Точечные аналитические модели дифференциально-разностных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

© В.В. Осипов, В.А. Осипова, В. А. Овинников, А. А. Чешель, О.В. Устинович, 2008

УДК 519.71:62.50

В.В. Осипов, В.А. Осипова, В.А. Овинников,

А.А. Чешель, О.В Устинович

ТОЧЕЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Введение

ифференциально-разностные уравнения запаздывающие типа (уравнения с

запаздывающим аргументом) составляют особый класс уравнений, теория которых заметно отличается от теории соответствующих дифференциальных уравнений без запаздывания.

Отличие, прежде всего, связано с тем принципиальным фактом, что будущее протекание процесса, как решение уравнения с запаздыванием, зависят не только от настоящего, но и от прошлого.

Так, начальная задача (задача Коши) для дифференциального уравнения с постоянным запаздыванием на величину 1, требует для своего решения при t > 0 не только знание начальных условий в точке 1 = 0 (как для уравнений без запаздывания), но еще и полную информацию о некоторой начальной функции ф (1) и ее производных, определенных «в прошлом» - на отрезке [-1з,0]. Таким образом, требуется знание начальных условий не в одной точке 1 = 0, а на множестве точек [-1з,0] из прошлого. Это множество называется начальным [4].

Дифференциально-разностные уравнения с запаздыванием при нулевых начальных условиях возникают, в частности, при исследовании динамики САР, имеющих звено чистого запаздывание в цепи обратной связи.

2. Постановка задачи

Рассмотрим начальную задачу для линейного дифференциально-разност-ного уравнения с запаздывающим аргументом п-го порядка:

Эта задача, естественно, связана с заданием на [-1 з ,0] некоторой непрерывной и (п-1) раз дифференцируемой функции ф(1) 1 є [-13 ,0] для которой должны выполняться равенства:

(1)

(2)

Ф<*>(0) = y(v>(0) = yV (v = 0,(n-1) )

(3)

где у0 (V = О, П -1 ) - заданные начальные условия, как значения (правых) производных функций у(1) в точке 1 = 0. Можно предполагать начальную функцию ф (1) нашей задачи в виде отрезка степенного ряда, функции у(1) в окрестности точки 1=0, определенного и для отрицательных значений аргумента из промежутка [-1з ,0]:

У I У II у(п-1) п-1 ..(к)

ф(1) = У0 + У0* + — 12 + -У^13 + ... + —------1(п-1) = У —tк (4)

>0 >0 2! 3! (п-1)! £0 k!

Тогда, очевидным образом, будут выполняться равенства (2) и (3), как необходимые и определяющие условия для начальной функции ф (1). Функция (4) есть прошлое процесса у(1), настоящее и будущее которого описывается уравнением (1) при

0

1 >0. Будем искать решение поставленной задачи в виде процесса у (1), совпадающего с процессом у(1) при 1 >0, но не имеющею явной связи с „прошлым”, однако, учитывающего его влияние через добавление к правой части уравнения (1) некоторой функции, определяемой заданной начальной функцией (4). Речь идет о функции

0

у (1), со следующими свойствами:

0) Г у^) 1 > 0 ----------

у (1) = \п Гп ^ = 0, (п -1)) (5)

[0 1 < 0

0 Г у(,,)(/ _ 1 ) 1 > 1 ----------

и Ум (Из) = [ \ ( 3) “ з (V = 0, (п _ 1)) (6)

[ 0 1 < *3

причем имеются в виду правые производные функций при нулевых значениях их

0

аргументов. Предполагаемое решение у (1) удовлетворяет следующему уравнению при1> 0:

Iа-V А) + £Ьп-Vу^)(/ _ (3) = х(1) + 1 (ф;{); 80 = 1, (7)

v=0 v=0

где Г( ф ; 1) - некоторая функция, определяемая начальной функцией (4) и параметрами дифференциального уравнения (1), связанными с запаздыванием. Определим явно эту функцию.

Учитывая сказанное, запишем решение поставленной задачи (1), определенной на [4з, да ] в следующем виде:

0 Г ф£) 1 Е [- 1з,0]

У «) = Б$3, t М) +1(/) у () =Г0 (8)

[ у (t) 1 > 0

где ЕЦ3,t) = 1(t +13)- 1(t) = Г 1 Е (- 1з,0) (9)

3 3 [0 1 г [- 1з,0]

есть единичный импульс („окно”) длительностью \ 3, расположенный на отрезке [-1з,

0].

Символом 1(^) обозначены единичные функции:

1^) = <Р 1 >0; 1(t +13) = <Р 1 > *3 (10)

[0 1 > 0 3 [0 1 > t3

Для производных функций у(1), имея в виду производные в интервалах (4з, 0) и (0, да) для составляющих эту функцию, будем иметь

у^(0 = ЕЦ3,t)ф(V)(t) +1(0уЦ) = I ф(^) 1Е (-1з,0) (ч; =1,(п-1)) ф(П)(0 = 0 (11)

[y(v)(t) t > 0 (v = 1,(n-1))

со стыковкой односторонних производных в точке t=0

p(v)(t)=-0 = P(v)(0) = У(v)(0) = У(v)(t)=+0 (v = 1,(л -1)) (12)

При запаздывании аргумента на величину t3, все составные функции в (11) сместятся вправо по оси t на ту же величину, занимая только положительную полуось [0, да):

У(v)(t -13) = E(t3; t - f3)cp(v)(f -13) + 1(t -13)y0v\t -13) = J ^ U t £ [0, *з\ (v = 1,(n-1))

y(v)(t -13) t > t3

(13)

Подставляя (11) и (13) в (1), получим при 1 >0:

Хап^ ^)(t) + Е(t3; t -13)1 Ьп_vФ(V)(t - tз) +1Ь,^ ^)(t - tз) = х^)

v=0 v=0 v=0

или в форме (7):

¿а„-V уЧ) +1 Ьп_v у-)(t -13) = х(t)- Е^3;t -tз)§Ьп_vФ(VЦ - tз) (14)

v=0 v=0 v=0

Таким образом, добавочная функция Г( ф ;1) в правой части уравнения (7) имеет вид:

1 (ф;t) = -Е^;t -tз)§Ьп_vФ(V^ -1з) 1 е [0Л] (15)

v=0

и представляет собой финитную функцию с интервалом финитности (0, 1з). Итак, уО) - решение начальной задачи (1) с „предысторией” ф (1) 1 е [4з,0], при 1 >0 совпадает с функцией у(1), не имеющей „предыстории”, согласно условиям (5) и (6), и являющейся решением задачи Коши для преобразованного уравнения (14) с начальными условиями (12) и измененной правой частью, учитывающей „предысторию” процесса у(0 .

В силу сказанного и тождественных равенств (5) и (6) целесообразно отказаться

0

от „нулевой” отметки в обозначениях функции у (1) (1) и ее производных. Тогда, поставленная начальная задача для уравнения (1) окажется эквивалентной при V1 > 0 следующей задаче Коши для преобразованного уравнения (14) в прежних обозначениях:

±ап-V у(^) +1Ьп^ у{у^ - tз) = х^)- Е^з;t -13)§Ьп^Ц -13), (16)

v=0 v=0 v=0

с чистым запаздыванием

у(v^ -13) = |0 ( ) (0 “ 1 > *3) (V = 1 ,(п-1)) (17)

3 1 у (v)(t -13) 1 > t3

и финитной добавочной функцией

E(tз; t -1з)Xb„-v9<v)(t -tз) =

£b„-v9(v)(t -13) t e (0,1з) (18)

10 t g [0,t3 ]

в правой части уравнения, определенной заданной начальной функции ф (t), ее

производными членов с запаздыванием.

Известный пошаговый метод решения указанной задачи при таком преобразовании реализуется естественным образом. Этот подход может быть использован для преобразования начальных задач в задачи Коши и для более сложных линейных дифференциальных уравнений с запаздыванием.

Преобразованную таким образом задачу предлагается решить методом точечных представлений, хорошо приспособленным для описания запаздывания и решения подобных задач.

3. Метод решения

При практической реализации пошагового метода решения начальных задач даже в простейших случаях имеет место все возрастающая сложность и громоздкость возникающих задач Коши на промежутках, которыми разбивается отрезок [0,Т]. Здесь весьма перспективным является метод точечных представлений, позволяющий перейти от заданной линейной задачи к ее гомоморфной конечномерной модели в пространстве точечных представлений, в частности, оказывается весьма эффективным как метод решения начальных задач для линейных дифференциально-разностных уравнений с постоянным запаздыванием, предварительно преобразованных в эквивалентные задачи Каши. Метод автоматически реализует пошаговый подход, причем без разбиения отрезка [0,Т] на промежутки, связанных с запаздыванием.

Дело в том, что в основе точечно-матричных представлений наиболее важных операторов, в частности оператора интегрирования, лежит каноническая матрица

(правого) сдвига Z (NxN), реализующая сдвиг всех N отсчетов {у(t(vN))} изображаемой финитной функции у(т), как компонент ее точечного N - вектора YT = Colon [ у(т-)),... у (т<;)),... у (т- ))], (19)

на один шаг вправо, что дает точечный изображающий N - вектор финитной функ-

1 1

ции у (т - N) с запаздывающим аргументом на величину т3 = —, равную расстоянию между узлами чебышевской N - сетки:

У(т -N}_^7 ■ Yt = Colon[0, у(тГ)),...у(т-),...у)] (20)

При таком сдвиге последний отсчет у(tN )) функции у(т)выходит за пределы промежутка [0,1]. Запаздывание на величину тз, равную рациональному числу m (m = 1,2,...N -2), означает умножение точечного изображающего N - вектора YT на m-ю степень матрицы Z:

у(т - m) > Zm ■ YT = Colon

УК N’ t

0,...0, у (t(N )),...у (TNN-)m )

(21)

m

что, как видим, эквивалентно сдвигу вправо на т шагов всей “гребенки” отсчетов из т отсчетов {у(т^))} функции у(т), при этом за пределами “финитного окна” промежутка [0,1] оси “т” окажутся т последних отсчетов, а на месте т первых отсчетов окажутся нули.

Естественным образом определяется и изображающий N - вектор результата (вольтерровского) интегрирования функции у (т- т):

Л • у(т - т) = ТIУ(т - т*т—- = ^0 ^ • У7 (22)

что легко обобщается на V - кратное интегрирование:

т т /| _ У

^у(т-т)=туН у(т--—у¿тут *тУт ^

V раз

Для иллюстрации “работы” метода точечных представлений рассмотрим, сперва, простейшую начальную задачу на отрезке [0,Т]:

+ ау(і) + Ьу(і - із) = х(і); Ф(0) = у(0) = Уо; і є [0,Т] (24)

Преобразуем ее в эквивалентную задачу Коши. В данном частном случае начальная функция ф(ї) есть постоянная, равная заданному начальному значению у0: ф(0 = ф(0) = уо; їє К.,0], (25)

поэтому на [0,Т] получаем следующую задачу Коши

+ а • у (і) + Ь • у (і - і3) = х (і) - Ь • І (і3 ;Ч) • Уо; у(0) = Уо, (26)

где добавочная функция в правой части есть “финитное окно” промежутка [0,і,.] высотой у0:

1 (з Мз )• Уо=[1«)-1н)] уо={оуо 1г ¡оЄу‘з). (27)

а функция у(1-1з.) с запаздывающим аргументом есть чистое запаздывание на величину 1з.:

у(М,) ={ У(,-,• > '■ £ ,£ Т (28)

|0 1 <

Сделаем замену переменного, пологая 1=Тт; тє[0,1]; 1з=Ттз. и не указывая параметр Т в обозначениях функций:

бу (і) 1 бу (т).

у (і) = у (Т т) = у (т); х (і) = х (т);

бі Т бт '

|(з;К )• Уо ,)] уо ^ , е^о€^^,т' ’ (29)

У(1-1,) = УИ,) = |о У<,-,-) ^ ,£11 (30)

[о т < тз < 1

Задача (26) получает вид:

T ■ + а ■ У(х) + b ■ У(Х-Хз) = Х (х) - b '^1(х) - 1(Х-Хз ^Уо; У(0) = Уо (31)

Воздействуем на обе стороны уравнения (вольтерровским) оператором интегрирования

т

T ■ Jт ^ T ■{(•)dт

о

и получаем, что

j •

1 dy (т) Т dy (т)

í rf dт = У(т) - У(0) = У(т) - Уо

Т d Т 0 ^ Т

В результате будем иметь интегральное уравнение

Т Т Т Т

у(т) + а • Т | у(т^т + Ь • Т| у(т - т3 )dТ = Т | х(т)dт - Ь • Т |[1(т) - 1(т - т3)] • у^т;

0 0 0 0 Перейдем теперь к соответствующему уравнению для точечных N - векторных изображений, ассоциированных с чебышевской N - сеткой. При этом заданную величину постоянного запаздывания тз. заменим ближайшим рациональным числом

— (т - натуральное число) ^<N-2). Учитывая (22), а также точечное представление

Т

T í[» - 1(т-т3 )]• yo d т — > TJT (E - Zm )Уо 17

(32)

где 1Т есть точечная единица 1т = Colon [1,...1,...1] ,

получим:

YT + а • TJtYt + b • TJT • Zm • Y7 = TJT • X7 - TJT • b(E - Zm )y017 + y017

Подставим сюда вместо точечной матрицы интегрирования TJT ее известное представление через каноническую матрицу сдвига Z:

TJt = ^0 E + Z E - Z ^0 • (E - Z) 1 • (E + Z); ^0 = —, 0 2N

после чего умножим все члены уравнения на не вырожденную P

' 1 0 0 0 0'

-1 1 0 0 0

E - Z = 0 0 -1 0 1 0 0 0 (N х N)

0 0 0 -1 1

и учтем тождество (E - Z)• 1T = е1 = Colon [1,0,...0] В результате будем иметь:

[(Е-7) + вХ0(Е + 7)]УТ + ЬХ0(Е + 7)• 7” • Ут = = МЕ + 7)ХТ -Х0Ь(Е + 7)(Е - 7”) + у01 т (Е - 7)

или (Л01)Е + Л,(1)7Ут + Ь\(Е + 7)• 7” • Ут = \,(Е + 7)[Хт - У0Ь • е(”)] + /оЄі (33)

где Л01) = а^о +1; = а^о -1 , (34)

а символом е(т) обозначен N - вектор

е(”) = (Е - 7” )• 1т = СоІоп

1,...1,0,...0

(35)

у которого т первых координат - единицы, а остальные ^т координат нули.

В подробной записи, учитывая (21), получим систему из N рекуррентных скалярных равенств:

^у = х0 • (х -Ьу0) + У,; ь,(1)У1 + ^01)у2 = ^ • (х + х2 - 2ЬУ0); Ц(1)У2 + ^01)Уз = X0 • (Х2 + Хз - 2Ьу0);

Ц1(1)У”-1 + Ц1)У™ = х0 •(х”-1 + х”- 2ЬУ0); Ц1(1) У” + Ц1) У”+1 + ьх0 У1 = х 0 • (х” + х”+1- ьу0); Ц1(1) У”+1 + Ц1) У”+2 + ьку + У2) = х0 •(х”+1 + х”+2);

(36)

Ц1(1) У”+* + Ц1) У”+*+1 + ьх 0 (У, + У к+1) = х0 •(х”+* + х”+к+1); (к =1^-”-1;.

Из этой системы, последовательно и буквально “в ручную”, могут быть определены все компоненты Уу = У(т^)) (V = 1, N) неизвестного точечного N - вектора

Ух приближенного решения начальной задачи (24).

В качестве некоторой иллюстрации высокой эффективности метода найдем компоненты точечных N - векторов Ух приближенных решений начальных задач.

СІУ (І )

6І

■ +10у(і-у = 20-1(і) (0 < і < 0,5); ф(і) = ф(0) = У, = 0 . (37)

и М + 10у(Н) = 201(1) 1 е [0,0,5]; ф(1) = ф(0) = Уо = 1; 1 е [^ ,0] (38)

ат

Это простейший частный случай начальной задачи (24) возникающей при Т =

0,5 с.; а = 0; Ь = 10; х(т) = 201(т); 1,. = 0,1 с. Примем N = 10, тогда

^0 = — = — = 0,025 и— = т3 = ^ = 0,2 = — ^ — = 2; Л™ = 1; ^ = -1 .

0 2 N 40 N 3 Т 10 0 1

При таких значениях параметров задачи система рекуррентных равенств (36)

приобретает вид:

У = 7 (2 - Уо) + У о 4

-Уі + У2 =1(2 - Уо)

1 1

-У2 + Уз +7Уі = 7(4 - Уо)

4 4

- Уз + У 4 + — (У + У2) = 1

4

- У V- + У V+ 7(У у-3 + У у-2) = 1

(у = 4,5,...М)

По этим элементарным формулам найдены компоненты {у^,} точечного вектора

Ут при у0 = 0 (задача (37)) и при у0 = 1 (задача (38)). Результаты представлены таблице.

* (10) 1 V 1 40 3 40 5 40 7 40 9 40 11 40 13 40 15 40 17 40 19 40

у(С) 0.5 1,5 2,437 2,937 2,943 2,578 2,088 1,097 1,531 1,675

у(0 1,25 1,75 2,219 2,468 2,471 2,289 2,044 1,848 1,765 1,796

у V 0.5 1,5 2,375 2,875 2,906 2,593 2,18 1,804 1,611 1,615

Уv 1,25 1,75 2,187 2,437 2,453 2,296 2,074 1,886 1,794 1,803

В первых строках указаны точные значения решений тех же задач (38) и (39) в

2 V 1

узлах чебышевской N - сетки ІV> = — т при N=10 и Т=0,5сек., найденных ме-

тодом шагов.

Точность решений, полученных методом точечных представлений, оказывается достаточно высокой, если иметь в виду столь небольшое значение N (N=10) и довольно колебательный характер процессов на выбранном отрезке [0,Т], особенно при нулевых начальных условиях.

При увеличении N в два раза, т.е. при N = 20, точность резко возрастает. Максимальная погрешность не превышает 1 - 2 % (расчеты здесь не приводятся).

Кстати отметим, что, в этом случае, степень “т”, характеризующая величину запаздывания в методе точечных представлений, также возрастает в два раза, т. к.

І 0 1

т = Ь-N = 20 = 4 .

Т 0,5

Систему рекуррентных равенств (39) эквивалентную векторно-матричному урав-нению(33) следует рассматривать как эффективный алгоритм численного решения поставленной начальной задачи (24) на отрезке [0,Т] методом точечных представлений при конкретном задании численных значений всех параметров задачи.

Решение примера показывают это очевидным образом. Для формульного же представления точечного изображающего N - вектора Ут, как решения векторноматричного уравнения (33), система (39), в общем случае, мало пригодна. Это решение, однако, найдется стандартным путем, обращая системную матрицу в левой части уравнения (33):

Ут = [ Н1 (7) + Б (т; 7)]-1 • {^ (Е + 7) • [Х7 - Ь • у0 • е(т)] + у0 • е1} где Н1 (7) = Е + й(1)7 (Ы х Ы)

двухдиагональная невырожденная Р - матрица (Л($1) Ф 0 ), а

+ 7т+1) = 5,(7) • 7т =

(40)

(41)

^(т; 7) = Ь^(Е + 7) • 7т [0 0 0 0 0 : О 0

= ьк

= Ь\{7п ... 0]

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0 110

N х N)

(42)

также двухдиагональная Р - матрица со сдвинутой на т шагов нулевой диагональю.

Теперь рассмотрим решение методом точечных представлений более общей начальной задачи (1) на отрезке [0,Т], которая, после преобразования, становится задачей Коши для уравнения (16) с чистым запаздыванием (17) и финитной добавочной функцией (18) в правой части уравнения, определяемой начальной функцией (4) заданной на [4з,0], ее производными и параметрами членов с запаздыванием.

Решение же у^) [0,Т] задачи коши для линейного дифференциального уравне-

ния п - го порядка с запаздыванием вида (3.39) в общем случае представляется в виде суммы двух составляющих

У(*) = У, (*) + У „ $)——— Ут = УТ1 + Ут. (43)

Первая составляющая у^) есть решение задачи при нулевых начальных условиях. Точечный изображающий N - вектор Ут, этого решения определяется формулой:

Ут 1 = £п(т; 7)Л"(Е + 7)" • Хт = 1^*(т; 7)• Хт (44)

Здесь изображающий N - вектор решения нашей частной задачи Коши обозначен символом Ут!, вместо ранее используемого символа Ут.

Кроме того, введена Р - матрица, т. е. матрица, представимая в виде матричного полинома по степеням канонической матрицы Ъ (ЫхЫ)

К (Е + 7 )"

1^(т; 7) = Оп (т; 7) •К" (Е + 7)" =

Нп (7) + Б" (7) • 7"

где Нп (т; 7) • Ут = К" • (Е + 7)" • Хт

(45)

(46)

а Н, (т; 7) = Н, (7) + Б,, (7)• 7” = £ ^)(т) • 79 . (47)

9=0

N-1

и 6„ (т; 7) = Нп\т; 7) = £ 79 N х N), (48)

9=0

Найдем вторую составляющую УТ„ <——— у и (I) I е [0, Т]. Это - точечный N -

вектор решения унО) задачи Коши на [0,Т] для дифференциального уравнения (16), определяемого только начальными условиями, когда х(1)=0:

IX;У/^) + £Ьп-Vу<;>(/ -(3) = Г(ф;I) / е [0,Т], (49)

;=0 ;=0

где Г(ф;I) = -§6„-;ф(;>(/ - Iз) / е [0,Iз] (50)

;=0

есть финитная функция (18).

Применим к (49) процедуру перехода от линейного дифференциального уравнения к уравнению в точечных изображениях, которая включает в себя замену переменного 1=Тт в функциях и производных; переход к эквивалентному интегральному уравнению путем п - кратного интегрирования обеих частей уравнения с учетом ненулевых начальных условий; точечное представление интегрального уравнения с вводом параметра запаздывания т = т^ и по членным умножением на Р - матрицу (Е - г)п (^^.

В результате всех этих действий получим векторно-матричное уравнение для Ут, с прежней системной матрицей Ып(т;2), определяемой (47), но другой правой частью:

Нп (т; 7) • Ут„ = XП • (Е + 7)П Т (ф) + (Е - 7)-1 •§ Нп (IУ) (51)

/=0

Второй член в правой части этого уравнения без всяких изменений “перешел” из задачи Коши для уравнения без запаздывания.

Символом Гт(ф) обозначен точечный изображающий N - вектор финитной функции (50) с интервалом финитности (0Дз), поэтому только “т” первых компонент этого вектора отличны от нуля и определяются параметрами членов с запаздыванием в уравнении (49) и начальными условиями задачи.

Найдем явное представление этого вектора через указанные параметры.

Для начальной функции (4) и ее (п - 1) первых производных имеем

л-1

ік

Ф(;)(1) = IУ0*) • тт^г (; = 0, П -1); I е К,0].

7=; (к -;)!

Следовательно, для финитной функции (50) получим представление

?(ф;О—¿Х^ I у0к)• Iе[0,д (52)

;=0 7=; (к -;)!

Развернем сумму и сгруппируем члены при у0 (к = 0, П-1). В результате ока-

жется:

т (ф;1 ) = -6, I у0

(к)

(I - ^ )к Л П-^.,(к) (I - 1з Г ... Л „(П-1) = „ ,,(0)

-[Ьп (Г - 1 з ) + Ьп-1 ] У01) -

"" - Ь1 • У0 '= Ьп • У0

2!

П-1

П-1 /? - I )П-/-1

— -— § Ьп-/ Ъ—Ъи = -§ у0

(к)

I б,-/

(2)

(I - Iз )к-/ (к)

I Ьп-Л,. ;м у0 к )-

(к - /)!

(к -1)!

где Р (к; I -1 з) =^Ья-/ *з )к' (к = 0, п -1); I е [0, (з]

/=0 (к — 1)!

(54)

есть полиномы степени к = 0, П -1 относительно аргумента (1 - ^), определенные на отрезке [0Дз]. Выполним замену переменного, полагая 1 - ^=Т(т - тз). Получаем финитную функцию на (0,тз) в виде разложения по финитным же полиномам:

т( ;Т ) т( ; ) I -Iу0к)• Р(к;Т(т-тз)) те [0,Тз];

Т (ф; Тт) = т (ф; т) = 1 ^

0 т€ [0, тз],

причем полином нулевой степени также следует считать финитным, т.е. Ьп те[0, тз];

[0 т € [0, тз].

т

Р (0; Т (т-тз)) = Положим т

(55)

(56)

N

- рациональное число, ближайшее к заданной относительной

величине запаздывания тз = —, тогда на интервале финитности (0,тз) функции (55)

будет располагаться ровно т первых узлов N - сетки 2 ;-1

т(") =

2N

(; = 1^)

(57)

Сложный аргумент Т(т - тз) финитных полиномов в (3.105) в этих узлах будет принимать дискретные значения, определяемые формулой

Т(т-тз) = 2Гу (2;-2т-1) = Х -[2(;-т)-1] (; = 1,2,...т), (58)

а отсчеты полиномов

к-/ [2(;-т)-1 ]к-1.

; (к = 0,п-1); (; = 1,т);

(59)

Р(к; X • [2(;-т)-1]) = I Ьп_Л0

I=0 (к-|)!

будут т первыми компонентами точечных изображающих N - векторов Рт (к) (к = 0, п -1) этих полиномов. Остальные N - т компонент векторов

РТ (к) (к = 0, П -1) будут равны нулю, причем при к =0 окажется, в силу (56),

РТ (0) = Ьп • Со1оп

1,...1,0,...0

т N-т

(60)

Таким образом, точечный изображающий N - вектор іт(ф) финитной функции (55) представится в виде линейной комбинации точечных N - векторов

Рт (к) (к = 0, л -1)с начальными условиями в качестве коэффициентов:

Т (Ф) =- § У0к) • Рт (к) (61)

к=0

и, как уже отмечалось, будет иметь отличными от нуля только т первых своих компонент.

Вернемся к векторно-матричному уравнению (51). Его решение, т.е. вторая составляющая Ут„ решения Ут задачи Коши (16), связано снова с обращением (48) системной матрицы Ып(т;2) и представляется в виде

Ут„ = Оп (т; 7) • XЛ (Е + 7)л • Т (ф) + Оп (т; 7)(Е - 7)-1 § Нл (ІУ) (62)

І=0

Объединение обеих составляющих Ут! и Ут„ дает формулу

Ут = Ут, + Ут. = 1<(т; 7)• [Хт + (ф)] + Оп (т; 7)(Е - 7)-1 § Нл (І)у0') (63)

І=0

определяющую точечный N - вектор Ут решения у(1) задачи Коши (16) на отрезке [0,Т], эквивалентной начальной задаче (1) на том же отрезке.

4. Заключение

На основе предлагаемого метода была разработана прикладная программа, позволяющая находить точечный изображающий вектор решения этой задачи.

Приближенно - аналитический метод решения дифференциально-раз-ностных уравнений с запаздыванием любых порядков (предварительно преобразованных в задачу Коши) на основе точечных представлений является весьма эффективным, что показывают многочисленные примера проведенные на ЭВМ.

---------------------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Осипов В.М., Осипов В.В. Моделирование линейных динамических систем методом точечных представлений. - М.: МАКС Пресс, 2005. - 296 с. ISBN 5-317-01390-9.

2. Хейл. Дж. Теория функционально - дифференциальных уравнений Пер. с англ.-М.: Мир, 1984.- 421с., ил.

3. Эльсгольц Л.Э. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняю-щимся аргументом - М.: Наука, 1964. - 128 с., ил.

4. Системы с переменным запаздыванием. Солодов А.В., Солодова Е.А. -М.: Наука, 1980. -384 с., ил. ГГШ

— Коротко об авторах ---------------------------------------------------------------

Осипов В.В. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №3» Сибирского федерального университета,

Осипова В.А. - кандидат технических наук, доцент, зав. кафедрой «Автоматизации производственных процессов» Института цветных металлов и металловедения Сибирского федерального университета,

Овинников В.А. - кандидат технических наук, профессор Сибирского федерального университета г. Красноярск,

Чешель А.А. - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшей математики №1» Сибирского федерального университета,

Устинович О.В. - старший преподаватель кафедры «Бухгалтерского учета и аудита» Сибирского государственного аэрокосмического университета им. ак. М.Ф. Решетнева.

Статья представлена Сибирским федеральным университетом.

Рецензент доктор физико-математических наук В.А. Романов.