О влиянии удаленной локализованной пластической зоны на раскрытие трещины нормального отрыва Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.214

Ю. Н. Радаев, Л. В. Степанова

О ВЛИЯНИИ УДАЛЕННОЙ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ЗОНЫ НА РАСКРЫТИЕ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА

Нагружение трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в поле остаточных напряжений (связанных с предыдущими циклами нагружения) может приводить к образованию двух очагов пластического течения: непосредственно у кончика трещины и в зоне максимального остаточного растялсения, которое в случае циклического нагружения достигает одной трети предела текучести. Моделируя по схеме Дагдейла пластические зоны отрезками, для определения трех безразмерных параметров, характеризующих положения пластических зон, получена система нелинейных уравнений, которая анализируется с помощью оригинального численного алгоритма, разработанного специально для этой цели. Получена точная формула для вычисления раскрытия трещины при двухзонно локализованных пластических деформациях. Асимптотический анализ величины раскрытия трещины для случая, когда линейный размер удаленной пластической зоны мал по сравнению с длиной трещины, приводит к заключению, что влияние удаленной пластической зоны на трещину проявляется в форме ее дополнительного закрытия.

1. Постановка задачи и основные уравнения.

Исследование плоского напряженного состояния трещины нормального отрыва было впервые выполнено в работе [1]. В соответствии с экспериментальными данными предполагалось, что пластическая зона представляет собой отрезок, находящийся на продолжении линии трещины. С тех пор предложенная в [1] модель, известная как модель Дагдейла, широко используется для расчета напряженного состояния и вычисления раскрытия трещины в стальных пластинах [2].

Соответствующая подобной сильно локализованной у вершины трещины зоны текучести модель трещины основывается на следующих основных предположениях.

1. Элементы пластической зоны подвержены воздействию только нормального растягивающего напряжения, равного пределу текучести.

2. Толщина пластической зоны намного меньше, чем ее длина, так что внутренняя граница упругой зоны может рассматриваться как сильно сплющенный эллипс с большой полуосью равной 2(/ + с), где 21 - длина трещины, с - длина пластической зоны.

3. Длина пластической зоны в точности такова, что пластическая зона полностью поглощает сингулярность поля нормальных напряжений.

В представляемой работе рассматривается нагружение пластины с трещиной нормального отрыва, при котором возникает дополнительная, удаленная от кончика трещины, зона пластического растяжения. Подобная ситуация, как показывают расчеты, действительно реализуется при циклическом нагружении с переменной амплитудой напряжений. Разгрузка трещины сопровождается мгновенным образованием у кончика трещины сжатой пластической зоны, в то время как на некотором удалении от кончика трещины возникает зона остаточного растяжения, в которой напряжения могут достигать трети от предела текучести. В этой последней зоне в течение последующих циклов нагружения могут локализоваться пластические деформации, образуя новый очаг пластического течения.

Вычисление параметров, определяющих локализацию зон пластического течения, сопряжено с решением сложной системы двух нелинейных уравнений и поэтому реализовано численно. Величина раскрытия трещины при повторном нагружении вычисляется с помощью полученной точной формулы, в которую входят только указанные параметры локализации. Эта формула тем самым позволяет оценить влияние удаленной пластической зоны на величину раскрытия трещины.

Рассмотрим трещину нормального отрыва |л:11 < / в пластине в условиях плоского напряженного состояния. Обозначим через 7 предел текучести при одноосном растяжении.

Напряжения и перемещения представляются через единственный комплексный потенциал по формулам Колосова-Мусхелишвили [3]:

ф*(Х) - комплексный потенциал, который является аналитической в верхней полуплоскости 1т 2 > 0 функцией комплексной переменной 2 = х1 + гх2; Сг - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона; Е - модуль Юнга; а^2 - нормальные растягивающие напряжения на бесконечности.

Обозначим через 6 у, й1 напряжения и перемещения, а через хх = I + с - координату границы пластической зоны при первом нагружении напряжением сг^ . В соответствии с решением Дагдейла находим:

Для исследования напряженно-деформированного состояния после разгрузки пластины введем следующие разности: Да& = а у — а у и Ащ =Ц - й1, где сту и Ц - остаточные напряжения и перемещения, которые наблюдаются в пластине с трещиной после разгрузки. Основой последующего анализа является предположение о том, что после снятия нагрузки у вершины трещины мгновенно происходит перераспределение напряжений: нормальные растягивающие напряжения на пределе текучести мгновенно сменяются сжимающими, равными пределу текучести при сжатии. Таким образом, поле остаточных напряжений сжимает вершину трещины, что приводит к ее закрытию. Что касается перемещений, то поскольку снятие нагрузки за пределами локализованной зоны сжатия приводит к обратному переходу из пластичности в упругое состояние, то изменения нормальных перемещений вне указанной зоны остаточного сжатия не происходит.

Исходя из приведенного выше анализа, для определения комплексного потенциала Дф* граничные условия могут быть сформулированы в виде

<т*, = 2Яе[|Г?г^>*]- 2х21т[с?,2<^* ], <у*гг = 2 ]+ 2х21т[г??г/7* | сг*2 — —2х-^к.^\д\(р ]; (1)

2вщ =(лг-1)Ке[р*]-2х21т[<?г0>*], Юи*2 = (л: + 1)1т[<р*]~2х2Ке[<^//>*]. (2)

в которых

^^■■ = -1п(£2 -1)-21псо5/£ + 21п(8т/? + д/1-£2 соб2 уб) + ^1п~-у +

(4)

— = вес В — 1, /

(5)

где введены следующие безразмерные величины:

(6)

Аи2 = 0 (|x, | >/ + с, x2 = 0) , дгА(р*(г) = 0(z 2) (z —> oo) ,

(7)

где Да22 = Аа22 + , х, = I + с - координата остаточной сжатой пластической зоны.

Предполагается (и это подтверждается полученным решением), что при повторном нагружении пластины растягивающим напряжением образуются две локализованные пластические зоны I < хх <1 + с и I + с' < х, <1 + с" , первая из которых примьпсает к вершине трещины, а вторая находится на некотором удалении от первой.

Относительно разностей Асу у = а,; — ау. и Дм, = м, - и, снова получается упругая задача с

граничными условиями вида

Да22 = 27-(/<|х, | </ + с, х2 = 0), Да22=2У-а^ (/^Щ^/ч-с, х2 =0);

Да22 = У-о22 -а^ (1 + с' < |х, | < 1 + с", х2 = 0); (8)

Д«2 = 0 (1 + с <\х: | < 1 + с', х2 = 0; ^1 > 1 + с", х2 = 0), <5гДф*(г) = 0(г~2) (г—>°о),

где Да22 = Асг22 — ^22 •

Граничные задачи (7), (8) относительно потенциала Дф* сводятся к смешанной задаче теории аналитических функций для верхней полуплоскости, которая может быть эффективно разрешена с помощью интегралов типа Коши [4], анализ которых в случае дополнительной пластической зоны представляет, однако, значительные трудности.

Решение граничной задачи (7) может быть получено в замкнутом виде. Для определения

комплексного потенциала Дф* может быть получено следующее уравнение:

dA<p*(z)

dz

1

'22

'Jg+cf-i1

Z-t

dt

(9)

где аналитическая ветвь корня определяется условием

(1 + с)2

¿>_(/ + ^=*_M±£L +

2 Z

(z —> 00) .

Интегралы в формуле (9), по существу, аналогичные тем, которые входят в схему Дагдей-ла, вычисляются явно как это приводится ниже:

1+С

1

-(1+С

1+С

У(/ + с)2 -t2

z-t

dt = -k(^z2 - (I + с)2 - z) (z *£[-/-c, / + c]) ;

f -J(l + c f -t2 r / ~ i

-----------------dt = -nxy (x, e[-/-c, l + c])\

, J 4 t - X,

-(l+c) 1

!fj(l + c)2 -t2 , 1 r~ ZTi 2", z-l

—----------------dt = -2z arcsin-----------------------\-J(l + c) -z In-f-

j t-z l + c yK z +1

(10)

(11)

+

V(/+c)a-z+g)i ~<2f1'+g)i .+1'. (zeHi

4(l + c)2 -I2 4(l + c)2 -z2 +(l + c)2-zl

r^(l + c) t ^^ arcsin—+ J(l + c)2 - x\ In

_» t - x, I + с

x, -/

X, +/

+

lJ(l + c)2 -t2 J л . I I 2 „ „2

I—------------dt = -2.x, arcsin—— + Jx¡ - (J + c) x

_t t-xx l + c

. (/ + c) + X\l . (/ + С) — XtI I j i - —, /1 л\

arcsin------------— + arc sin----------(be, >/ + c). (14)

I (/ + *,)(/ + ?) (Z-^XZ + c)} V|11 ' V '

В приведенных выше формулах у](1 + с)2 - г2 обозначает аналитическую ветвь, которая принимает вещественные положительные значения, если ге(-/-с,/ + с), символ 1п обозначает аналитическую ветвь, которая принимает вещественные значения, если I < г < I + с . Длина остаточной пластической зоны вычисляется по формуле

— = sec—-1. (15)

12

Поле остаточных напряжений определяется в виде

О 22 , 1 [ . SeC2y0 + £ . sec2/?-^ 1

—— = -1---<arcsin---- —V+arcsin-------- —Vf +

Y n [ (l + £)sec/? (l-|)sec/?J

+ -{arcsin Sec2^'2\+ Z + arcsin fa>sec>§); (16)

*[ (1 + 4) sec(/? / 2) (l-£)sec(/?/2)j N 1 ’

^ = -1 +1 {arcsin /2\+t + arcsin ^'2)Г* I (seA|^sec/b; (17)

7 л-[ (l + £)sec(/?/2) (l-£)sec(£/2)J 2 11

Остаточные перемещения определяются в виде

Ü*Sl = 21 пС^ЩЪ+2Ы-----------------ё + f-í1 COsl í =--4+lntf’ -1)f

2Í7 eos/? [sin(^/2) + Vl-^2cos2(^/2)]2 £ + 1

b (sin js-jl - :2 eos2 ~jl + 4 eos2 fi + l)(sinQg / 2>y/l - £2 eos2 Qg / 2) - eos2 (/? / 2) +1)2 (sin fi-Jí-^2 eos2 /0 - £ eos2 /? + l)(sin(/?/2)-y/l - £2 eos2 (y0 /2) + £eos2 0?/2) +1)2

(1 < |^| < sec(P / 2» ; (18)

—= — ln(^2 -1) - 2 ln eos¡3 + 2 ln(sin /3 + eos2 /?) +

, e1 (4 - lXsinp-y/1 - ^ COs2 P + ^COS2 p + 1) ,0,04/ld/ 04 ,im

+ ^ln--------------г f-.... =----------;---- (sec(P / 2) < |q < sec P). (19)

(£, + l)(sinpyi - ^2 COS2 P - %COS2 P + 1)

Как следует из приведенного решения, вблизи кончика трещины поле остаточных напряжений является сжимающим и стремится закрыть трещину. По мере удаления от трещины, сжимающие напряжения сменяются растягивающими. Максимум остаточного растягивающего напряжения достигается у правой границы пластической зоны, сформировавшейся непосредственно перед разгрузкой и равен

и21 ї\ . Зсоs2(/?/2)-l . sec(y?/2)|

max—— = -1 + —^ arcsm------f—^----+ arcsm———- >. (20)

Y я[ 2 cos (ß/2) 2 J v '

При малых значениях отношения / У этот максимум достигает значительной величины, равной одной трети предела текучести.

Безразмерная координата точки, в окрестности которой остаточное сжатие переходит в остаточное растяжение, есть

Е, = д/sec ß .

Решению, таким образом, подлежит краевая задача с условиями (8), в которых остаточное поле напряжений вычисляется по формулам (16), (17).

2. Локализация пластических деформаций при повторном нагружении.

Решение граничной задачи (8) имеет вид

2л д/G (z)dzA<р* = -(2Г - <х”2) | ^ G(yt) У Л + 2Y * dt + 4zY [ hit) dt + Cxz. (21)

/,J~4 t-z , t-z ,J, t-z

-(/+Cj -l J+c'

В последней формуле использованы следующие обозначения:

G(z) = [z2 - (/ + с")2][z2 - (/ + с')2][z2 - (/ + с)2], 2Yh(x{) = Y- а22 - ст* . (22)

Помимо неизвестных параметров локализации пластических деформаций, определению подлежит также и константа С,.

Устраняя сингулярность в формуле (21), приходим к условиям на границах пластических

зон:

Ит {2л^С(г)дЛ<р* ) = 0, lim (2я^в(г)д2А<р*) = 0, lim (2nJG{z)dtAq>*) = 0. (23)

Z-+1+C z-*l+c' z->l+c”

Введем три безразмерных параметра, характеризующих положение очагов пластических деформаций

1 _1 + с 1 _/ + с' 1 _1 + с"

А7” 1 + с ’ Д" “ 1 + с

и еще одно безразмерное отношение

>00

Е = -^1. (25)

2У

Условия устранения сингулярностей в граничных точках пластических зон примут тогда форму

1-2*Г 1(Д'_2-?ХА'"2-?) V 1(А~2А'~2 -д)(А~2А"~2 -д)

А Л 9(1-9) oJV 9(А~ -?)

«-¡г-

\(\-q){q-A'2A'-2) j , С,

А2А 2 д^2 і) <?(9-А'2) 217

1-S V (1-9)(Д"-2 -q) , ‘г (А“2 -q)(A А -q)

А2 Л 9(А'-2-9) ‘ oJll i(A_zA""-i)

dq л—-Ц- - 0 ;

q{q- A’2A’~2) 2Y12

-2 А ,-2

1-S Г I (1 ~ q)(A'~2 - q) j_ f К A-" -qXA~*A" -q)

Д2 jll q(A"-2-q) Jll

q(A-2A’-2 -q)

dq-

(9-A'2A'-2Xi-Äw), , C:

»2>

9(1-9)

dq + —"г* = 0

2Г7

где й(<?) = 1 - Б ( (AA" sec(ß / 2))2 > 9);

sec2 (ß /2)+(AA)_1 ^/<7

й(д) = 1-Е—~ <! arcsin

sec2 (ß IT)- (AAW)~1 -Jq л r^‘(1 + (AA")-'^)seC 09/2) ' “‘W‘J“‘(l-(AAV>/9)sec (ß 12.)

+ arcsm-

((AA"sec(ß/2))2 <<7 <(AA"secß)2) ;

1

71

. sec2(ß/2) + (AA "y'-Jq . sec2 (ß / 2) - (AA")_1 Jq

arcsin---------------—---------^— + arcsin--------------—-------^+

(1 + (AA")'1 л/9) sec(ß /2) (1 - (AA")'1 У«?) sec(ß / 2)

+ ■

2tc

. sec2ß + (AA") ‘J* . sec2ß-(AA")lJq

arcsin----------■ „+arcsin- v

(1 + (AA")“‘ Jq)secß (1 - (AAV Jq)secß

(4>(AA"secß)2).

Полученная система уравнений после вычитания второго уравнения из третьего, а третьего уравнения из первого приобретает вид (первое уравнение сохраняется неизменным, но становится последним по порядку следования)

1-9

А-2-9

-2 * '-2

-dq +

J %).

9-А

»2

9(1_ 9)(9 “ А'-2 А"2)

Д'2Д"

-dq = 0;

(1-Ы л,- Г

Н пП - п\(А"~2 - J

А~2А'~2 -q

q(l-q)(A^-q) ' ¿Л q(A^ - q){A'2 А'~2 - q)

-dq +

I %),

9-Д'-2 А"2

9(1-9X9 “А"2)

Д“Л"

-dq = 0;

(26)

1 -Е V І(А'~2 -q)(A^ -q) , V /(А-2А'*2 -^ХА^А"2 -4)

і яг-2

9(1 - 9)

* /-А-2л'-2

9(А -9)

q(q- А’2)

2YI

Полученная система уравнений (2.6) может быть также представлена в сжатой форме:

(1 — 2)«/13 — Jn + Ьп = 0; (1 — 2)с/23 — «/21 + ¿22 ~ ®»

(1 - Е)/33 - А2/31 + А"_2532 + С2У>-1/~2Л2С71 = 0, (27)

или, предполагая, что длина удаленной пластической зоны значительно меньше длины трещины и заменяя функцию /?(#) ее максимальным значением,

(1 - ВДз +/!,/,, = 0; (I- - Л, + Й.Л, =0;

(1 - ВД, - Д2/„ + Д'V,, + (2У)4 Г2 ДгС, = 0, (28)

где введены следующие обозначения:

J,

= !

b-2~q г _ С Ч-А"2

-q)

dq > J\2 ~ J

dq;

Д“Д'

¿.2 = f Afo),

Д'2Д'*2 1

tf-A

»2

qil-qXq-A'-2^2

^ dq\ Jn - f

1 -q

q(A ~q)(А'"2 -q)

-dq ;

J2i - |л

A~2A '~2-q , T f q- A'~2A”2

\dq\ J22= J

?(a-2 - q)(A~2A"-2 -q)

q(i~qXq~A"2)

A A'”

l I ö_A'_2A"2

¿22= I Kq)J n dq; J2i =

A,l> \ q(l-q)(q-А ) 23

f A'-2-qr ^ <

jy<,( 1-,

■?ХД -i)

..'j

о V 9(A -9) o V 9(1-i)

Г (1z.^-A-A-) j (1ZqMZ^1

q(q-Aff2) 32 ^ V q(q-A) *

. . v 1 f . 3cos2O0/2)-l . sec0§/2)l

h. = 1 - E--^arcsin-----„ A — + arcsin———-^.

л- [ 2cos (/?/2) 2 J

Для определения константы С, (или безразмерного отношения А2 С, / (2У72)) необходимо дополнительное уравнение. Наиболее простой путь получить это дополнительное условие

описывается ниже.

Прежде всего заметим, что из непрерывности нормальных перемещений на границах удаленной пластической зоны следуют условия

Ащ(1 + с',0) = 0, Аи2(1 + с",0) = 0. (29)

Интегрируя частную производную

дхх

вдоль удаленной пластической зоны и учитывая формулы (29), получим уравнение

/+е, дАи-,

\—Ldxx=0, (30)

м ^

в котором в силу (2) подынтегральное выражение выражается в форме

д ЛМ— (л, ,0) = ~~~ г Д ^ . (31)

А, 2в

Подставляя (21) в это последнее уравнение и затем интегрируя (31) вдоль удаленной пластической зоны, находим с помощью формулы (30), что (см. [5], формулы 235.00,235.17)

^- = -—------1 f h(a)\—t---------XA—=—nllla;,sUta +

2YJ2 К (,)

f Ні) ~7-----ПГ^ 5—^u(al,s)dq

J V9 (9 -а X?-д д ) v 2 ’4

Л .-maf'SH-

¡Íq(Á-2 -q){A-2A'-2 -q) '

_(!_,) П(а2,s)dq\--^J Kq)\^-^ldq.

¡ b(l-q)(A'-2-q) í V 9Í9~ A'2)

где

-(■ -z>j№ - f + A» ) <Á'lA'~2 -«ГТ <32)

0JV «0-9) oJV q(A2-q)

'2 2 1-9 2 2 A-2 -q 2 2 q-A"2 2 A"-2-A'-2 ^

“ = * ^ =S q-FEF*' S =~A^T- (33)

Альтернативное представление может быть получено с помощью формулы ([6], формула 1.2.27.5)

1 de 2 ТТЛ 2 Л

гЩсо ,s),

1(Д’-2-в\9-Д'-2)(0-1) 0'-0 (Д„ -2

где со2

А"-2-А'-2

А""2 - в'

В результате преобразований вместо (32) получается уравнение (см. также [5], формула 235.00)

С,Д2К(.0 ,„_2 V „ Л kq-A^Xq-A^A'-2)^ 2 w

Л,Ч *■-«>

(2Л4)

+

д! )КДА--С')п(ю^^-(і - j<34)

Д"-= . 1-Д'!Д'-г . д-=д"-= -Д' !Д~!

где = "д^Г = Т^; -..д->д~ '

С учетом уравнения (32) третье уравнение системы (27) примет вид

— (1 — 2)./3з + ./31 + Х32 = 0, (35)

или, в случае малого линейного размера удаленной пластической зоны,

-(1-2)/33 +/31+/гс732 =0, (36)

І

где J3l = fn(aB,s)J----- q---------------dq-, J33 = flT(a2,s)J---—------%----dq;

J E iq(A-2-q)(A-7A'-2-q) 4 33 ¡K ’ q(l- q)(A’~2 - q)4’

J” = -Х9-Д' ■Л'

Константа С, при этом вычисляется по формуле

С, А: 2Y12

■ _Д« V *(,) |Ф-*Х»-А-;А-г) д2 VJ(A-^ -?ХА-Л-^

<37>

Уравнения (35), (36) заменяют третье уравнение систем (27), (28) соответственно. Из полученных таким образом систем уравнений может быть исключен параметр (1 — Е) , § параметр А может быть принят в качестве независимого параметра нагружения.

Итак, решению относительно параметров локализации пластических деформаций А', А" подлежит система уравнений

где Л12 =

дйд

*^31 ^32 *^21 ~*~Л22 «/ц ^~А)2 _ «/21 А-22

*^33 ~ '^32 ^23 ■*" ^22 *Аз *^12 *^23 *^22

f Щд)]---------~А 2 2 d4> Л22= f H(q)l Ч-А"2А 2 dq;

V ^(1 - <?)(9 - Д А' ) 22 W]lq(l-q)(q-A"2) V

(38)

-Азг = [ ^(9)П(«2,5) I — } ^ dq ; //(9) = 1 — 2 — /г(й),

V 9(9 ” А )(<?_ А Д ) * Ш ^

или, в случае малого линейного размера удаленной пластической зоны, система

Jз, hJ32 1/21 1 hJ22 J1 j і hJj2 *J2] foJ22

J3 3 ./32 -/33 + *^22 '^13 ‘^12 *^23 '^22

(39)

Г 1 f • 3cos2 (ß / 2) — 1 . sec(ß/2)l

где h = —< arcsin---- — + arcsin———1 ^.

TT [ 2 cos3 (ß/2) 2 J

Укажем ряд канонических представлений интегралов, с помощью которых формулируются разрешающие системы уравнений через эллиптические интегралы Лежандра:

Jn = ■ , 2А-.ЛА”-2П(А, CT2,A'i)-(A"-2-l)F(n,A'j)b

VA"’2-Iі ;

J2. = .. 2А'- —ІА" 2П(Д, а2,Д'5)-(А"-2-А'-2)^(0,А'5)}; л/А"-2-1 1 '

л/А"~2 -1

л/Л"-2 -1

[П(52,А^)-ІГ(А^)]; (40)

г 2А (А ~2 -1) 2 А» ч я \ 1

--1 г ■ )+2-\|(1-^)(1-Д'г)1’

2А'(А'~2 -1)

71

”■ Л^ГГП(І’л")+АГ(Л'і)+^(>-2хі-Д'г)і

А"~2-1

где а =

Д"~2-1

ДА" -1

Следует отметить также следующие соотношения:

2А'(А'~2 -1)

^22 ^\2 ~ ‘

?Л (Л ~2 — “П

----- *(А',);

■у] А" -1 л/А -1

тгА'(А'~2 -1)

1

Л2+Лз-^.2 + Лз- л/^игт І(1-*2)(1-А'2)'

С помощью канонических представлений (40) и первых двух уравнений системы (28) находим

1 -Е-Л=-

А" 2П(0,<т2,Д'.у)-(Ди 2 - А' 2)^(0,А'5)-(А'2 -1)йс-у 21 і

(1-,2)(1-Д'2)

С> Г ю I \ П/г2 Л'сі 1^1 ^ ?

)_ ( ’ } 2І(1-*2)(1-А'2) (А'~2 -і)^(аАл)

(А'-2 -1) ПГт2 Л,-Л 1^1 ^

’ 2'У(1-52)(1-А'2)

1-Е-й„ =•

А""2П(Й,СГ2,А5)-| (А"-2-А'-2)тА',)-(А'-2-1)/гс^ 1 \ 1

(1-52)(1-А'2)

(А'“2 -1) -П(ЛД*) + К(Д я) + 5,1 7^ 1ГпГ 2 Ді (1 — лг2 )(1 — А )

Полученные уравнения затем после ряда преобразований приводятся к следующему виду:

*(Д'5)А = .Р(П,ДЪ); (41)

+

+ -

п

\

1-^

1-А

,2

+ А"-2П(П, сг2.,А'5)-(А"-2-А'-2^(0,А'5)

(42)

Уравнение (36) на основании (42) преобразуется к виду 1

|П (а^)^

А“2А"“2 -д

/-...а-:.-9

д(А^ -д)(А^А'^ -д) ' К(А'5) 0

д(\-д)(А'-2 -д)

2л1(1-з2)(1-А'2) \ (А'~2 -1)^(0, Ал) я-(Д'~2-1) [

К(ДЪ)

К(А 5) - П(52, А'з) + 1^(1 - 52 Г1 (1 - А'2)

-1

+

+ А"-2П(а<т2, Ал) - (А”-2 - А'-2 )Р(П, А я)}

- | П(а2,з) I

'Ггт. ч I А"-2 -

ДА*“

9(9 - А* )(# - А' А' )

(43)

Таким образом, уравнения (41), (43) образуют систему уравнений для определения параметров локализации пластического течения, пригодную для использования в случае малого

линейного размера удаленной пластической зоны, т. е. А"2А'~2 ~ 1. Напомним также, что величина А должна выступать в качестве параметра нагружения.

С помощью уравнения (42) уравнение (34) в случае А"2А'~2 ~ 1 сводится к следующему:

_дг■,..у*, _

2У7 д(А~2А”~2 -д) К(Дя) ¿V д(А -<7)

д(А -д)

2а/(1-^2)(1-А'2) Г (А'-2-1)^(0,А5)

я-(А'-2 -1)

К(Дл)

К(А 5) - П(52, А'л) + ^л/(!-‘у2)“1(1 - А'2)

+

+ А"_2П(й, сг2, А 5) - (А"-2 - А'-2 )Щ А «)}

А

а-яхд^2-?)™ ,

9(А^2 -д)

П(й) ,э)<Лд-

(44)

Численный анализ локализации пластических деформаций проводился в случае малого линейного размера удаленной пластической зоны. Система (39) была заменена эквивалентной системой уравнений

к^22 *^21 _ ^21 ^23 .

^22 ^2Ъ ?21 ~ ^22

(45)

«^31 _ ^21 ^23

J'І2 ^33 ^21 ^22

в которой

Численное решение системы уравнений (45) и (46) относительно параметров локализации А' и А" сопряжено со значительными трудностями и требует значительных затрат времени. Для оптимизации счета был специально разработан алгоритм ускоренного вычисления входящих в уравнения квадратур, основанный на разложении эллиптических интегралов в ускоренно сходящиеся ряды Фурье. Численные расчеты, которые проводились для случая, когда линейный размер удаленной локализованной пластической зоны значительно меньше длины трещины, подтверждают разрешимость указанной системы и, таким образом, также обосновывают предлагаемую схему локализации пластических деформаций.

Если характерный линейный размер удаленной пластической зоны нельзя считать малым по сравнению с длиной трещины, то система уравнений (45) и (46) должна быть заменена на

3. Вычисление раскрытия трещины при двухзонной локализации пластических деформаций.

Раскрытие трещины — один из важнейших параметров механики разрушения. Поэтому оценка влияния удаленной пластической зоны на трещину может быть выполнена на основе вычисления изменения раскрытия трещины, обусловленного влиянием второго очага локализации пластических деформаций. В принципе, для точного определения раскрытия трещины необходимо дополнительно учесть изменение геометрии берегов трещины, искаженных остаточными перемещениями. Однако перенос граничных условий на деформированные берега трещины делает невозможным аналитический анализ проблемы. В дальнейшем предполагается, что граничные условия формулируются на неискаженных берегах трещины.

Рассмотрим уравнение

интегрируя которое вдоль пластической зоны, примыкающей к кончику трещины, получим

Второе слагаемое в правой части полученного уравнения может быть вычислено только через три параметра локализации пластических деформаций А, А', А" , как показано ниже. Используя формулу (21), получим

ах1 20

(48)

(49)

Раскрытие трещины поэтому может быть вычислено по формуле

(50)

-f-2 \ta’

dO

(6' - в)т](А"~2 -в)(А'-2 -в)(\-в)

J Кв')

dd

А [_________ ________________________

2 Д2 (6'-в)л1(А"~2 -в)(А'-2 -в)(\-в)

Л /(А*-2 -#')(А'~2 -в')(1-в')

i

в'

dd-

-¥-*Ь

d6

1 /(А'-2 -в')(А'~2-в')(\-в')

2 &2 (в1 -в)т](А"~2-0)(А'~2 ~0)(1-0) о

Вводя обозначение

<9'

-d9'

. 2 1-А2

sm ^А71^’

можно заключить, что

YAI

Ч г

jlm^A^*] dxx^-^-F(y,s)~

J Kg).

1 -q

д.2д,2 ¡q{q-An2)(q-A”zA'^)

[(A'-2 - 1)П(г, /?|, 5)+(i - 9)F(^, -

Itz А \

(51)

V A"2A"-2 -g

Hq(A-2-q)(A-2A'-2-q)

[(A'-2 - 1)П(Г, pi,.)+(!--

(1-2) f -----

о ИО-

A”2 J— [(A'’2 - 1)П(/, p2,s)+(1 -g-)F(r,s)]dg,

<?)(A -<?)

(52)

#.1^*1.. #.1^*1.

q-1 9-A 9-Д

Подставляя формулу (52) в (50) и выражение для (1 - Z) , согласно уравнению (42), предполагая тем самым малым размер удаленной пластической зоны, после многочисленных преобразований получим

ihMHi=д-i +Д. F(r, s) -

4А17 cos р 2Y1

J,

А —2 A *—2

А А -д Г/л,-2 1ЛГТ/.. д2

i-2 „va-2a>-2

<?(л -g)(A~zA'~z -я)

[(А'-2 - 1)П(у,р2,s) + (1 -9)F(r,i)]^-

£>‘fp s) ¿119(1-

F(Q,As ) ‘f I A"’2 -9 K(A

q)(A'~2-q)

[(A'"2 - 1)П(к, /?2,s) + (1 -<?)F(r, j)]igr-

2a/(1-j2)(1-A>2) f (A'~2 -l)F(Q,A',y)

л-(А'~2-1) { K(A's)

K(A's)-n(s2,A j)+y A/(i-i2r1(i-A'2r1

+ А'-2П(П, CT2, As) - (A"“2 - A'-2 )F(Q, Ai) X

' A"~2-q _uK,-2

i

q(l~q)(A' 2~q)

[(A 2 -\)Щу,р2,s) + (l-q)F(y,s)\dq +

■ w

д*2д-2 V

1 -q

q(q—A’2 )(q—A"2 A'-2 )

[(A'~2 -1)П(y,pl,s) + (\-q)F{y,s)-\dq\. (53)

Если исключить теперь константу С, из последнего уравнения с помощью соотношения (44), то для вычисления раскрытия трещины при повторном нагружении можно получить формулу

яЕй2 УА"~2 -1 _ Д_1 ^,,-2 t ln cos2(р/ 2) +

4AYI cos ¡3

F(r,s) ‘г ((A'2 -q)(Д-2Л'-2 -*)„,*

F2(y,s) V 1(1 -д)(А - д)тлг^2 A2K2(s)H q(A”-2-q)

П (со2 ,s)dq

2F(r,s) V(i-s2)(i-A'2) [ (A'~2 -1)F(Q,AV) ;tA2K(s) (A'-2-l) {

K(A'i)

K(A's) - n(s2, As)+^ ^(i-s2yl(i-A'2)

-1

+A*'2n(n,(T2,Ai)-(A"'2 -A'-2)F(d,As)U J.

'A If IV-vXA’-2 -q) „(2

q(A”~2 -q)

П

(a>2 ,s)dq-

i

д'2д'2 v

9(1 -<?)

i

-i

A-2A"-2-q

q(A 2-q)(А 2Д' 2 -9)

[(A''2 - 1)П(Г,Pi,*) + (!-i)]d?-

F(Q,As ) * I

a7*T” fJ-----f----------[(A'’2 -l)n(/,/?2,s) + (l-9)F(r,s)№-

K(A'v) Mq(l-q)(A'-2-q)

2-J(l-s2)(l-A'2) f (A'-2-1)F(0,Aj)

я-(А'-2 -l) 1 K(A's)

K(As)-n(s2,As)+^V(i-s2)4a-A'2)'

+ A"“2n(Q, (T2,As)-(A "~2 - A'-2 )F(Q, As) I x

1 I A"-2-q

I q(i~q)(A'~2 —g)

[(A'-2 - 1)П(у,p2,s) + (I-q)F(y,s)]dq +

+ [ ]-Г......г/-Л-Т7Г7^7 [(А'-2-\)Щу,р2,!!) + (\-ч)Р(у,*)]с1<Л. (54)

А''- А'

2л.2,^-а’2)(9-а"2Д''2)

Уравнение (54) позволяет вычислить раскрытие трещины, если три безразмерных параметра локализации пластических деформаций А, А', А" определены или заданы. Тем самым может бьггь охарактеризовано влияние удаленной пластической зоны на трещину.

В случае, если характерный линейный размер удаленной пластической зоны сравним с длиной трещины, то на основании формул (50) и (52) и (37) находим

яЕй2(1,0) _ со52(Р!2) А [С,

4« (55)

где (] А'Г.,? -КА'-г-1)П0-,/;г,»)ч-(1-^(г,д)№;

¿У4(1-4)(Л -я)

V,

А-2 А ”-2-д

^Я(А^ -д)(А~2А'-2 -д)

= 1 Н{С1)\-г-т,2~л-7^ггг, кд'~2-т(У,Р1*)+(1-я)Р(у,*№-,

\д(д-А"2)(д-А"2А'2)

§- = А"-2А-2532 + /31 - (1 - 2)Д-2(/33 + А"~2/32);

2Н2

1

д.2д^2 V Ч(Я~А ) А3 +J\2

Таким образом, если параметры локализации определены, то формула (55) позволяет вычислить раскрытие трещины при любой протяженности удаленной пластической зоны (для этого необходимо вычислить только приведенные выше квадратуры).

Асимптотический анализ величины раскрытия трещины при малой (по сравнению с длиной трещины) длине удаленной пластической зоны приводит к простой зависимости

||ли2 = -у[2-(4Г)-,яа/(А'-2-1)-1^] ( А"2А'-2 -> 1 -0 ) (56)

для дополнительного закрытия трещины при повторном нагружении.

Таким образом, возникновение нового очага пластического течения при повторном нагружении проявляется в форме дополнительного закрытия трещины, асимптотическое значение которого может быть вычислено по формуле (56).

1. Dugdale D. S. Yielding of steel sheets containing slits // J. Mech. Phys. Solids. 1960. V. 8 . No. 2. P. 100-104.

2. Качанов JI. М. Основы механики разрушения. М.: Наука, 1974. 312 с.

3. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Изд-во АН СССР, 1954. 648 с.

4. Штаерман И. Я. Контактная задача теории упругости. М.- Л.: Гостехтеориздат, 1949. 272 с.

5. Byrd Р. F., Friedman М. D. Handbook of elliptic integrals for engineers and physicist. Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1954. P. 68-161.

6. Прудников А. П., Брычков Ю. A., Маричев О. И Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.