ТОЧКИ КРУЧЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ФОРМАЛЬНЫХ ГРУПП ХОНДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.741.1 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 4 MSC 14L05, 11S31

Точки кручения обобщенных формальных групп Хонды*

О. В. Демченко, С. В. Востоков

Санкт-Петербургский государственный университет,

Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9

Для цитирования: Демченко О. В., Востоков С. В. Точки кручения обобщенных формальных групп Хонды // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 4. С. 597-606. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.403

Обобщенные формальные группы Хонды представляют из себя класс формальных групп, который, в частности, включает все формальные группы над кольцом целых локальных полей, слабо разветвленных над Qp. Этот класс является следующим в цепочке мультипликативная формальная группа — формальные группы Любина — Тейта — формальные группы Хонды. Формальные группы Любина — Тейта определяются выделенными эндоморфизмами [n]F. Формальные группы Хонды обладают выделенными гомоморфизмами, которые пропускаются через [n]F. В настоящей работе мы доказываем, что для обобщенных формальных групп Хонды композиция последовательности выделенных гомоморфизмов пропускается через [n]F. В качестве приложения этого факта доказан ряд свойств точек пп-кручения обобщенной формальной группы Хонды.

Ключевые слова: формальные группы, точки кручения формальной группы.

1. Введение. Пусть к — конечное расширение Qp с кольцом целых чисел O, униформизирующей п и полем вычетов мощности q. Один из центральных фактов теории Любина — Тейта касается группы точек пп-кручения Wft формальной группы Любина — Тейта F над O. Классическим результатом является тот факт, что W П — O-модуль ранга 1, а k(Wp)/k — абелево вполне разветвленное расширение степени qn-1(q — 1).

Формальные группы Хонды [1] представляют из себя расширение класса формальных групп Любина — Тейта и полностью классифицируют формальные группы над O в случае, когда к неразветвлено. Для формальной группы Хонды F высоты h известно, что Wn = (O/nnO)h как O-модуль, k(Wp) содержит неразветвленное расширение степени h и v(n) = 1/(qh — 1)q(n-1)h, где п € WП \ WП-1 и v — нормализованное нормирование к (см. [2, 3]).

Дальнейшее обобщение дает новый класс формальных групп [4], который мы будем называть обобщенными формальными группами Хонды. Этот класс, который, в частности, описывает все формальные группы в случае, если индекс ветвления e поля к меньше p, и будет предметом нашего исследования.

Формальные группы Любина — Тейта определяются выделенным эндоморфизмом [п]р(х) = xq mod п. Для любой формальной группы Хонды высоты h существует гомоморфизм [п]f,f1 (х) = xq mod п (см. [5]), а обобщенные формальные

* Работа выполнена при поддержке РНФ (грант №16-11-10200). (¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020

группы Хонды обладают гомоморфизмом [а]р,р1 (x) = xq mod a для некоторых a €0,1 < v(a) < e — 1. Очевидным недостатком этого гомоморфизма является то, что он непосредственно не связан с эндоморфизмом, который может быть использован при определении точек кручения. Цель нашей статьи — устранить эту проблему и получить некоторые непосредственные следствия.

Для обобщенной формальной группы Хонды F над O мы строим цепочку выделенных гомоморфизмов и находим их параметры. Оказывается, что композиция некоторого числа таких гомоморфизмов пропускается через эндоморфизм F и, таким образом, может служить аналогом выделенного эндоморфизма формальной группы Любина — Тейта. Это позволяет нам вычислить нормирование точек кручения и оценить степень вычетов расширения k(Wp)/k.

2. Обобщенные формальные группы Хонды. Пусть k/k\ — конечное расширение локальных полей нулевой характеристики с индексом ветвления e. Предположим, что поле вычетов имеет характеристику p = 2 и мощность q. Обозначим через O, Oi кольца целых полей k, ki и через П,п — их соответствующие унифор-мизующие. Пусть ko — подполе инерции в k/ki с кольцом целых Оо. Пусть v — нормализованное нормирование k.

Обозначим через Д автоморфизм Фробениуса неразветвленного расширения ko/ki. Положим Ар = pA(xq), где р € ko[[x]], что определяет левое действие на ko[[x]] некоммутативного кольца E = Oo[[A]] с правилом умножения Аа = алА, а € Оо.

Определим «координатные отображения» из k в ko. Любой элемент а € k можно однозначно представить в виде а = ао + ain+- • • + ае-\Пе-1, где ao, ai,..., ae_i € ko. Тогда положим |a|o = ao, |a|i = ai,..., |a|e_i = ae_i. Эти отображения также могут быть естественным образом продолжены до отображений из k[[x]] в ko[[x]].

Пусть Eo = ЕА. Мы говорим, что степенной ряд А € k[[x]] имеет тип (Ao, Ai,..., Ae_i), где Ai € Eo, 0 < i < e—1, если A(x) = x mod deg 2 и n|A|j = A^A|o mod n, 0 < i < e — 1. Заметим, что тип не определен однозначно.

Формальная группа F над О называется обобщенной формальной группой Хонды, если ее логарифм имеет тип (Ao,Ai,...,Ae-i) для некоторых Ai € Eo, 0 < i < e — 1.

Из [4, теорема 2] следует, что Oi С Endo(F), и в частности, [п]р является эндоморфизмом F над O.

Теорема 1 [4, теоремы 1 и 3].

1. Любой А € k[[x]], имеющий некоторый тип (Ao, Ai,..., Ae_i), является логарифмом обобщенной формальной группы Хонды над O. Если л € k[[x]] имеет тот же тип, то формальное группы, соответствующие А и ¡¡, строго изоморфны.

2. Если ki = Qp и e < p, то любая формальная группа над O является обобщенной формальной группой Хонды.

По лемме 5.1 из [4] любая формальная группа над O конечной высоты имеет тип (BoAho ,BiAhl,.. .,Be_iAhe-1) такой, что Bi € E* для всех 1 < i < e — 1. Пусть 1 < t < e — 1 — наименьший индекс, для которого достигается минимум ho,...,he_i. Для 0 < i < e — 1 определим B>i = e_iBi, если Bi = ei mod A,ei € Ojj. Переформулируем теорему 5 из [4].

Теорема 2. Предположим, что Пе = 5п для некоторого 6 € О^. Пусть X € — степенной ряд типа (Ео,Е\к.^11 ,...,Ее-\а^-1). Определим л € условием

Hi

£-1Bt+ikht+i-ht | 4, 0 < г < e — t — 1,

п-Ч-1 £-1Bt+i-e^ht+i-'-ht |A|£ht, e — t < г < e — 1.

Тогда

1) / имеет тип (D0 Ah°, D1Ahl,..., De-1kh'-1), где

I c-1r r>Aht+i I nA"t+i-r"t>-ht "-1 I £t Bt+iB0 | Bt

Di =

e-1Bt+iB£ht+i (Bfht+i+h0-ht) , 0 < г < e — t — 1,

S-1e-1Bt+,K B* , ^^^^ 1

h i ht+i + ho — ht, 0 < г < e — t — 1,

i \ hi-e+t — ht, e — t < г < e — 1;

2) f = [5-1e-1ne-t]F,a € Homo' (F,G), где F и G — формальные группы с логарифмами A и /;

3) f = xqht mod ne-t.

3. Преобразование наборов чисел. Рассмотрим преобразование, которое отображает набор из е натуральных чисел (Но,..., Не-\) в другой набор из е натуральных чисел

(Но, Нг+\ + Но - Ни..., Не-1 + Но - Ни Но - Нг,..., Н— - Нг),

где Ь — наименьший индекс, для которого достигается минимум Но,..., Не-1, т. е. Н > при 0 < г < Ь - 1 и Н > Н при Ь + 1 < г < е - 1.

Для начального набора (Но,...,Не-\) рекурсивно определим последовательность индексов: Ьо = е и — наименьший индекс, для которого достигается минимум Но,..., Н^-1 , т. е. 0 < < Ь] - 1 и Н > Н^+1 при 0 < г < - 1; Н > Н^+1 при + 1 < г < Ь] - 1. Поскольку индексы ^ строго убывают, существует индекс г такой, что Ьг =0.

Для единообразия предположим, что Не = 0.

Пример. Для шестерки чисел (5, 3, 2, 3,1, 4) последовательность индексов выглядит как 4, 2,1, 0. Последовательность шестерок:

(5, 3, 2, 3,1, 4) 4 (5, 8, 4, 2,1, 2) (5, 6,4, 7, 3,1)

(5,4, 5, 3, 6, 2) -4 (5, 3, 2, 3,1, 4).

Лемма 1. После ] последовательных преобразований, 1 < ] < г, набор чисел становится равным (Н^,..., Н\), где

h(

(j) _ / hj +i + ho — htj, 0 < г < e — tj — 1

з

hi-e+t, — htj, e — tj < г < e — 1.

U

Доказательство. База индукции j = 1 тривиальна. Применим преобразование к набору

(ho, htj+i + ho - htj,..., he-i + ho - hj, ho - hj,..., hj-i - hj), который обозначим за (h'0,..., h'e_ 1). Тогда

hj +i + ho - ht6, 0 < i < e - tj - 1, hi-e+tj - hj, e - tj < i < e - 1.

Сначала докажем, что индекс t', удовлетворяющий hi > h't, при 0 < i < t' - 1 и hi > h't, при t'+1 < i < e-1, равен e-tj +tj+i. Действительно, hi = htj +i+h'-htj > htj+1 -

htj = h'e-tj +tj+i при 0 < i < e - tj - 1 и h'i = hi-e+tj - htj > htj + i - htj = h'e-tj + j+i

при e-tj < i < e-tj +tj+i-1. Более того, hi = h-e+t, -hj > htj+1 -hj = h'e-tj+tj+i при e - tj + tj+i + 1 < i < e - 1.

Обозначим за (h'',..., h!'_i) набор чисел, получающийся из (h',..., h'e_i). Тогда при t' = e - tj + tj+i имеем

h't'+i + h0 - h'v = (4-+!+i - hj) + ho - (htj+i - hj),

h'i-e+f - h't> = (htj+i+i + ho - htj) - (htj+i - htj),

h'i-e+t> - h't> = (hi-e+tj + 1 - htj ) - (htj + 1 - htj ),

htj+1+i + ho - htj+1, 0 < i < e -1' - 1 = tj - tj+i - 1, = ^ htj+1+i + ho - htj+1, e - t' = tj - tj+i < i < e - tj+1 - 1, hi-e+tj+1 - htj+1, e - tj+i < i < e - 1,

что доказывает индукционный переход. □

(r)

В результате имеем hi' = hi, 0 < i < e - 1, т. е. после r преобразований последовательность наборов зацикливается.

4. Основная теорема. Рассмотрим формальную группу F над O конечной высоты с логарифмом А типа

(BoAh° ,B1Ah1 ,...,Be-lLhe-1 ),

где Bi € E* для всех 1 < i < e - 1. Теорема 2 позволяет построить цепочку формальных групп над O

F = F0 F ■ Fr,

h*

где fj € Homo(Fj-i,Fj),fj = xq j mod nj и fj = njx mod deg2 для некоторых h* > 1,nj € O с 1 < v(nj) < e при j > 1.

Теорема 3. Формальная группа Fj, 0 < j < r, имеет логарифм A(j) с |A(j)|0 = Bh |A|^htj типа (.B j Lh() ,B(j) Ah1j) ,...,B{j-1Ah^, где h(j), 1 < i < e - 1, определены в лемме 1 и B(j) € E*, 0 < i < e - 1, определены как

e71Bu+iB£ht> + (B^j +*+h°-htj Г , 0< i<e-j- 1,

Bjj) j Btj +iB0 yBtj J > 0 ^ « ^ e - 4

5-ie-lBu +i-e (B£htj +°-e-htj) , e-t;< i<e- 1.

-'Ь +г-е ) , е - Ъ. г ъ

При этом Н*+1 = НгЬ+1 - НгЬ и пз+1 = £гЬе—1+1, где £е =

600 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 4

Доказательство. Докажем формулы для |Х(]) |о и индукцией по 2. База 2 = 1 следует из теоремы 2.

Для 1 < г < е - 1 обозначим Е\ через О^. По индукционному предположению имеем

1Х(1)1о = Ец |X|ААпtí

о е-1Ец * 3 1 , 0 < г < е - Ь] - 1,

' - , е - Ь] < г < е - 1.

По теореме 2 и лемме 1 получаем

-1

п',. , . I ^ , п' . . + п'.—п', \

^ * '+* I В* * '+* 0 * \

о

(е>, —Ог'+О^*(О*'*'+г+П0^*') , 0 < г < е - Ь - 1,

5-1(е[,)-1Ог'+-е(В*** Л , е - Ь < г < е - 1,

где О= е[,В ,С« € Е

К = Н(

и Ь = е - Ь] + Заметим, что = Ы3+1 - Н

(]) _ / Нг3 + + Но - Нц, 0 < г < е - Ь] - 1,

1 "'1 1 Н—е+ц - Нц, е - Ь] < г < е - 1

-1.-1 о ( В*пЦ+1 —пЦ 4 1

О, = 6-1 е-цЩ В

откуда е[' = З^е^е^ и ? = Ец+1 (§£*ц) Начнем с того, что

1

п' / Н+ —Н+ \ —1 / Н+ \ * *Ц+1 '3

|Х(]+1)|о = О,|х(])I*' = Вц+1 (в* '+1 ') (Вц 1Х1А = Вц+11X|о

что дает требуемый результат для |Х(]) |о. Для того, чтобы получить формулу для типов, рассмотрим по отдельности три случая. Случай I (0 < г < Ь] - Ь]+1 - 1). Имеем

Ц+1+^пц

= 6 ~ец Е*ц+1+г\ Ец

_ 1Х АПц+1+*

О?' - = ( Вц Е*п ц (ВАП0)

г1 + 1+ ц ЕАПц+1+ * [ В***ц + 1+ " ' -1

1 / _Л\ А**э + 1+*

. п . . . + Пп — п', \ I/ ___ /____ п *. ... — п

А *'+* 0 *М _ I В I В* 0 + 1 ц

С^ ^ * ) = ^ Ец+1Е

и

и

= Ц I Ц+1

откуда

3 = Ц1 (вАСГ+г+^+1

Случай II (¿з — ¿3+1 < г < е — ¿3+1 — 1). Здесь

СЬ'+г-е = е11 оЦ+1+г о0

aA = l( 4+i( sf- -htj

gAh'3+i+'+h0-htj ( ßAhtj + i+i + h0-hti+i = Btj ^ Btj + i

что дает

Hü+1) —1 B BAhtj+i+i f ßAh'j+i+1+h0-h'j+^ -1

Bi = £t, + i Bj+i+iBo [Btj + i

Случай III (e — tj+1 < i < e — 1). Аналогично,

— 1 —1 f ^Aht3 + i+i-e-htj ^ 1

Cf+i-e = S £t. Btj+i+i-A Bt.

-1 /, _ 1Х А("ь+1+*-е-"Ь')-("Ь'+1 Л 1

^ = П ^ь+1

ЙАЧ1А ЙАЧ1+ 1+*-е-%'+1Х 1 = ^ В1+1

откуда вытекает

о(3+1) = х-1^-1 0 ( ЙА"Ь+ 1+*-е-Ч'+ 1 4 1

Вг = 6 +1 ВЬ+1+г-е ( вц+1

В результате получаем

в(з+1) _ j -Ц1,В„+1+.ВА*"+'+' (ёА;1'+1+'+'*-'"+1)-'0 < г < е — Ь +, — 1,

В,+1+<- (ВА+1Г"""';Т', е — (3+, < г < е — 1,

что и доказывает индукционный переход.

Наконец, Н*+1 определено выше, как Н'ь, = — Нц и П3+1 = 6 1е1, Пе * = е4.еГ1 ПЬ—□

Ь «з+1

и

и

Из теоремы 3 следует, что логарифм Х(г) формальной группы ¥г имеет тип

KB0r)*hO ,B1r)Ah> ,...,B<e-1Ahe-l

где

|A(r)|o = BoWf0

Bir = £0 1 BiB0* * (B0 j = £0 1Bi£0

Продолжим цепочку формальных групп с помощью теоремы 2: F = Fo ■■ — Fr Fr+1 ■■■ .

Пусть fs = пьх mod deg2 и fs = xq s mod пь, s > 1. Положим £(o) = 1 и £(m) =

Ah0 A(m-l)h0 ^ ,

£o£o ■■■£* m > 1.

Лемма 2. При 1 < j < r,m > 0 имеем h*m+j = htj — htj-1 и

п = £Aht,-1 (£Aht3 V1 £ £-1ntj-1 -tj

пгш+з = £(m) [^(m) J £tj-i £tj П J J .

Доказательство. Очевидно, логарифм A(rm) формальной группы Frm имеет

тип

(Borm)*h0 ,B1rm)Ah1 ,. ..,B0-m1)Ahe-1

где Birm)=^mB^m=£-m)£tm)£i mod

Тогда первое равенство очевидно, а второе следует из теоремы 3, где

п = (£-1 £А%-1 £ }(£-1 £*htj £ Y1 ntj-1 -tj

'Krm+j = \£(m)£(m) £tj-1) [£ (m)£ (m) £tj ) П j j .

□

Теперь для любого m > 0 имеем

пrm+1 ■ ■ ■ пrm+r

£Ahtr-1 (£Ahtr \ 1 £ £-1ntr-1-tr =

■■■£(m) [£(m)J £tr-1 £tr П =

Ahto(£AhtЛ \ —^TTto — tr __fc-Ah0\ 1 x-U-1ne - f 1

£(m) I £(m) £to £tr П = £(m) 1 £ (m) ° £o П = I £o

Определим f(s) = fs о ■ ■ ■ о f1,s > 1. Поскольку

-1 ( Ah0\-1 ( A(m-1)h0\-1 _1 m

п1 ■■■'^rm = £o п ■ [£o J п ■■■ [£o J п = £^т)п ,

заключаем, что f(rm) = £'-r1)Пmx mod deg2.

и

Далее получаем

Km+1 +-----+ Km+r = (hti — ht0) + (ht2 — ht!) +-----+ (htr — htr_!) = htr — ht0 = h0,

и следовательно, f(rm) = xq 0 mod П.

5. Точки кручения. Пусть Mq обозначает максимальный идеал пополнения алгебраического замыкания к. Положим Wft = {a G Mq : [nn]F(a) =0}.

Предложение 1.

1. Wft = {a G Mq : f(rn)(a) = 0}.

2. Wn является O1-модулем мощности qhon, изоморфным (O1jnnO1)ho.

Доказательство. 1. Прямая проверка условий теоремы 2 из [4] показывает, что существует изоморфизм [£(n)]Frn, f над O, что дает требуемый результат.

2. Результат о мощности WП следует из подготовительной леммы Вейерштрасса и сравнения f(rn) = xqh°n mod П. Пусть Wn = ®O1jnsiO1 — прямое разложение Wn в качестве конечного Oi-модуля. Поскольку [nn]F(a) = 0 для любого a G Wn, имеем si < n и W1 = (O1jnO1)ho. Из сюръективности [nn-1]F : Wn ^ W1 следует, что число компонент в приведенном выше разложении Wn с si = n не меньше ho, поэтому все компоненты имеют такой вид. □

Пусть M — максимальный идеал k(Wp). Для 1 < j < r,m > 1 положим

. __tj-i ~ tj_

т'3 (qh4 - qhb-i)q(™-i)ho'

Предложение 2.

1. Для a G M и натурального s > 0 имеем

aqh*s mod М^ч^+К

v(a) < fOs)

qh*s -1

v (a) >

qhi -1

v (a) fOs)

fs(a) = { nsa mod Mv(a)+v(ns)+1,

nsa + aqK mod MK^+K^m, v(a

2. Если n G Wn \ Wn-1, то v(n) = en,j для некоторого 1 < j < r.

3. Существует базис Wn, содержащий htj — htj_1 элементов с нормированием en,j для каждого 1 < j < r.

Доказательство. 1. Это легко следует из того, что v(fs(a)) = v(nsa + aq s). 2. Во-первых, определим Vft = {a G F(Mq) : f(s)(a) = 0},s < rn. Очевидно, что Vftm = Wf и

Wn \ W^1 = (V™ \ V™-1) U (V™-1 \ vrFn-2) U • • • U (VrF(n-1)+1 \ VF(n-1)).

Пусть С € Vр \ Vр-1. Тогда из того, что /(я-1)(С) = 0 и /3(/(я-1)(С)) = 0, следует, что г/(/(8_1)(0) = В свою очередь, из НЪ-Л/^(С))) = ^ получаем

Hf{s 2)(0) = . h* , , поскольку < -^J < 1 < z/(tts_i). Продолжая, для

(qhs -1)q 3-1 q 3 -1 p 1

_ _ „

s = rm + j получаем z/(C) = — h, +...+„* -

(qhs— 1)q s-1 1

3. Поскольку [п]_р(а) = 0 для любого a G Vj при 1 < j < r, имеем Vj = (O1/nO1)hl + +hj как ^-модуль. Теперь выберем h'l элементов в качестве базиса Vl = (Oi/nOi)h1, затем добавим Щ элементов, чтобы получить базис V^ = (O1/nO1 )hl +h2 и т.д., в конце получаем базис W1 = (O1/nO1)ho. Для каждого a из этого базиса выберем a' G Wft такое, что \-кп—1]р(а') = а, что дает базис Wft с требуемыми свойствами. □

Предложение 3. Расширение k(Wр)/k содержит неразветвленное подрасши-рение степени

HOK(hti ,ht2 - hti ,■ ■ ■ , htr_i - htr_2, h0 - ht—).

Доказательство. Достаточно доказать, что для любого 1 < j < r поле k(Wp)

содержит Z, примитивный корень (qhj — 1)-й степени из единицы для h* = htj — htj-1.

h*

Напомним, что fj G Homo(Fj—1 ,Fj),fj = xq ° mod nj и fj = njx mod deg2. Из теоремы 6 из [4] следует, что существуют формальные группы G, G' над O такие,

что G, Fj—1 и G', Fj имеют один и тот же тип, и g G Homo(G, G') для g(x) = njx +

qh*

xq . Тогда эти пары формальных групп строго изоморфны. Пусть ф — строгий изоморфизм из Fj —1 в G и ф' — строгий изоморфизм из Fj в G', при этом ф' о fj =

g о ф.

Пусть п G Ж^ — какой-то ненулевой корень fj. Для £ G Ж^ такого, что f(j—1)(£) = П, имеем £ G Vj С k(W1), откуда п G k(W1). Если п' = ф—1((ф(п)) и

ч>'°1э°ч>-1Шгй) = яШгй) = CgMv)) = Cv'(fM) = о, то /,-(?/) = 0nV'e k{wlF).

Таким образом, ( = <p(r)')/tp(r]) G k(Wp), что и требовалось доказать. □

Литература

1. Honda T. On the theory of commutative formal groups // J. Math. Soc. Japan. 197G. Vol.22. Р.213-246.

2. Бенуа Д. Г., Востоков С. В. Норменное спаривание в формальных группах и представления Галуа // Алгебра и анализ. 199G. T. 2. Вып. 6. С. 69-97.

3. Демченко О. В. Формальные группы Хонды: арифметика группы точек // Алгебра и анализ. 2GGG. T. 12. Вып. 1. С. 132-149.

4. Демченко О. В. Формальные группы над р-адическими кольцами целых с малым ветвлением и выделенные изогении // Алгебра и анализ. 2GG2. T. 14. Вып. 3. С. 55-85.

5. Демченко О. В. Новое в отношениях формальных групп Любина — Тэйта и формальных групп Хонды // Алгебра и анализ. 1998. T. 1G. Вып. 5. С. 77-84.

Статья поступила в редакцию 8 мая 2G2G г.;

после доработки 17 июня 2G2G г.; рекомендована в печать 18 июня 2G2G г.

Контактная информация:

Демченко Олег Вячеславович — канд. физ.-мат. наук, доц.; o.demchenko@spbu.ru Востоков Сергей Владимирович — д-р физ.-мат. наук, проф.; s.vostokov@spbu.ru

Torsion points of generalized Honda formal groups*

O. V. Demchenko, S. V. Vostokov

St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation

For citation: Demchenko O. V., Vostokov S. V. Torsion points of generalized Honda formal groups. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 4, pp. 597-606. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.403 (In Russian)

Generalized Honda formal groups are a new class of formal groups that in particular describes the formal groups over the ring of integers of local fields weakly ramified over Qp. It is the next class in the chain the multiplicative formal group — Lubin — Tate formal groups — Honda formal groups. Lubin — Tate formal groups are defined by distinguished endomorphisms [, Honda formal groups possess distinguished homomorphisms that factor through [k]f and in the present paper we prove that for generalized Honda formal groups it is compositions of distinguished homomorphisms that factor through [n]F. As an application of this fact, some properties of nn-torsion points of generalized Honda formal groups are studied.

Keywords: formal groups, torsion points.

References

1. Benois D.G., Vostokov S.V., "Norm pairing in formal groups and Galois representations", Leningrad Math. J. 2 (6), 1221-1249 (1991).

2. Demchenko O., "New relationship between formal Lubin — Tate groups and formal Honda groups", St. Petersburg Math. J. 10 (5), 785-789 (1999).

3. Demchenko O. V., "Honda formal groups: the arithmetic of the group of points", St. Petersburg Math. J. 12 (1), 101-115 (2001).

4. Demchenko O.V., "Formal groups over p-adic rings of integers with small ramification and distinguished isogenies", St. Petersburg Math. J. 14 (3), 405-428 (2003).

5. Honda T., "On the theory of commutative formal groups", J. Math. Soc. Japan 22, 213-246 (1970).

Received: May 8, 2020 Revised: June 17, 2020 Accepted: June 18, 2020

Authors' information:

Oleg V. Demchenko — o.demchenko@spbu.ru Sergei V. Vostokov — s.vostokov@spbu.ru

*This work was supported by Russian Science Foundation (grant no. 16-11-10200).