Симметризация полинома Кауффмана, инвариантная при n-скручиваниях Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.162.8 Е. В. БЕСЦЕННАЯ

Омский государственный технический университет

СИММЕТРИЗАЦИЯ ПОЛИНОМА КАУФФМАНА, ИНВАРИАНТНАЯ

ПРИ Ы-СКРУЧИВАНИЯХ__________________________________

На основе скобочного полинома Кауффмана строится семейство инвариантов узлов и зацеплений, не меняющихся при п-скручиваниях диаграмм.

Ключевые слова: узел, зацепление, инвариант, полином Джонса, Лорановский полином, п-скручивание.

1. Введение. Данная работа относится к теории узлов. Приведём некоторые предварительные сведения об узлах и зацеплениях и их полиномиальных инвариантах, следуя [1 ].

Напомним, что зацеплением называется замкнутое одномерное многообразие, вложенное в Я3. Узлом называется однокомпонентное зацепление. При работе с узлами и зацеплениями, как правило, имеют дело с их диаграммами. Диаграммой Б зацепления Ь называется регулярная проекция п(Ь), в каждой двойной точке которой указано, какая дуга проходит выше (переход), а какая — ниже (проход). Пусть Б — диаграмма зацепления Ь. Ключевой вопрос теории узлов — это вопрос о том, когда два узла или зацепления эквивалентны. Зацепления Ь и Ь* называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм h: Я3®Я3, такой, что h(Ь)=Ь*. Понятно, что, пользуясь определением, доказывать эквивалентность двух зацеплений или узлов в общем случае сложно.

Перейти от изучения узлов и зацеплений в пространстве Я3 к изучению их диаграмм на плоскости позволяет теорема Рейдемейстера. Она утверждает, что зацепления Ь и Ь* эквивалентны тогда и только тогда, когда их диаграммы Б и Б* эквивалентны. Строгая формулировка теоремы Рейдемейстера и её доказательство приведены, например, в [1].

Но во многих случаях по двум диаграммам трудно понять, соответствуют ли они одному и тому же зацеплению или разным зацеплениям. В этих случаях используют инварианты узлов и зацеплений, т.е. некоторые числа, полиномы, группы, или другие алгебраические структуры, сопоставляемые диаграмме данного узла или зацепления, которые не изменяются при преобразованиях Рейдемейстера. Для двух диаграмм, соответствующих эквивалентным зацеплениям, значения инварианта равны. Если значения инварианта разные для двух диаграмм, то это значит, что диаграммы соответствуют неэквивалентным зацеплениям. Таким образом, используя инварианты, мы можем доказать, что данные диаграммы соответствуют разным зацеплениям. Будем использовать следующие полиномиальные инварианты зацеплений: лорановский полином У(Б; А), полином Джонса У(Б; t), получаемый из лорановского полинома заменой переменной t=A-4. Кроме того, будем использовать скобочный полином Кауффмана <Б>(А), который не является инвариантом.

Рис. 1. Примеры 3-скручивания и (-З)-скручивания

Ниже речь пойдёт об операции скручивания. Различные результаты её применения к диаграмме зацепления широко исследуются [2—10].

Пусть п — ненулевое целое число; п-скручива-нием назовем локальное преобразование диаграммы зацепления как на рис. 1, т. е. |п| полуоборотов на двух нитях в направлении, определяемом знаком числа п.

Зафиксируем положительное целое п. Два зацепления Ь и Ь* называются п-эквивалентными, если существует конечная последовательность преобразований, переводящая диаграмму БЬ зацепления Ь в диаграмму БЬ* зацепления Ь*, в которой каждое преобразование является преобразованием Рейдемей-стера или п-скручиванием. Очевидно, если п=1 или п=2, то каждое зацепление п-эквивалентно тривиальному.

Монтесинос и Наканиши высказали гипотезу о том, что любое зацепление 3-эквивалентно тривиальному. Контрпример к этой гипотезе был построен в [3], где установлено, что замыкание 5-нитиевой косы (о 1 о2 о3 о4)10 не 3-эквивалентно тривиальному зацеплению.

Наканиши (1979) высказал гипотезу о том, что каждый узел 4-эквивалентен тривиальному узлу. Наканиши установил [6], что зацепление борромеевы кольца не является 4-эквивалентным тривиальному 3-компонентному зацеплению.

Опираясь на скобочный полином Кауффмана и полином Джонса, мы построим семейство числовых инвариантов п-скручиваний.

2. Значения симметризованного полинома Кауффмана. Пусть Б — диаграмма зацепления Ь. Напомним, что скобочный полином Кауффмана <Б>(А) определяется следующими соотношениями:

(1) Если ит — тривиальное т-компонентное зацепление, то <ит>(А)=(—А2 —А-2)т-1. В частности, если и1 — тривиальный узел, то <и{>(А)=1.

(2) Если (Ь+, Ь¥ Ь0)-распутывающая тройка, т.е. тройка диаграмм, отличающихся лишь локально, как на рис. 2, то <Ь+> (А)=А-<Ь¥>(А) + А-1-<Ь0>(А).

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013

20

Рис. 2. Распутывающая тройка (L+, L_ L0)

Рис. 3. Семейство распутывающих диаграмм (!■_. I,, 12, ...)

Полином <В>(А) остается инвариантным при преобразованиях Рейдемейстера Я2 и Я3, а при преобразованиях Я1 он ведет себя следующим образом:

Определим симметризованный скобочный полином <В>*(А) как следующее произведение:

<В>*(А)=<В>(А)<В>(А-1).

Лемма 2.1. Полином <В> (А) остается инвариантным при преобразованиях Рейдемейстера Я1, Я2 и

Доказательство. Инвариантность при преобразованиях Я2 и Я3 следует из инвариантности при этих преобразованиях полинома <В>(А). Убедимся в инвариантности <В> (А) при преобразовании Я1 :

Второй тип преобразования Я1 рассматривается аналогично. Отметим, что

Из определения скобочного полинома следует, что если О —— зеркальный образ диаграммы В, то (в) (А) = (В) (А-). Таким образ ом,

ф)' (A) = D(A) - D(A).

Покажем, что при некоторых значениях переменной А, зависящих от п, значения полинома <В>* (А) являются инвариантами при п-скручивании.

Лемма 2.2. Для целого п * 0 определим множества: кп = {0, 1, ..., 4п - 1},

Kn

n - 1 3n - 1 5n - 1 7n - 1

2

2 2 2 (п - нечётно)

п 3п 5п 7п , ..

к е кп, к * —, —, —,— (п - чётно) п 2 2 2 2

и положим

An

’ pi(2k +1)^ , ч

exp| —^------ I, k е Kn (n - нечетно)

exp| к е Kn (n - чётно)

Положим Х¥=<Ь¥>(А) и хп=<Ьп>(А) для п=0, 1, 2,.... Используя распутывающие соотношения, имеем:

Х1=<Ь1>(А)=Ах^+А-1Хо,

x 2=<L2>(A)=A(—A3)x¥+A 1(Ax¥+A 1xO) = = (A(-A3)+1)x„+A-2Xo,

Хз=<Ьз> (А)=А(—А3)2х+А—1х2= =(А(-А3)2+(-А3)+ А-1)х¥+А-\.

В общем случае аналогично получаем:

х =<1 >(А)=А(—А3)п-1Х +А-1х , =

п п ' ' ' ' ¥ п — 1

=[А(-А3)п-1 + (-А3)п-2]х¥+А-2хп_2 = =[А(—А3)п—1+(—А3)п—2+А—1(—А3)п—3]х¥+А—3хп_3=...

=Б х +А—пх 0,

п ¥ 0'

где Бп — сумма геометрической прогрессии с первым членом Ь1= А(—А3)п-1=(—1)п-1А3п-2 и знаменателем д=—А—4. Таким образом,

с = Ьг(яп - 1) (- 1)п-1 А3п-2((- А-4)п - 1)

п д -1 - А -4 - 1 .

Найдем такие значения А (Аф0) , для которых коэффициент при Х¥ равен нулю, т.е. Сп=0. Будем считать, что —А-4—1^0. При этом предположении найдем корни уравнения (—1)п А-4—1 = 0, т.е. решим систему

А4п = (- 1)п,

А4 * -1.

Рассмотрим отдельно случаи, когда п нечетно и когда п четно.

Случай 1. Предположим, что п нечетно. Тогда А4п=—1, откуда А4п = ехр(г(р + 2рк)),к е г , и А =

= ехр(/(р+^к)}к е г.

(ш(2к + 1)Л ,

Обозначим ак = ехр| —^------- |, к = 0, 1, ..., 4п - 1.

4n

Требуя акФ— 1, имеем ехр

pi(2k +1)

^ exp(i(p + 2pl)), l є Z.

Обозначим через <В>*к=<В>*(ак) — значение полинома в точке ак.

Тогда <В>*к является инвариантом при п-скру-чивании.

Доказательство. Исследуем поведение полинома <В>(А) при п-скручивании. Определим набор распутывающих диаграмм (Ь¥, Ь0, Ь1, Ь2, ...) как на рис. 3, т.е. семейство диаграмм, отличающихся только локально указанным образом.

_ 2к + 1 , „, 2к + 1 - п

Отсюда --------* 1 + 21, т.е. -------- не должно

п 2п

быть целым числом. Это условие будет выполнено,

, п - 1 3п - 1 5п - 1 7п - 1 если к * ■

Таким образом,

2 2 2 2 для нечетного п уравнение Сп=0 имеет 4 (п—1) корней из множества

*

a

k

n

a

k

п - 1 3п - 1 5п - 1 7п - 1

« К- -<01......4" -1 4 ■ 2 ' 2 ' 2 ■ 2

Случай 2. Предположим, что п четно. Тогда

Л4п=1, откуда Л4п=ехр(2тк), кеХ и Л = ехР^р~~ ке X.

Обозначим ак = ехр| Рк |,к = 0, 1, ..., 4п - 1.

V 2п 0

Требуя акФ-1, имеем ехр| 4рк | ф ехр(г(р + 2Р)),

V 2п 0

I е X.

2к 2к - п

Отсюда — ф 1 + 21, т. е. ------- не должно быть

п 2п

целым числом. Это условие будет выполнено, если

п 3п 5п 7п _ к ф—, —, —, —. Таким образом, для четного п 2 2 2 2

уравнение Sп=0 имеет 4 (п—1) корней из множества гак

Ап = И = ехр| — |, к є К

[п 3п 5п 7п]

[ ~2'^2'^2'^2 Покажем, что значения полинома <В>*(А) в точках акеАп не изменяются при п-скручивании. В самом деле, множество Ап строилось таким образом, чтобы для акеАп было выполнено <Ьп>(ак)=(ак)-п <Ь0>(ак).

Следовательно,

<1п>к*=<К>(ак)-<^>(ак-1) =

= (акГп<ь0> (ак)■ (ак-1)-п<ь0>(ак-1)=

= <^>(ак)-<^>(а,Г1)=<и>:

Таким образом, <В>к является инвариантом при п-скручивании. □

Пример 2.1. Опишем множество А2. Поскольку п=2, имеем К2 = {0, 2, 4, 6}. При этом а0=1, а2=і, а4=—1 ,а6=—і. Таким образом, в этих точках имеет место следующее свойство: <Ь2>(ак)=±<Ь0>(ак).

Пример 2.2. Опишем множество А3. Поскольку п=3, имеем К3={0, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11}. При этом

ґкі(2к + 1)л

ак - ехр

12

Таким образом, в этих точках

имеет место следующее свойство: (і3)(ак) -

Г-рі(2к +т ( ) ЄХР|-----4----- 0 < 10 > (ак)'

Отметим, что инвариант 3-скрученности из примера 2.2 был построен в работе [5].

3. Значения симметризованного полинома Джонса. Определим функцию У(В, Л)=(—Л3)-т<В,<В>(Л), где <В>(Л) — скобочный полином Кауффмана (нормированный таким образом, что <и>=1), а ю(В)-скрученность диаграммы В. Замена t=Л-4 приводит к полиному Джонса У(В, t). Напомним, что

У(ит; Ц=(—и2-Г1/2)т-1, У(Г; t)=-t4+tъ+t,

V (т ) = - ~4 +1 -3 +1-1 ;

где ит — тривиальное т-компонентное зацепление, Т — узел трилистник, а Т — его зеркальный образ.

Очевидно, ю(в)=-ю(В). Следовательно т(!п) = = -ю(!п). Таким образом, величина ю(В) + <в(В) является инвариантом при п - скручивании.

Лемма 3.1. Значения лорановского полинома от переменной Л, определенного по формуле

У*(В; Л)=У(В; Л) У(В; Л-1),

вычисленные в точках акеЛп, являются инвариантами относительно операции п-скручивания. Эти инварианты будем обозначать

Ук (В) = V * (В; ак )• V(В; ак ) ; акЕЛп.

Доказательство. Как было установлено выше, <В>*к является инвариантом при п-скручивании и,

кроме того, <в(В) = -<в(В) и У (В; Л ) = У (В; Л _1). Таким образом,величина

У 'к (В ) = У (В; ак )• У (В; а- ) =

= (- Л3 )-ш(В\В)(ак )•(- Л3 )-ш(В^В)(ак1 ) =

= (_ л3 )-(ш(в)+ш(В)^в)'

также является инвариантом при п-скручивании. □

Переходя к переменной t=Л-4, получим

Следствие 3.2. Пусть У(В; t) — полином Джонса диаграммы В. Тогда величина

У*к(В)=У(В; к) У(В; ^-1),

где tk=ak-4, акеЛп является инвариантом при п-скручивании.

4. Значения полинома <0> к для п=3 и п=4. Естественным образом возникает вопрос о применении данного инварианта и целесообразности его рассмотрения. Наканиши (1979) высказал гипотезу о том, что каждый узел 4-эквивалентен тривиальному узлу. Легко найти, что при п=4 имеем У (ит; ^)=4т-1. Были просчитаны значения полинома <В>*к для п=3 и п=4 для узлов до 9-го порядка включительно. Результат вычислений можно сформулировать в виде следующей леммы.

Лемма 4.1. Пусть К — узел, имеющий порядок не более 9, а В — его диаграмма.

(1) Пусть п=4. Тогда <В>*к=1 , где кеКг

(2) Пусть п=3. Тогда полином <В>*к, где кеК3 принимает значения 1 (для 51 узла), 3 (для 26 узлов) и 9 (для 6 узлов).

Видим также, что при 3-скручивании введённый инвариант из 83 табличных узлов отличает 32 узла от тривиального.

Это утверждение не доказывает, но и не опровергает данную гипотезу. Очевидно, что любой узел до 9-го порядка включительно не может быть 4-экви-валентен тривиальному зацеплению, состоящему из двух и более компонент.

В заключение автор выражает благодарность А. Ю. Веснину за постановку задачи и большое внимание к работе.

Библиографический список

1. Прасолов, В. В. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия / В. В. Прасолов, А. Б. Сосинский. — М. : МЦНМО, 1997. - С. 5-100.

п

ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 2 (120) 2013 ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК №2 (120) 2013

2. Q. Chen. The 3-move conjecture for 5-braids, Knots in Hellas' 98; The Proceedings of the International Conference on Knot Theory and its Ramifications; Volume 1. In the Series on Knots and Everything, Vol. 24, September 2000, pp. 36 — 47.

3. M. K. Dabkovski, J. H. Przytycki. Burnside obstructions to the Montesinos- Nakanishi 3-move conjecture, Geometry and Topology, (2002), pp. 355 — 360.

4. M. K. Dabkowski, J. H. Przytycki. Unexpected connection between knot theory and Burnside groups, Proc. Nat. Acad. Science, (2004), pp. 17357-17360.

5. S. Y. Lee, M. Seo. The 3-move and knotted 4-valent graphs in 3-space, Osaka J. Math., (2004), pp. 119-130.

6. Y. Nakanishi. Alexander invariant and twisting operation,

KNOTS '96, Editor: S. Suzuki, World Sci. Publ., Singapore,

1997, pp. 327-335.

7. J. H. Przytycki. tk equivalence of links and Conway formulas for the Jones-Conway and Kauffman polynomials, Bull. Polish Acad. Sci. Math., 36(11-12) (1988), pp.675-680.

8. J. H. Przytycki. Plans' theorem for links: An application of ^ moves, Bull. Canad. Math. Soc., 31(3) (1988), pp. 325 — 327.

9. J. H. Przytycki. 3-coloring and other elementary invariants

of knots, Banach Center Publications {42}, Knot Theory, 1998, pp. 275-295.

10. Przytycki, J. H. ^ moves on links [Электронный ресурс]. — URL: arXiv:math.GT/0606633 (дата обращения: 25.06.2010).

БЕСЦЕННАЯ Елена Владимировна, старший преподаватель кафедры высшей математики.

Адрес для переписки: best2710@mail.ru

Статья поступила в редакцию 13.03.2013 г.

© Е. В. Бесценная

УДК 539.173 Е. Г. ПАВЛОВА

И. И. ГОНЧАР Т. А. АРОНОВА

Омский государственный университет путей сообщения

ТОЧНОСТЬ ФОРМУЛ КРАМЕРСА ДЛЯ СКОРОСТИ ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР: МИКРОКАНОНИЧЕСКИЙ АНСАМБЛЬ

Исследована точность аналитических формул для скорости деления возбужденных ядер в рамках микроканонического ансамбля. Для моделирования используется уравнение Смолуховского. Как в аналитических формулах, так и в моделировании учтены деформационные зависимости температуры и параметра плотности одночастичных уровней.

Ключевые слова: скорость деления, формула Крамерса.

Важнейшей характеристикой деления возбуждённых атомных ядер является скорость распада. Её можно найти с помощью динамического моделирования или аналитически (по приближённым формулам). Первый подход (более точный) во многих случаях является довольно затратным по времени. Поэтому актуальным является поиск формул, позволяющих наилучшим образом приблизиться к точному значению скорости распада. Одной из первых работ, в которых такие аналитические формулы были получены, является статья Крамерса [1]. В частности, там выведены два выражения, позволяющие оценивать скорость распада в случае большого трения (см. формулу (17) и вывод на страницах 292 — 293 работы [1]). Формулу (17) часто называют приближённой формулой Крамерса (ПФК), а в результате вывода, представленного на указанных страницах, получается интегральная формула Крамерса (ИФК). Последняя явно в работе Крамерса не записана.

ПФК была применена для описания деления ядер в [2—10]. ИФК впервые применили в работе [11]. Там была исследована точность обеих формул и показано, что в некоторых случаях погрешность ПФК может достигать 20 %, в то время как погрешность ИФК не превосходит 2 %.

В [11] исследование проводилось в рамках канонического ансамбля (КА). Однако для описания процесса деления больше подходит микроканонический ансамбль (МКА). По этой причине в работе [ 12] были выведены ПФК и ИФК для МКА, а также исследована точность приближённых формул для случая, когда параметр плотности уровней (ППУ) не зависит от деформации.

Цель данной работы — исследовать точность ПФК и ИФК в рамках МКА, учитывая деформационную зависимость не только температуры, но и ППУ.

Мы рассматриваем только симметричное деление с нулевым угловым моментом. Деформация ядер характеризуется одной коллективной координатой д. Квазистационарному состоянию ядра соответствует значение координаты дс=1, а точке разрыва — да = 2,14. Положения седловой точки дь разные для каждого из ядер.

Временная эволюция д определяется при помощи уравнения Смолуховского:

= -|- (В1д) + 81^), (1)

81 од од