CC BY
27
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
2. Q. Chen. The 3-move conjecture for 5-braids, Knots in Hellas' 98; The Proceedings of the International Conference on Knot Theory and its Ramifications; Volume 1. In the Series on Knots and Everything, Vol. 24, September 2000, pp. 36 — 47.
3. M. K. Dabkovski, J. H. Przytycki. Burnside obstructions to the Montesinos- Nakanishi 3-move conjecture, Geometry and Topology, (2002), pp. 355 — 360.
4. M. K. Dabkowski, J. H. Przytycki. Unexpected connection between knot theory and Burnside groups, Proc. Nat. Acad. Science, (2004), pp. 17357-17360.
5. S. Y. Lee, M. Seo. The 3-move and knotted 4-valent graphs in 3-space, Osaka J. Math., (2004), pp. 119-130.
6. Y. Nakanishi. Alexander invariant and twisting operation,
KNOTS '96, Editor: S. Suzuki, World Sci. Publ., Singapore,
1997, pp. 327-335.
7. J. H. Przytycki. tk equivalence of links and Conway formulas for the Jones-Conway and Kauffman polynomials, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 36(11-12) (1988), pp.675-680.
8. J. H. Przytycki. Plans' theorem for links: An application of ^ moves, Bull. Canad. Math. Soc., 31(3) (1988), pp. 325 — 327.
9. J. H. Przytycki. 3-coloring and other elementary invariants
of knots, Banach Center Publications {42}, Knot Theory, 1998, pp. 275-295.
10. Przytycki, J. H. ^ moves on links [Электронный ресурс]. — URL: arXiv:math.GT/0606633 (дата обращения: 25.06.2010).
БЕСЦЕННАЯ Елена Владимировна, старший преподаватель кафедры высшей математики.
Адрес для переписки: best2710@mail.ru
Статья поступила в редакцию 13.03.2013 г.
© Е. В. Бесценная
УДК 539.173 Е. Г. ПАВЛОВА
И. И. ГОНЧАР Т. А. АРОНОВА
Омский государственный университет путей сообщения
ТОЧНОСТЬ ФОРМУЛ КРАМЕРСА ДЛЯ СКОРОСТИ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР: МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ
Исследована точность аналитических формул для скорости деления возбужденных ядер в рамках микроканонического ансамбля. Для моделирования используется уравнение Смолуховского. Как в аналитических формулах, так и в моделировании учтены деформационные зависимости температуры и параметра плотности одночастичных уровней.
Ключевые слова: скорость деления, формула Крамерса.
Важнейшей характеристикой деления возбуждённых атомных ядер является скорость распада. Её можно найти с помощью динамического моделирования или аналитически (по приближённым формулам). Первый подход (более точный) во многих случаях является довольно затратным по времени. Поэтому актуальным является поиск формул, позволяющих наилучшим образом приблизиться к точному значению скорости распада. Одной из первых работ, в которых такие аналитические формулы были получены, является статья Крамерса [1]. В частности, там выведены два выражения, позволяющие оценивать скорость распада в случае большого трения (см. формулу (17) и вывод на страницах 292 — 293 работы [1]). Формулу (17) часто называют приближённой формулой Крамерса (ПФК), а в результате вывода, представленного на указанных страницах, получается интегральная формула Крамерса (ИФК). Последняя явно в работе Крамерса не записана.
ПФК была применена для описания деления ядер в [2—10]. ИФК впервые применили в работе [11]. Там была исследована точность обеих формул и показано, что в некоторых случаях погрешность ПФК может достигать 20 %, в то время как погрешность ИФК не превосходит 2 %.
В [11] исследование проводилось в рамках канонического ансамбля (КА). Однако для описания процесса деления больше подходит микроканонический ансамбль (МКА). По этой причине в работе [ 12] были выведены ПФК и ИФК для МКА, а также исследована точность приближённых формул для случая, когда параметр плотности уровней (ППУ) не зависит от деформации.
Цель данной работы — исследовать точность ПФК и ИФК в рамках МКА, учитывая деформационную зависимость не только температуры, но и ППУ.
Мы рассматриваем только симметричное деление с нулевым угловым моментом. Деформация ядер характеризуется одной коллективной координатой —. Квазистационарному состоянию ядра соответствует значение координаты -с=1, а точке разрыва — —а = 2,14. Положения седловой точки — разные для каждого из ядер.
Временная эволюция — определяется при помощи уравнения Смолуховского:
^ = -|- (зд + (1)
81 дд дд
Рис. 1. Зависимость потенциальной энергии от координаты.
Белыми кругами показана U(q)r вычисленная в рамках модели конечного радиуса. Штриховой линией показана U(q)r определяемая формулой (8)
где д(-, £) — плотность вероятности, а Б1 и — дрейфовый и диффузионный коэффициенты. Оно применяется в случае большого трения, когда сопряжённый с координатой импульс p релаксирует к своему равновесному значению гораздо быстрее, чем q.
В случае МКА полная энергия возбуждения ядра Etot постоянна, а в роли потенциальной энергии U для описания процесса деления используется энтропия S. Энтропия и температура ядра T определяются при помощи модели ферми-газа:
S(q) = 2{a(q)[EM - U(q)]}12, T(q) = {.EK,t - U(q)]/ a(q)}V2,
(2)
(3)
где а—) — параметр плотности уровней.
Коэффициенты Б1 и 02 выражаются следующим образом:
n , T(q) dS 1 dT
D1(q) = -г + -~г,
h dq h dq
D2(q) =
T(q). h '
(4)
(5)
Здесь — фрикционный параметр, деформационную зависимость которого мы не учитываем.
Детальный вывод выражений (4) и (5) дан в работе [12]. Там деформационную зависимость параметра о не учитывали. В данной работе мы учитываем эту зависимость и используем выражение:
a(q) = aA + a2Л 2/3 Bs (q )l
(6)
в котором о1 = 0,037 МвУ-1 и о2 = 0,095 МвУ-1 [13]. В качестве аппроксимации безразмерной поверхности ядра В5 был выбран полином третьей степени:
Bs(q) = 1 + B2(q - 1)2 + B3(q - 1)3.
(7)
Коэффициенты В2 и В3 равны 0,40 и —0,16 соответственно.
Потенциальную энергию, вычисленную в рамках модели конечного радиуса [14], мы аппроксимируем полином третьей степени:
U (q) = X vq.
i=0
(8)
Коэффициенты V. выражаются через -с, -Ь и высоту барьера потенциальной энергии В.
Для расчётов были выбраны три ядра: 2<3^и (-Ь = = 1,56, В= 4,82 МвУ), 28184Яо (-Ь = 1,66, В= 7,23 МвУ) и 2028РЬ (-Ь = 1,84, В = 14,27 МвУ). Из рис. 1 видно, что
Рис. 2. Панель а): деформационная зависимость ППУ. Кривые линии соответствуют случаю а=а(д)
(см. формулу (6)), а горизонтальные прямые — случаю, когда а=сопв1). Панель Ь): зависимость от координаты плотности вероятности g.
Открытые символы — а=сопэ1, закрытые — а=а(д). Расчёты сделаны при Е(о =160 МвУ
полиномиальный потенциал (8) (штриховая линия) неплохо аппроксимирует результаты модели конечного радиуса (белые круги).
На рис. 2 показаны деформационные зависимости ППУ (вверху) и плотности вероятности (внизу). На панели a) кривые линии соответствуют случаю, когда a=a(q), а горизонтальные прямые — a=const. Из рисунка видно, что с уменьшением массового числа величина a также становится меньше, как в случае a = const, так и в случае a=a(q).
На панели b) рис. 2 показана плотность вероятности g(q). Она является решением уравнения (1) и соответствует моменту времени 200-10-21 с, когда уже пройдена релаксационная стадия и распределение вблизи дна ямы стало близким к равновесному. Из рисунка видно, вблизи барьера деления равновесие нарушено: «колокол» плотности вероятности имеет ярко выраженное поднятое правое плечо. В случае a=a(q) это плечо заметно выше, чем при a=const. Это хорошо известный эффект, который объясняется тем, что при учёте зависимости a(q) происходит понижение барьера деления. С ростом энергии воз-
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
буждения, благодаря деформационной зависимости ППУ, уменьшается разность энтропий в квазиста-ционарной и седловой точках, (£с — БЬ). Второй эффект состоит в том, что положения седловой точки для потенциала (-Ьи) и энтропии (-Ь5) при учёте о(-) различаются: седловая точка энтропии лежит ближе к квазистационарному состоянию, т.е. -Ьи >-Ь5.
Эти две особенности — понижение барьера и его сдвиг к компактным формам — проявляются тем ярче, чем выше энергия возбуждения. При малой Бш эффект зависимости ППУ от деформации исчезает, и на первый план выходит деформационная зависимость температуры в МКА. Температура в седловой точке, ТЬ, а, следовательно, и энтропия 8Ь уменьшаются по сравнению со случаем канонического ансамбля (см. формулы (2) и (3)). В результате барьер деления (5с — 5Ь) становится выше. Всё сказанное иллюстрируется рис. 3.
На верхней панели хорошо видно количественное изменение высоты барьера деления. При больших значениях Еш как (8с — Бь), так и (Вг /Тс) стремятся к нулю, однако барьер деления по энтропии понижается значительно быстрее. Левее точки пересечения доминирует эффект зависимости температуры от деформации. На нижней панели рисунка показано смещение -Ь8 с ростом Еш. Для сравнения показана также величина -Ьи, которая, конечно, от энергии возбуждения не зависит.
Учёт зависимости о(-), приводящий к уменьшению (8с — 8Ь) и смещению -Ь5, изменяет, разумеется, и значение скоростей деления. В данной работе скорость вычисляется через седловую точку -ЬБ и дальше обозначается ЯЬ. При больших временах динамические скорости достигают квазистационарного значения. Ниже это значение скорости называется ква-зистационарной динамической скоростью деления (КДСД) и обозначается Яв.
На рис. 4 представлены значения Я0 в зависимости от полной энергии ядра. Как и следовало ожидать, при больших значениях Еш значения при о=о(-) становятся в несколько раз больше, чем при о=const. При низких энергиях влияние деформационной зависимости ППУ исчезает.
С целью избежать динамического моделирования, которое в некоторых случаях требует нереального машинного времени, для оценки значения Яв используют различные аналитические формулы. В [12] приведён подробный вывод ИФК для микроканоничес-кого ансамбля, мы его повторять не будем, запишем лишь окончательный результат:
Рис. 3. Изменение высоты барьера деления (панель а)) и смещение его положения (панель Ь)) в зависимости от Еш.
Закрытые символы соответствуют микроканоническому ансамблю, открытые — каноническому
Открытые символы — расчёт для а=сопБІ, закрытые символы — учтена зависимость а=а(д). Чтобы сделать рисунок более ясным, мы умножили КССД на 10 для урана и разделили на 10 для свинца
к -Ы
-р[- 5(у)] Т (у)
йу }[5(х№
(9)
Если в выражении (11) разложить энтропию в ряд до квадратичных членов по (у — -с) (в левом интеграле) и (-ь — х) (в правом интеграле), а верхние и нижние пределы интегрирования распространить до + ¥ и — ¥ соответственно, то получится приближённая формула Крамерса, которую мы будем называть экспоненциальной:
выводятся для режима сверхзатухания, то есть для случая больших значений ц.
Как было показано на рис. 4, в зависимости от полной энергии ядра значения скоростей деления могут различаться на порядки, поэтому для удобства их сравнения мы будем использовать безразмерные параметры, показывающие относительную разницу между скоростями:
К0 = —
ехр(5„ - 5.). и°)
Напомним, что и ИФК, и ПФК были получены в [12] для микроканонического ансамбля по аналогии с подобными формулами, выведенными для КА Кра-мерсом в его статье [1]. Оба выражения ((9) и (10))
(11)
(12)
Большинство рисунков дальше построено для параметров £. () = I, О), но рассуждения будут прово-
Рис. 4. Зависимость Кв от Е
-1
с
-¥
1/2
й2 5
2
Ь
Рис. 5. Относительная разница £. (/ = О, I — круги и треугольники соответственно) в зависимости разности энтропий в квазистационарной и седловой точках А5Ьс. Верхний ряд окошек соответствует урану, средний — радию, а нижний — свинцу.
В левой колонке показаны результаты для канонического ансамбля, в средней — для микроканонического с постоянным параметром плотности уровней, а в правой — с ППУ, зависящим от деформации
диться в терминах скоростей деления. Например, запись Хо = 7 % означает, что Я0 больше Яп на 7 %.
Основные результаты нашей работы представлены в виде зависимостей Хо (А^Ь ) и Х (А5, ), где
AS.
S - S .
• Sc Sb.
(ІЗ)
На каждой панели две горизонтальные прямые указывают 2%-интервал, который соответствует точности динамического моделирования. Поэтому мы считаем точность приближённых аналитических формул (9, 10) приемлемой, когда вычисленные по ним скорости отличаются от Яв не более, чем на 2 %. Этому условию для всех трёх ядер при А5Ьс>4 удовлетворяет Ят. Экспоненциальная скорость Я0 начинает согласовываться с Яс только при достаточно больших значениях А5Ьс>8. В случае канонического ансамбля Х0 вообще не достигает 2 % вплоть до А5Ьс= 12. Подробное объяснение того, почему ПФК согласуется с КДСД хуже, чем ИФК в случае полиномиального потенциала и КА, дано в работе [11]. В случае МКА это объяснение остаётся в силе.
Из рис. 5 видно, что на качественном уровне согласие приближённых скоростей Я1 и Я0 с точной скоростью деления Яв не зависит от того, какой вариант расчётов используется. Это результат вряд ли можно считать тривиальным, принимая во внимание, что сами скорости изменяются на порядки при переходе, например, от МКА с a=сonst к МКА с а=а(д).
Просуммируем результаты работы. Скорость деления ядер часто оценивается при помощи экспоненциальной приближённой формулы Крамерса Я0,
выведенной для канонического ансамбля. В данной работе мы изучили точность Я0 и Ят для случая, когда и температура ядра, и его ППУ изменяются. Исследование было проведено для трёх ядер с разными барьерами деления. Для всех случаев Ят согласуется с квазистационарной динамической (точной) скоростью в пределах 2 %, когда высота барьера деления 5с—5ь>4. Погрешность экспоненциальной приближённой формулы Крамерса Я0 достигает 10 % в той области значений управляющего параметра, где можно было бы ожидать намного лучшей точности. Такая погрешность не приемлема при расчёте скорости деления, так как она имеет тот же порядок величины, что и физические эффекты (немарко-вость, квантовые поправки), изучаемые в настоящее время в литературе.
Е. Г. Павлова выражает благодарность фонду Д. Б. Зимина «Династия» за финансовую поддержку.
Библиографический список
1. Kramers, H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions / H. A. Kramers // Physica. — 1940. - № 7. - P. 284-304.
2. Grange P., Jun-Qing Li, Weidenmbller H. A. Induced nuc-
lear fission viewed as a diffusion process: Transients // Phys. Rev. C. - 1983. -Vol. 27. - P. 2063-2077.
3. Weidenmb ller H. A., Jing-Shang Zhang. Stationary diffusion over a multidimensional potential barrier: A generalization of Kramers' formula // J. Stat. Phys. -1984. -Vol. 34 - P. 191-201.
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013
4. Frbbrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and heavy-ion induced fission // Phys. Rep. -1998. -Vol. 292. - P. 131-237.
5. Nadtochy P. N., Adeev G. D., Karpov A. V. More Detailed Study of Fission Dynamics in Fusion-Fission Reactions within a Stochastic Approach // Phys. Rev. C. -2002. - Vol. 65. - 064615.
6. Ryabov E. G., Karpov A. V., Adeev G. D. Influence of Angular Momentum on Fission Fragment Mass Distribution: Interpretation within Langevin Dynamics // Nucl. Phys. A. -2006. - Vol. 765. -P. 39-60.
7. Schmitt G, Nadtochy P.N., Heinz A., Jurado B., Kelic A., Schmidt K.-H. First experiment on fission transient in fissile spherical nuclei produced by fragmentation of radioactive beams // Phys. Rev. Lett. - 2007. - Vol. 99. - 042701.
8. Ye W., Yang H. W. and Wu F. Isospin effects on the evaporation residue spin distribution // Phys. Rev. C -2008 -Vol. 77. - 011302(R)
9. Ye W. Significant role of deformation in probing postsaddle nuclear dissipation with light particle emission // Physical Review C - 2010- Vol. 81. - 054609.
10. Lestone J. P. and McCalla S.G. Statistical model of heavy-ion fusion-fission reactions // Physical Review C. - 2009. -Vol. 79. - 044611.
11. Gontchar I. I., Chushnyakova M. V., Aktaev N. E., Litnevsky A. L. and Pavlova E.G., Disentangling effects of potential
shape in the fission rate of heated nuclei // Phys. Rev. G - 2010. -Vol. 82 - 064606.
12. Gontchar I. I. and Kuzyakin R. A. Integral Kramers formula for the fission rate versus dynamical modeling: The case of deformation-dependent temperature // Physical Review C. -2011.- Vol. 84. - 014617.
13. Ignatyuk A. V., Itkis M. G., Okolovich V. N., Smiren-kin G. N. and Tishin A. S. Fission of Pre-Actinide Nuclei. Excitation Functions for the (a, f) Reactions // Yad. Fiz. - 1975- Vol. 21. -P. 1185-1205.
14. Sierk, A. J. Macroscopic Model of Rotating Nuclei / A. J. Sierk // Phys. Rev. C - 1986. - Vol. 33. - P. 2039-2053.
ПАВЛОВА Елена Геннадьевна, аспирантка кафедры физики и химии.
ГОНЧАР Игорь Иванович, доктор физико-математических наук, профессор (Россия), профессор кафедры физики и химии.
АРОНОВА Тамара Алексеевна, кандидат физикоматематических наук, доцент (Россия), доцент кафедры физики и химии.
Адрес для переписки: tamara.aronova@yandex.ru
Статья поступила в редакцию 07.12.2012 г.
© Е. Г. Павлова, И. И. Гончар, Т. А. Аронова
Книжная полка
Пневматические измерительные системы для решения сложных инженерных задач : учеб. пособие / С. М. Ломов [и др.] ; ОмГТУ. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. -79 с. - ISBN 978-5-81491450-7.
Рассмотрены физические основы пневматических методов измерений линейных размеров, давления и расхода газов. Представлены результаты теоретических и экспериментальных исследований, выполненных при разработке новых измерительных систем для решения сложных инженерных задач. Предназначено для студентов дневной и заочной форм обучения.
Бирюков, С. В. Механика, молекулярная физика и термодинамика : учеб. пособие по общей физике для самостоят. подгот. студентов к Интернет-тестированию / С. В. Бирюков, В. А. Фе-дорук, В. А. Фёдоров ; под ред. С. В. Бирюкова. - Омск : Изд-во СибАДИ, 2012. - 165 с.
Материал учебного пособия включает в себя теоретические сведения по механике, молекулярной физике и термодинамике. Указанные темы охватывают две из семи дидактические единицы ГОС по дисциплине «Физика» для инженерной и бакалаврской подготовки в технических вузах. Эти темы разбиты на 10 разделов в соответствии с рубрикатором текстовых заданий, приведенном на сайте Интернет-тестирования в сфере образования ж^^1ето/га.
В разделах 11 и 12 учебного пособия представлены тестовые задания для самостоятельной проработки и приведены примеры решения некоторых тестовых задач.
Краснов, Н. Ф. Аэродинамика : учеб. для втузов. Ч. 1. Основы теории. Аэродинамика профиля и крыла / Н. Ф. Краснов. - М. : Либроком, 2012. - 5-е изд. - 496 с. - ISBN 978-5-397-02834-9.
В учебнике изложены теоретические основы современной аэродинамики, приведены сведения, относящиеся к силовому воздействию газообразной среды на движущееся тело. Описаны особенности течения газа с большими скоростями, а также его физические и термодинамические свойства при высоких температурах и давлениях. Подробно рассмотрены кинематика и динамика газа в общем случае для сложной модели химически реагирующей вязкой сжимаемой среды, теория скачков уплотнения и метод характеристик, наиболее широко используемый в аэродинамических исследованиях; приведены методы расчета стационарных аэродинамических характеристик профилей и крыльев. При третьем издании, приуроченном к 150-летию Московского высшего технического училища им. Н. Э. Баумана (1830—1980), в книгу были включены основы теории неустановившегося обтекания и способы нахождения производных устойчивости несущих поверхностей. Учебник предназначен для студентов вузов и факультетов, специализирующихся в области летательных аппаратов. Он также может быть полезен работникам соответствующих научно-исследовательских институтов, конструкторских бюро и производственных предприятий.
