CC BY
22
© В.В. Осипов, В.А Осипова, В.А Овинников, А А Чешель,
О.В. Устинович, 2008
УДК 519.71:62.50
В.В. Осипов, В.А. Осипова, В.А. Овинников, А.А. Чешель, О.В Устинович
ТОЧЕЧНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ABCD-СИСТЕМЫ
(1)
У^ассмотрим нестационарную ABCD-систему, приведенную к отрезку [0, 1] Л. безразмерного времени т и имеющую q входов, г выходов и п фазовых переменных:
= Т (А (т)Х (т) + В (тр (т)); X (0) = X0 а)
б т
те [0,1]
Y (т) = С (т)Х (т) + D (т)и (т). б)
Как известно, решение задачи Коши (1 а)) (если оно существует) имеет вид
т
X(т) = Ф(т,0)Х0 + Т|Ф(т,ц)В(цР(ц)бц , (2)
о
где Ф(т, ц) (пхп) есть матрица Коши (фундаментальная матрица со свойством Ф(т, т) = Еп, матрицант). Подставляя (2) в (1 б)), получим связь вход-выход для рассматриваемой ABCD-системы:
Y (т) = С (т)Ф(т, 0)Х0 + Т | Ф(т, ц)В (ц)Р (ц)бц + О (т)Р (т).
0
При нулевых начальных условиях эта связь представляется в форме
Y (т) = Т } 6 (т, цр (ц)б ц, (3)
0
где функциональная матрица ТО (т, ц) (гх q) равна
ТО (т, ц) = ТС (т)Ф(т, ц)В (ц) + О (ц)8(ц - т), (4)
и называется импульсной переходной матрицей [1]. j-й столбец этой матрицы есть реакция системы на импульсное входное воздействие вида ej8(ц - т), где
ч
e: = Co/on[0,...0,1,0,...0], (5)
т.е. г-векторы Yj (т, л) = Т| G (х, С)еу5(С - л)б С ( = 1,2,...q)
о
образуют столбцы матрицы ТG (т, л). Объединяя эти равенства, получим
G (Т л) = } G(Т С)Е,5(С - л)бС , (6)
0
т.е. формально импульсная переходная матрица G (т, л)на единичный матричный импульс вида
^С^лХ (7)
приложенный в момент л (Eq ^хс|) - единичная матрица). Для физически возможных систем G (т, л) = 0 при т<л, если т придать смысл момента наблюдения, то (3) может быть записано в виде
Y (т) = Т | G (т, л)и (л)б л . (3')
0
Таким образом, матричная функция G (т, л) определяется при нулевых начальных условиях следующей системой уравнений
G (т л) = с (т)Х 5 (т, л) + D (т)Е,8(т - л); а)
= А (т)Х 5 (т, л) + В (т)Е05(т-л). б/
бХ 5 (т, л)
б т А (т)Х 5Ч",,',~Ч ^
(8)
Решение второго уравнения дает, в частности,
х5V) = т}ФС)В (С)Е,5(С - "П^С = тФС^ ц)в М, (9)
0
Подставляя в (8 а)) получим (4).
Установим теперь связь вход-выход для рассматриваемой системы в пространстве точечных векторных изображений второго рода, определенных на чебышевской сетке размерности N. При этом будем предполагать, что все точечные изображения при любой размерности сетки существуют, т.е. компоненты всех матриц - по крайней мере, ограниченные измеримые функции на отрезке [0,1].
Соответствующая модель имеет вид:
Хт = т(гт ® Еп )£(©;)£т + т(гт ® Еп )Й(0Т)1§т + ХТ; а) 1
#т = <§(0т )Хт + й(0т )Ц?т. б)}
Из первого уравнения находим
Хт = #0£т + #0 • т(JT ® Еп )^5(0т)Ц?т, (11)
(10)
где
= [е„п - т(1т в Бп )АЪ(©Т)]-‘.
(12)
Подставляя (4.11) в (4.10 б)) при нулевых начальных условиях получим искомую связь
YT = WUT, (13)
где
W = C(©T)W0 • T(JT ® En )Bi(©T) + D(©T) . (14)
Это блочная матрица (NrxNq) с блоками размерности (rxq), по определению [1], есть передаточная матрица нестационарной ABCD - системы (1) в пространстве точечных векторных изображений. Символ ®, по прежнему знак кронекеровского произведения матриц.
В частном случае стационарной ABCD-системы, когда все матрица постоянные, модель системы в точечных векторных изображениях получает вид
Xt = t(Jt ® A)Xt + t(Jt ® b)U?t ^ Xt ; a) |
Yt = (En ® c )Xt +(En ® d)i§t. б)},
а передаточная матрица будет равна
W = (En ® C)Wo • T(Jt ® B) + (En ® D). (15)
Здесь
'Wo =[ENn - T(Jt ® A)]-1. (16)
Передаточная матрица W связывает вход-выход линейной динамической системы в пространстве векторных изображений. Тоже самое делает импульсная переходная матрица TG (т, л) в соответствующем функциональном пространстве, поэтому между ними должна существовать аналитическая связь, разумеется, приближенная, в соответствии с положениями принятой теории. Найдем ее.
С этой целью введем точеное изображение TGTn)('л) матрицы TG (т, л) как матрицу-колонку с матричными компонентами TG(N)(tJw\л) (rxq), определенными на
чебышевской сетке x(N ) = -(——— (v = 1,N), т.е.
v 2^ v , /,
TGTn)(л) = т • Colon[G(N)(t(n),л),...0(N)(tVn),л),...С(N)(T(N),Л)], (17)
Восстановление матрицы TG (т, л) может быть выполнено по общему правилу [1, 2].
N r-
TG(N )(т, л) = ]rTG(N )(tVn ), n)EqKN (t-tVn )) = [TGf )(л), ([П N (т)]® Eq)]. (18)
v=1
Скалярное произведение [•,•] здесь понимается как сумма произведений блочных компонент матриц-колонок TGTn )(л) и [П N (т)]® Eq . Таким образом,
T G(N) (т, л) есть матрица-сплайн.
Матрицу TGTN)('л) определим из уравнения (8). В связи с конечной размерностью чебышевской сетки, дельта-функция 5(т - л) должна быть заменена на 5н (т-л) - представителя дельта-последовательности размерности N. В соответствии с [2] точечное изображение 5н (т - л) по х на чебышевской сетке равно N [Пн (л)], поэтому
ЕЛ (т-л)^ N ([Пн (л)]® Е?). (19)
Искомое решение TGTN)(л) определится как реакция рассматриваемой динамической системы с передаточной матрицей на воздействие (19), т.е.
TGTN) (л) = ^ • ЦпN (л)] ® Е,), (20)
следовательно, согласно (18),
TG(N)(т,л) = .(ПN (л)]® В,),([ПN(т)]® Е,)]. (21)
j-й столбец матрицы-колонки TGTN)(л) есть точечное векторное изображение реакции системы на воздействие вида ej 5н (т-л), т.е. блочный вектор определяемый равенством
^ • ^[ПN (л)] ® ^) С = 1,2, . ,). (22)
Соответствующие столбцы матрицы Т G(н) (т, л) есть билинейные формы
т8™(т,л) = • ^П^веД^П^ве^] 0 = 1,2,...,). (23)
Согласно [2] о гомоморфизме алгебр, имеем, почти всюду на [0,1] х [0,1]:
У(в > 0)3(Н0 (8, \) > 1)[н > N0 ^ У(т, л) - Тд(н)(т, л) < в] ( = 1,2,...?), (24)
где У] (т, л) ( = 1,2,...?) - столбцы импульсной переходной матрицы
TG(н )(т, л).
Заметим, что если в (3') вместо матрицы TG (т, л) подставить ее приближение TG(н )(т, л), определяемой (21) и учесть, что
1
N |([п N (л)] ® Е, )и(л;Ил = ^ (25)
0
то получим приближенное представление выходного вектора У(т) в виде ступенчатой интерполяционной формы
У(т) = [л^1§т, ([ПN (л)] ® Е,)], (26)
откуда следует
^т = А^Т§т. (13)
Естественно, мы снова пришли к точечному соотношению (13).
Передаточная матрица № связывает вход-выход динамической ABCD-системы в пространстве точечных векторных изображений. Можно, однако, говорить о передаточной матрице \ЧС связывающей вход системы с ее переменными состояния
Хт = #с1§т . (27)
В нашем случае
#С = #0 • т(Гт ® Еп )]§(©т ) . (28)
Условимся, когда это необходимо, передаточную матрицу по выходу снабжать индексом «в», т.е. вместо № писать \Чв. Таким образом,
# = #в = С(©ту#с + 1§(©т). (29)
Квазидиагональные матрицы С(©т) и ]§(©т) следует рассматривать как передаточные матрицы некоторых динамических звеньев, входящих в состав системы.
Вообще надо заметить, что всякая сложная линейная динамическая система в пространстве векторных изображений может быть разделена на ряд более простых динамических звеньев, заданных своими передаточными матрицами соответствующей размерности, причем последние легко определяются как в стационарных так и нестационарных случаях и в этом - одно из достоинств предлагаемого метода.
Выполняя структурные эквивалентные преобразования, можно получить результирующие передаточные матрицы как всей системы так и ее отдельных частей.
Возникающие при этом особенности связаны с перемножением матриц с прямоугольными блоками и некоммутотивностью этой операции.
Отметим основные способы преобразования.
1. Последовательное соединение
Результирующая передаточная матрица \Чр цепочки из s звеньев с передаточными матрицами , будет равна
Чр = ^ • )Ч8-1 ••• #2Д. (30)
Обращает на себя внимание то, что порядок следования передаточных матриц-сомножителей обратный порядку следования звеньев.
2. Параллельное соединение
Чр = ^ + ... + Ч8-1 + #,. (31)
Все матрицы имеют одинаковую размерность.
3. Обратная связь
Пусть звено с передаточной матрицей Ч (NrхNq) охвачено отрицательной обратной связью с передаточной матрицей #ос (NqхNr), тогда
Чр = (ENr + # • #ос )-1 • Ч (№ х Nq). (32)
Рассмотрим теперь существование и единственность оговариваемой задачи т.е.
Если при некоторых ^)>0 и т>0 существует единственное решение Х(т) задачи Коши
= Т(А(т)Х(т) + В(т)и(т)); X(0) = X0, (33)
б т
то приближенное точечное изображение этого решение при некоторой размерности ортогональной ^сетки определится как решение уравнения
Хт = т(1т ® Еп )А(©т )Хт + т(JT ® Еп )]§(©т)т§т + Хт, , (34)
являющегося моделью задачи (33) в точечных векторных изображениях.
Однако, существование единственного решения задачи (33), вообще говоря, не гарантирует существования решения уравнения (34) для сеток любой размерности. Требует рассмотрения вопрос о разрешимости уравнения (34) и отношении его решения к решению задачи Коши (33).
Теорема
Если компоненты матриц А(т),В(т) и И(т) при некоторых 10>0 и т>0 есть функции ограниченные и измеримые на [0,1], то уравнение (34), определенное на чебы-шевской сетке размерности N имеет единственное решение, начиная с тех ^, при
которых матрица Еп - А(т) для всех те [0,1] и тех же значениях ^ и т оказывается невырожденной. Если же матрица А(т) отрицательно полуопределена при некоторых 10 и т и всех те [0,1], то единственное решение уравнения (34) имеет место при любых N и тех же значениях параметров. Существование единственного решения уравнения (34) для всех N>Nн и некоторых 10>0 и т>0 означает существование при тех же значениях параметров единственного решения задачи Коши (33), причем
У(в> 0)3(Н0(8))[N > N0 > Нн |Х(т)- ЭрЦХ,т)|| < в] те [0,1]. (35)
где ^ (X, т)| - последовательность вектор-сплайнов, построенных на последовательности {Х^ |.
Доказательство
Уравнение (34) будет иметь единственное решение
Хт = #0Хт + #0 • т(гт ® Еп )](©т)1&т, (36)
при некоторых 10>0 и т>0, если блочная матрица #0-1 = ENn - т^т ® Еп )Л(©т ) (Кп х Кп)
при этих значениях параметров невырождена, т.е. существует обратная матрица *0 =[Е»п - т(!т ® А)]-1. (37)
При сделанных предположениях точечный вектор Т§т также существует. В случае чебышевской сетки точечная матрица интегрирования Jт является нижнетреугольной, поэтому блочная матрица \Ч01 имеет вид
Wo-1 =
T
En----------A(Xj)
n 2N T
-------A(Tj)
2N
T
------A(Tj)
2N
T
------A(Tj)
2N
T
En--------A(t 2)
n 2N
T
------A(x 2)
2N 2
T
------A(x 2)
2N 2
T
En- 2NA(t-)
T
- 2NA(tv)
T
En--------A(t n)
n 2N
Эта матрица будет невырожденной при некоторых 10>0 и т>0, если будут невырождены матрицы-блоки
QN (tv) = Q'W)(to,T, tv) = En - 2N^(xv) (n x n) (v = 1, N).
(38)
Последнее будет обеспечено, если при тех же значениях параметров выполняется условие теоремы, т.е. при всех N начиная с некоторого значения N^0, матрица
(39)
(40)
Qn (х) = Q(N \t0,T, х) = En - 2N A (х) (те [0,1])
будет невырожденной.
Для доказательства второго утверждения теоремы рассмотрим матрицу
[Qn (т)]+ Qn (х),
где символ (+) означает транспонирование.
Поскольку
Rang QN (х) = Rang {[qn (т)]+ Q n (х)} (те [0,1]),
то матрица (39) будет невырожденной лишь тогда и только тогда, когда матрица (40) будет положительно определенной, т.е. условие положительной определенности матрицы (40) при всех те [0,1] является одновременно условием невырожденности матрицы (39).
Легко видеть, что квадратная форма
En —— A+(х) n 2 N
En —— A (х) n 2 N
[QN (т)] Qn (х)У ,У^ =
У У) - 2N ([ A + (х) + A (х)]у У) + ( T J (A + (x)A (х)у ,У
У ,У =
(41)
будет положительно определенной на [0,1] для всех тех 10>0 и т>0 и любых N для которых отрицательно полуопределена матрица А (т) те [0,1] , поскольку
[ A+(х) + A (т)]У ,у\ = 2( A (х)У ,У).
(42)
Это условие гарантирует отрицательную полуопределенность матриц А (т„) (V = 1, N) на чебышевской сетке любой размерности и невырожденность всей совокупности матриц (38) при любом N.
который для достаточно больших N сколь угодно мало отличается от изометрического изоморфизма.
Замечание. При сделанных предположениях относительно характера функциональных компонент матриц А(т),В(т) и вектора и(т), решение задачи Коши Х(т) оказывается непрерывной вектор-функцией, удовлетворяющей условию Липшица. При этом предположении траектории движения {Х(т)}, обусловленные различными управлениями и(т) нестационарной динамической системы (1), назовем липшице-выми траекториями.
Так как матрица интегрирования заданная на чебышевской сетке имеет простой треугольный вид то можно провести декомпозицию математических моделей различных динамических систем в точечных векторных изображениях (декомпозицию задачи Коши) - представить их в форме системы рекуррентных равенств, число которых равно размерности сетки, что существенно облегчает анализ и расчеты.
Рассмотрим достаточно общий случай нестационарной динамической системы вида
Предполагая выполнения условий, обеспечивающих существование точечных векторных изображений, получим модель задачи (43) в пространстве этих изображений
где JN (Ых^ есть точечная матрица интегрирования, ассоциированная с выбранной ортогональной ^сеткой.
Третье утверждение теоремы вытекает из гомоморфизма алгебр АМП и
—^ = F(t,X(t),U(t)); (0 < і0 < і < і0 + Т) (Т > 0)
аі
X (То) = X0;
(43)
(44)
2 V 1 ____
Для чебышевской ^сетке т^) = (V = 1, N) точечная матрица интег-
рирования имеет вид
JT = —
Т N
1 2
1 1 2
1 1
1 1
1
2
1
N х N)'
В этом случае, учитывая связь векторных изображений с их инволютивными изображениями, уравнение (44) может быть записано в форме системы из N алгебраических уравнений:
* (тГ1 ) = N § р (тГ ■* (тГ ])’и (^ ’))+2^ (т" ’,* ^ )),и ^ >))+X0 ^ = ^), (46)
0
причем § = 0 .
¡=1
Предполагая разрешимость этой системы, можно последовательно, начиная с X (т^)), определить тем или иным способом все значения фазового вектора Х(т)
2 V-1
2 N
(V = 1, N) при заданных на ней значе-
N)
во всех других точках сетки XV =
ниях входного вектора и (х(^)) (V = 1, N). Система уравнений (46) уже есть деком-
позиция модели (6.2), однако, более удобно другое представление типа рекуррентных соотношений.
Введем обозначения
X V = X (XV«), '
а)|
^ = F (XV"),X(XV")),и(XV"’)), 6) |
и запишем систему (46) в развернутой форме
(V = 1, N)
(47)
X, = — Н + X0
1 2 N 1
X2 = + — Н2 + X0
2 N 1 2 N 2
X 3 = + ТН2 + — Н3 + X0
3 N 1 N 2 2 N 3
N 1 + N
X, = —- н + н +—+—- н, . + н, + X0
Т
N
Из первого уравнения находим — Н1. Подставляя во второе, получим
X2 = 2 X - X0 + — Н2,
2 1 2 N 2
Т = - Т
откуда определяем — Н2 и вместе с ранее найденным значением подстав-
Т р
ляем в третье уравнение, из которого находим ^"Нз и т.д.
Последовательно осуществляя описанную процедуру, получим систему
х = X0 +—н 1 2 N 1
X2 = 2X -X0 + 2_Н2
Xз = 2X2-(2X, -X0) + 2^3
Легко просматривается закономерность в структуре уравнений системы. Они строятся по следующему рекуррентному правилу:
^0
4-і
2 N
XО-, = 2X^ - X0-2,
(V = І, N)
(49)
причем
\^0 _ V _ \^0 _ N/0
* І = * 0 = * 0 = *
(50)
Нелинейный оператор FV = Н (XVм), XV,U ї) осуществляет отображение
Я х Яп х Я ^ Яп. В частном случае, когда этот оператор оказывается линейным вида
Н= А(XVйХ + в(^))иV, (51)
V-,
V
где матрицы А)) и Вимеют размерности (пхп) и (nхq) соответственно, появляется возможность разрешить уравнения относительно X. В результате рекуррентные связи
X. =
x 0 + —в (т<; ])и v 2 N v
X 0 = 2 X v , - X v%
(v = 1, N)
(52)
будут описывать декомпозированную линейную нестационарную систему в пространстве точечных векторных изображений на чебышевской сетке.
Система (52) есть практически удобный рекуррентного типа вычислительный алгоритм решения задачи Коши (43) методом точечных представлений, позволяющий
последовательно найти все значения Xу = X ^)) (V = І, N) фазового вектора
Х^) на упомянутой сетке.
В случае стационарной матрицы А^) = А, вычисления существенно упрощаются,
т.к. матрица точно вычислить один раз.
En- —A n 2N
оказывается одинаковой для всех уравнении и ее доста-
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
1. Осипов В.М. Основы метода изображающих векторов. - Томск: Изд-во ТГУ, 1983.
2. Осипов В.М., Осипов В.В. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений. -М.: МАКС Пресс, 2005. -296 с. КИЖ 5-317-01390-9. шгЛ
-1
v
— Коротко об авторах
Осипов В.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №3» Сибирского федерального университета,
Осипова В.А. - кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматизации производственных процессов» Института цветных металлов и металловедения Сибирского федерального университета,
Овинников В.А. - кандидат технических наук, профессор Сибирского федерального университета г. Красноярск,
Чешель А.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №1» Сибирского федерального университета,
Устинович О.В. - старший преподаватель кафедры «Бухгалтерского учета и аудита» Сибирского государственного аэрокосмического университета им. ак. М.Ф. Решетнева
Статья представлена Сибирским федеральным университетом.
Рецензент доктор физико-математических наук В.А. Романов.
