Метод расчета собственных частот и форм поперечных колебаний стержня переменного сечения с упругим закреплением Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 1992-6502 (Print)

2019. Т. 23, № 3 (85). С. 24-38

УДК 534.1

В

естник

угАТу

ISSN 2225-2789 (Online)

http://journal.ugatu.ac.ru

Метод расчета собственных частот и форм поперечных колебаний стержня

переменного сечения с упругим закреплением

в. п. Павлов 1, л. р. Нусратуллина

2

1 victor.pavlov.51@yandex.ru , 2 mardliliya@yandex.ru ФГБОУ ВО «Уфимский государственный авиационный технический университет» (УГАТУ)

Поступила в редакцию 15.07.2019

Аннотация. Представлен метод алгебраических полиномов пятой степени для решения дифференциального уравнения четвертого порядка, описывающего из-гибные колебания упруго закрепленного стержня переменного сечения. Для изучения точности рассматриваемого метода рассмотрены тестовые задачи, имеющие точное аналитическое решение. Произведены расчеты для различных коэффициентов упругости закрепления и оценена погрешность численных расчетов. Показано, что при достаточно густой сетке метод позволяет определять частоты и формы собственных колебаний стержня переменного сечения с точностью до пяти значащих цифр.

Ключевые слова: стержни переменного сечения; поперечные колебания стержня; частоты собственных колебаний; собственные формы колебаний.

ВВЕДЕНИЕ

Стержни являются основными элементами многих современных конструкций. В качестве примера отметим, что рабочие и направляющие лопатки осевых компрессоров и турбин газотурбинных двигателей (ГТД) при анализе их статической и динамической прочности очень часто рассматривают как стержни переменного поперечного сечения. На этапе проектирования и доводки необходимо в обязательном порядке проводить отстройку основных форм собственных колебаний конструкции от форм колебаний, вызываемых внешними по отношению к стержню воздействиями. В связи с этим возникает актуальная задача определения собственных частот и собственных форм колебаний стержней с разнообразными формами переменных сечений.

Частоты собственных поперечных колебаний стержней обычно определяют при

аналитическом или численном решении дифференциального уравнения четвертого порядка следующего вида [1]:

д ( ^Тд2w^ EI

дх

дх

d2w п + ^—т- = 0, dt2

(1)

где w = w(x, t) - функция зависимости поперечных перемещений точек оси стержня от координаты X и времени t; ц = ц(x) -функция зависимости массы единицы длины стержня от X; E = const - модуль упругости материала стержня; I = I (x) - функция зависимости осевого момента инерции поперечного сечения стержня от координаты X.

Большое количество аналитических решений уравнения (1) представлено в работе [1], где рассматривается прямой стержень постоянного поперечного сечения при различных комбинациях трех основных видов

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Башкортостан в рамках научного проекта № 17-48-020978 ра.

закрепления его концов: жесткое закрепление, шарнирное закрепление и свободный конец стержня. Для такого стержня получены аналитические выражения, позволяющие определять все возможные частоты и формы собственных колебаний.

В реальных изделиях очень часто стержни имеют переменное по длине поперечное сечение. На сегодняшний день в литературе представлены аналитические решения для стержней только с функциями изменения погонной массы ц и осевого момента инерции I в экспоненциальной

5 — 5—

1

форме: ц = ц0 е 1 и I = 1ае 1, где - — координата точки на оси стержня, 1 - длина стержня, ц0, 10 и 5 - некоторые постоянные коэффициенты [2-5].

Данные решения получены для традиционных краевых условий: жесткое закрепление, шарнирное закрепление и свободный конец стержня. Точность решений в работах [1-5] в идеале не ограничена, но современные вычислительные средства обеспечивают точность на уровне не более 15-ти значащих цифр, что вполне достаточно для принятия данных решений в качестве эталона при оценке точности численных методов.

Создатели современной техники при расчете собственных частот и собственных форм колебаний стержней произвольного поперечного сечения широко применяют численные методы на основе метода конечных элементов (МКЭ) [6-7], реализованного в пакетах типа ANSYS, SolidWorks и др. [8].

При этом следует отметить, что стержни с переменным поперечным сечением требуют весьма густую конечно-элементную сетку с очень большим количеством конечных элементов, что может привести к весьма большой вычислительной погрешности расчетов, которая в ряде случаев может превысить погрешность расчетов других численных методов. Поэтому точность пакетов ANSYS, SolidWorks при определении собственных частот и форм колебаний должна быть тщательно изучена при различных размерностях конечно-элементной сетки.

В [9] было проведено объективное исследование точности пакета ANSYS при расчете частот собственных колебаний прямого стержня с постоянным поперечным сечением при различном количестве конечных элементов. Показано, что при решении данной задачи пакет ANSYS демонстрирует весьма посредственные характеристики: максимальная точность для первой формы колебаний всего три значащие цифры, а для десятой формы - всего лишь одна значащая цифра. В связи с этим не стоит всегда надеяться на известные пакеты, а следует уделять определенное внимание и разработке более современных вычислительных программ.

В качестве альтернативы метода конечных элементов в работе [5] для описания колебаний стержня переменного сечения предлагается метод сплайнов степени 5 дефекта 1 [10, 11], на основе которого рассчитывались частоты собственных поперечных колебаний прямого стержня с поперечным сечением прямоугольной формы, имеющим постоянную высоту и переменную ширину, изменяющуюся вдоль стержня по экспоненциальному закону.

Точность данного метода [5] оценивалась сравнением результатов численных расчетов с точными аналитически полученными значениями частот собственных колебаний при различных показателях 5 экспоненциальной функции для перечисленных выше простейших способов закрепления стержня. Показано, что данный метод обеспечил численное определение первых десяти собственных частот с точностью не менее шести значащих цифр.

Метод сплайнов степени 5 дефекта 1 весьма эффективен [11-13], но имеет определенное ограничение, связанное с тем, что он применяет функции, непрерывные до производных четвертого порядка. В ряде случаев необходимо это ограничение снять и допустить разрывы аппроксимирующих функций вплоть до производных второго порядка.

В связи с этим в данной работе предлагается численный метод определения собственных частот и форм колебаний для прямого стержня с переменным попереч-

ным сечением, базирующийся на аппроксимации функции перемещения в пределах участков стержня алгебраическими полиномами пятой степени без обязательного ограничения на разрывы производных выше первого порядка. При этом в зависимости от модификации метода, появляется возможность описывать формы собственных колебаний прямых стержней с разрывами всех производных, начиная со второго порядка.

Данный метод, далее называемый методом алгебраических полиномов (МАП), как показано ниже, позволяет достигать высокой точности расчетов, ограничением которой являются только технические характеристики компьютеров, связанные с точностью и быстротой выполнения ими арифметических вычислений.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ МЕТОДА АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ СТЕПЕНИ 5 ПРИ РАСЧЕТЕ ЧАСТОТ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ СТЕРЖНЯ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ

Запишем уравнение (1) в развернутом виде:

гг34 м д/ д3 м Е1—- + 2Е--- +

дх дх дх

^д21 д2 м д2 м п + Е—г—- + Д—- = 0.

(2)

дх2 дх2 дt2

Решение дифференциального уравнения (2) будем искать в виде:

Ж(х^) = Ж(х>тю^ (3)

где Ж (х) - форма колебаний; - круговая частота собственных колебаний.

После подстановки (3) в (2) и ряда преобразований получаем:

д 4Ж „ д1 д Ж Е1-- + 2Е--- +

дх4

+Е

дх дх 3

а/ дЖ

дх дх 2

■-цю2Ж = 0.

(4)

В итоге задача определения частот собственных колебаний сводится к решению однородного дифференциального уравнения (4).

При реализации метода алгебраических полиномов степени 5 на отрезке [а, Ь] формируется сетка А :

а = х < х2 <... < хж = Ь, (5)

имеющая N узлов, с шагом = хг.+1 — х,

г = 1, N — 1.

В пределах каждого участка [хг, хг+1 ], г = 1, N — 1 рассматриваются функции Р5(г) (х), являющиеся полиномами пятой степени:

Р5(г)( х) = 1 а«( х — хг)

а=0

(6)

х е[х,, хг+1 ], г = 1 N — 1 .

Полиномы Р5(г )(х) однозначно определяются коэффициентами а(г), а = 0,5,

г = 1, N — 1, общее число которых равно Nа = — 1).

Для удобства сведем искомые коэффициенты полиномов Р5(г) (х)

(7)

{а(г) \ а = 0,5, г = 1, N—1,

в вектор-столбец О :

О = {чк, к = 1,6(N — 1).

(8)

На функции Р5(г)(х) и их производные до четвертого порядка включительно наложим условия непрерывности в узлах стыковки смежных отрезков xi, г = 2, N — 1:

(9)

" = 0,4, г = 2, N — 1.

Для реализации данных условий рассматриваются два соседних отрезка сетки:

5

а

Ь-1, X ] и [х, Х+1 ] при 1 = 2, N -1. На дан- На _°сн°ве

полиномов

ных отрезках определяются многочлены Р5(1-1)( х), Р5(г\х) и их производные. Затем Р5(х)

в соответствие с (9) записываются в итоге алгебраические линейные уравнения, определяющие равенства значений полиномов и их производных в общих узлах

X,1 = 2, N -1.

Значения полиномов Р^1)(х) и их производных в любой точке с координатой х из области определения [а,Ь] определяются выражением:

Р5 (х), 1 = 1, N -1 построим функцию

Р5(х) = Р5(1) (х) при х е [х1, Х1+1 )

1 = 1, N -1,

Р5 (XN ) = P5(N-1)(XN ) при х = хN ,

и ее производные:

„ . . й"Р5(х) —

К(х) =-^, " = 0,4.

йх"

(14)

(15)

й" Р5(1)( х)=^_

а!

(а- ")!

01)(х- х)а-",

(10)

1 = 1, N -1, " = 0,4, х е [х, хг+1 ].

Для удобства введем следующие обозначения:

^ = К")(х),

йх

(11)

1 = 1, N-1, " = 0,4, х е[х, хг+1 ].

Тогда с учетом (11) из (10) получим:

Заменой в (4) искомой функции Ж = Ж (х) аппроксимирующей функцией Р (х) с учетом (15) получим дискретный аналог уравнения (4), записанный по схеме метода коллокаций [14] в узлах х, 1 = 1, N -1:

Е1 (х ) Я4( х1) + 2Е ^ *з( х1) + дх

+ Е ^ (х)-|( х) ю2К( х,) = 0. дх

(16)

Для узлов сетки х,1 = 1, N -1 уравнение (16) примет вид:

к (-1)( х) = !■

а!

(а - ")!

а

(1 -1) к Л",

К ()(х) = "!а

(0

(12)

1 = 2, N -1, " = 0, 4,

к1-1 = х1 - х-l, х1 еД.

Приравняв Я;-1)(х ) и )(х ), получим 5 (Ж - 2) уравнения непрерывности во внутренних узлах сетки xi, 1 = 2, N -1.

а!

(а-")!

а-1)ка-" - "! а"1) = 0,

(13)

1 = 2, N-1, " = 0,4.

24 Е1 (х )а <° +12 Е ^^ а <° +

дх

+ 2Е д(х) -I

(17)

дх

■а(г) -|(х)ю2а( г) = 0.

Для узла х^ на правом конце отрезка [а, Ь]:

5 п\

Е!^ а О^ к^Г4 +

а=4 (а- ")!

+ 2Е ^[^^у_°_а (N-1) к а-3 +

+ 2Е дх а (а _)! аа nN-1 + дх а=3 (а - ")!

+ Е тхы ¿^аЦ. а<»-1) V- (18)

дх а=2 (а - ")!

а=2 (а - " 1

5

-|( XN) ю2 а^ч аг-1) hN =0.

^^ а/ \| ""а I (а - ")!

а=0 '

<

<

5

а="

<

5

Коэффициенты линейных алгебраических уравнений (12), (17), (18) занесем в матрицу А. В результате получим систему уравнений:

АО = 0. (19)

По соотношениям (17) и (18) формируется N уравнений связи между коэффициентами полиномов. С учетом уравнений непрерывности (13) получаем 5(N — 2) + N уравнений. Для определения всех коэффициентов полиномов еще необходимо 6( N — 1) — 5( N — 2) — N = 4 уравнений, которые определим из краевых условий.

При решении задачи на определение собственных частот конкретных стержней к системе (19) добавляются 4 уравнения краевых условия:

КО = 0,

(20)

где К — прямоугольная матрица размера 4 х 6( N — 1).

В качестве объекта для применения метода алгебраических полиномов рассмотрим поперечные изгибные колебания прямого упругого стержня, имеющего упругое закреплением на одном из концов и отсутствие ограничений для перемещения другого конца (рис. 1 ).

Деформированная ось стержня в процессе колебаний представлена на рис. 1. Угол поворота поперечного сечения ф показан в положительном направлении.

Рис. 1. Изгибная деформация стержня, упруго закрепленного при х=0 и свободного при х=1

Для стержня, упруго закрепленного на левом конце ( х = 0) и свободного на правом конце ( х = I), краевые условия задаются выражениями:

дЖ д Ж Ж = 0, — — к = 0, при х =0, дх дх

д2Ж дЖ

(21)

дх2

дх3

= 0, при х = I,

где величина производной от функции из-

к дЖ гиба стержня - равна углу поворота се-

дх

чения стержня ф , вторая производная

д 2Ж М

= — , где М — внутренний изгиба-дх Е1

ющий момент, к — коэффициент податливости упругой опоры, который определяет угол поворота поперечного сечения стержня в месте закрепления в зависимости от действия в данном сечении внутреннего изгибающего момента М.

Объединяя уравнения краевых условий (21) и уравнения (19), получим однородную систему из 6(N — 1) линейных уравнений с 6( N — 1) неизвестными:

\АО = 0, \КО = 0.

(22)

Объединим уравнения системы (22) в единую систему уравнений:

йО = 0. (23)

Частоты собственных колебаний ю определяются из условия равенства нулю определителя матрицы й [0]:

й=0.

(24)

Таким образом, задача нахождения собственных частот колебаний стержня сводится к задаче нахождения собственных значений матрицы й .

Для решения уравнения (24) воспользуемся методом перебора [16]. В зависимости от необходимого количества собственных частот (5, 10 и т.д.) определяется отрезок [с, д]. На данном отрезке строится равномерная сетка с = шх<ш2<... <®т= д. В каждом узле сетки проверяется выполнение следующего условия:

ёе Дюг) ■ й* ) < 0, г =1, ш —1. (25)

При выполнении условия (25) на отрезке [шг, производится уточнение методом половинного деления [17] с необходимой точностью в. Перебор для (24) продолжается до тех пор, пока не определится необходимое количество собственных частот.

Зная собственные частоты Юг-, можно перейти к решению уравнений (23). Подставив одно из найденных Юг- в (23), получим систему из линейных однородных уравнений, определитель которой равен нулю. Отбросив одно уравнение системы (23) и задав перемещение в одной из точек рассматриваемого отрезка [а, Ь], равным какому-то ненулевому значению, получим систему линейных неоднородных уравнений.

Решение данной системы определит собственную форму колебаний стержня, соответствующей собственной частоте Ю/.

4 шю a =■

EI

уравнение (26) примет вид:

a 4w

dx 4

- a 4W = 0.

(27)

(28)

Согласно [1] общее решение уравнения (28) имеет вид:

W = C sin ax + C2 cos ax +

(29)

+ C3eax + C4e -

где С, С2, С3, С4 — постоянные, определяемые из краевых условий.

Для данного стержня рассмотрим краевые условия (21) при к = 0:

dW

W = 0, — = 0, при x = 0,

д 2W

dx2

dx д 3W dx3

(30)

= 0, при x = l.

ТЕСТОВАЯ ЗАДАЧА, ИМЕЮЩАЯ ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ, ДЛЯ СТЕРЖНЯ С ПОСТОЯННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Для оценки точности предлагаемого метода алгебраических полиномов рассмотрим прямой стержень, имеющий длину l = 1 м, прямоугольное поперечное сечение шириной b = 0,03 м и высотой h=0,02 м. При этих данных у сечения стержня площадь A = bh = 6 -10 4 м2 и осевой момент инерции I = bh /12=2 -10-8 м4 . Стержень стальной с модулем

упругости E = 2 -1011 Па и плотностью р = 7,85-103 кг/м3.

При постоянных значениях модуля упругости Е = const, осевого момента инерции i = const и постоянном сечении уравнение (4) записывается в виде [ 1]:

EIdW -шю 2W = 0.

dx4 Ш

(26)

При обозначении

При k = 0 краевые условия есть условия того, что на левом конце при x = 0 стержень жестко закреплен, на правом конце при x = l стержень свободен.

Задача о собственных колебаниях стержня с краевыми условиями (30) достаточно подробно изучена в работах [1-5], где представлены конечные результаты. Это позволяет нам сопоставить наши результаты с результатами данных авторов.

При условиях (30) значения am параметра a являются [1] решением трансцендентного уравнения:

cos(al )ch(al) +1 = 0.

Введем обозначение

al = Е,

на основе которого получим уравнение:

cos +1 = 0. (31)

Решив [16] уравнение (31) и подставив Е

am =~Y, т = 1,2, .. в (27), получим формулу для вычисления частот собственных

колебаний для различных форм колебаний:

(32)

1

El

%2

^ m l ^

EJ

pA

m = 1,2,...

Точность численных расчетов предлагаемым методом алгебраических полиномов оценим десятичным логарифмом абсолютного значения относительной ошибки

lg| 5| = lg

юг — юР

|

(33)

где ю- точное значение собственной частоты, определяемое по формуле (32), юр- расчетное значение, найденное методом алгебраических полиномов.

Результаты численных расчетов приведены на рис. 2 графиком зависимости

^ |бю| от десятичного логарифма М, где

М - число отрезков сетки А, определяемое формулой М = N -1.

Расчеты проводились для

N = 5,11, 21, 51,101,201, 501,1001. При решении уравнения (24) точность е нахождения Ю/ задавалась равной 10 .

1е|бсо|

-7

Форма собственных колебаний

» m=l А т=2 —♦—т=3 Ж т=4 —1—т=5 —А— т=6 а т=7 а т=8 —е—т=9 -а—т=10

Прямоугольное сечение 5=0, к=0 Левый конец закреплен Правый свободен

ф

1е1м|

Рис. 2. Погрешность расчета собственных частот стержня постоянного поперечного сечения

Вид зависимости ^|5ю| ~ ^|М| на рис.

2 показывает, что реализованный метод алгебраических полиномов характеризуется вторым порядком сходимости.

При поперечных колебаниях форма оси стержня определяется выражением (29):

w = c sin ax + c cosал + c3ea + c^e-a.

Подставив (29) в краевые условия (30), имеем:

Q =—-(C + С2), С4 = 1(Ci — C2).

С учетом (34) из (29) и получим W = C sin ax + C cos az —

— 1(Ci + C2)eax + 1(Ci — C2)e—ac,

или

W = C (sin ax —1 eax +1 e~ax ) + 2 2

(34)

(35)

1

1

(36)

+ C2 (cos ax — - eax — - e ~ax )

2 2

При x = l выражение (36) примет вид:

C (2 sin al — eal + e-al) +

+ C2 (2 cos al — eal — e-al) = 0.

al ^ Л (37)

Из (37) определим:

2 sin al - eal + e-al

C = C

C 2 Ci

— 2cos al + eal + e ~

(38)

Сделав замену al = 4 , приведем (38) к виду:

2sin 4-e4 + e

C = C

C 2 Ci

— 2 cos % + e % + e

(39)

Для каждой формы колебаний т существует свое значение , следовательно, выбрав форму колебаний, можно при заданном значении постоянной С по формуле (39) рассчитать соответствующее значение постоянной С2т, т = 1,2,...:

<

al

С = С

^ О ™ ' 1

2sin — т- e-m + e -- 2cos - + e + e ~

(40)

m = 1,2,...

Введем обозначение:

K_ =

2 sin - m - e - + e -- 2cos — m + e-m + e"

(41)

m = 1,2....

и на его основе представим (40) в виде: C2m = CiKm, m = 1,2,K .

(42)

В итоге получим выражение для форм собственных колебаний;

W = C (sin ax -1 eax +1 e~ax) + m 1 2 2

+ CxKm (cos ax-1 eax-1 e~ax), m = 1,2,...

(43)

Координаты точек оси стержня в процессе колебаний описываются выражением:

= W (x)sinot, m = 1,2,...

m m \ У ? ? ?

-2

ш =

l ^

EI,

(44)

pA

Первые три формы, определяемые аналитическими соотношениями (43), представлены линиями, а формы, рассчитанные численным методом алгебраических полиномов, показаны точками (рис. 3).

Видно, что точные формы и формы, полученные численным методом на всем отрезке [0,1], практически совпадают.

ТЕСТОВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ СТЕРЖЕНЯ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ,

УПРУГО ЗАКРЕПЛЕННОГО НА ЛЕВОМ КОНЦЕ И СВОБОДНОГО НА ПРАВОМ

При построении точного аналитического решения дифференциального уравнения (4) при переменном поперечном сечении выражения для погонной массы стержня ц и осевого момента инерции / выберем в экспоненциальной форме:

ц = ц 0 е 1, I = /с е 1, (45)

где I — длина балки, ц0, /0 и 8 — некоторые постоянные.

Подставив (45) в дифференциальное уравнение (4), получим:

д 4W „J 3W ■ + 25

дх4

дх3

о 2 д2W 2

+ 52 "2

дх2

-шЖ = 0. (46)

-

Формы колебаний стержня при д=0, коэффициент жесткости к=0

Рис. 3. Первые три формы собственных колебаний стержня, построенные по аналитическому решению

и методом алгебраических полиномов

При обозначениях

fx = l~, x e[0,l], \W = W0w, w e[0, l],

(47)

где Ж - масштабный коэффициент с размерностью перемещения, уравнение (47) приводится к безразмерному виду:

^ + 25^ + 52 ^ю2# = 0. (48)

ax4

ax3

ax2 EL

Введем обозначение

74

2 _ ^ 0l 2

ш =

EL

ш

(49)

и представим (48) в виде:

a4 w ax4

+ 25

a3w 2 a2w ~2~ n

—7 + 52—^ -co2 w = 0.

ax3 ax2

(50)

Точное решение уравнения (50) имеет вид [5]:

w = e 2 (QeA'x + C2e+

(51)

+ C sin (X2o ) + C4 cos(X2o )),

где С, С, С, С - постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий, а величины X 1 и X 2 определяются выражениями:

Xi =

ш + —, X9 = 4 2

ш--. (52)

4

Краевые условия (21) в безразмерном виде примут вид:

~ aw a2 w ~

w = 0,--k —- = 0, при x = 0,

a~ ax

a w aw0

(53)

aoo2 ax3

= 0, при ~ = 1.

Подставим (51) в (53) и получим систему из четырех нелинейных уравнений:

й(0) = С + С + С = 0,

д^-* + с + с)+

д~ д~2 24 1 2 '

82

—(с1 + с2 + с 4)-

+ (C Л - C Л + C Л2)- k

—з(сг л — С Л +с3 Л)+С Л2 + С Л2 —

- С4 Л2 ]=0,

a2 w(i) _ 5

ax2

— [CeXl + C2e~Xl + C sin (X2) +

4

+ C cos(X2)] — 5[CXeX — C2Xe—Xl + + CX2 cos(X2) — C4X2 sin (X2)] + CX2eX + + C2 X2 e — C X22 sin (X2) — C4 X22 cos(X2) = 0

aw) = — Si[c x + Ce—X1 + C sin(X2) +

ax3 8 1 1 2 3 v 2/

+ C cos(X2)] + — [с X e Xl — C X e

4

1 +

+ CX2 cos(X2) — CX2 sin (X2)] — 35[ciX21eX + C2X2e— C3X22 sin(X2)

C X^cos(^)]+ С X3 e X — C X3 e — — C3X32 cos(X2) + C4X32 sin (.X2) = 0.

Решениями данных уравнений являются точные значения юг т = 1,2,...частот соб-

т

ственных колебаний стержня.

Методом алгебраических полиномов были найдены расчетные значения первых пяти собственных частот шр при 5 = -1, 5 = 1 и М = 1001 при различных значениях коэффициента * . В табл. 1, 2 сопоставлены точные и расчетные значения частот собственных колебаний для рассматриваемого стержня. Данные таблицы позволяют оценить точность описываемого в статье численного метода и в то же время являются базой точных результатов, которые могут

5

2

2

в дальнейшем использоваться для оценки точности существующих и вновь разрабатываемых численных методов.

Для наглядности результаты численных расчетов частот собственных колебаний при 8 = -1, к = 0,001; 0,01; 10; 100 и m = n-1 при N = 11, 21, 51, 101, 201, 501, 1001 представлены на рис. 4-7 графиками зависимости десятичного логарифма относительной погрешности lg|8ш|, рассчитанной по формуле (33), от десятичного логарифма числа отрезков сетки lg(M). Видно (рис. 4-7), что для первых пяти форм колебаний имеет место второй порядок сходимости, и при числе улов N = 1001 гарантированно обеспе чивается точность расчетов с 4-мя 5-ю значащими цифрами. Также из рис. 4-7 видно,

Таблица 1

Значения СО для стержня, упруго закрепленного на левом конце и свободного на правом для 5 = — 1 и различных коэффициентов упругости к

m к = 0 к = 0,001 к = 0,01 к = 0,1

S Р шг S Р шг S Р шг S Р шг

1 4,73490524 4,73490580 4,72682114 4,72682208 4,65576096 4,65576143 4,07974930 4,07975076

2 24,20181808 24,20181238 24,15593338 24,15592896 23,76456833 23,76456285 21,26230698 21,26230325

3 63,86459122 63,86448943 63,74025784 63,74015709 62,71017170 62,71007425 57,32597713 57,32589269

4 123,09837437 123,09790783 122,85737076 122,85690779 120,91901932 120,91856897 112,45235519 112,45194990

5 202,07014456 202,06876764 201,67426802 201,67289756 198,58242277 198,58109157 187,03113611 187,02991204

Окончание табл. 1

что с дальнейшим увеличением количества узлов N > 1001 имеется возможность получать еще более точные результаты.

На рис. 8—9 показаны графики зависимости частоты собственных колебаний стержня от коэффициента податливости упругой опоры к для значений 5 = —1 и 5 = 1. Видно (рис. 8-9), что частоты собственных колебаний монотонно убывают с ростом коэффициента к.

Графики первых трех форм собственных колебаний стержня с упругим закреплением на левом конце, рассчитанные методом алгебраических полиномов для 5 = —1, 5 = 1 и к = 0,001; 0,01; 0,1; 1; 10 приведены на рис. 10-15. Из рис. 10-15 видно, что при первой форме колебаний с опорой высокой податливости к = 10 форма колеблющегося стержня является практически прямой.

к = 1 к = 10 к = 100

m S Р шг S Р шг S Р шг

1 2,21669235 2,21669227 0,77884045 0,77884073 0,24920101 0,24919990

2 17,54749222 17,54749045 16,62820206 16,62820056 16,52331161 16,52330980

3 52,15866299 52,15858811 51,21563435 51,21555949 51,11407547 51,11400141

4 106,46313553 106,46275545 105,53132401 105,53094558 105,43332138 105,43294346

5 180,49594835 180,49477060 179,57016138 179,56898922 179,47397367 179,47280077

Таблица 2

Значения СО для стержня, упруго закрепленного на левом конце и свободного на правом для 8 = 1 и различных коэффициентов упругости к

т к = 0 к = 0,001 к = 0,01 к = 0,1

С Р шг С Р шг сС Р шг сС Р шг

1 2,56534195 2,56534278 2,55940084 2,55940089 2,50768672 2,50768686 2,11779529 2,11779540

2 20,03836057 20,03837919 19,99667238 19,99667604 19,64650497 19,64649489 17,60845354 17,60846258

3 59,87046921 59,87084876 59,75064717 59,75068477 58,77074538 58,77088404 54,03934862 54,03947611

4 119,09911728 119,09862699 118,86182978 118,86200810 116,98967514 116,98920211 109,34321870 109,34366082

5 198,06824551 198,06964058 197,67809369 197,67843111 194,67007118 194,67113883 184,06738686 184,06839635

Окончание табл. 2

т к = 1 к = 10 к = 100

С Р шг С Р шг с Р шг

1 1,07325516 1,07325928 0,36930008 0,36930224 0,11786880 0,11786741

2 15,03553696 15,03553021 14,45150528 14,45149822 14,38570023 14,38569364

3 49,92122589 49,92113654 49,19330475 49,19321713 49,11511871 49,11503306

4 104,2872185 104,2868096 103,51279984 103,51239503 103,43143234 103,43102780

5 178,3581385 178,3569153 177,55616226 177,55494523 177,47287827 177,47166136

Погрешность расчета собственных ^1651 частот колебаний стержня

Переменное сечение: £=-1, к=0.001 Свободен справа Упруго закреплен слева

Форма собственных колебаний —•—т=1

-*-т=2

—♦—т=3

-Ж-т=4

—т=5

А 1£|М|

Погрешность расчета собственных

1в|бш| -7

частот колебаний стержня

Переменное сечение: 5=-1, к=0.01 Свободен справа Упруго закреплен слева

Форма собственных колебаний

—»—1X1=1

—*—т=2 —♦—т=3 -Ж-т=4 —I—т=5

4 1в|М|

Рис. 4

Рис. 5

18|6Э|

Погрешность расчета собственных

частот колебаний стержня

Погрешность расчета собственных

частот колебаний стержня

Переменное сечение: б=-1, к=10 Свободен справа Упруго закр. слева

Форма собственных колебаний —•—т=1

—*—т=2

—♦—т=3 -*-т=4 —I—т=5

4 1в| М |

Рис. 6

Рис. 8

-5

-1

Переменное сечение: б=-1, к=100 Свободен справа Упруга закр. слева

Форта собственных колебаний —•—171=1

—4—171=2

—♦—(71=3 —Ж—171=4 —I—171=5

з 4 1г|м|

Рис. 7

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 14

X,

Рис. 15

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В статье излагается численный метод алгебраических полиномов, позволяющий рассчитывать частоты и формы собственных колебаний стержней переменного сечения с упругими закреплениями их концов.

2. Проведено детальное тестирование метода алгебраических полиномов при решении задач об изгибных колебаниях стержней с постоянными и переменными поперечными сечениями, имеющих точное аналитическое решение.

3. Выяснено, что метод характеризуется вторым порядком точности при увеличении числа узлов по длине стержня.

4. Показано, что при сетке с числом узлов N = 1001 обеспечивается точность расчетов первых трех собственных частот и форм колебаний с относительной погрешностью, не превышающей 10 5.

5. Дальнейшие исследования планируется продолжить в направлении изучения возможностей метода для расчета частот и форм собственных колебаний рабочих и направляющих композиционных лопаток осевых компрессоров газотурбинных двигателей.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Бабаков И. М. Теория колебаний. М.: Наука, 1965. 560 с. [ I. M. Babakov, Oscillation theory, (in Russian). Moscow: Nauka, 1965. ]

2. Tong X., Tabarrok B. Vibration analysis of Timeshenko beams with non-homogeneity and varying cross-section // Journal of Sound and Vibration. 1995. № 186 (5). P. 821-835. [ X. Tong, B. Tabarrok, "Vibration analysis of Timeshenko beams with non-homogeneity and varying cross-section", in Journal of Sound and Vibration, no. 186 (5), pp. 821-835, 1995. ]

3. Ece M. C., Aydogdu M., Taskin V. Vibration of a variable cross-section beam // Mechanics Research Communications. 2007. No. 34. P. 78-84. [ M. C. Ece, M. Aydogdu, V. Taskin, "Vibration of variable cross-section beam", in Mechanics Research Communications, no. 34, pp. 78-84, 2007. ]

4. Cranch E. T., Adler A. A. Bending vibration of variable section beams // Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers. 1956. No. 23 (1). P. 103-108. [ E. T. Cranch, A. A. Adler, "Bending vibration of variable section beams", in Journal of Applied Mechanics, American Society of Mechanical Engineers, no. 23 (1), pp. 103-108, 1956. ]

5. Павлов В. П. Поперечные колебания стержня с переменным поперечным сечением и вычисление его собственных частот методом сплайнов // Вестник УГАТУ. 2017. Т. 21, № 2 (76). С. 3-16. [ V. P. Pavlov, "Transverse vibrations of a rod with variable cross sections and calculation of its ei-genfrequencies by the method of splines," (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 21, no. 2 (76), pp. 3-16, 2017. ]

6. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. M.: Мир, 1975. 543 с. [ O. Zenkevich, Finite element method in engineering, (in Russian). Moscow: Mir, 1975. ]

7. Павлов В. П., Кудоярова В. М. Возможности метода сплайнов и метода конечных элементов в задаче о больших перемещениях тонкого упругого стержня // Вестник УГАТУ. 2018. Т. 22, № 4 (82). С. 30-40. [ V. P. Pavlov, "Spline-functions method for solving thermal conductivity problems," (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 22, no. 4 (82), pp. 30-40, 2018. ]

8. Басов К. А. CATIA и ANSYS. Твердотельное моделирование. M.: ДМК-Пресс, 2011. 240 с. [ K. A. Basov, ANSYS and CATIA. Solid modeling, (in Russian). Moscow: DMK-Press, 2011. ]

9. Павлов В. П. Анализ спектра частот собственных колебаний стержня методом сплайнов // Вестник УГАТУ. 2016. Т. 20, № 4 (74). С. 16-22. [ V. P. Pavlov, "Analysis of the spectrum of frequencies of own fluctuations of a rod by the method of splines," (in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 20, no. 4 (74), pp. 16-22, 2016. ]

10. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Метод сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с. [ Yu. S. Zavialov, B. I. Kvasov, V. L. Miroshnichenko, Method of spline-functions, (in Russian). M.: Nauka, 1980. ]

11. Павлов В. П., Абдрахманова А. А., Абдрахмано-ва Р. П. Задача расчета стержней одномерным сплайном пятой степени дефекта два // Математические заметки ЯГУ. 2013. Т. 20, вып. 1. С. 50-59. [ V. P. Pavlov, A. A. Abdrakhmanova, R. P. Abdrakhmanova, "The task of calculating the one-dimensional rods with a spline of the fifth de-gree of the defect two", (in Russian), in Matematicheskie zapiski IGU, vol. 20, issue. 1, pp. 50-59, 2013. ]

12. Павлов В. П. Интегральный метод сплайнов для расчета частот собственных колебаний стержня и его возможности // Вестник УГАТУ. 2017. Т. 21, № 4 (78). С. 41-49. [ V. P. Pavlov, "The integral method of splines for calculation of the natural frequencies of the rod and its capabilities",

(in Russian), in Vestnik UGATU, vol. 21, no. 4 (78), pp. 41-49, 2017. ]

13. Zhernakov V. S., Pavlov V. P., Kudoyarova V. M. The

Spline-Method for Numerical Calculation of the Natural-Vibration Frequency of a Beam with Variable Cross-Sectio // Proc. Engineering. 2017. Vol. 206С. Pp. 710-715. [ V. S. Zhernakov, V. P. Pavlov, V. M. Kudoyarova, "The Spline-Method for Numerical Calculation of the Natural-Vibration Frequency of a Beam with Variable Cross-Sectio", in Proc. Engineering, vol. 206С, pp. 710-715, 2017. ]

14. Челомей В. Н. Вибрации в технике: справочник. М.: Машиностроение, 1978. 352 c. [ V. N. Chelomey. Vibration in engineering: Reference book, (in Russian). Moscow: Machine Engineering, 1978. ]

15. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике. М.: Айрис-пресс, 2011. 608 c. [ D. T. Pismenii, Lecture notes on higher mathematics, (in Russian). Moscow: Irispress, 2011. ]

16. Бахвалов Н. С. Численные методы. Решения задач и упражнения: учебное пособие / Н. С. Бахвалов. М.: Бином, 2016. 352 c. [ N. S. Bakhvalov, Numerical methods. The solution of problems and exercises, (in Russian). Moscow: Binom, 2016. ]

17. Пирумов У. Г. Численные методы. М.: Юрайт, 2015. 422 с. [ U. G. Pirumov, Numerical method, (in Russian). Moscow: Yurayt, 2015. ]

ОБ АВТОРАХ

ПАВЛОВ Виктор Павлович, проф. каф. сопротивления материалов. Дипл. инж. по авиац. двигателям (УАИ, 1973). Д-р техн. наук по динамике и прочности (УГАТУ, 2005). Иссл. в обл. динамики и прочности конструкций из композиционных материалов.

НУСРАТУЛЛИНА Лилия Ринатовна, ст. преп. каф. математики, дипл. математик (БашГУ, 2003). Готовит дис. о колебаниях упруго закрепленных стержней с переменным сечением.

METADATA

Title: The method of calculating natural frequencies and forms the transverse vibrations of a rod variable cross-section with elastic securing. Authors: V. P. Pavlov 1, L. R. Nusratullina 2 Affiliation:

Ufa State Aviation Technical University (UGATU), Russia. Email: 1 victor.pavlov.51@yandex.ru, 2mardliliya@yandex.ru Language: Russian.

Source: Vestnik UGATU (scientific journal of Ufa State Aviation Technical University), vol. 23, no. 3 (85), pp. 24-38, 2019. ISSN 2225-2789 (Online), ISSN 1992-6502 (Print). Abstract: The paper presents a method of algebraic polynomials of the fifth degree to solve the differential equation of the fourth order, describing the bending vibrations of the elastically fixed rod of variable cross-section. To study the accuracy of the considered method, test problems with an accurate analytical solution are considered. The calculations are made for different coefficients of elasticity consolidate and estimated errors of the numerical calculations. It is shown that with a sufficiently dense grid, the method makes it possible to determine the frequencies

and shapes of the natural oscillations of a variable-section rod with an accuracy of five significant digits.

Key words: rods of variable cross-section; Fluctuations; Frequencies of natural oscillations; math modeling; forms of natural oscillations.

About authors:

PAVLOV, Victor Pavlovich, Prof., Dept. of Strength of Materi-als.Dipl. Engineer for Aircraft Engines (Ufa Aviation Inst., 1973).Dr. of Tech. Sci. (UGATU, 2005).

NUSRATULLINA, Liliya Rinatovna, Senior teacher of the chair Mathematics, specialist in mathematics (BSU, 2003).