ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА

УДК 546.26

Б01: 10.33184/Ьи11е1т-Ь8и-2019.4.1

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ, ОПИСЫВАЮЩЕГО ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ С ПЕРЕМЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

© В. П. Павлов, Л. Р. Нусратуллина*

Уфимский государственный авиационный технический университет Россия, Республика Башкортостан, 450008 г. Уфа, ул. К. Маркса, 12.

Тел.: +7 (34 7) 273 0 7 26.

*ЕтаИ: [email protected]

В статье приводится методика построения точных решений для задачи о собственных поперечных колебаниях стержня с переменным вдоль оси сечением. В качестве тестового примера рассмотрен стержень, шарнирно закрепленный по концам, имеющий прямоугольное поперечное сечение, изменяющееся вдоль оси стержня. Для определения размеров сечения стержня предложены функции, параметрами которых являются номер формы собственных колебаний, частота собственных колебаний, длина стержня, модуль Юнга и плотность материала. Построено конкретное точное решение и на его основе оценена точность метода алгебраических полиномов, разработанного для определения частот собственных колебаний стержня с переменным поперечным сечением.

Ключевые слова: стержень переменного сечения, поперечные колебания, краевые условия, точные решения, численный метод.

Введение

Конструкции из стержней часто применяются в машиностроении, авиа-, ракето-, судостроении и строительстве. В технических расчетах на колебания деталей разнообразных конструкций широко используются результаты, полученные в работах И. М. Бабакова [1], В. И. Феодосьева [2], С. П. Тимошенко [3], И. А. Биргера [4], Р. Р. Мавлютова [5], Б. Ф. Шорра, Г. Б. Иосилевича [6], Г. С. Скубачев-ского [7], А. П. Филина [8]. В перечисленных выше работах решается прямая задача, при решении которой для заданных конструкций определяются частоты собственных колебаний. На практике приходится решать и обратные задачи. Так в работе М. А. Ильгамова [9] показано, что на основе экспериментального спектра частот колебаний, можно определять место и характер повреждения стержня. В работах А. М. Ахтямова, А. А. Аитбаевой, И. М. Утя-шева [10-11], по конечному числу собственных частот однозначно идентифицируются виды и параметры закреплений концов стержня.

В перечисленных выше работах рассматриваются, в основном, стержни постоянного поперечного сечения. Но на практике в связи с возрастанием требований к экономичности, долговечности, надежности требуется оптимизация всех параметров создаваемых конструкций. В этом случае, зачастую, необходим анализ колебательных процессов для стержней переменного поперечного сечения. Поэтому построение точных решений для задачи о

колебаниях стержня переменного поперечного сечения является весьма актуальной.

Свободные поперечные колебания прямого стержня с переменным поперечным сечением описываются дифференциальным уравнением [1]:

5 дхх

(

Е1-

д2 А

. д

дх2

я2

д

д12

= 0,

(1)

где ^ = w(x,t) 0 функция поперечных перемещений точек оси стержня от координаты х и времени ^ ; ц = х) - масса единицы длины стержня; Е 0 модуль Юнга; I = I(х) 0 осевой момент инерции поперечного сечения.

Принимая решение уравнения (1) в виде ^ = Ж(х)ап юЮ, где №(х) 0 форма колебаний, ю 0 круговая частота колебаний, в итоге получаем уравнение форм колебаний, из которого можно определить частоты собственных колебаний Ю :

Е1-

_д4Ж

д1 д3Ж + 2Е--+ Е

д21 д2Ж 2^2

- ¿ию2Ж ■■

0. (2)

дх дх дх дх2 дх2

Известно аналитическое решение уравнения (2) при задании погонной массы стержня и осевого момента инерции в экспоненциальной форме [12-20]:

I

I

(3)

и 8 0 некоторые

И = № 1 ' 1 = 10е где I 0 длина балки, ц ,

постоянные.

Подставив (3) в дифференциальное уравнение (2), получим:

d4W

d3W 2 d2W 2 + 28—- + S2—--rn2W = 0. (4)

дх дх дх

При обозначениях х = 13с, х е[0.1] и

Ж = Щщ щ е[0.1], с2 = ^о'4®2/Е1 о, где Щ -

масштабный коэффициент с размерностью перемещения, уравнение (4) имеет точное решение [20]:

8~ _ ~ _ ~ —гx Z x -Z x w = e 2 (C1e 1 + C2e 1 +

(5)

+ C3 sin(Z2~) + C4 cos )), где величины Z и h определяются выражениями:

Z = ií® +

2

(6)

h =\\ю-82'

а C , C2, C3 , C4 - постоянные, определяемые из краевых условий задачи.

В частном случае, при 8 = 0, введя обозначе-

4 2

ние a = jw / EI получаем широко известное точное решение задачи о поперечных колебаниях однородного стержня постоянного сечения [1]:

W = Ci sin ax + C2 cos ax + C^e^ + C4e ax. (7)

В реальных конструкциях могут применяться стержни, у которых осевой момент инерции I и погонная масса / не описываются выражениями вида (3). Поэтому существует потребность в новых точных решениях, описывающих поперечные колебания стержней переменного поперечного сечения.

В связи с этим в данной работе предлагается методика построения новых точных решений, описывающих поперечные колебания стержней с переменным поперечным сечением.

Методика формирования точного решения задачи о поперечных колебаниях стержня с переменным поперечным сечением

Предлагаемую методику изложим на примере прямого стержня, шарнирно закрепленного по концам, для которого краевые условия имеют вид:

W = -

д 2W

= 0, 1бе x = 0,

W = -

dx¿ д 2W

(8)

■ = 0, i'6é x = l.

dx

В качестве решения уравнения (2) выберем тригонометрическую функцию

тот

W = a sin-, m = 1,2,

l

(9)

где а - некоторая постоянная, т 0 номер формы колебаний.

Введем в рассмотрение функцию:

Г = r(x) = 1 + k cos- m = 1,2,

l

(10)

где к 0 некоторый безразмерный постоянный коэффициент.

Осевой момент инерции сечения стержня опишем функцией:

I ТППХ |

I = I(х) = IoT(x) = I0I 1 + к cos- I, m = 1,2,..., (11)

где I0 0 коэффициент, имеющий размерность

осевого момента инерции.

Подставив (9) и (11) в (2), после ряда преобразований получим уравнение:

4 4 / \ 4 4 ж m I лтх I ж m лтх EIo-д— I 1 + к cos- I + 2EIok-j— cos--+

l4 V l J l4 l

44

ж m жтх 2 + EIok-2— cos--/л<я = 0.

o l4 l

(12)

Из (12) определим функцию изменения массы единицы длины стержня и = ¿u(x), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (2):

1 4 4 / \

1 ж m I 7mx I

u = u(x) = ——— EIo |1 + 4k cos- I. (13)

ml V l J

Введем в рассмотрение функцию:

лтх

ф = ф( x) = 1 + 4k cos-

l

(14)

на основе которой выражение (13) принимает

вид:

1 4 4

1 я т ..

ц = р( х) = —Е10Ф( х), т = 1,2,.... (15) со I

В итоге мы получили серию функций I (х) и /и(х), при которых уравнение (2) имеет точное решение вида (9). На основе данных функций можем определить конкретный облик стержня, для которого мы знаем точное решение уравнения собственных поперечных колебаний.

Определение геометрических размеров стержня, для которого задается точное решение задачи о собственных поперечных колебаний

Следуя предложенной выше методике, можно смоделировать бесконечное число геометрических форм стержней, имеющих точное решение задачи о собственных поперечных колебаний, но мы ограничимся стержнем, имеющим длину I = 21 и прямоугольное поперечное сечение размера Ь х И при переменных по длине стержня ширине Ь = Ь(х) и высоте И = И(х). Материал стержня - сталь с модулем Юнга Е = 2 •10111а и плотностью р = 7.85 •103еа/1 3.

Ширину Ь и высоту к поперечного сечения стержня опишем функциями:

, 6 6^,3/2, ^3/2 1 ж т Е 10Ф

Ь =ТТТ 3/26 3°1/2 г 2 л/3 р I ю Г

,2 1/2Л/2

,_9 г; 1 ЮР Г

к = 2 -л/3 2 2^,1/2^1/2 , ж т Е Ф

(16)

т = 1'2'....

Вычислим на основе (16) осевой момент инерции поперечного сечения стержня и массу единицы его длины:

,3

ЬК

I = I (х) = = 10Г( х)

И = ц( х) = рЬьк = -

1 4 4 1 ж т

(17)

2

4

-Е1аФ( х), т = 1,2,

4

ю I

Видим, что полученные в (17) выражения для вычисления I (х) и и(х) по размерам Ь и к, задаваемым формулами (16), совпадают с выражениям (11) и (15), соответствующими точному решению (9).

При построения точных решений необходимо определиться с частотами собственных колебаний ют для различных форм колебаний т . Для этого воспользуемся формулой, справедливой для стержня постоянного сечения при шарнирном закреплении по концам [1]:

М, м

0,005

-0,005

■О- Форма 1 ■А- Форма 2 ■■■■□■■■ Форма 3

-0,010

ж2т2 ¡ЕГ

12

_о_

Ио

т = 1,2,

(18)

Для конкретности принимаем в качестве базо-

_о

вых параметров Ь0 = 3 -10 1 рассчитываем необходимые в формуле (18) соответствующие им значения осевого момента инерции сечения ^ и погонной массы и :

!0 = Ь0ко/12 = 2 -10-8 1 4,

И0 = рЬ^к) = 4.71 еа/1 (19)

Далее, определив Ют , приступаем к построению точных решений по предлагаемой выше методике, принимая к = 0.05 и рассчитывая по формулам (16) и (17) размеры сечения Ь = Ь(х), к = к(х) и значения I = I (х), и = и( х).

Первые три формы колебаний, определяемые при амплитуде а = 0.008. соотношениями (9) показаны на рис. 1.

На рис. 2 теми же точками, что и на рис. 1, показаны рассчитанные по формулам (16) зависимости ширины Ь и высоты к поперечного сечения балки от координаты х при первых трех формах колебаний.

к0 = 2-10 2 1

0 0,4 0,8 1,2 1,6 X, м

Рис. 1. Первые три формы колебаний стержня.

ю

т

/7, М

0,02,

0,02

0 0,4 0,8 1,2 1,6 X, м

0,01

0 0,4 0,8 1,2 1,6 X, м

Рис. 2-3. Ширина Ь и высота к прямоугольного сечения при первых трех формах колебаний.

Рис. 4. Осевые моменты инерции I сечения стержня и массы единицы длины стержня ^ при первых трех формах колебаний.

Рис. 5. Погрешности расчетов собственных частот колебаний стержня переменного поперечного сечения.

По соотношениям (17) рассчитаны зависимости от координаты х осевых моментов инерции поперечного сечения стержня I = I (х) и массы единицы длины стержня ц = ¡и(х). Они представлены на рис. 3 при обозначении соответствующих форм колебаний теми же точками, что и на рис. 1.

Применение точных решений для оценки точности численного метода расчета частот собственных поперечных колебаний стержней произвольного поперечного сечения

Основным назначением предлагаемых точных решений о поперечных колебаниях балок с переменным поперечным сечением является формирование серии разнообразных модельных задач, на которых можно проводить объективное тестирование различных численных методов и их компьютерных реализаций.

Протестируем на основе сформированных точных решений метод алгебраических полиномов степени 5, разработанный для расчета частот собственных колебаний стержня [21].

При реализации данного метода на отрезке [а,Ь] формируется сетка А:

а = х < х2 <... <х^ = Ь, имеющая N узлов, с

функции формы колебаний Ж = Ж(х) применяется полином пятой степени:

Р5(г)( х) = 1 а<£( х - хг- )а, х е[х^, хг+1], - = 1, N -1. (20) а=0

Полиномы р(х) однозначно определяются

коэффициентами а^Р, а = 0,5, I = 1, N -1, общее число которых равно Na = -1).

На функции Р5(1^(х) и их производные до четвертого порядка включительно наложим условия непрерывности в узлах стыковки смежных отрезков

х1, I = 2, N -1 :

¿Ч'-1)( х-)

Сх

5 = 0, 4

5

dxs

(21)

- = 2, N -1.

Значения полиномов х) и их производных в любой точке с координатой х из области определения [а, Ь] определяются выражением:

а\

шагом И- = - х-, I = 1, N -1. В пределах каждого участка \х1, хм ], - = 1, N -1 для аппроксимация

dsP5(г)( х) ск5

„(0

5 (а-= 1 а=я

а

(х- х-)

- = 1, N-1, 5 = 0,4, х е [х-, х-+1].

а

На основе полиномов р5'\х), i = 1, N -1 по строим функцию Я(х)

Я( х) = Р(\х) йе х е\х,, Xi+l ),

i = 1, N -1,

Я(XN) = Р5( N 1)( XN)йе х = XN,

и ее производные:

Я., (х)

dsR (х) —

=-^ = 1,4.

(23)

(24)

dx

Заменой в (2) искомой функции ж = Ж (х) аппроксимирующей функцией Я(х) получим дискретный аналог уравнения (2), записанный по схеме метода коллокаций в узлах х,, , = 1, N [22]:

дI(х,) „

EI ( х, ) Я4 ( х, ) + 2Е 1 Я3 ( х, ) +

дх

дI (х) 2

+ Е 1 Я2 (х,) - и( х,) ю2Я (х,) = 0. дх

(25)

При дальнейшей конкретизации для узлов сетки х,, 1 = 1, N -1 уравнение (25) примет вид:

24EI(х, )а(,) +12Е 81(х ) а(,) + 4 дх 3

+ 2Е —а(,) - и(х,)ю2а(,) = 0.

Для узла х на правом конце отрезка [а,Ь] :

(26)

5 а!

,(N-1), а-4

Ш( хм ) 2 7-Г аа кИ-1

а=4 (а- ,)!

т(хм) 5 а! (N -1) а-3

+ 2 Е~- 2 -г- аа 'км-1 +

дх а=3 (а - ,)!

+ Е

д(хЫ) | а! _(N-1\ а-2

(27)

дх а=2 (а-

кМ-1

~И(хм )ю 2

5 а!

(N-1), а

к- -

а=0 (а-

N-1

= 0.

Коэффициенты линейных алгебраических уравнений (26)—(27) и краевых условий (8) сведем в матрицу А. В результате получим систему уравнений из 6^ -1) линейных уравнений с 6^ -1) неизвестными:

АО = 0. (28)

Частоты собственных колебаний Ю определяются из условия равенства нулю определителя матрицы А [23]:

ае А = 0. (29)

Таким образом, задача нахождения собственных частот колебаний стержня сводится к задаче нахождения собственных значений матрицы А, которую решаем методом перебора [24].

На основе предлагаемого метода выполнены расчеты частот собственных колебаний вышеописанного стержня с переменным поперечным сечением для девяти первых форм колебаний. Точность

численных расчетов оценивалась десятичным логарифмом абсолютного значения относительной ошибки | = -юр)/а>т|, где ю^ - точ-

ное значение собственной частоты, определяемое по формуле (19), юр - расчетное значение по тестируемому методу.

Результаты численных расчетов приведены на рис. 5 графиком зависимости 88ю | от десятичного логарифма N -1), N - число узлов сетки.

Из рис. 5 видно, что тестируемый метод обеспечивает второй порядок сходимости [24] при числе узлов сетки N <1001. В случае N > 1001, точность расчетов с ростом N резко падает по причине накопления вычислительной погрешности [25].

Выводы

1. Предложена методика построения точных решений для дифференциального уравнения, описывающего формы собственных поперечных колебаний стержня с переменным по длине поперечным сечением.

2. В качестве примера применимости предлагаемой методики построены функции для расчета размеров прямоугольного поперечного сечения стержня, обеспечивающие собственные колебания стержня с заданной частотой по заданной форме собственных колебаний.

3. Построена тестовая задача с конкретными функциями момента инерции и погонной массы стержня, на основе которой оценена точность метода алгебраических полиномов применительно к задачам определения частот собственных колебаний стержня с переменным поперечным сечением.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с.

2. Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1972. 544 с.

3. Тимошенко С. П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1979. 560 с.

4. Биргер И. А. Руководство для конструкторов по расчету на прочность газотурбинного двигателя. М.: Оборонгиз, 1956. 150 с.

5. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986. 560 с.

6. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин. М.: Машиностроение, 1979. 702 с.

7. Скубачевский Г. С. Авиационные газотурбинные двигатели. Конструкция и расчет деталей. М.: Машинострое-ние.1969. 552 с.

8. Филин А. П. Прикладная механика твердого деформируемого тела. Т. III. М.: Наука,1981. 482 с.

9. Ильгамов М. А. Диагностика повреждений консольной балки с надрезом // Дефектоскопия. 2009. №6. С. 83-89.

10. Аитбаева А. А., Ахтямов А. М. Идентификация закрепленности и нагруженности одного из концов балки Эйле-ра-Бернулли по собственным частотам ее колебаний // Сибирский журнал индустриальной математики. 2017. Т. XX. №1(69). С. 3-10.

а

а

11. Утяшев И. М., Ахтямов А. М. Определение граничных условий струн по собственным частотам колебаний в среде с переменным несимметричным коэффициентом упругости // Прикладная механика и техническая физика. 2018. Т. 59, №4. С. 204-211.

12. Cranch, E. T., Adler, A. A. Bending vibration of variable section beams. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers, 1956. No 23(1). Рр. 103-108.

13. Abrate S. Vibration of non-uniform rods and beams // Journal of Sound and Vibration. 1995. V 185, №4. Pp. 703-716.

14. Ece M. C., Aydogdu M., Taskin V. Vibration of a variable crosssection beam // Mechanics Research Communications. 2007. V. 34. Pp. 78-84.

15. Free vibration behavior of exponential functionally graded beams with varying cross-section / A. A Haasen, T. Abde-louahed, A. M. Sid [and others.] // Journal of Vibration and Control. 2011. V. 17, №2. Pp. 311-318.

16. Lardner T. J. Vibration of beams with exponentially varying properties // Acta Mechanica. 1968. V. 6, №2-3. Pp. 197-202.

17. Suppiger E., Taleb N. Free lateral vibration of beams of variable cross section // Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1956. V. 7. №8. Pp. 501-520.

18. Li Q.S., Cao H., Li G. Analysis of Free Vibrations of Tall Buildings // Journal of Engineering Mechanics. 1994. V. 120. №9. Pp. 1861-1876.

19. Гусев Б. В., Саурин В. В. О колебаниях неоднородных балок. Инженерный вестник Дона. 2017. .№3(46). С. 50.

20. Павлов В. П. Поперечные колебания стержня с переменным поперечным сечением и вычисление его собственных частот методом сплайнов // Вестник УГАТУ. 2017. Т. 21. №2(76). С. 3-16.

21. Павлов В. П., Нусратуллина Л. Р. Метод расчета собственных частот и форм поперечных колебаний стержня переменного сечения с упругим закреплением // Вестник УГАТУ. 2019. Т. 23, №3(85). С. 24-38.

22. Павлов В. П. Метод сплайнов и другие численные методы решения одномерных задач механики деформируемых твердых тел. Уфа: Уфимский гос. авиационный техн. ун-т. Уфа: 2003. 197 с.

23. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 712 с.

24. Бахвалов Н. С. Численные методы. Решения задач и упражнения. М.: Бином, 2016. 352 с.

25. Житников В. П., Шерыхалина Н. М., Муксимова Р. Р. Особенности процесса накопления погрешностей при решении задач для простейших уравнений математической физики конечно-разностными методами // Сибирский журнал вычислительной математики. N»19(2). 2016. С.139-152.

Поступила в редакцию 06.11.2019 г.

DOI: 10.33184/bulletin-bsu-2019.4.1

EXACT SOLUTIONS OF THE EQUATION DESCRIBING TRANSVERSE VIBRATIONS OF THE ROD WITH VARIABLE CROSS-SECTION AND THEIR APPLICATION

© V. P. Pavlov, L. R. Nusratullina*

Ufa State Aviation Technical University 12 Karl Marx Street, 450008, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 273 0 7 26.

*Email: [email protected]

The article provides a methodology for constructing exact solutions for the problem of finding the eigenfrequencies of the transverse vibrations of a rod with a cross section variable along the axis. As a test example, a rod is considered that is pivotally fixed at the ends, having a rectangular cross section that varies along the axis of the rod. To determine the dimensions of the cross section of the rod, functions are constructed whose parameters are the number of the form of natural vibrations, the frequency of natural vibrations, the length of the bar, Young's modulus, and material density. The main purpose of the proposed exact solutions on the transverse vibrations of rods with a variable cross section is the formation of a large series of diverse model problems on which objective testing of various numerical methods and their computer implementations can be carried out. The article presents a numerical method of algebraic polynomials for finding the natural frequencies of the oscillations of a rod with a cross section variable along the axis. It is shown that with a sufficiently dense grid, the method provides a second order of convergence. Using the methodology for constructing exact solutions, the authors consider a test problem with specific functions of the moment of inertia and linear mass of the rod, based on which the accuracy of the algebraic polynomial method is estimated as applied to problems of determining the natural frequencies of a rod with a variable cross section.

Keywords: rod of variable cross section, transverse vibrations, boundary conditions, exact solutions, numerical method.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at [email protected] if you need translation of the article.

REFERENCES

1. BabaKov I. M. Teoriya Kolebanii [Oscillation theory]. Moscow: NauKa, 1965.

2. Feodos'ev V. I. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow: NauKa, 1972.

3. TimoshenKo S. P., Goodier J. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Moscow: NauKa, 1979.

4. Birger I. A. RuKovodstvo dlya KonstruKtorov po raschetu na prochnost' gazoturbinnogo dvigatelya [Guide for engineers on calculation of durability of a gas turbine engine]. Moscow: Oborongiz, 1956.

5. Birger I. A., Mavlyutov R. R. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow: NauKa, 1986.

6. Birger I. A., Shorr B. F., Iosilevich G. B. Raschet na prochnost' detalei mashin [Calculation of the strength of machine parts]. Moscow: Mashinostroenie, 1979.

7. SKubachevsKii G. S. Aviatsionnye gazoturbinnye dvigateli. KonstruKtsiya i raschet detalei [Aviation gas turbine engines. Design and calculation of parts]. Moscow: Mashinostroenie.1969.

8. Filin A. P. PriKladnaya mekhaniKa tverdogo deformiruemogo tela. T. III [Applied mechanics of a solid deformable body. Vol. 3]. Moscow: NauKa,1981.

9. Il'gamov M. A. DefeKtosKopiya. 2009. No. 6. Pp. 83-89.

10. Aitbaeva A. A., Akhtyamov A. M. IdentifiKatsiya zaKreplennosti i nagruzhennosti odnogo iz Kontsov balKi Eilera-Bernulli po sobstvennym chastotam ee Kolebanii. SibirsKii zhurnal industrial'noi matematiKi. 2017. T. XX. No. 1(69). Pp. 3-10.

11. Utyashev I. M., Akhtyamov A. M. Opredelenie granichnykh uslovii strun po sobstvennym chastotam Kolebanii v srede s peremennym nesimmetrichnym Koeffitsientom uprugosti. PriKladnaya mekhaniKa i tekhnichesKaya fiziKa. 2018. Vol. 59, No. 4. Pp. 204-211.

12. Cranch, E. T., Adler, A. A. Bending vibration of variable section beams. Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers, 1956. No 23(1). Rr. 103-108.

13. Abrate S. Journal of Sound and Vibration. 1995. V 185, No. 4. Pp. 703-716.

14. Ece M. C., Aydogdu M., Taskin V. Mechanics Research Communications. 2007. Vol. 34. Pp. 78-84.

15. Free vibration behavior of exponential functionally graded beams with varying cross-section / A. A Haasen, T. Abdelouahed, A. M. Sid [and others.]. Journal of Vibration and Control. 2011. Vol. 17, No. 2. Pp. 311-318.

16. Lardner T. J. Acta Mechanica. 1968. Vol. 6, No. 2-3. Pp. 197-202.

17. Suppiger E., Taleb N. Journal of Applied Mathematics and Physics (ZAMP). 1956. Vol. 7. No. 8. Pp. 501-520.

18. Li Q.S., Cao H., Li G. Journal of Engineering Mechanics. 1994. Vol. 120. No. 9. Pp. 1861-1876.

19. Gusev B. V., Saurin V. V. O Kolebaniyakh neodnorodnykh baloK. Inzhenernyi vestniK Dona. 2017. No. 3(46). Pp. 50.

20. Pavlov V. P. VestniK UGATU. 2017. Vol. 21. No. 2(76). Pp. 3-16.

21. Pavlov V. P., Nusratullina L. R. VestniK UGATU. 2019. Vol. 23, No. 3(85). Pp. 24-38.

22. Pavlov V. P. Metod splainov i drugie chislennye metody resheniya odnomernykh zadach mekhaniKi deformiruemykh tverdykh tel [Spline method and other numerical methods for solving one-dimensional problems of mechanics of deformable solids.]. Ufa: UfimsKii gos. aviatsionnyi tekhn. un-t. Ufa: 2003.

23. Rabotnov Yu. N. MekhaniKa deformiruemogo tverdogo tela [Mechanics of a deformable solid]. Moscow: NauKa, 1979.

24. Bakhvalov N. S. Chislennye metody. Resheniya zadach i uprazhneniya [Numerical methods. Solutions of tasks and exercises]. Moscow: Binom, 2016.

25. ZhitniKov V. P., Sherykhalina N. M., MuKsimova R. R. SibirsKii zhurnal vychislitel'noi matematiKi. No. 19(2). 2016. Pp. 139-152.

Received 06.11.2019.