Точная релаксация с учетом невязки Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вычислительные технологии

Том 14, № 2, 2009

Точная релаксация с учетом невязки

С.Е. Михеев, В. С. Михеев Санкт-Петербургский государственный университет, Россия e-mail: miheev@apmath. spbu. ru

Точные релаксации, использующие дополнительную информацию о расположении искомого решения и невязке, могут улучшить сходимость итеративных методов, которые представимы в виде метода простой итерации (в частности, метода Ньютона решения системы нелинейных уравнений). Формулы для таких релаксаций получаются минимизацией максимума оценок погрешностей следующей итерации, а использование невязки состоит в выборе лучшего по невязке приближения из двух: того, что выдает базовый алгоритм, и того, что выдает точная релаксация этого алгоритма.

Ключевые слова: сходимость, скорость сходимости, итерация, метод Ньютона, ускорение сходимости, невязка.

1. Описание

Рассматривается итеративный поиск решения а уравнения

Здесь х — текущее приближение, индексом "*" отмечаются величины, относящиеся к последующему шагу. Начальная точка хо выбирается так, чтобы обеспечить сходимость. Если известна оценка вида

где р > 1, с > 0 и а — искомое решение: д(а) = 0, то с помощью точной релаксации (ТР) можно модифицировать (2) для улучшения сходимости итерационного процесса [1, 2].

Изложим ТР применительно к скалярному случаю с произвольным алгоритмом А и при наличии информации (3). Будем отмечать индексом "Т" величины, относящиеся к ТР. Пусть й — оценка текущей погрешности.

Точная релаксация есть модификация алгоритма А, полученная с помощью следующего принципа минимальности (ПМ).

Пусть относительно метода простой итерации х* := А(х) известна некоторая информация I, состоящая как из стационарной части (например (3)), так и пошаговой, куда обязательно включается оценка й текущей погрешности. Согласно информации I и паре (х,А(х)) строится допустимое множество решений М = М(х,А(х),1).

д(х) = О

методом простой итерации с базовым алгоритмом A:

х* := A(x).

(1)

(2)

||A(x) — а|| < c\\x — а\\р,

(3)

© ИВТ СО РАН, 2009.

Последующую итерацию хТ следует выбирать так, чтобы при наличии величин А(хТ), хТ и МТ оценка погрешности д*Т итерации х*Т была минимальна. Иными словами, если Д(г>) := шахгемТ — г|, то

х*Т = а^шшД(г>), й*Т = Д(хТ).

'и&К1

Обозначим содержащийся в ПМ алгоритм для вычисления хТ через Т, а алгоритм для вычисления йТ (также из ПМ) — через Та, и пусть I = й. Тогда ТР можно придать вид простой итерации:

х т :— Т (х т, А, йТ),

йт :— Та(хT,

Итерации с ТР алгоритма А именуется методом точной релаксаци с алгоритмом А.

Отдельные итерации метода точной релаксаци с алгоритмом А могут хуже приближать к решению в сравнении с итерациями базового алгоритма А, но оценка погрешности всегда будет лучше, и в целом сходимость итераций с ТР алгоритма А стабильнее и быстрее, чем простые итерации (2).

В 2007 году профессор СПбГУ В.Ф. Демьянов для придания еще большей скорости сходимости и стабильности итеративного процесса предложил оптимизировать его по двум критериям: малости последующей невязки и оценки погрешности с приоритетом первой. Алгоритмическую реализацию этой идеи далее будем именовать модификацией точной релаксации (МТР).

Практическая эффективность ТР была проверена в скалярном случае [2] для модифицированного (упрощенного) метода Ньютона х* := х — д(х)/д'(хо), обладающего линейной сходимостью (р = 1). В этой статье будет исследована сравнительная эффективность ТР и МТР для обычного метода Ньютона (МН) в скалярном случае:

х* := х — д(х)/д'(х) := А(х). (4)

Метод Ньютона, в отличие от упрощенного метода, имеет квадратичную сходимость (р = 2). И в этом есть свой интерес. Будут ли при такой быстрой сходимости какие-либо плюсы в применении ТР?

Далее аббревиатуры ТР и МТР будут использоваться самостоятельно без указания на базовый алгоритм, под ним будет подразумеваться только ньютоновский (4).

2. Расчетные формулы

Если производная д' липшицева с константой L в рассматриваемой области (выпуклой оболочки всех итеративных точек и решения а), то для ньютоновских итераций (4) справедлива оценка (3) и известно, что там c < L||(g'(x))-1||/2.

Расчетные формулы ТР для I = {(3),d} в скалярном случае (индекс "T" для простоты записи в них опущен) следуют ниже:

g(x) -1 + Vi + 4rc 1 т V 1 - 4rc

r := A(x) - x, r := |r|, а := sgn —-, 71 = ---, 72,3 =---. (5)

g'(x) 2c 2c

Точная релаксация в случае 4гс > 1, а также в случаях d > 73 и d < 72 при произвольном х имеет вид

* 71 + d fd 1 - V1 + 4гс х = х +---— = х + а ---

а2

2

4с

d*

d — 71 d 1 — V1 + 4гс

2 = 2 + 4С '

в других случаях, т.е. когда 4гс < 1 Л d £ (^2,13),

* 71 + 72 у/1 + 4гс — V1 — 4гс

х = х +--г = х +----,

а2 а4с

, 72 — 71 2 — V1 — 4гс — V1 + 4гс

4 = ~^ =-4С-•

д'(х)

если Рк < 1/2 Л 1 — Т < Lрd, то

х

т — г * 2 — г — т

х +--, d :=

a2Lр'

2Lp

если Рк > 1/2 V (Рк < 1/2 Л 1 — Т > Lpd), то

1 — г — Lpd Lpd — г + 1

х := х +

а2Lр

d*

2Lp

(6)

(7)

Конкретно [3] для ТР с алгоритмом А из (4): р :=1/|д'(х)|, Рк := L|g(x)|p2, а := sgn ^, г := + 2Рк, Т := 0 — 2Рк

(8)

(9)

Перейдем к расчетным формулам для МТР. Будем отмечать индексом " М" величины, относящиеся к МТР. Тогда в таких обозначениях после получения ТР для хм будут известны величины

т — А(хМ), № — Т(хм, А, dм)

(10)

Вычислим д(т) и д(р). В качестве следующей итерации МТР выберем из {тту точку, для которой значение ||д|| меньше. Иными словами:

< ||д(т

хМ :— №, dM :— Td(xм, A, dм) ,

(11)

||дЫ|| > ||д(т)|| хм := т, сГм := LdM/2||д'(xм)||• (12)

В скалярном случае можно добиться еще лучшего. Будем полагать, что относительно функции д выполнены обеспечивающие корректность всех ньютоновских итераций Предположения 1. Функция д имеет корень а, монотонна на луче I, выходящем из х0 в направлении а, имеет на I липшицеву производную с константой L, под д'(х0) понимается соответствующий односторонний предел производной д'. Значения д' отличны от нуля во всех точках I помимо, может быть, а.

Заметим, что согласно предположениям 1 множество решений не пусто и является либо точкой, либо отрезком.

Выведем расчетные формулы МТР методом Ньютона в предположениях 1 и при наличии оценки й, добытой тем или иным способом. Как поступить при отсутствии этой информации, обсудим позднее.

В некоторых случаях предположения 1 позволяют сравнить по модулю величины д(т) и д(^), вычисляя лишь одну из них. Согласно тому, какая из них будет вычисляться сразу после ТР, возможны два сравнительно равноправных варианта. Здесь первой будет д(т). Построение алгоритма, когда первая д(^), — аналогично.

Как бы то ни было, когда значения невязки для ньютоновской итерации (НИ) больше, чем для ТР, расчетные формулы следующего приближения и оценки его погрешности для МТР совпадают с таковыми для ТР, т.е. с (6), (7) или с (8), (9). В противных случаях следующим приближением надо назначить х*м := т, что очевидно, а для оценки его погрешности использовать одну из формул (13)-(18).

Итак, опишем дополнительные к ТР операции, которые превращают ее в МТР.

Случай 1, а. д(т)д(хм) < 0 Л г < — хм|.

Вычисляется д(т).

Ньютоновская итерация лучше ТР по погрешности и по невязке. Оценкой удаленности корня будет

,* 2гс +1 — VI + 4гс

йм :=г — 71 =-2С-' (13)

Случай 1, б. д(т)д(хм) < 0 Л г > — хм|.

Вычисляется д(^).

Ньютоновская итерация, если д(^) одного знака с д(хм), может оказаться лучше по невязке, чем ТР. В этом случае оценкой удаленностиi НИ от корня будет

й*м := г — ^ — хм|, (14)

а если |д(и)| < |д(т)|, можно улучшить оценку погрешности для х*м :=

й*м := шт(^м, |т — = шт(йм — — хм|, |т — (15)

(Для сравнения ТР и НИ по погрешности в случае 1,б недостаточно информации.)

Случай 2, а. д(т)д(хм) > 0 Л г > — хм|.

Ньютоновская итерация лучше ТР по погрешности и по невязке. Оценкой удаленности корня будет

!йм — г, 1 < 4гс,

(16)

шт(йм — г,72 — г), 1 > 4гс.

Случай 2, б. д(т)д(хм) > 0 Л г < — хм|.

Вычисляется д(^).

Ньютоновская итерация, если д(^) противоположного знака с д(хм), может оказаться лучше по невязке, чем ТР. В этом случае оценкой удаленностил НИ от корня будет

йм := — хм| — г, (17)

a если |g(u)| < |g(m)|, можно улучшить оценку погрешности для x*M :=

d*M := \m - (18)

(Для сравнения ТР и НИ по погрешности в случае 2, б недостаточно информации.)

Нетрудно заметить, что МТР обходится не более чем в одно вычисление значения функции g на каждом шаге, начиная со второго, в дополнение к тем арифметическим операциям, которые расходуются на ТР (в скалярном случае см. (5)-(7)). Плюс к этому возможны еще две-три арифметических операции согласно (13)—(18) (в (13) r, y1 уже известны, поэтому там — только одна операция). Отметим также, что когда приближения по ТР и МТР совпадают, в МТР всегда вычисляется дополнительно одно значение функции g, но этот труд не совсем напрасен, ибо оценка погрешности МТР в общем случае оказывается лучше, чем ТР (см. (14) и (17)).

В многомерном случае удельные дополнительные (к ТР) расходы на МТР снижаются примерно пропорционально квадрату размерности пространства, что связано с повышением трудоемкости вычисления значений матрицы Якоби g' относительно вычисления значений g.

3. Сходимость

Сходимость ТР и МТР с ньютоновским базовым алгоритмом в многомерном случае извлекается из полуглобальной теоремы Канторовича [4] (теорема 6, §1, гл. XVIII с учетом замечания 1 к ней) или из локальной теоремы Мысовских [5] (теорема 3). Оба этих утверждения используют оценку в некоторой выпуклой области, где должны находится ньютоновские итерации, нормы второй производной: ||д''(х)|| < L, что легко ослабляется до липшицевости первой производной (относительно теоремы Канторовича см., например, [6, 7]).

В условиях теоремы Мысовских малость погрешности начального приближения, гарантирующая сходимость МН, имеет вид Рм := Ld0||(д'(х0))-1|| < 2/3. ТР и МТР гарантированно сходятся, если в качестве начальных приближений взять именно точку х0 и оценку d0. (В статье, находящейся в печати, авторами показано, что по крайней мере в скалярном случае МН гарантированно сходится при р < 1.)

В условиях теоремы Канторовича малость начальной невязки, гарантирующая сходимость МН, имеет вид

Рк = ^|(д(х0))||||(д'(х0))-1||2 < 1/2, (19)

и при этом справедлива оценка начальной погрешности

= 1 — УТ—2Рк ^ := ^|(д'(х0))-! • (20)

ТР и МТР гарантированно сходятся, если начальное приближение удовлетворяет (19) и его погрешность вычислена по (20).

В скалярном случае о сходимости ТР и МТР можно сказать значительно больше. Отметим, что формулы (8) и, тем более, (9) обеспечивают меньшую оценку погрешности d* последующего приближения х*, чем итерация по МН. Это есть элементарное следствие ПМ, на котором базируется ТР. Кроме того, можно показать, что для сходимости МН условие Рм < 1 не только достаточно, но и необходимо в таком смысле: для

любого Рм > 1 найдутся гладкая д и х0, такие, что Ь||х0 — а|| ||(д'(х0))-1|| = Рм и МН расходится или зацикливается, причем в качестве Ь выбирается минимально возможная константа Липшица для д'.

Отсюда очевидно вытекает необходимое условие расходимости или зацикливания мн: д м := Ь||хо — а|| || (д'(хо)) 1| > 1, где Ь — некоторая константа Липшица для д' на выпуклой оболочке ньютоновских итераций.

Независимо от происхождения оценки й формулы (8), (9) обеспечат ее уменьшение более чем в два раза. Отсюда — глобальная сходимость ТР с ньютоновским алгоритмом для любой функции, удовлетворяющей предположениям 1.

То же верно и для МТР, ибо по построению она обеспечивает еще большее уменьшение оценки погрешности на каждом шаге.

Перейдем теперь к случаю отсутствия оценки начальной погрешности и не выполнения условия Рк < 1/2 (оно позволяет применить (20)).

ТР и МТР в предположениях 1, как уже говорилось, глобально сходятся при любой оценке начальной погрешности. Поэтому получение какой-либо грубой оценки погрешности, которая позволила бы начать сходящийся итеративный процесс с ТР и МТР, совсем не затруднительно. Есть, однако, более эффективный выход из ситуации. Оказывается, конечное число ньютоновских итераций обеспечивает либо поиск приближенного к а решения, либо появление оценки погрешности, с которой можно начать метод ТР или МТР.

Теорема 1 [3]. Пусть относительно д выполнены предположения 1 и Рк(х) > 1/2. Тогда за конечное число шагов N ньютоновские итерации, монотонно удаляясь от начальной точки в направлении корня,

а) либо обеспечат д(х*) < е, где е — заранее заданное положительное число;

б) либо изменят знак функции: д(х)д(х*) < 0;

в) либо обеспечат Рк(х) < 1/2;

г) либо одновременно создадут несколько предыдущих событий.

Число N можно априори оценить сверху по д(х0), Ь, й0, где й0 — оценка начальной погрешности: N < 8Ь[й + д(х0)]/9(Ье)2/3.

Перейдем к сравнительной иллюстрации итеративных процессов МН, метода ТР с алгоритмом А и метода МТР с алгоритмом А в скалярном случае.

4. Численные эксперименты

Первые девять примеров иллюстрируют улучшение сходимости как в ТР, так и в МТР сравнительно с МН. В 10-м примере — хорошая сходимость ТР и МТР при расходимости МН. Во всех рассмотренных далее примерах д(0) = 0, т. е. а = 0. Начальные точки выбирались одинаковыми для МН, ТР и МТР. С одной функцией проводились три эксперимента с различными оценками начальной погрешности. В качестве константы Липшица Ь брался максимум значений |д''| на отрезке [х0 — й,х0 + й].

В первых трех примерах выполнялось необходимое условие расходимости МН: дм ^ 1.01 > 1, однако МН сходился. В примерах 4-8 выполнялось достаточное условие сходимости МН: ^м < 1 ($м — разновидность Рм). В примере 10 ^м > 1 и МН расходится, а ТР и МТР сходятся.

Текущие оценки погрешности для МН вычислялись итеративно с переменным с по формулам с := Ь/2|д'(х)|, := сй2.

Пример 1. g(x) — 1 ex/3 - 1, Qm и 1.01, Pm и 1.18.

3

Вычисления прерваны на 4-м шаге, после обнуления dM. Оценки дальности ТР и МТР оказались равными: dN > dM — dT. По невязке такие же результаты: fN > fT — fM. В отличие от МН как ТР, так и МТР могут быть чувствительны к вычислительным погрешностям вычислений вблизи искомого корня. Поэтому для них желательно предусматривать своевременную остановку итеративного процесса по достижении заданной точности.

Пример 2. g(x) — -ex/3 - 1, Qm и 1.01, Pm и 1.18.

3

Вычисления прерваны на 5-м шаге, после обнуления dT. Лучше всех по оценке погрешности результат показала МТР. Обе ТР и МТР лучше МН: dN > dT > dM. Аналогичные результаты по невязке: fN > fT > fM.

Пример 3. g(x) — 1 ex/3 - 1 Qm и 1.01, Pm и 2.36.

3

Вычисления прерваны на 5-м шаге, после обнуления dT. Здесь уже МТР однозначно опережает по оценке погрешности и ТР, и МН: dN > dT > dM. Значения невязки у обычной ТР оказались хуже, чем у МН. Но МТР, естественно, не уступила МН: fT >

fN > fM.

x

Пример 4. g(x) — —-, Qm и 0.65, Pm и 0.689.

x2 + 6x + 5

Заданный порядок точности был достигнут на 4-м шаге. По оценке погрешности наблюдается убедительное преимущество ТР и еще большее МТР: dN > dT > dM. Такой

же расклад по невязке: fN > fT > fM.

x

Пример 5. g(x) — —-, Qm и 0.65, Pm и 0.82.

x2 + 6x + 5

Вычисления прерваны на 4-м шаге, после обнуления dT. По оценке погрешности

МТР оказалась такой же, как и ТР: dN > dM — dT. По невязке аналогично: fN > fT — fM.

x

Пример 6. g(x) — —-, Qm и 0.65, Pm и 1.37.

x2 + 6x + 5

Вычисления прерваны на 5-м шаге, после обнуления dT. При двухкратном увеличении начальной оценки дальности решения МТР вышла в лидеры по оценке текущей погрешности: dN > dT > dM. По невязке обычная ТР оказалась чуть хуже МН. Но МТР, естественно, не уступила МН: fT > fN > fM.

Пример 7. g(x) — x + sinx, Qm и 0.26, Pm и 0.28.

Вычисления прерваны на 3-м шаге, после обнуления dT.

Пример 8. g(x) — x + sinx, Qm и 0.26, Pm и 0.33.

Вычисления прерваны на 3-м шаге, после обнуления dT.

Пример 9. g(x) — x + sinx, Qm и 0.26, Pm и 0.55.

Вычисления прерваны на 3-м шаге, после обнуления dT.

Пример 10. g(x) — (1 - e-|x|) sgnx, Qm и 4.77, Pm и 16.14.

Здесь начальная точка такова, что МН расходится. Естественно, что PM > 1. Расчеты прерваны на 5-м шаге, так как вычисления значений производной g'(xN) давало машинный ноль, т. е. не было возможности сделать итерацию по МН. В то же время как ТР, так и МТР хорошо сходились и можно было бы улучшить точность еще на несколько порядков.

Интересно, что характерный параметр перед тем, как начать монотонно стремиться к нулю, вначале возрастал.

ТР: 4.77, 5.50, 0.025, 0.00029, 4.37-10-8.

МТР: 4.77, 5.38, 0.021, 0.00020, 2.07-10-8.

Таблица 1. Пример 1. д(ж) = 1 ех/3 - 1, ^м ^ 1.01, Р м ^ 1.18

оо

к Жт жм /т /м ^м

0 -1.000е+00 -1.0006+00 -1.000е+00 -2.835е-01 -2.835е-01 -2.835е-01 1.166е+00 1.166е+00 1.166е+00

1 1.868е-01 1.754е-04 1.754е-04 6.424е-02 5.846е-05 5.846е-05 6.883е-01 1.658е-01 1.658е-01

2 5.696е-03 5.124е-09 5.124е-09 1.900е-03 1.708е-09 1.708е-09 1.615е-01 1.116е-08 1.116е-08

3 5.404е-06 4.376е-18 4.376е-18 1.801е-06 1.459е-18 1.459е-18 9.443е-03 9.526е-18 9.526е-18

4 4.867е-12 0.000е+00 0.000е+00 1.622е-12 0.000е+00 0.000е+00 3.235е-05 6.948е-36 0.000е+00

Таблица 2. Пример 2. д(ж) = 1 ех/3 - 1, ^м ^ 1.01, Рм ^ 1.18

3

к Жт Жм /т /м ^м

0 -1.000е+00 -1.000е+00 -1.000е+00 -2.835е-01 -2.835е-01 -2.835е-01 1.399е+00 1.399е+00 1.399е+00

1 1.868е-01 1.168е-01 1.168е-01 6.424е-02 3.969е-02 3.969е-02 9.911е-01 2.824е-01 2.824е-01

2 5.696е-03 1.874е-03 1.874е-03 1.900е-03 6.247е-04 6.247е-04 3.349е-01 4.614е-03 4.614е-03

3 5.404е-06 5.832е-07 5.832е-07 1.801е-06 1.944е-07 1.944е-07 4.060е-02 1.272е-06 1.272е-06

4 4.867е-12 5.669е-14 5.669е-14 1.622е-12 1.890е-14 1.890е-14 5.980е-04 1.234е-13 1.234е-13

5 3.948е-24 5.333е-28 5.301е-28 1.316е-24 1.778е-28 1.767е-28 1.297е-07 1.166е-27 1.161е-27

Таблица 3. Пример 3. д(ж) = 1 ех/3 - 1, ^м ^ 1.01, Рм ^ 2.36

к Жт жм /т Ум ^м

0 -1.000е+00 - 1.000е+00 -1.000е+00 -2.835е-01 -2.835е-01 -2.835е-01 2.332е+00 2.332е+00 2.332е+00

1 1.868е-01 5.832е-01 1.868е-01 6.424е-02 2.146е-01 6.424е-02 2.753е+00 7.488е-01 3.524е-01

2 5.696е-03 2.043е-02 4.278е-03 1.900е-03 6.833е-03 1.427е-03 2.584е+00 9.742е-02 1.140е-02

3 5.404е-06 6.721е-05 3.028е-06 1.801е-06 2.241е-05 1.009е-06 2.417е+00 1.494е-04 6.619е-06

4 4.867е-12 7.529е-10 1.528е-12 1.622е-12 2.510е-10 5.093е-13 2.120е+00 1.639е-09 3.326е-12

5 3.948е-24 9.447е-20 3.892е-25 1.316е-24 3.149е-20 1.297е-25 1.630е+00 2.056е-19 8.470е-25

и

е

сь сь

е

сь сь Й

Таблица 4. Пример 4. g(x) =

x2 + 6x + Б

, Qm « G.65, Pm « G.6S9

k XN Xт XM fN и fM dN dт dM

0 1.Б006-01 1.Б006-01 1.Б00в-01 2^33e-02 2^33e-02 2.Б33e-02 l.600e-0l l.600e-0l l.600e-0l

1 —2.S4Se-02 l.l60e-03 l.l60e-03 —5.896e-03 2.3l6e-04 2.3l6e-04 Б.БЮ^ l.ll6e-02 2.964e-02

2 —9.641e-04 — 1.621e-06 — 1.614e-06 —1.93Ge-04 —3.243e-07 —3.22Se-07 4.326e-03 2.06Бe-06 2.0Б7e-06

3 —1.11Бe-06 —3.^e-l2 —3.126e-l2 —2.23Ge-07 —6.31Ge-l3 —6^3e-l3 2.8Б2e-0Б 4.01Бe-12 3.978e-l2

4 —1.492e-l2 — 1.194e-23 —1.173e-23 —2.9S4e-l3 —2.3S9e-24 —2.346e-24 l.242e-09 1.Б20e-23 l.492e-23

оч на

Ço

¡4 р

ла

Ço

с

Cl Ço

ия

¡4 с

у Kd

CD О

Таблица Б. Пример Б. g(x) =

x

x2 + 6x + Б

, Qm « G.6Б, Pm « G.S2

k XN Xт XM fN и fM dN dт dM

0 l^00e-0l l^OOe-Ol 1.Б00e-01 2.Б33e-02 2.Б33e-02 2.Б33e-02 l.920e-0l l.920e-0l l.920e-0l

1 —2.S4Se-02 —1.4S4e-02 —1.4S4e-02 —5.896e-03 —3.G22e-03 —3.G22e-03 7.934e-02 2.7l6e-02 2.7l6e-02

2 —9.641e-04 —2.49Бe-04 —2.495e-04 —1.93Ge-04 —4.99Ь-0Б —4.99Ь-0Б 8.97le-03 3.l38e-04 3.l38e-04

3 — 1.me-06 —7.462e-08 —7.462e-08 —2.23Ge-07 —1.492e-08 —1.492e-08 l.226e-04 9.494e-08 9.494e-08

4 —1.492e-l2 —6.6S2e-1Б —6.6S2e-1Б —2.9S4e-l3 —1.336e-^ —1.336e-1Б 2.296e-08 8.Б03e-1Б 8.Б03e-1Б

Таблица 6. Пример 6. g(x) x

x2 + 6x + Б

k XN Xт XM fN h fM dN dт dM

0 l^00e-0l l^00e-0l 1.Б00e-01 2^33e-02 2^33e-02 2.Б33e-02 3.200e-0l 3.200e-0l 3.200e-0l

1 —2.S4Se-02 —7.SS4e-02 —2.S4Se-02 —Б.S96e-03 —1.739e-02 —5.896e-03 2.204e-0l 9.ll6e-02 4.080e-02

2 —9.641e-04 —6.G43e-03 —S.7S6e-04 —1.93Ge-04 —1.217e-03 —1.7Б9e-04 6.922e-02 6.7l7e-03 l.087e-03

3 —1.1^-06 —4.27Бe-0Б —9.229e-07 —2.23Ge-07 —S.ББ1e-06 —1.S46e-07 7.300e-03 Б.419e-0Б l.l74e-06

4 —1.492e-l2 —2.193e-09 —1.G22e-l2 —2.9S4e-l3 —4.3S6e-lO —2.G44e-l3 8.138e-0Б 2.79le-09 l.30le-l2

Б —2.672e-24 —Б.771e-18 —1.2Б3^24 —5.344e-25 —1.^4e-l8 —2.507e-25 l.0lle-08 7.344e-l8 1.Б9Бe-24

&H

CD

яз

ки ts3

oo

to

x

Таблица 7. Пример 7. g(x) = x + sin x, Qm w 0.26, P m w 0.28

oo со

k xN x^ xM /n /t fM dN dT dM

0 5.236e-01 5.236e-01 5.236e-01 1.024e+00 1.024e+00 1.024e+00 5.536e-01 5.536e-01 5.536e-01

1 —2.413e-02 2.857e-03 2.857e-03 —4.826e-02 5.713e-03 5.713e-03 7.705e-02 3.286e-02 2.699e-02

2 2.350e-06 —6.457e-09 —3.884e-09 4.699e-06 —1.291e-08 —7.768e-09 1.395e-03 1.917e-06 1.915e-06

3 —2.162e-18 4.136e-25 0.000e+00 —4.324e-18 8.272e-25 0.000e+00 4.571e-07 9.795e-18 3.544e-18

Таблица 8. Пример 8. g(x) = x + sin x, Qm w 0.26, P m w 0.33

k xN x^ xM /n /t fM dN dT dM

0 5.236e-01 5.236e-01 5.236e-01 1.024e+00 1.024e+00 1.024e+00 6.643e-01 6.643e-01 6.643e-01

1 —2.413e-02 —4.829e-02 —2.413e-02 —4.826e-02 —9.656e-02 —4.826e-02 1.110e-01 8.400e-02 5.985e-02

2 2.350e-06 3.136e-05 2.350e-06 4.699e-06 6.272e-05 4.699e-06 2.893e-03 5.489e-04 1.353e-04

3 —2.162e-18 —8.526e-15 —2.162e-18 —4.324e-18 —1.705e-14 —4.324e-18 1.966e-06 2.310e-10 1.297e-12

Таблица 9. Пример 9. g(x) = x + sin x, Qm w 0.26, P m w 0.55

k xN Xt xM /n /t fM dN dT dM

0 5.236e-01 5.236e-01 5.236e-01 1.024e+00 1.024e+00 1.024e+00 1.107e+00 1.107e+00 1.107e+00

1 —2.413e-02 —4.829e-02 —2.413e-02 —4.826e-02 —9.656e-02 —4.826e-02 3.082e-01 8.400e-02 5.985e-02

2 2.350e-06 3.136e-05 2.350e-06 4.699e-06 6.272e-05 4.699e-06 2.232e-02 5.489e-04 1.353e-04

3 —2.162e-18 —8.526e-15 —2.162e-18 —4.324e-18 —1.705e-14 —4.324e-18 1.170e-04 2.310e-10 1.297e-12

Таблица 10. Пример 10. g(x) = (1 - e-|x|) sgn x, Qm w 4.77, Pm w 16.14

k xN Xt xM /n /t fM dN dT dM

0 1.300e+00 1.300e+00 1.300e+00 7.275e-01 7.275e-01 7.275e-01 4.400e+00 4.400e+00 4.400e+00

1 — 1.369e+00 — 1.382e+00 —1.369e+00 —7.457e-01 —7.489e-01 —7.457e-01 3.552e+01 1.718e+00 1.705e+00

2 1.563e+00 —2.391e-02 —2.011e-02 7.906e-01 —2.363e-02 —1.991e-02 2.481e+03 3.598e-01 3.560e-01

3 —2.211e+00 2.956e-04 2.037e-04 —8.904e-01 2.956e-04 2.036e-04 1.469e+07 3.002e-04 2.064e-04

4 5.915e+00 —4.372e-08 —2.074e-08 9.973e-01 —4.372e-08 —2.074e-08 9.848e+14 4.373e-08 2.074e-08

5 —3.638e+02 9.558e-16 2.151e-16 —1.000e+00 9.558e-16 2.151e-16 1.798e+32 9.558e-16 2.151e-16

и

е

cd cd

е

cd cd

to

Заключение

Существуют два способа определения достижения точности решения: по невязке и по оценке дальности решения. В соответствии с этим разные численные методы ориентированы на один из этих двух способов. Точная релаксация ориентирована на оценку дальности. И по этому показателю она всегда лучше метода Ньютона, что и подтверждают исследования. Точная релаксация с модификацией ориентирована на невязку. И соответственно в этом она лучше ТР и МН, что тоже хорошо видно в численных экспериментах. Помимо улучшения сходимости сравнительно с МН как МТР, так и ТР обеспечивают сходимость в скалярном случае для монотонных функций, имеющих корень.

Список литературы

[1] Михеев С. Е. Нелинейные методы в оптимизации. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001.

[2] Михеев С.Е. Метод точных релаксаций // Вычисл. технологии. 2006. Т. 11, № 6. С. 71-86.

[3] Михеев С.Е. Глобализация некоторых итеративных методов решения скалярных уравнений // Вестник С.-Петербургского ун-та. Сер. 10. 2007. Вып. 4. С. 43-52.

[4] Канторович Л. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977.

[5] Мысовских И.П. О сходимости метода Л.В. Канторовича решения функциональных уравнений и его применениях // Докл. АН СССР. 1950. Т. 70, № 4. С. 565-568.

[6] Красносельский М.А. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

[7] Ортега Дж., РЕйнволдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М.: Мир, 1975.

Поступила в редакцию 21 июля 2008 г.