Глобализация некоторых итеративных методов решения скалярных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.651

Вестник СПбГУ. Сер. 10, 2008, вып. 1

С. Е. Михеев

ГЛОБАЛИЗАЦИЯ НЕКОТОРЫХ ИТЕРАТИВНЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СКАЛЯРНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Введение. Для итерационного поиска корня а скалярной функции д, т.е. решения скалярного уравнения

Улучшить сходимость этих методов и глобализовать их позволяет точная релаксация (ТР), базирующаяся на принципе минимальности (ПМ).

ПМ. Пусть имеется итеративный процесс, в котором последующие итерации х' вычисляются из текущих согласно алгоритму А : х* := А(х). Пусть известна также текущая оценка погрешности (I : ||г — а|| ^ в,, т. е. отрезок ха принадлежит шару И, кроме того, имеется дополнительная итеративная информация I, согласно которой а принадлежит допустимому множеству М(х,А(х),1). Тогда предлагается в качестве следующего приближения назначить не х*, а центр содержащего пересечение Р| М(х, А(х), I) шара минимального радиуса. В качестве следующей оценки погрешности в* берется радиус этого минимального шара. В состав информации I всегда входят текущая оценка погрешности и вся промежуточная информация, добытая в результате работы по вычислению А(х). Само значение А(х) может и не входить в окончательные расчетные формулы для х* и в*. Тогда будем обозначать допустимое множество через М'{х,1).

Вкратце. ПМ предлагает последующим приближением назначать не результат работы рассматриваемого алгоритма, а минимайзер оценки погрешности этого приближения. Множество, в котором происходит поиск минимайзера, формируется на основе всей имеющейся на текущем шаге информации, включая результат работы исходного алгоритма на текущем шаге.

Вычислительную процедуру, реализующую ПМ в приложении к конкретному методу А, назовем точной релаксацией (ТР) метода А, а весь процесс, порождаемый ТР, -методом ТР [2].

В рассматриваемом скалярном случае = [х — й, х + (1\. Общим в глобализации упомянутых методов точной релаксацией будет требование монотонности функции д.

© С. Е. Михеев, 2008

д(х) = 0,

рассматриваются метод параллельных хорд (МПХ) [1]

хк+1 ■■= Хк - ад(хк), к = 0,1,...,

метод Ньютона (МП)

хк+1 := хк - (д'(хк))~1д(хк), к = 0,1,... и упрощенный метод Ньютона (УМН)

хк+1 ■■= хк - (д'{х0))~1д{хк), к = 0,1,...

(1)

(2)

(4)

(3)

2. Метод параллельных хорд. При неудачном выборе коэффициента а МПХ может зацикливаться или расходиться в сколь угодно малой окрестности корня а на функциях весьма простого вида. Например, д{х) = (х — а)Ь при Ь > | > 0. Можно было бы подумать, это из-за того, что а чересчур велико в сравнении со значениями но и выбор а, равным по абсолютной величине max |с?'(ж)| 11, не убережет от неприятностей.

Построим параллелограмм с диагональю АС, лежащей на оси абсцисс, и парой сторон CD и АВ, перпендикулярных оси абсцисс. Пусть D имеет ординату у > 0, а В - ординату —у. Если положить д{А) = —у, g{D) — у и а := \АС\/у, то, каковы бы не были значения функции д в других точках, МПХ сгенерирует цикл, если в качестве £о взять А или С.

Рассмотрим множество выпуклых дуг, соединяющих В и D в треугольнике BCD. Можно доопределить д на сегменте (Л, С], назначая ее графиком одну из таких дуг. И д окажется непрерывной и выпуклой функцией. Ее левая полупроизводная существует на полуинтервале {А, С]. По построению

тж\д'_{х)\-1^\д'ЛС)\-1^а. (5)

хЕ(А,С\

Сохраняя выпуклость, можно доопределить линейно функцию д и за пределы сегмента [.А,С]. Более того, можно добиться и строгого неравенства в (5) на полуинтервале {А, С] и на любом его расширении. Аналогичный результат можно получить для вогнутых функций.

Этому контрпримеру здесь уделено столь много внимания, так как для выпуклых и вогнутых функций д МН имеет глобальную сходимость. А если начальная точка была выбрана так, что д(хо) > 0 при выпуклости и д(х0) < 0 при вогнутости, то УМН тоже сходится. В то же время вычислительные затраты на итерацию в УМН, начиная со второй, совпадают с таковыми в МПХ.

Глобализовать МПХ для некоторого а в скалярном случае можно, когда нижнее правое или левое производное число *) ограничено снизу положительной константой 7+ либо верхнее правое или левое производное число ограничено сверху отрицательной константой 7~. Покажем как.

Ясно, что если функция д непрерывна, то в любом из 4 предлагаемых вариантов она монотонна и

a 6<*o-ff(®o)/7,*o>=:

Находясь в рамках МПХ, целесообразно назначать о-1 £ (—00,7"), когда есть 7"", либо а-1 € (7+, +оо), когда есть 7+. Например, пусть 7 есть 7+ либо 7", тогда а-1 := 27 обеспечит, хотя бы на первом шаге, уменьшение оценки погрешности итерации в 2 раза. (Начальная оценка do = \9{х°)1^\.) Однако всегда по заданному 7 и а-1 из < 0,7 > можно указать д и начальную точку, для которых МПХ зациклится.

Напомним, что производные числа функции д нижние правое и левое, верхние правое и левое определяются соответственно формулами

,. д{х + т)-д(х) д(х + г) - д{х)

т т

Г>+ тттг 9(х + т)-д(х) — д(х + т) - д(х)

Для МПХ :—х — ад(х), в составе информационного множества I- соответст-

вующая ограниченность производного числа и д{х). Поэтому множество допустимых значений, очевидно,

М{х, А(х), I) = =: М'(х,д(х)).

Отметим, что оценочный сегмент, в силу монотонности, асимметричен относительно текущей итерации х:

< х, х — dsign>=: сг(х, в).

Согласно ТР, следующей итерацией назначается центр сегмента Д, являющегося пересечением сегментов а(х,с1) и М'(х,д(х)), а оценкой ее погрешности будет <1* = |Д|/2. Из чего следуют очень простые расчетные формулы для ТР МПХ:

х* := х — sign(7í7(a;)) гшп (1

сГ := - гшп I <3, 2

Я{х)

9(х)

(6) (7)

7

Из построения вытекает

Теорема 1. Пусть д непрерывна, ее нижнее правое или левое производное число ограничено снизу положительной константой 7 либо верхнее правое или левое производное число ограничено сверху отрицательной константой 7. Тогда ТР МПХ по формулам (6), (7) имеет глобальную сходимость, и при этом справедлива заниженная оценка скорости сходимости: ¿* ^ (1/2.

Замечание 1. Если д непрерывна и для всех х открытого оценочного интервала > жо - д(хо)/'У,Хо < ее нижнее правое или левое производное число лежит в (7+, 37+) либо ее верхнее правое или левое производное число лежит в (Зу~,у~), то на некоторых итерациях будет сГ < с1/2, т.е. ТР МПХ будет сходиться лучше, чем метод половинного деления.

Замечание 2. ТР МПХ можно применять и для разрывных монотонных функций д. Тогда генерируемая в ТР МПХ итеративная последовательность всегда будет сходиться к некоторой точке /3. Если /3 - точка непрерывности функции д, то (3 = а, а а - корень функции д. Если /3 - точка разрыва, то д(/3 + 0) и д((3 — 0) - не одного знака.

3. Упрощенный метод Ньютона. Если отвлечься от вычисления начального значения производной на первом шаге, то на всех последующих шагах УМН (4) является разновидностью МПХ (2) [1], когда а = (д'0)-1. Для УМН (4)

А{х) :=х- д(х)/д'0. (8)

Перед тем, как приступить к выводу расчетных формул ТР УМН, приведем теорему Мысовских об УМН.

Теорема 2 (Мысовских). Пусть функция д и начальная точка хо удовлетворяют условиям:

0) (За) д(а) = 0;

1) |а - х0] ^ ¿о;

2) существует непрерывный линейный оператор Г := ((/(^о))-1 и ||Г|| ^ ''о;

3) \д"(х)\ ^ Ь Ух е 5^0+^0/2.

4) Ри:=гоЬ(1о ^2\/2-2.

Тогда решение а уравнения (1) единственно в шаре итерации (4) сходятся:

к—>oo=>xk —> a; |xi - а\ ^ (Рм/2)\х0 - а| и

\хк+1-а\^(Рм + Р%/4)\хк-а\, к = 1,2,.... (9)

В [3] И. П. Мысовских сформулировал эту теорему (ТМ) для банаховых пространств и вместо | • | в условиях 1, 2 использовал || • ||.

Применим TP к УМН. Вначале отметим, что оценка (9) получена в ТМ без использования условия 4. Поэтому при выполнении всего лишь условий 0-3 имеет место

М(х,А(х)) = N{x,A{x)) := {а\\А(х) - а| ^ с\х - а|},

где с—Рм + Р^/4 для всех итераций и с = Рм/2 для к = 0.

Структура множества М не сложна. При с < 1 это сегмент, содержащий точку А(х), и один из его концов v(c) лежит между х и А(х):

«(с) := х + 1 • {А{х) - ®)/(1 + с)=х- 5(х)/((1 + с)д'0). (10)

Второй его конец wc таков, что А(х) лежит между х и wc:

wc = x + l- (А(х) - х)/{1 -с)=х- д{х)/(( 1 - с)д'0). (11)

Минимальный одномерный шар есть минимальный сегмент, который содержит пересечение оценочного сегмента [x — d,x + d\ с сегментом < wc,v(c) > (список в угловых скобках означает выпуклую оболочку элементов списка). Это пересечение, очевидно, сегмент. Он и будет минимальным, a v(c) является одним из его концов (так как и(с) € Если wc G Sто второй конец минимального сегмента есть wc. Иначе, второй конец минимального сегмента -

wd=x + dsign(g(x)/g'0). (12)

Иными словами, из вариантов (11) и (12) выбирается ближайший к х:

w = X + sign (.д(х)д'0) min(|wc - х\, |wd - х|) =

= х + sign (д(х)д'0) min (d, д(х)/((1 - с)д'0)). (13)

При с = 1 множество М является лучом, выходящим из точки t>(l) = (х + А(х))/2 = х — д(х)/(2д'0) в направлении точки А{х).

При с > 1 множество М состоит из двух лучей. Один из них, t\, по-прежнему выходит из v(c) в направлении точки А{х), другой, ¿2, - в противоположном направлении из точки

v' := х + 1- (х — А(х))/(с - 1) = х + д(х)/((с - 1)^).

Лемма 1. Пусть д монотонна, имеет корень а, д'0 ф 0 и алгоритм А определен согласно (8). Тогда для всех х точки а и А(х) лежат по одну сторону от х.

Отсюда вытекает

Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1 и для некоторого с € (0, +оо) справедливо (ух)\А{х) — а\ ^ с\х — а|. Тогда, если с > 1, то множество М состоит только из одного луча 1\ :

М{х,А(х)) = Ы{х,А{х)) р|{а|(® - а)(х - А{х)) > 0} =

= {а\{у{с)-а){х-А{х))^0}. (14)

Лемма 3. Пусть выполнены условия 0-3 ТМ и функция д монотонна. Тогда если с := Рм + РЦ\ > 1, то имеет место (14) с А из (8) и и из (10).

Имея эти леммы, при с ^ 1 легко установить для итераций (4) границы минимального сегмента. Одна из них, как и ранее, очевидно, ь(с). Вторая есть ги^ - граница оценочного сегмента из (12).

Формул (10), (12), (13) достаточно для определения ТР УМН при выполнении условий леммы 3. Введем обозначения:

w

[ w, с < 1, I Wd, с ^ 1,

(15)

+ min

(d>J):=|min(d,6), 0, (1б)

Теперь х - текущая итерация ТР УМН, а х* - последующая, (I и с1* - соответствующие им оценки погрешностей. С этими обозначениями

у + й> 1/. /д(х)\ + {, \д(х)/д'0\\ д(х) \ , ч

, ;= til = I (А (4 Ш) _ Ш!), (18)

где с = Рм + РЦ4 для к= 1,2,... и с = Рм/2 для к = 0, Рм = г0Х£/0.

Если на первом шаге применения ТР УМН оказывается, что д{х0)д(х$) < 0, но |з(жо)| ^ |5(жо)1. то целесообразно применить небольшую модификацию ТР УМН. А именно, сохранить Xq в качестве текущей итерации, но:

1) изменить оценку погрешности d := — хо|,

2) PM:=r0Ld,

3) с~Ри/2,

после чего вернуться к ТР УМН, опять на первый шаг (к = 0).

Эта модификация не только, уменьшая параметр Рм, уменьшает параметр с, от которого зависит темп сходимости на всех шагах ТР УМН, но и позволяет как бы оставаться на начальном шаге, когда параметр с еще и вычисляется по более хорошей формуле.

Как для ТР УМН, так и для ее модификации формула (18) обеспечивает глобальную сходимость:

Теорема 3. Пусть функция д монотонна, для нее выполнены условия 0-2 ТМ и д' липшицева на < х0,х0 — с/о 8щп(д(х0)д'0) > с константой Ь. Тогда ТР УМН по формулам (17), (18) при обозначениях (15), (16) имеет глобальную сходимость, и при этом справедлива заниженная упрощенная оценка скорости сходимости (Г ^ д/2.

Таким образом, ТР УМН может успешно применяться из произвольной начальной точки, включая те, из которых УМН зацикливается или расходится. Например, для д{х) = аг^х = 0.

4. Метод Ньютона. Для МН (3)

А(х) :=х-д(х)/д'(х).

Перед тем, как приступить к выводу расчетных формул ТР МН, приведем теорему Канторовича о МН.

Теорема 4 (Канторовича). Пусть оператор д определен в некоторой открытой окрестности V замкнутого шара и имеет непрерывную вторую производную в 5.^0 • Кроме того, пусть

1) Шх°)\\^9о;

2) существует непрерывный линейный оператор Г := (д'(хо))-1 и ||Г|| ^ го;

3)||<?"(®ЖЬ Ухе ;

4) Рк := Ьд0г1 <: 1/2;

5) а ^ а0 ~---.

Ьг0

Тогда уравнение

д(х) = 0 имеет решение а, к которому сходятся как МН, так и УМН, начатые из х°. При этом

||х°-а||

скорость сходимости МН оценивается неравенством

Цх* -а|К2-"(2Рк)2"/М„

а УМН - неравенством

\\xk-a\\^(l-Ví^2FK)k+1/Lro.

Более того, если d < ———--то решение а единственно в шаре

Lr0

Комментарии к теореме Канторовича (ТК)

1. ТК цитируется согласно [4, с. 680, теорема 6, с учетом замечания 1 на с. 682]. Суть последнего в том, что вместо ограничений непосредственно на коллективные параметры ||Г<7о||, ||Г.д"(хо)|| берутся ограничения на их составляющие, т. е. ro,go,L. Это упрощение несколько огрубляет упомянутую теорему 6, но более отвечает имеющейся практике, когда коллективные параметры оценивают через rogo и roL соответственно.

2. Вариант ТК, в которой оценка на д" заменяется константой Липшица для д', можно найти, например, в [5].

3. Некоторое неудобство в применении ТК представляет круговая зависимость параметров. А именно, L растет с ростом d, Рк растет с ростом L,

_ 1 - VI - 2Рк

ао = -7- Х1 2д0г0,

Ьг о

а 11 должно превосходить ¿о- И неясно, каким же надо назначить с1.

Разорвать круг можно выбором «худшего» т.е. (¿о := 2д0Г0. Далее, <1 : = находим по в. константу Липшица Ь для д'\ вычисляем Рк. Если Рк ^ 1/2, то условия ТК выполнены. Если же Рк > 1/2, то условия ТК для какого-то меньшего с? могут и выполняться, и не выполняться. Если при таком большом Рк для худшего (¿о иных способов разорвать порочный круг не видно, то ТК практически не применима. Впрочем, невозможность выбора подходящего с?, так же как и не выполнение для данного с1 условий 4, 5, в ТК еще не отрицает существование корня отображения д и сходимости к нему МН и УМЫ. ■

Как явствует из описания ПМ, для ТР необходимо знание текущей оценки погрешности сI. При малом значении коллективного параметра Рк (не более 1 /2) ТК дает такую оценку.

Будем полагать, что относительно функции д выполнены

Предположения П. Она монотонна на луче t, выходящем из х° в направлении а, имеет на £ липшицеву производную с константой Ь, под д'(х°) понимается соответствующий односторонний предел производной д'. Значения д' отличны от нуля во всех точках £ помимо, может быть, а. ■

Выведем расчетные формулы ТР МН в предположениях П и при наличии оценки добытой либо по формуле условия 5 в ТК, либо иным способом. Как поступить при отсутствии этой информации, обсудим позднее.

Для простоты картины будем пока считать, что д(х), д'(х) > 0. Тогда минорантой всех д(Ь), удовлетворяющих условиям 1-3 ТК, будет функция

<№) ■■= - + д'Ш -х)+ д(х).

Ее корни очевидно, всегда действительны и

, -д'(х)±^(д>(х))* + 2Ьд(х) Ь±=х+-—-.

В силу монотонного возрастания функций д, они могут иметь корни только меньшие Мажоранта функций д(1) (мажоранта Канторовича)

Ф(0 := - х)2 + д'(х){1 -х)+ д(х) даст нижнюю границу корней функций д

Т+=х+---,

действительную лишь когда Рк ^ 1/2.

Таким образом, допустимое множество М'(х,д(х), д'(х)) есть либо сегмент < £+,Т+ >, либо луч, выходящий из в направлении от х. Отсюда получаем расчетные формулы ТР МН:

для случая Рк ^ 1/2 Л \Т+ — х\ ^ й

. и + Т+ _ , у/{д'{х)У - 2ЬфГ) - ч/№))2 + 2^(аг) х := --- — х ----------------- —

сГ :=

2

1*+ - т+

2Ь

2д'(х) - ^(д'(х)У+2Ьд(х) - у/(д'(х))* - 2Ьд(х)

2 2 Ь

для случая Рк > 1/2 V (Рк ^ 1/2 Л \Т+ - х\ > <1)

+ х

СI , д'{х) - У(д'(х)У + 2Ьд{х) - ¿с? — = х Н------------

2 Ь

сI' :=

(I — — а;|

21,

(20)

Подобное рассмотрение оставшихся трех комбинаций знаков д(х) и приво-

дит к следующему обобщению формул (19), (20): для случая 1/2 Л \Т+ — х\ ^ <1

х* :— х 4-

^(д'(х)У - 2Цд(х)\ - у/(д'(х))* + 2Ь\д(х)\ 2Ьзщп{д(х)д'(х))

(21)

2\д'(х)\ - у/{д'(х)У + 2Ьд(х) - ^ЩР - 2Ьд(х)

2 Ь

для случая Рк > 1/2 V |Г+ - > с?

х := х +

\д'(х)\-^(д'(х)Г + 2Цд(х)\-Ьс1 2Ьз1£п{д{х)д'(х))

(22)

- _ * ^(д>(х)У+2Цд(х)\-\д'(х)\ 2 + 2 Ь

Отметим, что формулы (21) и, тем более, (22) обеспечивают меньшую оценку погрешности в* последующего приближения х*, чем итерация по МН. Это есть элементарное следствие того, что ньютоновское приближение хмн смещено от середины сегмента < > к t+, и потому его удаленность от Т+, т.е. оценка погрешности по Кан-

торовичу первого приближения, больше длины половины этого сегмента, равной сГ из

(19).

Независимо от происхождения оценки (1 (согласно ТК с1 = \Т+ — а:|) формулы (19),

(20) обеспечат ее уменьшение более чем в 2 раза. Отсюда - сходимость ТР МН. Перейдем теперь к случаю отсутствия оценки начальной погрешности и не выполнения условия 4 в ТК.

Теорема 5. Пусть относительно д выполнены предположения Пи Рк{ х) > 1/2. Тогда за конечное число шагов N ньютоновские итерации, монотонно удаляясь от начальной точки в направлении корня,

а) либо обеспечат д(х*) < е, где е - заранее заданное положительное число;

б) либо изменят знак функции: д(х)д(х*) < 0;

в) либо обеспечат Рк(х) ^ 1/2;

г) либо одновременно создадут несколько предыдущих событий.

Число N можно априори оценить сверху по g{x°), L, dP, где сР - оценка начальной погрешности.

Более того, если еще и д'(а) ф 0 и значения д неизменны по знаку на итерациях, то итерации подойдут к корню столь близко, что можно будет применить ТК с ее утверждениями относительно квадратичной скорости сходимости.

Доказательство. Пусть для определенности д(х), д(х*) > 0. Тогда введем функцию А(х) := \х — а\ + |<7(ж)|. Ясно, что Д(ж) = 0 <=> х — а.

Рассмотрим изменение <5 функции А на шаге МН. Оно, очевидно, есть сумма изменений абсолютной погрешности ба и невязки 5п. Поскольку значения д в х и в х* одного знака и д монотонно растет, изменение абсолютной погрешности определяется просто: 5а - \д(х)/д'{х)\.

Оценку снизу изменения невязки определим из условия предельно быстрого вы-полаживания функции д. Используем мажоранту в виде сплайна Ф, составленного из мажоранты Канторовича Ф, вплоть до обнуления ее производной, и далее константы. Положим т = t — х и введем для сокращения записи обозначение у := д'(х). Тогда Ф(т + х) = Ьт2/2 + 7т + д{х). В состав сплайна мажоранта Ф входит на сегменте [то,0], где то есть корень уравнения 0 = Ф^(т + х) = Ьт + 7 относительно т. Отсюда то = —7/Ь. Если х* ^ х + то, то убывание невязки на итерации будет не менее чем на

Ф(а;) - Ф(т0 + х) = -ЬтЦ2 - 77-0 = ^/2L =: 6п.

Если х* > х + то, то убывание невязки на итерации может быть меньше, чем 6п, но тоже ограничено снизу. Выясним чем. Имеем

Ф(х) - ФОО = -L(-g(x)/7)2/2 - 7(-fl(®)/7) = ~Lg2{x)l272 + д(х) =: 6п(д(х)).

Условие Рк{х) >1/2 влечет д(х) > у2/2L. Нетрудно заметить, что 6п монотонно растет с ростом д(х) на интервале (72/2L,72/L). Поэтому убывание невязки будет не менее чем на 5п(у2/2Ь) = 3-у'2/8L, что меньше 5п.

Таким образом, Д при переходе от х к х* уменьшится не менее чем на

<5 := 5а + 6п = д(х)/7 + 3y2/8L.

Это строго выпуклая функция от 7. Следовательно, корень ее производной по 7 будет ее минимайзером у,„\п:

О = = -д(х)/72 + 3T/4L 7min = (4L5(x)/3)1/3.

Отсюда находим оценку снизу для (5

¿min = g(x)Z7min + 37nün/8L = 97,2 Ш/8Ь.

Таким образом, й,,,;,, - монотонно возрастающая функция от д(х). Следовательно, если бы на итерациях значения д не стремились бы к нулю, например были больше е > 0, то параметр Д стал бы отрицательным за конечное число шагов

N^[d + д(х0)}/min ¿min = 8L[d + д(х0)}/9y2min ^ 8L[d + д(х°)]/%Ье)21\ (23)

А это невозможно.

Последнее утверждение теоремы следует из того, что, в силу непрерывности д', существует правосторонняя окрестность корня а : П — [а, а + и] (v > 0), в которой значения производной д' отделены от нуля некоторым положительным числом w. В силу непрерывности д', можно найти такой подсегмент w := [а,ш+] сегмента fi, что на нем значения функции д окажутся не более w2/2sL =: е, где s > 1, и д(и>+) = е. Таким образом, для всех точек из со будет Рк ^ 1/2s, т. е. МН, согласно ТК, сходится из любой точки сегмента ш и скорость сходимости - квадратичная.

В силу монотонности д, на сегменте [и',х] ее значения не менее е. Согласно предыдущим рассуждениям, за конечное число шагов N с оценкой (23) ньютоновские итерации (при сохранении знака значений функции д) придут в и).

Все предыдущие рассуждения легко распространяются и на другие комбинации знаков величин д(х), д'(х). я

Согласно теореме 5, при отсутствии оценки начальной погрешности и большом параметре Рк целесообразно производить итерации МН или до тех пор пока невязка не станет меньше заранее заданной величины, или пока не появится возможность получить эту оценку либо из условия 5 ТК, либо после изменения знака. После получения оценки погрешности текущей итерации можно применять ТР.

Summary

Miheev S. Е. Globalization of some iterative methods to solve scalar equations.

For the parallel chords method, Newton's method and simplified Newton's method to find a scalar function root there are suggested their modifications on the base of exact relaxation. The relaxation improves the convergence of the methods if it exists and provides global convergence for monotone functions also when the base method yields divergence or cycling.

Литература

1. Ортега Дж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными / Пер. с англ. Э. В. Вершкова и др.; Под ред. И. В. Коновальцева. М.: Мир, 1975. 558 с.

2. Михеев С. Е. Метод точных релаксаций // Вычислительные технологии. 2006. Т. 11, № 6. С. 71-85.

3. Мысовских И. П. О сходимости метода Л. В. Канторовича решения функциональных уравнений и его применениях // Докл. АН СССР. 1950. Т. LXX, № 4. С. 565-568.

4. Канторович JI. В., Акилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

5. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

Статья рекомендована к печати проф. JI. А. Петросяном. Статья принята к печати 11 ноября 2007 г.