Упруго-пластическое разрушение труб с поверхностной трещиной Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4

УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЕ РАЗРУШЕНИЕ ТРУБ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ

АЛ. Остсемин, П.Б. Уткин

Рассматривается задача о разрушающем кольцевом напряжении для относительно тонкостенных труб с осевой поверхностной трещиной. При решении материал считаем упругим, за исключением деформированных зон в нетто-сечении и концах трещины, которые заменяются эквивалентными напряжениями, являющимися граничными условиями для задачи при уп-руго-пластическом разрушении. Используя аппарат комплексной переменной, данная задача была аналитически решена при использовании некоторых предположений на граничные условия. Полученное решение дает возможность вычислить кольцевое напряжение в трубе. В качестве критериев разрушения берутся два условия. Во-первых, раскрытие трещины достигает критического значения для материала, во-вторых, напряжение в нетто-сечении трещины достигает напряжения разрушения для данного материала. По формулам были проведены вычисления для сравнения с экспериментальными данными для нескольких типов труб с поверхностной осевой трещиной.

1. Введение

В последние годы на магистральных газопроводах РФ отмечен рост аварийности связанный с стресс-коррозией. При обследовании участков газопровода Уренгой-Петровск протяженностью 1453 м было выявлено 744 стресс-коррозионных дефекта. Отдельные дефекты имели глубину до 7 мм и длину до 4,5 м. Ресурс работоспособности трубопровода определяется временем его эксплуатации до момента сквозного разрушения стенки. Еще более неопределенным является время зарождения порогового дефекта, способность к стабильному росту при эксплуатации магистралей, трубопроводов, теплотрасс, водоводов и сосудов давления. Разрушение магистральных трубопроводов, изготовленных из трубной стали класса прочности К-52, явилось следствием зарождения на наружной поверхности трубы продольных коррозионно-механических трещин, расположенных в нижней части трубы вблизи продольного сварного шва. Работоспособность трубопроводов во многих случаях обуславливается наличием в них концентраторов напряжений -трещин, рисок, царапин, каверн. В настоящее время недостаточно изучено распределение напряжений и деформаций в трубах с поверхностной трещиной. В этом случае задача становится трехмерной и, при учете пластических деформаций, развивающихся в вершине трещины, трудноразрешимой и актуальной.

Рассмотрено напряженно-деформированное состояние трубы с поверхностной осевой трещиной при плоско-напряженном состоянии. Применяя модель Панасюка-Дагдейла и деформационные критерии разрушения (критическое раскрытие трещины) получены аналитические формулы, дающие связь между характеристиками материала и разрушающим кольцевым напряжением трубы.

2. Схематическое описание задачи

Труба считается бесконечной, с приложенным внутренним давлением перпендикулярным плоскости трещины. Трещина считается линейной, постоянной глубины. Из-за приложенного усилия трещина имеет тенденцию к раскрытию и деформации нетто-сечения, равно как и прилегающие зоны. Раскрытие трещины варьируется вдоль длины трещины и будет максимально в центре трещины. Предполагаем, что трещина вместе с некоторой окрестностью (пластической зоной) отсутствует, а силы, действующие в данной зоне, заменяются на граничные условия в соответствующей упруго-пластической задаче. Схема трещины дана на рис. 1. Разрез дан вдоль трещины, темно-серым показаны пластические зоны у концов трещины.

Математическую модель задачи можно описать в следующих терминах и предположениях.

2а

21

1. Труба имеет поверхностную осевую трещину.

2. На трещину действуют растягивающие силы, которые при рассмотрении задачи заменяем напряжениями, действующие в нетто-сечении трещины.

3. На обоих концах трещины растягивающие силы заменены напряжениями, действующими в кончиках трещины (пластической зоне).

Если глубина трещины постоянна и материал идеально упругий, то силы, передающиеся через нетго-сечение трещины постоянны. С другой стороны если материал подвержен деформационному упрочнению, то эти силы есть функция от деформации и таким образом зависят от раскрытия трещины, достигая максимума в центре.

= 1 трещина і d t

henmiu-к едение *

Рис. 1

3. Критерий разрушения нетто-сечения поверхностной трещины

Для описания разрушения необходимо определить критерий разрушения нетто-сечения поверхностной трещины трубы. По аналогии с критерием разрушения, мы предположим, что раз-рушение (распространение трещины) возникает когда:

1) напряжение в центре трещины достигло критического значения для материала;

2) раскрытие трещины в центре трещины достигло критического значения 8С определещого

для каждого материала. ■

4. Аналитическое решение

На основании схематического описания задачи возможно теоретическое определение напряженно-деформированного состояния трубы с поверхностной трещиной (й? - глубина, 21 - длина трещины, I - толщина стенки трубы).

Для эллиптических трещин при решении задачи используется конформное преобразование

плоскости [7] z = а)(£) = и

„ т ] а+b а+Ъ

С, +— где параметры п =--------,т =----- определяются через пара-

С) 2 а-Ъ

метры эллипса а (большая полуось) и Ъ (малая полуось). В нашем случае для трещины считается, что малая полуось равна нулю. Это означает равенство т = 1, и = а Ию.

Мы предполагаем, что длина пластичной зоны равна действительной длине трещины 21 тогда как длина трещины включая зоны пластичности у концов трещины равны 2а. Эти два параметра связаны соотношением / = acos(or) ,где а - есть вспомогательный параметр.

Граничные условия определяем так: напряжение на бесконечности равно кольцевому напряжению ав, функцию распределения напряжения в нетго-сечении поверхностной трещины, которая зависит от расстояния х от вершины до центра трещины, предела текучести аТ, предела прочности ав, напряжения пластического течения а = кхав предполагаем равной:

PW^d-tXo-ia-ba^a&Ilf)), (1)

/=1

где к\ характеризует момент потери устойчивости (напряжение пластического течения а) пластического деформирования участка около вершины трещины, учитывает коэффициент двухос-ности нагружения стенки трубы т0 и показатель деформационного упрочнения п степенной аппроксимации диаграммы деформирования; к2 определяет границу локализованной пластической зоны и зависит от коэффициента поперечной деформации /л. Исходя из условий аналитического решения задачи предполагаем симметричность функции напряжений (1), которая является полиномом четной степени (например, 2 и 4). На рис. 2 показаны распределения напряжения в нетто-сечении для случая полинома 2 степени (вариант 1) и четвертой степени (вариант 2). Предполагаем также, что эти силы распределены независимо от глубины листа. Соответствующее распре-

деление напряжения, которое будет использовано как граничные условия соответствующей плоской задачи упругости, равно о(х) = P(x)/(d -t), в добавлении предполагаем, что напряжение на

к

концах трещины равно к2от, что означает равенство =1.

1=1

Используя аппарат функций комплексного переменного Колосова-Мусхелишвили [1-2] и разбив задачу на три подзадачи - первая задача состоит в вычислении комплексных потенциалов Ф(£) и *¥(£) для напряженного состояния в окрестности трещины (напряжение на границе трещины равно нулю) и напряжение на бесконечности равно од, вторая задача учитывает напряжение, передаваемое через нетго-сечение трещины, и последняя задача учитывает напряжение на кончиках трещины (в пластической зоне). В завершении для суммирования этих задач предполагаем, что результирующий комплексный потенциал может быть получен как сумма решений выше перечисленных задач с определенными весами, а именно мерой зоны действия соответствующих сил по принципу суперпозиции. Аналитические решения некоторых выше перечисленных задач можно взять из [1,2].

В качестве результата теоретического анализа получаются следующие два комплексных потенциала Ф(£),Ч'(£) (громоздкие выкладки не приводятся):

d^k{aB-{k^B-kja^Y^-

_ а ф=—

cos(a)

\ а» N 'i-*i \ cos (а) (хо-г +—1- d

) 2 и1 < t) > п t

ы 2

Г

2i-2m + l 2i-2m-l

асуj d

2m t

z, f g2-e2ia^

-In

a

2 -2ia

C-e

-cos(a)ln

l-£2 + 2i£sm(a) 1 - - 2i£ sin(a)

(2)

2 a£

C2-l

cos(a)

/

2

csvi-M)

V * / Z M m=0

1--4 /

кхав-{кхав-к2<тт)Е-Ьг i=i 2

k a.-C'A ajd .(, d'

2

cos(or)

1--V t j

2i-2m-\ \

acrT d л t

2i-2m + l 2/ -2m-I

аат d

2ni t

cos(a)ln

1 - if2 + 2/^ sin(or) \\-£2-2i£sin(a))

(3)

Аналогично подходу Дагдейла для исключения разрыва напряжений в концах трещины = ±1), необходимо, чтобы коэффициент при (£2 -1)1 в выражении (3) функции был равен нулю. Это приводит к следующему условию:

cos(a) (

кхав - (кхав - к2сгт)^^§г /=1 2

2л.

2

ч t j

cos(a)

+-

аат d ж t

= 0. (4)

Преобразовывая уравнение (4), получим:

■-Г '

V

о-в

От

соз(а)+

2а й _ ад сі лі <хТ і

(5)

1-1^

ч - ч »=1 2 У М 2 °г

Из данного уравнения можно найти параметр а и далее размер пластических зон согласно модели Панасюка-Дагдейла

а-/ = а(1-соз(а)).

Далее через комплексный потенциал Ф(<0 из уравнения (2) можно определить раскрытие трещины 8:

4 8

у = -|Ле(/Ф)=|,

8 =

4/сгт

я\£

л 1 —

Г 8Іп((2/ -2т + \)в) бш((2/ -2т-1)0)

и ав іс [у1 аі у1 £т(*Щ2і-2т + 1)0) °т 2Ш22іІо Ч 2/-2т + \

2і-2т-\

+ (6)

+—

ґ

соз(а)

1п

віп {9-а)

-1п

вт^ + вта

2 /і{и(х, у) + /у(х, у)) = к<р{г)- 2(р'{г) -ц/(г), <р{а)+а<р'(о)+ц/{а) = /, + і/2,

эт(в+а)

Уравнение на перемещение у легко получим из следующих соображений: учитывая, что рассматривается случай плоско-напряженного состояния и интересующая точка есть г = 0, можно, пользуясь уравнением для у, из [1] получить его в данном виде. Действительно, согласно [1, с. 149]:

(7)

(8)

где к = и +1/2 = г |(Хп + ) *&. Если нам нужно раскрытие трещины в центре, то вы-

Я + м 0

числим значение функции у в точке г = 0. Складывая формулы (7) и (8) получим:

2ц(и + /у) = (аг + \)<р{а) - (У! + г/2) • (9)

Из формулы (9) сравнивая мнимые части, получаем:

V = (1/2//)((аг + 1)1ш(^(сг)) - /2 ). (10)

Далее заметим, что в случае линейной трещины и одноосного напряжения /2 = 0. Данное

замечание можно обобщить на случай симметричной трещины и симметричного распределения

напряжения. Итого (10) превращается:

у=- Іт(^(ег)) = --Ке(/^>(<т)).

— ч-т, (П)

2м УГУ " 2м

Осталось учесть, что в плоском случае надо провести замену А-» Л* = 2Ям/(Л + 2м) после

чего, преобразовывая = 4

2м

———— = — из уравнения (11), получаем первую формулу (6). М@Я+2м) Е

Использование данной формулы возможно только на границе отверстия.

В уравнении (6) также учтено что £ = е’в. Далее подставляя значение в = л/2 (что характеризует центр трещины) получаем:

_ 4/<тг ( (% .

<51=—л 1 —

лЕ

и

\ ав і ^ л 2</. . (а ягУ

іЕам+—

V °Г )ы 1 У2 4У)

(12)

где

4=І2<ЗНУ

2 т=0

1

1

2і-2/и + 1 2/-2/И-1

Критическое раскрытие трещины 8С есть характеристика материала [6]. Таким образом, формулы (4) и (12) устанавливают связь между геометрическими характеристиками трещины (длина и глубина), характеристиками материала (пределы текучести и прочностиат,сгв) и разрушающим кольцевым напряжением ад.

Из формулы (12) можно определить параметр а по формуле:

а = 2\%

-1

ехр

ЗсжЕ

8/ау

1-

а_

и

\С а \к кх--к

(Гг

У\

І=1

У)

ж

2

(13)

Далее воспользовавшись выражением (5) определяем отношение (тв/сгт :

(У,

в__

2а сі ж і

+ соз(а)

!-у

кі

і=1

£

І у

. о

(14)

сова;

Для проверки теоретического анализа были взяты экспериментальные данные, после чего проведено сравнение экспериментальных и аналитических результатов, вычисленных по формулам (13) и (14). В качестве примера приведены табл. 1,2. Экспериментальные данные табл. 1 взяты из работ Даффи А., проведенных в США [4], для стали Х-52 и из [5] - для российских труб большого диаметра, испытанных в ООО «ВНИИСТ» (Москва) (см. табл. 2). Критическое раскрытие трещины 8С трубных сталей приведено в [6]. Средняя погрешность полученных результатов составила менее 6% (см. табл. 1) и 5,5% (см. табл. 2).

Данные для труб из табл. 1: Л = 380 мм, t = 9,5 мм, 8С = 0,27 мм.

Таблица 1

№ п/п Марка стали <7Т, МПа МПа <Ш 1, мм Разрушающее давление (МПА) и погрешности вычисления (в %)

— ЭКС _ді ав _Я2 ав погр. вар.1 погр. вар.2

1 Х-52 449,3 586,4 0,3895 180 372 363,03 370,56 2,41025 0,3867

2 449,3 593,5 0,3895 111 406 383,5 390,16 5,54095 3,9014

3 428,9 574,4 0,6 179 249 265,32 270,48 6,55605 8,6261

4 428,9 574,4 0,6 103,5 287 298,83 303,39 4,12269 5,7107

5 448,6 564,6 0,8105 36 390 350,97 351,83 10,007 9,7866

Среднее 5,72748 5,6823

Данные для труб из табл. 2: 8С = 0,27 мм; 08Г2ФБТ (Я = 710 мм, /=15,7 мм); Х-70 (Д = 710 мм, / = 16,0 мм); 13Г1С (7? = 610 мм, і = 12,0 мм).

Таблица 2

№ п/п Марка стали с*т, МПа ав ? МПа (Ш 1, мм Разрушающее давление (МПА) и погрешности вычисления (в %)

— ЭКС ао л-51 _В2 погр. вар.1 погр. вар.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 АЮІ304 150,92 426,3 0,5 75 161,7 157,3 169,2 2,73754 4,6406

2 147 416,5 0,77 75 95,2 89,98 95,4 5,53663 0,1488

3 140,14 408,66 0,9 50 52,7 54,8 57,1 3,95382 8,2372

4 146,02 414,54 0,914 20 86 77,9 79,53 9,48442 7,5698

5 Среднее 5,4281 5,1491

Окончание табл. 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6 Х-70 435,4 622 0,6 225 317 286,95 293,37 9,48053 7,4556

7 13Г1С 402,2 519 0,5417 150 274 241,66 246,64 11,8046 9,9841

8 08Г2ФБТ 535,5 653 0,5172 260 328 333,07 338,41 1,54592 3,1734

9 08Г2ФБТ 546,9 667 0,5414 260 323 322,94 328,11 0,01797 1,5822

10 08Г2БТ 483 600 0,694 222,5 232 223,11 226,36 3,83149 2,4327

11 Среднее 5,33611 4,9256

В табл. 1, 2 приведены расчеты по двум различным вариантам для функции Р(х). В первом варианте функция взята равной Р(х) = х2, во втором - равной Р(х) = х4. Используя такие таблицы для различных параметров трещины, можно решить обратную задачу, а именно найти критические параметры (глубину и длину) трещины для заданного кольцевого напряжения. Такая трактовка задачи даст возможность нормировать поверхностные трещины из соображений безопасной эксплуатации трубопроводов.

5. Практическое применение полученных результатов

Для широко распространенной низколегированной марки стали 17Г1С-У аТ - 360 МПа, ав - 520 МПа, ств = <тт(<7в)/п, где п = 2 - коэффициент запаса, с помощью предложенного теоретического аппарата при решении данной задачи построены ниже приведенные табл. 3, 4 с раскрытием трещины 8С = 0,12 мм и дс — 0,09 мм по двум вышеописанным вариантам.

Если трубопровод подвергался внешним неблагоприятным воздействиям (старение, температура, длительный эксплуатация), то процесс разрушения характеризуется снижением раскрытия трещины с 8С = 0,12 мм до 8С - 0,09 мм. Поэтому получаются другие размеры поверхностного дефекта (длина трещины уменьшается).

Таблица 3

М Длина трещины 21

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0,5 31,56 28,28 26,83 26,002 25,464 25,085 24,805 24,588 24,416 24,276

0,6 29,08 24,84 23,01 21,994 21,346 20,897 20,567 20,314 20,115 19,953

0,7 26,29 21,1 18,96 17,787 17,052 16,548 16,181 15,902 15,683 15,506

Таблица 4

М Длина трещины 21

50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0,5 31,97 28,93 27,54 26,734 26,205 25,831 25,552 25,337 25,165 25,025

0,6 29,45 25,36 23,58 22,572 21,929 21,482 21,152 20,9 20,701 20,539

0,7 26,58 21,5 19,38 18,214 17,482 16,98 16,614 16,335 16,116 15,939

С точки зрения новой теоретической модели согласно полученным табл. 3 и 4, задавшись внутренним статическим давлением и коэффициентом запаса 2, были вычислены предельная относительная глубина </// и длина трещины 21 (мм) при 8С = 0,12 мм при различных кольцевых напряжениях сгв (180 МПа и 260 МПа).

180 МПа

Таблица 5

Вар. 1 Вар. 2

сі/ї 0,7 0,7

21 250 275

260 МПа

Таблица 6

Вар. 1 Вар. 2

сі/і 0,5 0,5

21 250 350

при дс = 0,09 мм

180 МПа

Таблица 7

Вар. 1 Вар.2

djt 0,7 0,7

21 180 220

260 МПа

Таблица 8

Вар. 1 Вар.2

djt 0,5 0,5

21 200 250

Таким образом, с увеличением разрушающего кольцевого напряжения ав труб большого диаметра с 180 МПа до 260 МПа относительная глубина djt поверхностного дефекта снижается с 0,7 до 0,5 для обоих вариантов и значений раскрытия трещины 5С. Когда дс снижается с 0,12 мм до 0,09 мм длина поверхностной трещины уменьшается с 250 до 200 мм по первому варианту и с 350 до 250 мм по второму варианту.

6. Выводы

1. Проведен теоретический анализ методом теории функций комплексного переменного Мусхелишвили по определению разрушающего кольцевого напряжения при вязком разрушении тонкостенных труб, сосудов давления с продольной поверхностной трещиной на основе раскрытия трещины. Показано хорошее соответствие новых теоретических формул и экспериментальных натурных гидравлических испытаний А. Даффи и российских ученых. Погрешность составила не более 6 %.

2. Предложена новая математическая модель распределения напряжений в нетго-сечении поверхностной трещины трубы на основе напряжения пластического течения а; коэффициента определяющего границу локализованной пластической зоны с учетом коэффициента поперечной деформации и деформационного упрочнения трубной стали.

3. Получены нормы отбраковки поверхностных трещин трубопроводов, сосудов давления, теплотрасс, водоводов, которые полезны при их диагностике и капитальном ремонте. Максимальная относительная глубина трещины равна 70% от толщины стенки трубы, а максимальная длина трещины равна 180 мм при коэффициенте запаса равного 2.

Работа поддержана грантом РФФИ 05-08-18179а.

Литература

1. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М. 1966.-708 с.

2. Гудьер Дж. Математическая теория равновесных трещин - Разрушение. - М.: Мир, 1975. -Т.2.-С. 13-82.

3. Dugdale D.S. Yielding of steel sheets containing splits. // J. Mech. Phys. Solids. - 1960. - V. 8. -P. 100-104.

4. Duffy A.R., Eiber R.J., Maxey W.A. Recent work on flaw behavior in pressure vessels. // Symp. Frac. Toughness Concepts, UKAEA, England. - 1965.

5. Применение модели вязкого разрушения труб с осевым дефектом для анализа результатов натурных экспериментов / И.В. Орыняк, С.В. Ляшенко, В.М. Тороп, В.Н. Горицкий // Проблемы прочности. - 1996. - № 6. - С. 5-15.

6. Красовский А.Я., Красико В.Н. Трещиностойкость сталей магистральных трубопроводов. - Киев: Наук, думка, 1990. - 176 с.

7. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 4.1. Функции одного переменного. - М: Лань, 2004.

Поступила в редакцию 17 июля 2006 г.