^4'15^
В соответствии с формулой
cos а = 4cos3 (— ] - 3 cos (— ] (4.16)
3
корнями уравнения (4.15) будут:
л \ / п 2п\ /2п
У\ = COS — , У2 = cos I —I-------------= — cos — ,
п I9/ \9 3 / \ 9 1
п 4п\ /4л
(4.17)
Три указанных корня находятся также следующим образом. Как известно, корни кубического уравнения
у3 + ру + д = 0
при условии
2 3
д р
——н < о
4 27
вещественны и в тригонометрической форме определяются как
„ 1~Р У + 2пл , „ , „ч
y = 2J — cos -------- (и = 0,1,2),
где
q
cos у =
2,4
В исследуемом нами случае
P = ~4’ q = ~8’
следовательно,
П
Y=3’
откуда корни рассматриваемого кубического уравнения (4.14) сразу же находятся в форме (4.17).
Из трех корней (4.17) решение исходной системы (4.1) дает только корень
_y3 = -cos|yj. (4.18)
Но тогда справедливо соотношение
cos2qpoe = —^cos|^j + 1, (4.19)
с помощью которого точно определяется угол фос. Прямой подстановкой в
систему (4.1) находим, что указанный угол определяется как
фос = 71 ~ 2 314X08 cos (”9/ + 1J = 639596260... рад. (4.20)
Поскольку
3^2фое - 1 1 / /4п\ \
cos (р°ь =-—-----= _^-4cos^— ) + 1|, (4.21)
то угол фоь определяется как
фоЪ = arccos ( |-4cos + 111 = 1> 3935426177... рад. (4.22)
3
1
Сравнение с данными численных расчетов (3.9) указывает некоторое заметное расхождение в величине угла ф0^.
Постоянные a, b, с вычислятся в виде
a 1 1 ( (4п
= -(-1 + Зсоз2фое) = - 1 - 4cos
V3 к 4 — 2 \ \ 9
b 1 , ~ 1 Л (4п
= —(1 + cos 2фое) = — 3 - 4 cos
V3 к 4 " 6\ \ 9
с 1 1 Г / 8 /4я\ Л2 ^4'23^
-^-к = 2^с = -2у-[-3С08[т) + 1) =
= -if0if)(-4c0S(f]+3
Точные формулы для вычисления распределения напряжений в области фоЬ < ф < фос имеют вид
Оц = k^y (l6cos2(|^) - 20cos j + з| = 0,0054822181...*,
о22 = cos(y)(_1 +2cos(y^l = 0,5234987239...*,
(4.24)
012 = к^Г Tos (у) (“4cos (у)+ 3) (_1 + 2cos (f^1 =
= -0.9537275931...*.
Эти напряжения, как показывает сравнение с (3.10), были достаточно точно определены выше.
Таким образом, анализ напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом теле, если следовать схеме формальной статической определимости, выполняется точно.
5. Доказательство соотношения (3.12)
В этом разделе работы мы приводим строгое доказательство соотношения (3.12). Оказывается удобным сначала несколько преобразовать его9.
Прежде всего, на основании (4.16) находим
з /4зт\ 3 /4я\ 1
cos —I = — cos I—--. (5.1
\ 9 / 4 \ 9 / 8 V ’
Подставляя в
п
ФоЬ - е + V = - (фOb < ф < фос) (5.2)
Преобразования в этом разделе работы были выполнены с помощью Maple V.
значения углов из (4.22), (3.11) и пользуясь (4.23), получим
агссов | -^= 4сое + 111 -
- 2 '
Г&\9П
4л)
-4сое | ^| + 31-1 + 2 сое (у
4п
32 сое2 — - 28 сое — + 3
4п
9 ) \ 9
а + Уй2 + с2 1
2к
— агссов 2
Уз А
і -
: + Уй2 + с2 2к
а + л/Ь2 + с2 2к
Уз*
= 0.
1 -
: + Уй2 + с2 2*
(5.3)
Введем вспомогательные обозначения для углов
а = агссов (|-4 сое ) + 1)),
(5.4)
8
4я\
\С08Ы\
-4сое | ^ | + 3 |-1 + 2сое
4п
32 сое2 — - 28 сое — + 3
9
8 сое | у | - 1
4п
9
= агссов ■
УЗ Л/4соз + 1
= аі^іп
8 УЗ (-1 +2 со
3 ^ /4л\
4 сое I — I + 1
С08
4л
~9
(5.5)
Введем еще одно вспомогательное обозначение
а +
Уй2
+ с2
2к
т =
1
у! А
і -
а + Л/Ь2 + с2
2к
а+
У&
~2к
2 + с2
Уз
і -
: + У Ь2 + с2 2к
8
2
і
+
2
2
+
В результате доказательство соотношения (3.12) можно заменить доказательством равенства
т = со8(2а - в). (5.6)
Поскольку
cos(2a - в) = (2 cos2 a - l) cos в + 2 sin a cos a sin в,
то равенство (5.6) эквивалентно
Шсо8(?1+2/31 _i
л/318 cos I — 1 - 1
|4п\ „
-4 cos I — I + 3
3^/4 cos ( + 1
1
6 + 24 cos I £) - 4W (£)(-§ cos (£)+§)(-!+ 2 cos
cos
4п
З -і /4 cos(^) + 1
После возведения в квадрат последнего равенства остается только вида
jЗI-4 cos I ^ j + з||б + 24 cos - 48cos2cos Пользуясь формулой (5.1), находим
(5.7) радикал
(5.8)
4п
9
4п
9
З I -4 cos I I + 3116 + 24 cos I I - 48 cos21 11 cos I I =
4п
9
4п
9
= 576 cos21 I - 558 cos І -г- I + 90 =
4п
9
4п
9
= 112 cos21^1-18 cos 1^1 + 6
4п
9
4п
9
(5.9)
Квадратный корень, таким образом, извлекается точно. На основании (5.1) имеем также
1
. /4п
4 cos I — I + 1
16 2/4я\ 4 /4я\ 11
= -т^ cos Кг + ттт cos Кг +
19 \ 9 19 \ 9 19
(5.10)
Еще раз используя (5.1), получим равенство
2 224 /4я\ 49 320 ,/4я
т = ~у cos I — I + — —— cos
9 57 57
(5.11)
эквивалентное (5.6).
Рассмотрим далее величину
l=
: + V&2 + с2 2к '
m=
9
2
Принимая во внимание формулы (4.23), находим
/ЛУЗ- Узсо8М+тл 3 + 8со8(^)-16со82(^1
(5.12)
Возведем в квадрат обе части полученного равенства
3
4п
9
4п
9
♦ (А-іібсо.МіУз.
4п
9
-16 сое2 — + 8 сое — + 3.
4п
9
(5.13)
Так как
то
т=
/ - VI - /2 Уз
/+ Уз VI - /2 ’
/2(4 + 12т2) = 9т2 + 6т + 1.
Таким образом, необходимо доказать, что выполняется равенство (5 I2 и т2 даны соответственно как (5.13) и (5.11).
На основании (5.11) имеем
(5.14)
(5.15) 15), если
272 896
4 + 12т =---------------------сое,
19 19 \ 9
4я\ 1280
Обозначая
2
19
4п
■ сое
4п
2 672 /4я\ 166 960
9т + 6т + 1 =-------------сое — +--------------------сое" I — | +
19 1 9 19 19 1 9
2 /4П\ /4л
+ — Л -12768сое — +2793- 18240сск2 — 19 V 9 9
(5.16)
(5.17)
41 =
4я\ 166 960
672 2
------сое I — I +--------------------сое"
19 \ 9 19 19
2 /4П\ /4П
д2 = —^1-12768 сое у + 2793 - 18240 сое2 —
Положив
9т + 6т + 1 = 41 + д2.
3 /4я\ Л4л\
^ = д-е°8І—) + 2с°8 —
^ = (I _ I Уз С08 (Уз , I-16 С082 (^) + 8 С08 (^] + 3,
имеем
/2 = ^1 + W2.
9
и
Пользуясь формулой (5.1), находим:
3 /4я\ 2/4n\.
----cos — + 2 cos — х
8 9 9
/272 896 /4я\ 1280 ,/4n\.
х--------------cos —-------------cos — = (5.18)
I 19 19 I 9 I 19 I 9 II
672 /4я\ 166 960 2/4я
------cos — +--------------------cos -------
19 \ 9 19 19 \ 9
3(|-iV3oos(f)) (-16cos2(f) + 8coS(|| + 3|x
V 2 I IV
2 \ / ___ /4я\ ____ __ .,/4л
-12768 cos — + 2793 - 18240 cos
,19/\ \ 91 \ 9
Следовательно,
w1(4 + 12т2) = д1, ^2(4 + 12т2)2 = ^
т.е. (5.15) выполняется, откуда заключаем, что соотношение (3.12) выполняется.
и
Литература
[1] Качанов, Л.М. Основы механики разрушения / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1974. - 312 с.
[2] Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1974. - 640 с.
[3] Hutchinson, J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / J.W. Hutchinson // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - V. 16. - P. 337-347.
[4] Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высш. школа, 1969. - 608 с.10
[5] Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М.: Госте-хиздат, 1956. - 407 с.
[6] Фрейденталь, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, Х. Гейрингер. - М.: Физматгиз, 1962. - 432 с.
[7] Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.11
10Это последнее третье издание; второе издание: Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. - 396 с.
11Первое издание этой книги: Качанов, Л.М. Основы теории пластичности /
Л.М. Качанов. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - 324 с. Более ранний источник: Качанов, Л.М. Механика пластических сред / Л.М. Качанов. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат,
1948. - 216 с.
[8] Фрохт, М.М. Фотоупругость. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений / М.М. Фрохт. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. -Т. I. - 432 с.
Поступила в редакцию 31/ VIII/2006; в окончательном варианте — 31/^11/2006.
EXACT FORMULAE FOR STRESS DISTRIBUTION NEAR A MODE I CRACK TIP IN A PERFECTLY PLASTIC SOLID UNDER PLANE STRESS CONDITIONS
© 2006 Y.N. Radayev12
The mathematical model proposed by Hutchinson of stress distribution near a mode I crack tip in a perfectly plastic solid under plane stress conditions is considered. Exact formulae for the stress distribution within the plastic zone near a crack tip are obtained. Comparison with the numerical data obtained by Hutchinson for the stress distribution is given.
Paper received 31/VIII/2006. Paper accepted 31/ VIII/2006.
12Radayev Yuri Nickolaevich ([email protected]), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.
