CC BY
40
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 4. С. 79-84.
УДК 539.173
И.И. Гончар, Л.А. Литневский
ПОЧЕМУ НАМ НУЖНО УМЕТЬ ВЫЧИСЛЯТЬ СКОРОСТЬ НАДБАРЬЕРНОГО ДЕЛЕНИЯ ЯДЕР С ВЫСОКОЙ ТОЧНОСТЬЮ?
Проанализированы результаты работ, посвящённых исследованию влияния на скорость деления возбуждённых атомных ядер трёх факторов: квантовой поправки, размерности конфигурационного пространства и немарковости. Приведены аргументы, которые доказывают, что точность расчёта этой скорости необходимо существенно увеличивать.
Ключевые слова: деление ядер, скорость деления, формула Крамерса, уравнения Ланжевена.
Введение
Модель теплового распада метастабильного состояния используется для количественного анализа деления возбуждённых ядер, начиная с работы Бора [1]. Крамерс [2] показал, как статистическая скорость распада Бора получается с учётом диссипативного характера процесса. В его работе получено несколько приближённых формул для скорости теплового распада, которые соответствуют разным режимам. Чаще всего в ядерной физике используется формула
и её обобщения на многомерный случай. В формуле (1) оь, ос - модули частот колебаний вблизи барьера и квазистационарного состояния соответственно; в - коэффициент затухания коллективного ядерного движения.
Управляющий параметр є выражается через высоту потенциального барьера Еь и тепловую энергию в :
В ядерной физике тепловая энергия равна температуре, выраженной в МэВ. Формула (1) должна иметь хорошую точность, если выполнены следующие условия:
а) высота барьера много больше тепловой энергии;
б) потенциал вблизи экстремумов аппроксимируется параболами;
в) в не слишком мало (порядка соъ или больше);
г) поглощающая граница (точка разрыва) находится далеко от барьера;
д) квазистационарное состояние лежит далеко от барьера.
В начале 1990-х гг. несколько авторов предложили почти одновременно и независимо переход от динамического описания процесса деления к статистическому. Для этого необходимо иметь надёжный рецепт расчёта статистической скорости, которая хорошо согласуется с долговременным пределом динамической скорости. Понятно, что ЯКТ , вычисляемая по формуле Крамерса (1), является очевидным кандидатом на роль статистической скорости.
Для случая в >> (0ъ (режим сверхзатухания) задача о согласовании динамической и статистической скоростей была поставлена в работах [3; 4]. Там же было проведено систематическое сравнение модифицированной формулы Крамерса с динамической скоростью. Различие статистической и динамической скоростей оказалось не более 20 %, что для того
(1)
(2)
© И.И. Гончар, Л.А. Литневский, 2013
времени (20 лет назад) было вполне приемлемо. Заметим, что переход от динамического описания процесса деления к статистическому был предложен также в [5]. Однако в той работе статистическая скорость получалась просто как предельное значение динамической, без аналитических формул. Это требовало длительных расчётов на мощных компьютерах и сводило на нет все преимущества метода перехода в статистическую ветвь.
Между тем в ряде работ исследовалось влияние на статистическую и динамическую скорости:
а) квантовых эффектов [6; 7];
б) размерности конфигурационного пространства, в котором моделируется процесс [6; 8; 9];
в) возможной немарковости процесса деления [10-15].
По нашему мнению, из результатов работ [6-13] следует, что в настоящее время назрела необходимость научиться вычислять статистическую скорость с погрешностью, не превосходящей 2 %. Ниже мы анализируем результаты этих и других работ с целью доказать это утверждение.
Квантовая поправка
В [6] с помощью метода интегралов по траекториям была получена квантовостатистическая формула для скорости распада с учётом квантовой поправки:
яв = яг • ыв, (3)
» (1 + р/уп +о2с1у2п )
Мв = П(1+ Р/V +®>;). (4)
Здесь Уп = 2пп9Н- . Обращает на себя внимание тот факт, что квантовый множитель Мв отличен от 1 только при условии,
что оъ ^ос. Интересно, что именно в этом случае формула Крамерса (1) приводит к заметным неточностям [16].
Мы вычислили частоты ос, (Оъ, а также соответствующие квантовые поправки, игнорируя возможную зависимость коэффициента затухания от деформации. Результаты этих вычислений представлены на рис. 1 (расчёт потенциальных энергий, соответствующий модели с конечным радиусом взаимодействия, объяснён в [17], квантовая поправка вычислена при полной энергии возбуждения 30 МэВ). Из рис. 1а видно, что квазистационарная яма всегда заметно жёстче, чем барьер. Однако результирующая квантовая поправка весьма мала: для энергии возбуждения 30 МэВ она не превосходит 5 %. Дело тут в том, что слишком велики «частоты» Уп: даже при довольно низкой температуре в 1 МэВ самая малая из них У1 « 10 зс -1. Типичное значение ос « 3
зс-1. Разумеется, квантовая поправка проявляет себя тем сильнее, чем меньше энергия возбуждения.
1000
800
>
02 600
О
400
200
0
5
4
3
2
1
0
: £й '-ДД. Д-Дд А-Д И ;
к
-л-с
-о-с Л, \ " 'л :
: -о о- ООО оо-с
: Ц~ ь >1
*—1 *□ — ■□-г-1 п-п. П-П,
с □ □
□ 'п
30 32 34 36 38 40
г2/д
Рис. 1. Жёсткости по отношению к изменению межцентрового расстояния (а)
(треугольники - квазистационарная точка, круги - седловая точка) и квантовая поправка (Ь) в зависимости от параметра делимости
Однако при низких энергиях возбуждения на передний план выходит другой эффект, который не учитывается в работе [6]. А именно: в ней, как и во многих других работах (см., например, последнюю монографию по делению ядер [18] и ссылки в ней), температура ядра между актами испускания частиц считается фиксированной, т. е. используется приближение канонического ансамбля. В качестве драйвинг-потенциала в этом приближении используется свободная энергия Гельмгольца (изотермическо-изохорический термодинамический потенциал), а полная энергия ядра в процессе деформации не сохраняется. В то же время давно разработан другой, более адекватный подход к описанию динамики деления возбуждённых ядер, в котором в качестве драйвинг-потенциала используется энтропия (см. обзоры [19]). Этот подход отвечает микроканоническому ансамблю: в нём полная энергия ядра в процессе деформации сохраняется, а температура, наоборот, флуктуирует. В этом подходе формула Кра-мерса (1) принимает вид
11 в в 4 2
Я, =О 2жо,
О2 + -
ехр (ъ - ^ ). (5)
Здесь оъ,, ос3 - модули частот «колебаний» вблизи седловой и квазистационарной точек энтропии соответственно. Эти частоты вычисляются через вторые производные от энтропии:
}£8_
2
СОъ? —
2
(б)
^2
Использование энтропии в качестве драйвинг-потенциала приводит к двум основным эффектам. Первый из них часто упоминается в литературе (см., например, последнюю монографию по делению ядер [18] и ссылки в ней): при учёте зависимости параметра плотности одночастичных уровней от деформации происходит понижение барьера деления. Подчеркнём, что вопреки встречающемуся в литературе мнению (см. например, [20; 21]) уменьшается не высота потенциального барьера деления: потенциальная энергия от температуры зависеть вообще не может. С ростом энергии возбуждения, благодаря деформационной зависимости параметра плотности одночастичных уровней, уменьшается разность энтропий в квазистационарной и седловой точках, ( - $ъ) . Этот эффект проявляется тем сильнее, чем выше энергия возбуждения.
Второй эффект упоминается гораздо реже. Он состоит в том, что при малой энергии возбуждения на первый план выходит деформационная зависимость температуры. Температура в седловой точке - 6ъ, а следовательно, и энтропия 8ъ уменьшаются по сравнению со случаем канонического ансамбля. В результате барьер деления ( - Бъ)
становится выше, чем потенциальный барьер в случае канонического ансамбля.
Количественно этот эффект иллюстрируется рис. 2 (расчёт потенциальных энергий и энергия возбуждения такие же, как на рис. 1). Панель а этого рисунка даёт представление о том, каков масштаб изменения скоростей деления в обсуждаемом диапазоне параметра делимости: скорости деления покрывают 10 порядков. В нижней части рис. 2 мы видим, как изменяется отношение Ят и Я$ при изменении параметра делимости. Этот эффект составляет от 5 порядков до 10 % (сравните с максимальным значением 4 % на рис. 1Ь).
Итак, квантовая поправка на фоне неточностей за счёт использования неадекватного приближения постоянной температуры просто не может быть обнаружена.
Размерность конфигурационного пространства
Влияние размерности конфигурационного пространства, в котором моделируется процесс, на величину скорости деления изучалось в работах [б; 8; 9; 22]. Результаты всех этих работ сводятся к тому, что при добавлении одной степени свободы квази-стационарная скорость деления возрастает примерно на 20 %. Обсудим подробнее этот эффект на примере работ [9; 22].
10"
10°
'[О'2
со,
£ 10'4 I—
01 в 10'6
10’8
106
_ ю4
со
а:
2" Ю2
10°
Г— Кт г-о-^ , Л' 1
ЯГ
-0 у
У
/
: П У
/и
: / / а)р
' •
' А Я -
! \ V
X у\
:
30 32 34 36 38
40
Рис. 2. Скорости деления (а) (Ят - квадраты,
Я8 - круги) и их относительная разница (Ь) в зависимости от параметра делимости
К ускорению процесса деления при добавлении дополнительной степени свободы могут приводить два обстоятельства. Во-первых, барьер деления, найденный в пространстве большей размерности, может оказаться ниже. Именно это обстоятельство приводит к увеличению сечения слияния (обратного процесса) в методе связанных каналов (см., например, обзор [23] и ссылки в нём). Во-вторых, в некоторых случаях жёсткость по добавочной моде часто (но, по-видимому, не всегда!) уменьшается при движении от квазистационарного состояния к седловой точке.
Каковы бы ни были причины ускорения деления при увеличении размерности конфигурационного пространства, эффект в 20 % вполне соизмерим с неточностями формулы Крамерса, обнаруженными в [1б; 24]. Что же касается разницы между Ят и
Я8, то она, по-видимому, обычно больше
эффекта многомерности.
В табл. приведено сравнение квазиста-ционарных скоростей деления Яв и времён релаксации т1/2, вычисленных в работах [9;
22]. Аббревиатуры 1СС, 2СС и 3СС указывают на результаты одномерных, двумерных и трёхмерных вычислений соответственно. Расчёты во всех случаях выполнены при полной энергии возбуждения 30 МэВ и нулевом угловом моменте.
Сравнение квазистационарных скоростей деления Яв и времён релаксации т1/2
Яв, ас 1 Т1/2, зс
1СС 2СС 3СС 1СС 2СС 3СС
[22] 10.0 12.3 15.4 12 12 12
[9] 11 15 21 9 9 10
Немарковость процесса деления
Обычно для описания процесса деления используются уравнения Ланжевена вида
dp — Kdt - рп+ Ъ^7]1'Ж ,
dq — pm~ldt. (7)
В этих уравнениях коэффициент трения г/, определяющий как диссипацию коллективной энергии, так и амплитуду флуктуаций, не зависит от предыстории процесса. Это марковское приближение, которое соответствует нулевому порядку малости по времени корреляции случайной силы.
Исследованию немарковости процесса деления посвящены работы [11-13], а также [14; 15]. По-видимому, в первой и второй группе работ учитывались разные причины, приводящие к появлению эффектов памяти. Во всяком случае влияние немарковости на скорость коллективного ядерного движения получилось противоположным: в работах [11-13] она приводила к ускорению процесса деления, а в работах [14; 15] - к его замедлению.
Остановимся подробнее на результатах работы [12]. Они приведены на рис. 3, который построен по данным табл. 1 из [12] (энергия возбуждения равна 200 МэВ). Видно, что при самом большом значении времени корреляции случайной силы эффект немарковости сводится к 10-30 %.
Этот рисунок интересно сравнить с результатами наших расчётов скорости деления, которые представлены на рис. 4 (энергия возбуждения равна 200 МэВ). На нём сравниваются три скорости деления. Первая, Яп, является точной и представляет
собой долговременный предел динамической скорости, полученной с помощью уравнения Смолуховского
д -(Аг)■ (8)
I (°'s N *
Здесь в(ч, t) - плотность вероятности, а Д и Д - дрейфовый и диффузионный коэффициенты, которые имеют вид
D (q )JM dA+1 d*,
П dq г/ dq
D* (q )=e~f. n
(9)
(10)
Энтропия £ и температура 0 определяются при помощи модели ферми-газа
£(ч) = 2у1 а(ч)[Еш - и(ч)] , (11)
0(ч) = >/[Ео - и(ч)]/а(ч) . (12)
50
40
30
20
10
0
-10
■ 1 1 ' ' ' т, ZS —л— 0.3 —■—0.5 —О— 1.0
■ data fron п YF71 2041 |
Р о— о \ гС
О V *л
□—□ п Ш- О -О '
> -д—— Д-А__ *--д
28 30 32 34 36 38
40
Рис. 3. Зависимость относительной разницы средних времен деления от параметра делимости, вычисленных в марковском приближении (< ^0 >)
и с учётом конечного времени корреляции флуктуирующей силы (< >) для трёх значений т :
0.3 зс (треугольники), 0.5 зс (квадраты), 1 зс (круги)
Z2/A
Рис. 4. Сравнение приближенных аналитических скоростей деления (а), вычисленных по формулам (5)
( Rs , квадраты) и (13) (R , треугольники), и относительной разница квазистационарных скоростей деления (b) ( RsRD -1 - квадраты и RsR- -1 - треугольники) в зависимости от параметра делимости
Детальный вывод выражений (8-10) дан в работе [24]. Вторая скорость деления, представленная на рис. 4, Rs , вычислена по формуле (5). Третья, интегральная, скорость деления Rj находится по формуле
[ qf exp Г-S (у)] Ч г , чп Г RJ=М—Г(у) JdyJ* exp[S(x)]drr .(13)
Вывод этой формулы приведён в работе
[24]. Заметим, что формула (5) получается из
формулы (13), если разложить энтропию вблизи её экстремальных точек до квадратичных членов по (у - чс) (в левом интеграле) и (чъ - х) (в правом интеграле), а верхние и нижние пределы интегрирования распространить до +ж и -ж соответственно. Таким образом, естественно ожидать, что в области применимости приближённых формул Я{ и Я£ первая должна согласовываться с Яв лучше, чем вторая. Эта область применимости определяется неравенством
( - ^ъ )> 4.
В целом из рис. 4Ь видно, что интегральная скорость Я{ действительно находится в значительно лучшем согласии с точной скоростью Яв . Заметим, что в области больших значений параметра делимости нарушается условие ( - £) > 4 , так что соотношение Я{ <Яв вполне оправдано. Напротив, хорошее согласие между Я£ и Яв для самой правой точки является результатом случайной взаимной компенсации нескольких неточностей формулы (5).
Сравнение рис. 3 и 4Ь показывает, что при использовании менее точной формулы типа (5) эффекты немарковости можно просто не заметить. Если же применять более точную формулу (13), то в области её применимости влияние памяти на диссипацию и флуктуации при т — 0.5 и 1 зс будет хорошо видно.
Заключение
Для того чтобы моделировать процесс деления возбуждённых ядер, сопровождаемый эмиссией частиц, необходимо иметь приближённые формулы для скорости деления. Погрешность формул, которые применяются сейчас, часто выходит за рамки 20 %. В то же время в литературе обсуждается влияние на статистическую и динамическую скорости деления
а) квантовых эффектов [б];
б) размерности конфигурационного пространства, в котором моделируется процесс [б; 8; 9; 22];
в) возможной немарковости процесса деления [11-15; 25].
Мы проанализировали результаты соответствующих работ и сравнили масштаб исследуемых эффектов с точностью приближённых формул. По нашему мнению, этот анализ доказывает, что улучшение точности вычисления приближённых скоростей Крамерса (уменьшение погрешности этих вычислений до 2 %) действительно является актуальной научной задачей. К сожалению, этой задаче в литературе уделяется недостаточно внимания.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Bohr N., Wheeler J. A. The Mechanism of Nuclear Fission // Phys. Rev. 1939. № 56. Р. 426.
[2] Kramers H. A. Brownian motion in a field of force and the diffusion model of chemical reactions // Physica. 1940. № 7. P. 284.
[3] Gontchar I. I., Frobrich P., Pischasov N. I. Consistent dynamical and statistical description of fission of hot nuclei // Phys. Rev. C. 1993. № 47. P. 2228.
[4] Gontchar I. I., Frobrich P. Nuclear fission: combining the dynamical Langevin equation with the statistical model // Nucl. Phys. A. 1993. № 551. P. 495.
[5] Wada T., Abe Y., Carjan N. One-body dissipation in agreement with prescission neutrons and fragment kinetic energies // Phys. Rev. Lett. 1993. № 70. P. 3538.
[6] Frobrich P., Tillack G. R. Path-integral derivation for the rate of stationary diffusion over a multidimensional barrier // Nucl. Phys. A. 1992. № 540. P. 353.
[7] Hofmann H., Ivanyuk F. Nuclear Transport at Low Excitations // Phys. Rev. Lett. 1999. № 82. P. 4603.
[8] Wada T.. Carjan N., Abe Y. Multi-dimensional Langevin approach to fission dynamics // Nucl. Phys. A. 1992. № 538. P. 283.
[9] Nadtochy P. N., Kelic A., Schmidt K.-H. Fission rate in multi-dimensional Langevin calculations // Phys. Rev. C. 2007. № 75.
[10] Abe Y, Ayik S., Reinhard P.-G., Suraud E. On stochastic approaches of nuclear dynamics // Phys. Rep. 1996. № 275. P. 49-196.
[11] Yilmaz B., Ayik S., Abe Y., Boilley D. Non-Markovian diffusion over a parabolic potential barrier: Influence of the friction-memory function // Phys. Rev. E. 2008. № 77.
[12] Gegechkori A.E., Anischenko Yu. A., Nadtochy P. N., Adeev G. D. Impact of Non-Markovian Effects on the Fission Rate and Time // Phys. At. Nucl. 2008. № 71. P. 2007.
[13] Bao J.-D., Zhuo Y.-Z., Wu X.-Z. Quantum decay rate of a nonlinear dissipative system with fissionlike potential near Tc // Zeit. Phys. A. 1996. № 354. P. 293.
[14] Kolomietz V. M., Radionov S. V., Schlomo S. Memory effects on descent from the nuclear fission barrier // Phys. Rev. C. 2001. № 64.
[15] Kolomietz V. M., Radionov S. V., Schlomo S. The influence of memory effects on dispersions of kinetic energy at nuclear fission // Phys. Scr. 2006. № 73. P. 458.
[16] Gontchar I. I., Chushnyakova M. V., Aktaev N. E., Litnevsky A. L., Pavlova E. G. Disentangling effects of potential shape in the fission rate of heated nuclei // Phys. Rev. C. 2010. № 82.
[17] Gontchar I. I., Ponomarenko N. A., Turkin V. V., Litnevsky L. A. Theoretical Investigation of the Angular-Momentum Dependence of the Mean Fission Lifetime of Excited Nuclei // Phys. At. Nucl. 2004. № 67. P. 2080.
[18] Krappe H. J., Pomorski K. Theory of nuclear fission. Springer, 2012.
[19] Гончар И. Ланжевеновская флуктуационно-диссипативная динамика деления возбужденных атомных ядер // ЭЧАЯ. 1995. № 26. С. 932-1000 ; Frobrich P., Gontchar I. I. Langevin description of fusion, deep-inelastic collisions and
heavy-ion-induced fission // Phys. Rep. 1998. № 292. Р. 1S1.
[20] Wada T., Aritomo Y., Tokuda T, Ohta M., Abe Y. Dynamics of the superheavy element synthesis with a diffusion model // Nucl. Phys. A. 1997. № 616. Р. 446-453.
[21] Aritomo Y., Chiba S., Nishio K. Dynamical model of surrogate reactions // Phys. Rev. C. 2011. № 84.
[22] Gontchar I. I. Dynamical Simulation of the Fission Process Involving One or Two Degrees of Freedom: Effect on Fission Times // Phys. At. Nucl. 2009. № 72. Р. 1659.
[23] Dasgupta M., Hinde D. J., Rowley N., Stefanini A. M. Measuring barriers to fusion // Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 1998. № 48. P. 401.
[24] Gontchar I. I., Kuzyakin R. A. Integral Kramers formula for the fission rate versus dynamical modeling: The case of deformation-dependent temperature // Phys. Rev. C. 2011. № 84.
[25] Sargsyan V. V., Kanokov Z., Adamian G.G., Antonenko N. V. Quantum Statistical Effects in Nuclear Reactions, Fission, and Open Quantum Systems // Phys. Part. Nucl. 2010. № 41. P. 175.
