ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА–СТЕЧКИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДИ 𝐻2 И ПОПЕРЕЧНИКИ КЛАССОВ ФУНКЦИЙ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 74-84.

УДК 517.5

ТОЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ТИПА ДЖЕКСОНА^СТЕЧКИНА В ПРОСТРАНСТВЕ ХАРДП Н2 И ПОПЕРЕЧНИКИ

КЛАССОВ ФУНКЦИЙ

М.Ш. ШАБОЗОВ, З.Ш. МАЛАКБОЗОВ

Аннотация. В работе получены точные неравенства типа Джексона-Стечкина между величиною наилучшего совместного полиномиального приближения аналитических в единичном круге функций и специальным обобщённым модулем непрерывности, который определён при помощи функции Стеклова.

При решении ряда задач теории приближения периодических функций тригонометрическими полиномами в пространстве модификацию классического определения модуля непрерывности т-то порядка, порождённого функцией Стеклова, использовали С.Б. Вакарчук [19], М.Ш. Шабозов и А.А. Шабозова [20]. Здесь предложенная конструкция используется при построении модификации модуля непрерывности т-го порядка аналитических в единичном круге функций, порождённого функцией Стеклова в пространстве Харди

С использованием указанной характеристик гладкости решается задача отыскания точной константы в неравенстве типа Джексона-Стечкина для совместных приближений функций и их промежуточных производных.

Для классов функций, усреднённых с весом значений обобщённые модули непрерывности которых ограничены сверху заданной мажорантой, найдены точные значения различных n-поперечников. Также решена задача нахождения точных верхних граней наилучших совместных приближений указанных классов функций в пространстве Харди Н2.

Ключевые слова: точные неравенства типа Джексона-Стечкина, модуль непрерывности, функции Стеклова, n-поперечники, пространство Харди.

Mathematics Subject Classification: 30Е05, 30Е10, 42А10.

1. Введение

Экстремальные задачи наилучшего полиномиального приближения аналитических в круге функций изучались во многих работах (см., например, [1]-[18] и приведенную там литературу). Среди этих задач одной из наиболее важных является задача отыскания точных констант в неравенствах типа Джексона-Стечкнна в различных нормированных пространствах. Напомним, что под неравенствами типа Джексона-Стечкнна в рассматриваемом нормированном пространстве понимают неравенства, в которых величина наилучшего приближения функции конечномерным подпространством оценивается через некоторую характеристику гладкости самой функции или ее заданной производной.

M.Sii. Shabozov, Z.Sh. Malakbozov, Sharp Jackson-Stechkin type inequalities in the Hardy

space h2 and widths of functional classes.

© Шабозов МЛН.. Малакбозов З.Ш. 2023. Поступила 4 мая 2022 г.

В последнее время при решении ряда задач теории аппроксимации в качестве характеристики гладкости функции часто используют различные модификации классического определения модуля непрерывности. Так, например, в случае аппроксимации 2п-периодичееких функций вместо классического оператора сдвига (х) = f (х + К) в работах [19], [20] была использована функция (оператора) Стеклова )■ Данная статья продолжает указанную тематику и является обобщением и дальнейшим развитием идей, изложенных в работах [19] [21],

Пусть N := N и {0} С — соответственно множество натуральных, целых неотрицательных, комплексных чисел, и := {г € С : |г| < 1} — (открытый) единичный круг в С, А(и) — множество функций, аналитических в и.

Говорят [17, с, 78], что аналитическая в единичном круге и := {г € С : |г| < 1} функция

f= (/)*к> * = Ре , о < р< 1 (1.1)

к=0

принадлежит пространству Харди Н2, если

/ 1 Г27Г \ 1/2

«2 = ^ I ^ ^ < - ^

Хорошо известно (см., например, [17, с, 78]), что в (1.2) интеграл не убывает при возрастании р и почти всюду на окружноети | = 1 существуют угловые граничные значения f (еи) := ^(*). При этом ^ € Ь2 := Ь2[0, 2ж\ и

/ 1 Г 2^ \ 1/2

12 := ц,, = {^]о i/(<?• М

Производную г-го порядка функции / € А(и) определим как обычно:

Мг) г

/(г)(*) := = £ к(к — 1) ■ ■ ■ (к - г + 1)ск(/)гк~г, г € N (1.4)

к =

а угловое граничное значение производной обозначим через /(г)(еи), Ради краткости, введем обозначение

:= п(п — 1) ••• (п — т + 1) = п\/(п — т)\, п,т € N п > т.

При этом полагаем ап,0 = 1, ап,1 = п, п € N. Равенство (1.4) теперь кратко запишем в виде

те

/ (г\г) = £ «к,, Ск(/)гк~г• (1.5)

к=

Всюду далее, символом н2Т\г € Ъ+, н2° = Н2) обозначим множество функций / € А(и), принадлежащих пространству Харди Н2, производная г-го порядка /(г)(^) которых также принадлежит Н2, то есть

Я2Г) :={f € Н2 : ||/(г)|2 < •

Пусть Тп-1 — подпространство комплексных алгебраических полиномов степени не вы-

(г)

ше п — 1. Поскольку для / € Н2 ) наравне с функцией / ее последовательные производные /(в)(з = 1, 2,...,г — 1) также принадлежат пространству Н2 (см. [18]), то представляет

несомненный интерес отыскание точных значений совместных приближений функций / и их производных ( ^ > 2, в = 1,г — 1)

Еп-3-!(/('>)2 := щ£{ | — рЩ ||2 : р,— Е П-)

на некотором подмножестве ш(г> с я2г> или па самом классе н2[>, Таким образом требуется найти точное значение величины

£{П-8-1 (М)2 := ви^Еп-в-1(/(*>)2 : / е ш}. (1.6)

Поскольку в данной работе используются нормы только пространств Н2 и Ь2, то с учетом соотношения (1.3) всюду далее нижние индексы у норм || • ||2 и || • ||^2 будем опускать. Аналогично будем поступать и с величинами, определяемые с помощью этих норм: так, вместо Еп-3-^!(з))2, (Ш)2 будем писать Еп-3-^1(з)), £{п-з-1(Ш).

2. Вспомогательные утверждения Нам для дальнейшего понадобятся следующие известные утверждения.

Лемма 2.1 ([21]). Пусть / € н2Т\ г,п Е N п > г. Тогда при любых з Е Z+ 0 < з < г справедливо равенство

Еп-*-1{1(°>) = С, (/)|Ч . (2.1)

\к=п /

Лемма 2.2 ([21]). Для, произвольной функции f Е н2[\ г Е М, при любых п Е М 5 е удовлетворяющих условию п > г > в, имеет место неравенство

Е—-^(3)) < ^ • Еп-г-1 (/(г>). (2.2)

Существует функция д Е н!{\ для которой неравенство (2.2) обращается в равенство. Пусть далее

1 г-х+И

Я/(егх) = ^ /(еа)й, к > 0 (2.3)

— функция Стеклова граничного значения /(рег) функции f Е Н2. При этом полагаем вИ,к(!) := вн (5И)к-1(/)), где к Е N и = /, Е — единичный оператор в пространстве

н

Д И f (егх) = вн f (егх) — ¡(егх) = (вн — Е) ¡(егх),

~ ~ ~ ™ / \ Д:/(егх) =Д\(Д:-1 !(егх)) = (вн — Е)т f (егх) = ^(—1)т-к ГА вн,к(Кегх)),

и—п V /

к=0

где т = 2, 3,.... Пользуясь введенными обозначениями, рассмотрим характеристику гладе н2

йт(г) := йт(1)2 = вир{ || Д(ег»)|| : 0 <к <1} , (2.4)

т

Всюду далее полагаем

Г вт^ 1

втеА := < , если 1 = 0; 1, если Ь = 0 > .

ж 1 i-h

Так как с учетом равенств (2,3) и (1.1) ~ 1 Гh

Ah(/, е™) = — у {f (ei(x+t)) + f (ei(x~ ^) - 2/(eix)} dt ( f)Pikx .

2hj о

-h

Yck(f)eikx • 1 I (cos kt - 1)dt = -V Ck(f )eikx(1 -sincfch)

hJo ^

и по индукции для любого m g N m ^ 2

Д™(f, eix) = (-1)mJ2 °k(f )eikx(1 - sinc kh)m, (2.5)

k=l

то, применяя равенство Парсеваля к (2.5), имеем

°k(/)eikx • 1 t ieikt + e"ikt - 2} dt

k=l

ж 1 r h h i0

k=l J0 k=l

oo

11д m(/)ll = £ ick(/)i2(1 -sin ckh)2m k=l

и в силу этого запишем явный вид величины (2.4)

l/2

Zm(f,t) = sup{ ( > >k (/)|2(1 -sincfch)2m) : 0 <h < t\. (2.6)

(e ick a )|2(1 -Sm Cfch)2mj

Из равенств (1.5) и (1.1) следует, что коэффициенты ск(/(г)) ряда Маклорена производной /(г) и коэффпцнепты ск(/) ряда Маклорена самой фупкции / связаны равенством

Ск(/(г)) := ак,г Ск(/)• (2.7)

Учитывая (2.7) и (2.6), для произвольной функции f € Н2г) имеем:

)/ ж \ l/2

( Е |ck (/)|2 (1 -sine (fc - r)h)2mJ : 0 <h < t}. (2.8)

Лемма 2.3. Пусть т,п € N г, в € Z+, п > г > в. Тогда для любого числа Ь € (0, 3п/4(п — г)\ справедливо неравенство

йт(1 (г),г) > (ащг/оп,8) ■ (1 — втс (п — г)г)т ■ Еп-а-1(/(в)). (2.9)

Неравенство (2.9) неулучшаемо в том смысле, что существует функция /0 € н2г\ для которой (2.9) обращается, в равенство.

Доказательство. Пользуясь тем, что при 0 < пк < 3ъ/4 [22, с. 435]

шах^псх : 0 < |£| < пт} = мпспт,

шт{(1 ^тси)т : и > пЬ} = (1 — шахвтси)т = (1 — в'шспт)т,

и>п1

из (2,8) для произвольной функции f £ Н^ получаем

те

¿ШW, t) > l ^ (/)|2(1 -8Ш C(fc - r)^)2™

k=n

те

> (1 - sinc(n - r)i)2m ■ ^ak,rkk(/)|2

k = n

те / \ 2

= (1 -sinc(n - r)t)2™ ■ £ allCk(/)|2 (2.10)

/ \ 2

> (1 -sinC(n - r)t)2m ■ min ^ ■ Ck(/)|2

k>n \ak,8J '

4 ' ' k=n

= (1 - sinc(rc - r)t)2m ■ min f^^ ■ E2_s_ 1(f(8)).

k>n \ak,8J

В [22] доказано, что при k > n > г > s,

ak,r an

min-= —

k>n ak,8 ar,

(2.11)

а потому, учитывая (2,11), из (2,10) получаем (2,9), Для функции ¡0(г) = гп £ Н^, для которой в силу равенств (2,1) и (2,8) имеют места равенства

Еп-3-Л/оМ) = «п„ шт(йг\ ¿) = «п,(1 - ипф - г)г)т, (2.12)

с учетом (2,12) получаем

шт(!оТ\ t) = an,r(1 - sinc(n - r)t)m = (an,r/an,8) ■ (1 - sinc(n - r)t)ma.

t(8h

n,8

= (an,r/ an,a) • (1 — sinc(n - r)t)m • En—-i(f( )), откуда и следует утверждение леммы 2,3, □

Условимся всюду далее под весовой функцией на отрезке [0, h] понимать неотрицатель-

Теорема 2.1. Пусть m,n £ N, r,s £ Z+ n > г > s, 0 < p < го, 0 < h < 3n/4(n — r), q — весовая на, отрезке [0,h] функция. Тогда, имеет .место равенство

sup (an'r/an'a) • En-a-l(/(ai)) = ( IV — sinc(n — r)t)mpq(t)dt\ /P . , ,

feP ( fh () 1 1/P I Jo ( ( ) ) ) 2-13

'2 Ц ^(/W,*М*)<й|

Доказательство. Возведем обе части неравенства (2,9) в степень р (0 < р < го), умножим на весовую функцию q и проинтегрируем от 0 до h, где 0 < h < 3n/4(n—г). Затем, извлекая 1/

ph \ 1/Р /г h \ Vp

У (/t)q(t)dt) > (an,r/an,s) ■ E,n-8-i(f(8)) П (1 - sinc(n - r)t)mpq(t)dtj

(г)

Полученное неравенство верно для любой функции / € Н2 ), а потому из него вытекает оценка сверху для величины, расположенной в левой части равенства (2,13)

/ an,s) • Ens-l(f(s^)

sup -— < {I

,f€Hi'>

U'

Zpm(f(r), t)q(t)dt

l

h -4 - l/p

(1 - sinc(n - r)t)mpq(t)dt I

(2.14)

С целью получения аналогичной оценки снизу указанной величины рассмотрим функцию /0 (г) = хп € н2т\ которая была введена нами при доказательстве леммы 2,3 и для которой имеют место равенства (2,12), Пользуясь равенствами (2,12), запишем оценку снизу

sup

(a,n,r/&n,s) • En-s-l(f(s)) . (an,г/&n,s) • En-s-1(/0s))

>

f ен

M

( fh } l/p Г fh

Ц urn(f(r), t)q(t)dtj Ц urn(/0Г), t)q(t)dt

l/p

(2.15)

rh l/P

(1 — sinc(n - r)t)mpq(t)dt\

Требуемое равенство (2,13) получаем из сопоставления оценки сверху (2,14) с оценкой снизу (2,15), чем и завершаем доказательство теоремы 2,1, □

Из теоремы 2,1 вытекают ряд следствий.

Следствие 2.1. Если в условиях теоремы, 2.1 полагать т,п € N г,8 € Z+, п > г > в, р = 1/т, 0 <к < 3п/4(п — г), q(t) = 1, то получаем

sup

f ен2г]

( an,r/an,s) • Ens-l(f(s])

Zmm(f t)dt

{

n

(n - r)h - Si(n - r)h

m

где Si(t) := / sine udu — интегральный синус. 0

( )=

sup

f ен2[)

(an,r/an,s) • En-s-l(f(s)) (n - r)

2 m

tuj,

\ '

l/m( f(r), t)dt\

{

( n - ) h

— sin2

( n - ) h

В частности, из (2,16) при h = ж/2(n - г) следует, что

sup

f еН2г)

(an,r/an,s) • En-s-l(f(s))

^(n - r)2 J

ж/2(П—r)

tZj]lm(f м t)dt

(A )■■

}

(2.16)

m

0

2

h

m

0

3. Поперечники некоторых классов функций

Для формулировки последующих результатов введем необходимые понятия и определения. Пусть В — единичный шар в пространстве Н2; М — выпуклое центрально-симметричное подмножество из Н2, Лп С Н2 — п-мерное подпрострапство; Лп С Н2 — подпространство коразмерности щ С : Н2 ^ Лп — непрерывный линейный оператор,

проводящий элементы пространства Н2 в Лп; С± : Н2 ^ Лп — непрерывный оператор линейного проектирования Н2 па подпроетранство Лп, Величины

Ьп(М,Н2) йп{М,Н2) ¿п(М,Щ)

сШ{М,Н2)

Пп(м,Н2)

: вир (вир [е > 0; еВП Лп+1 С М} : Лп+1 с Н2} , 1п£ (вир (1п£ (У - д\\2 : де Лп} : ! еМ} : Лп С Н2} , : 1п£ (вир (Ы (\\! - С(/)\\2 : ¡еМ} : СН2 С Лп} : Лп С Н2} ,

\\f\2 : / еМП Лп} : Лп СН2} , :1п£ {1п£ {вир {I/ - С±( у) \\ 2 : ¡еМ} : С^Н2 С Лп} : Лп с н2}

называют соответственно берпштейповским, колмогоровским, линейным, гельфандов-ским, проекционным п-поперечниками. В гильбертовом пространстве Н2 справедливы следующие соотношения между перечисленными выше величинами (см., [23], [24]):

Ъп(М,Н2) < сТ(М,Н2) < ¿п(МН2) = 6п(М,Н2)=Пп (М,Н). (3.1)

Используя характеристику гладкости (2.4), определим следующие классы функций. Пусть Ф(£), t е — непрерывная неубывающая функция такая, что Ф(0) = 0. Символом ШрТ\шт, Ф), 0 < р < ж, г е обозначим масс функций / е н2[\ для которых при любом Ь е имеет место неравенство

-1 ¡-г \ 1/Р

1 ~,Р ( Нг)

Полагая при Ь = 0 значение функции втс Ь равным 1, обозначим через ¿* величину ее аргумента, при котором эта функция достигает па своего наименьшего значения. При этом ¿* (4.49 < ¿* < 4.51) есть наименьший положительный корень уравнения Ь = tg ¿. Следуя [19], введем обозначение

(1 — втс¿)* := {1 — втсесли 0 <Ь< ¿*; 1 — втсЬ*, если ¿* < Ь < ж}.

Положим также

Еп- 1(М) := вир {Еп_ 1(/) : ¡е м},

где М — некоторый масс функций из Н2.

Теорема 3.1. Пусть т,п е N г е Z+, п > г, 0 < р < ж и функция Ф при любых значениях Ь е удовлетворяет ограничению

¡•(п—г)Ь

/ (1 — МПС т)™ЧТ

( __Ь__(3 2)

^Ф(тт/(п - г))) - 2(п - г)1 Г/2 . 1 ;

(1 - 8ШСт)трйт

ю

Тогда имеют место равенства

\п(1¥(г)(ит, Ф); Н2) = Еп- 1(№(г)(Шт, Ф))

( 2 Г/2 у1/р . _ Л

= ^-/ (1 -8шс г)трсИ} ---Ф(--г),

) Яп,г \2(п - г))

где \п() — любой из перечисленных выше п-поперечников. Множество мажорант Ф, ■удовлетворяющих условию (3.2), не пусто.

Доказательство. Пользуясь соотношением (2,13), в котором полагаем 5 = 0, q(t) = 1, Н = ж/(2(п — г)), для произвольной функции / £ Н^ запишем оценку сверху величины Еп-1(/) :

ж/2(п-г) \ -1/р / ж/2(п-г) ^ 1/р

Еп-1(/)2 - I I (1 — 8тс(п — г) 1)тр<и\ \ I шрт (/М, Ь)сИ

ж/2 \ -1/р / ж/2 (п-г) \ 1/р

- /(1 — вшеt)рpdД I 2(п — г) I Ср(/(г), 1)сИ

(3.4)

р

«2 Г ж . ж

Учитывая определения класса ШрТ\шт, Ф), на основании соотношения (2.16) между п

\п(\¥(г)(Ст, Ф),Н2) < Еп-1(\¥(г)(Ср, Ф))

1 2 Гж/2 )-1/р / ж \ 3.5 < — (1 — ^шс г)тр(И} • ф(--Л

- «п,г\ж ]о у ' ) \2(п — г))

п

п

рассмотрение шар

а,+1 := 1„£ я.: \Р„и < (- /о ^о-л^ ф(-(п—ту) } ■

£ Н( )

п

вАР(рпг), он2 = 1ск(^п)|2(1 — 8ШС(* — т)К)2т

к=г

п

- «1,г ^(1 — — г)Н)2т1 Ск(рп)|2 - а2щг(1 — 8тс(п — ф)2™ • нРп\\

к=

Отсюда

С-(Р(ПГ), Г) - («п,г)Р(1 — 8ШС(п — Г)Т)РР • НРпГ. (3.6)

Используя неравенство (3.6) и ограничения (3.2), для произвольного полинома рп С Вп+1 запишем

1 /Срр(^г), т)(!т-(ап,г)р •\\Рп\\р • 1У(1 — 8тс(п — г)т)р^т оо

ж/2 \ -1 (п-г)г

- I - /(1 — I ^ _1 ^ У (1 — 8тс г)рр^г

оо

• ж ч) - Фр(г).

2( п — )

Следовательно, шар Вп+1 с ШрГ\шт, Ф), а потому, пользуясь соотношениями (3,1) и опре-

п

\п(Ж(Г)(Ст, Ф); Н2) > Ьп(\¥(г)(Ст, Ф), Н2) > Ъп(Вп+1, Н2)

1 /2 Г/2 \-1/Р / ж ч (3.7) >- -/ (1 — вше ¿)тр^ • Ф(---).

«2,г \ж Jо ! \2(п — г))

Сопоставляя неравенства (3.5) и (3.7), получаем требуемое равенство (3.3). □

В [19] доказано, что множество мажорант, удовлетворяющих ограничению (3.2), не пусто и этому ограничению удовлетворяет, например, мажоранта Ф*(¿) := 1та/2, где

(ж — 2)2 1

« :=-~жГ2--1

2 ж (1 — )2

о

4. Решение экстремальной задачи (1,6) для класса функций Шр\шт, Ф)

Определенный интерес представляет изучение поведения величин Еп-1(/(где 5 = 0,1,...,г па классе функций (Ст, Ф), т £ N г £ 0 < р - го. Другими словами, требуется найти точное значение величины (1,6), когда = ШрГ\шт, Ф),

Теорема 4.1. Пусть т,п £ N г,8 £ п > г > е. Если мажоранта Ф при любом, Ь £ (0, 2ж] удовлетворяет ограничению (3,2), то при любом, в = 0,1, 2 ... ,г справедливо равенство

!ж/2 \ -1/Р

(1 — 8ШС 1)тчЛ • Ф(2(п^)). (4.1)

ж о 2( п — )

Доказательство. Из неравенства (2,15) при = 1 и Н = ж/2(п — г) для произвольной

( )

£ Н2( )

ж/2(п-г) \ -1/р ( ж/2(п-г) \ 1/р

Еп-8-1(/(8)) - • ^ у (1 — 8ШС(п — г)г)тр(И | | у Ст(/(г\ г)(И

ж/2 \-1/р / ж/2(п-г) N 1/р

«п,8 )2 ) 2(п — Г) ( -V ( ф)

-у(1 — вше г)трсИ\ | 1 — ' у ст (¡(г), г)си

Отсюда, учитывая определение класса ШрГ\шт, Ф), имеем

( ж/2 Ч -1/р

Ф)) - • | 2 /(! — ^УЛ | • Ф( («

При доказательстве теоремы 3,1 было установлено, что множество алгебраических ком-плекснозначных полиномов рп £'Рп, удовлетворяющих условию

1 /2 Г/2 \-1/Р , ж х \\Рп\\- - "/ (1 — 8ШС 1)тр(Ц\ • Ф(--Л ,

«п, ж о 2( п — )

принадлежит классу ШрГ\шт, Ф), Рассмотрим функцию

1 (2 Г/2 \-1/Р / х х

= 1 (1 -^ч"**) •Ч^щ-туЬ"

Для этой функции при всех в = 0,1,... ,г

(ж/2 \ -1/р

2 [ (1 - 8тс 1)тр(И I • Ф( , П ч) •

у ^2(п - г)/

-/ (1 -втс ггчг) •Ф(27П^))

^0 у ^2(п - г)/

и так как

1 (2 Гж/2 \-1/р _ ,

М = ^ 1 (1 - •КъГг)),

то функция д € шРТ\шт, Ф), а потому в силу (4,3) имеем

' р y-^mi

e¡¿s-iW^um, ф)) >En_s_l(g(s))

(4.3)

а 2 Г/2 \ /Р ( х ч (4-4)

ап,г ) ^2(п - г))

Сопоставляя соотношения (4.2) и (4.4), получаем требуемые равенства (4.1). Теорема 4.1 доказана. □

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. К.И. Бабенко. О наилучших приближениях одного класса аналитических функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 22:5, 631-640 (1958).

2. Л.В. Тайков. О наилучших линейных методах приближения классов ßr и %г // Успехи матем. наук. 18:4, 183-189 (1963).

3. Л.В. Тайков. О наилучшем приближении в среднем, некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 1:2, 155-162 (1967).

4. Л.В. Тайков. Поперечники некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 22:2, 285-295 (1977).

5. М.З. Двейрин, И.В. Чебаненко. О полиномиальной аппроксимации в банаховых пространствах аналитических функций // Теория отображений и приближение функций. Киев: ИМ АН УССР, 62-73 (1983).

6. Н. Айнуллоев, Л.В. Тайков. Наилучшие приближения в смысле А.Н. Колмогорова классов аналитических в единичном, круге функций // Матем. заметки. 40:3, 341-351 (1986).

7. Л.В. Тайков. Некоторые точные неравенства в теории приближения функций // Anal. Math. 2:1, 77-85 (1976).

8. С.Б. Вакарчук. О поперечниках некоторых классов аналитических в единичном, круге функций I, II // Укр. матем. журнал. 42:7, 873-881 (1990); 42:8, 1019-1026 (1990).

9. С.Б. Вакарчук. Наилучшие линейные методы приближения и поперечники классов аналитических в круге функций // Матем. заметки. 57:1, 30-39 (1995).

10. С.Б. Вакарчук. О наилучших линейных методах приближения и поперечниках некоторых классов аналитических функций // Матем. заметки. 65:2, 186-193 (1999).

11. С.Б. Вакарчук. Точные значения, поперечников классов аналитических в круге функций и наилучшие линейные методы приближения // Матем. заметки. 72:5, 665-669 (2002).

12. С.Б. Вакарчук, В.И. Забутная. О наилучших линейных методах приближения функций классов Л.В.Тайкова в пространствах Харди Hq,p, q > 1, 0 < р < 1// Матем. заметки. 85:3, 323-329 (2009).

13. М.Ш. Шабозов, О.Ш. Шабозов. Поперечники некоторых классов аналитических функций в пространстве Харди Н2 // Матем. заметки. 68:5, 796-800 (2000).

14. М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов. Наилучшее приближение и значения поперечников некоторых классов аналитических функций // ДАН России. 382:6, 747-749 (2002).

15. М.Ш. Шабозов, Х.Х. Пиров. Точные константы в неравенствах типа Джексона для приближения аналитических функций из Нр, 1 < р < 2 // ДАН России. 394:4, 19-24 (2004).

16. М.Ш. Шабозов, М.Р. Лангаршоев. О наилучших линейных методах приближения некоторых классов аналитических в единичном, круге функций // Сиб. матем. журнал. 60:6, 1414-1423 (2019).

17. H.H. Привалов. Граничные свойства, аналитических функций. М.-Л.: ГИТТЛ. 1950.

18. С.Б. Вакарчук, М.Б. Вакарчук. Неравенства типа Колмогорова для, аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. матем. журнал. 63:12, 1579-1601 (2011).

19. С.Б. Вакарчук. Обобщённые характеристики гладкости в неравенствах типа Джексона и поперечники классов функций в L2 // Матем. заметки. 98:4, 511-529 (2015).

20. М.Ш. Шабозов, A.A. Шабозова. Некоторые точные неравенства типа Джексона-Стечкина для периодических дифференцируемых в смысле Вейля, функций в L2 // Труды ИММ УрО РАН. 25:4, 255-264 (2019).

21. М.Ш. Шабозов, Г.А. Юсупов, Дж.Дж. Заргаров. О наилучшей совместной полиномиальной аппроксимации функций и их производных в пространстве Харди // Труды ИММ УрО РАН. 27:4, 240-256 (2021).

22. Л.В. Тайков. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из L2 // Матем. заметки. 20:3, 433-438 (1976).

23. В.М. Тихомиров. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ. 1976.

24. A. Pinkus. п-Widths in Approximation Theory. Berlin, Heidelberg, New York, Tokyo: SpringerVerlag. 1985.

Мирганд Шабозович Шабозов, Таджикский национальный университет, пр. Рудаки, 17,

734025, г. Душанбе, Таджикистан E-mail: shabozov@mail. ru

Зокир Шерозович Малакбозов Таджикский национальный университет, пр. Рудаки, 17,

734025, г. Душанбе, Таджикистан E-mail: malakbozovl994@mail.ru