ТОЧЕЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В СЕТЕВОМ НОСИТЕЛЕ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Информатика, вычислительная техника и управление

DOI 10.36622/^ТО.2022.18.5.001 УДК 517.929.2

ТОЧЕЧНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

В СЕТЕВОМ НОСИТЕЛЕ

Аннотация: рассматривается задача точечной оптимизации дифференциально-разностной системы уравнений, формализмами которой представлен процесс ламинарного течения вязкой жидкости в сетевом носителе и дискретно изменяющейся временной переменной. При этом допускается анализ многофазовых сред. Представлены условия однозначной слабой разрешимости дифференциально-разностной системы и непрерывной зависимости слабого решения от исходных данных. Внешнее влияние на математическую модель процесса переноса (дифференциально-разностную систему) осуществляется с помощью воздействий, сосредоточенных во всех внутренних местах сопряжения (ветвления) сетевого носителя сплошной среды. Наблюдение состояния дифференциально-разностной системы осуществляется во всей области изменения пространственной переменной при дискретно изменяющейся временной переменной, минимизирующий функционал задается коэрцитивной квадратичной формой и положительным оператором, гарантирующим единственность решения оптимизационной задачи. В исследовании существенно используется сопряженное состояние и сопряженная система для исходной дифференциально-разностной системы уравнений. Получены необходимые и достаточные условия определения оптимума задачи точечной оптимизации дифференциально-разностной системы уравнений. Показана связь дифференциально-разностной системы уравнений с дискретно изменяющейся временной переменной и эволюционной дифференциальной системой уравнений с непрерывно изменяющейся временной переменной

Ключевые слова: ориентированный граф, дифференциально-разностная система, сопряженная система, точечная оптимизация

С.Л. Подвальный1, В.В. Провоторов2, В.Н. Хоанг2, З. Тран

2

1

Воронежский государственный технический университет, г. Воронеж, Россия 2Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Россия

Вопросы оптимизации дифференциальных систем, используемых в качестве математического описания различного типа сетеподобных процессов переноса сплошных сред, достаточно давно являются предметом исследования (см., например, [1- 7]). При этом изучались и смежные вопросы: устойчивость и стабилизация волновых процессов [8, 9], управление волновыми процессами [10 - 12]. Переход к дифференциально-разностным системам и анализу задач оптимизации для них явился следующим естественным шагом исследования в попытке приблизиться к решению прикладных задач, имеющих свою специфику, открывающую широкие

возможности алгоритмизации и цифровизации современных технологических процессов перемещения жидких сред и газов. Используемый метод полудискретизации

Введение

является достаточно универсальным методом, дающим эффективный инструмент

моделирования указанных процессов формализмами дифференциально-разностной системы - математической модели ламинарного течения вязкой жикости в сетовом носителе. Подробно рассматривается частный случай: задача точечной оптимизации дифференциально-разностной системы с помощью воздействий, сосредоточенных во всех внутренних местах сопряжения (ветвления) сетевого носителя сплошной среды. В исследовании существенно используется сопряженное состояние и сопряженная система для дифференциально-разностной системы -

получены условия, достаточно просто проверяемые на практике, выполнение которых гарантирует определение оптимального точечного управления. Представленные результаты открывают пути анализа задач оптимального управления и родственных им задач.

© Подвальный С.Л., Провоторов В.В., Хоанг В.Н., Тран З., 2022

Основные понятия, используемые утверждения

В качестве математического аналога

сетового носителя ламинарного потока сплошной среды используется геометрический граф-дерево [1 - 3] со свойственной ему топологией.

Пусть Г - ориентированный ограниченный граф, ребра которого параметризованы отрезком [0,1]; Г0 - совокупность всех ребер,

параметризованных интервалом (0,1) (Го = Г); ЭГ и J (Г) - множества граничных и внутренних узлов графа, соответственно (I -множество индексов внутренних узлов, J -число внутренних узлов).

В работе изучается задача оптимизации дифференциально-разностной системы

уравнениий

!(у(к) - у(к -1)) - ± {а(х) ^ V т ах ^ ах )

+ Ь(х)у(к) = f(k), (1)

к = 1,2,..., М,

где у(к):= у(х;к) и /(к) := /(х;к), к = 1,2,...,М (система (1) подробно изучалось в работе [7]). Введем пространство состояний у(к) (к = 1,2,...,М) для уравнения (1). При этом будем использовать стандартные обозначения для классических пространств:

Lv (Г)

(р = 1,2) - пространство, элементы

которого являются измеримые на Г0 функции, интегрируемые с р -й степенью на Г0; Ш (Г) -

пространство

функций у(х) е Ь2 (Г)

ёу

обобщенной производной — е L2 (Г).

ёх

На функциях рассмотрим

функционал (билинейную форму)

Кр,у)= П а(х)

+Ь(х)ц(х)у(х) I ах, (2)

а/л(х) йу(х) ах ах

где а(х), Ь(х) - измеримые ограниченные на Г0 функции суммируемыми с квадратом:

0< а, < а(х) < а*, | Ь(х) |< / , х еГ0,

а,, а*, / - фиксированные постоянные. Из результатов работы Следует отметить, что в ^2(Г) содержится совокупность 0.а (Г) функций у( х) е С(Г) (через С (Г) обозначена совокупность функций, непрерывных на Г ), для которых имеет место равенство

V (1) аУ(!)г V (0) аУ(0)г ^ а(Х)ч~Т~ = ^ а(0)у~г~,

уеЯ(£) ах уег(£) ах

при любых £ е J(Г) (через Я(£) и г(£) обозначены наборы ребер у, соответственно ориентированных к £ и от £ , числа 0 и 1 для переменной х являются границами интервала (0,1) и параметризуют соответствующие концевые точки для у, обозначение в(-)у означает проекцию функции в(-) на у). Обозначим через Ш '(а; Г) пространство Соболева, определяемое замыканием (Г) в пространстве Ш (Г). Если элементы у(х) е (Г) удовлетворяют краевому условию и(х)|ЭГ =0, то замыкание 0.а(Г) в Ш2(Г) дает пространство Ш0 (а; Г); очевидно включение Ш0(а; Г) с Ш2(Г).

Вежде ниже будем считать, что /(к) е 12(Г), к = 1,2,...,М , а у(к) удовлетворяют следующим условиям:

у(0) = р(х), у(к) 1хеЭГ =0, к = 1,2,..., М. (3)

Определение 1. Слабым (обобщенным) решением дифференциально-разностной

системы уравнений (1) с условиями (3) называется совокупность функций

у(к) еШ0(а;Г), к = 1,2,...,М , которые

удовлетворяют интегральным тождествам

\у(к)гЛ(х)йх + £(у(к),ч) = |/(к)ч(х)ёх, к = 1,2,...,М,

Г Г

для любого элемента г]( х) пространства Ш0(а, Г), равенство у(0) = р( х) в (3) понимается почти всюду; у(к) и £(у(к),ц) определяются соотношениями

у(к) = - [ у(к) - у (к -1)], т

£(у(кШ = Д а(х)

ёу(к)(х) а^(х)

ах

ах

+ Ьу(к)(х)^(х) I ах.

Таким образом, дифференциально-разностная система уравнений (1) - (3) является математической моделью ламинарного течения вязкой жидкости по сетовому носителю Г при дискретном изменении временной переменной. В приложениях система (1) - (3) может использоваться в качестве инструмента

с

наблюдения по информации в дискретном времени о состоянии сетевого трубопровода, оценки изменений технических характеристик процесса транпортировки вязких сред и последующего принятия решений. Следует отметить, что сетевой носитель имеет характерное отличие от магистрального. Последний не содежит мест (узлов) ветвления гидросистемы и его математическим аналогом является простейший граф, ребра которого сочленены последовательно [2].

Замечание 1. Для каждого фиксированного к (к = 1,2, . . ., М ) соотношения (1), (3) задают краевую задачу в пространстве Ш0(а, Г) для эллиптического уравнения (1) относительно у(к). Для такого уравнения слабая однозначная разрешимость установлена в работе [13]. Таким образом, решение этих краевых задач определяет состояние у = { у(к), к = 1,2,..., М} системы (1), (3).

Сформулируем основополагающие

утверждения, доказательство которых приведено в работе [13].

Теорема 1. Дифференциально-разностная система уравнений (1), (3) обладает следующими свойствами:

1) при любом 1 < к0 < М и произвольном

р(х) е ¿2(Г)

слабое

решение определяется

у := {у(к),к = 1,2,...,М} единственным образом,

2) слабое решение дифференциально-разностной системы (1), (3) непрерывно зависит от исходных данных р(х), f (к).

Задача точечной оптимизации

Обратимся к задаче точечной оптимизации дифференциально-разностной системы (1), (3) точечными управляющими воздействиями, сосредоточенными во всех внутренних узлах множества J(Г). Для каждого узла Е е J(Г), , е I, зафиксируем одно ребро е R(Е¡). Для каждого фиксированного к = 1,2,..., М точечное управление v(k) определяется множеством чисел (к): у(к) = {V, (к), i е I}. При этом {V, (к), i е I} е и (к = 1,2,...,М) и множество и с М7 задается в зависимости от характера прикладных задач. Таким образом, управляющие воздействия у(к)

(к = 1,2,..., М) сосредоточены в концевых

точках фиксированных ребер е R(£¡¡)

каждого внутреннего узла Е, , е I.

Пусть функции f (к) (к = 1,2,..., М) в системе уравнении (1) определены

соотношениями

/(к) = (к)8(х-X) X 1е 5, (к = 1,2,...,М),

,еI

состояние у(х, к; у(к)) (к = 1,2,..., М) системы (1) определено дифференциально-разностной системой уравнений

у(к; у(к)) - у(к -1; у(к -1))] -

т

-±I а(х) ) + *(х)у(к;у(к)) =

ах ^ ах )

= ^у,(к)8(х-х) |х..^, к = 1,2,...,М,

у(0;у(0)) := у(0) = р(х), у(к;у(к)) |хеЙГ = 0, к = 1,2,..., М.

(4)

(5)

В соответствии с определением 1 дадим определение слабого решения

дифференциально-разностной системы

уравнений (4), (5).

Определение 2. Слабым (обобщенным) решением дифференциально-разностной

системы уравнений (4) с условиями (5) называется совокупность функций

у(к) еШ0(а;Г), к = 1,2,...,М , которые

удовлетворяют интегральным тождествам

\у(к; у(к ))п( х)ах + £( у(к; у(к )), п) =

Г

= XV-(к)п,, к = 1,2,...,М,

¡еI

для любого элемента п( х) пространства Ш (а, Г); здесь п = п(х) |, , , Е е 7(Г), , е I.

х = 1еу

В целях простоты дальнейшего изложения будем считать, что наблюдение состояния у(к; у(к)) системы (4), (5) осуществляется на всей области Г . Как следует из утверждения 2 теоремы 1, линейное отображение у(к) ^ у(к; у(к)) множества и в пространство

Ш0(а;Г) непрерывно для любого к = 1,2,...,М .

Введем функционал следующим

соотношением

Т^) := Т(у(1),У(2),...,v(M)) = т^Тк(У(к)),

(6)

Т к 0>(к)) =|| у (к; у(к)) - ^0 (к) у;

+(Ш(к), v(k))

И2(Г)

где ^0(к) (к = 1,2,...,М) - заданные элементы пространства Ь2 (Г), оператор N:и ^ и положительно определен, для него выполнены условия

(N(у(к),(у(к))иJ > д|| у(к) |£J,д >0,

Vv(k) еи, к = 1,2,..., М.

(7)

Здесь и везде ниже символами (•, •) и (•, ^

обозначаются скалярные произведения в пространствах ¿2(Г) и КJ, соответственно, если это не оговорено специально. Структура функционала Т(у) формируется оператором, устанавливающим соотношение V ^ у(у). Этот оператор при к = 1,2,..., М осуществляет связь функции (управляющего воздействия)

v(k) е и с К

функцией у(к; v(k)) -

состоянием системы (4), (5)) .

Далее будем считать, что область иэ является ограниченным подмножеством множества и .

Задача точечной оптимизации дифференциально-разностной системы (4), (5) определяется поиском

М Т», V = ^(к), к = 1,2,...,М}.

кеиа

Теорема 2. Задача точечной оптимизации системы (4), (5) однозначно разрешима: V* = {V* (к), к = 1,2,..., М} еиЭ, Т^*) = М ТМ;

"еиЭ

V* - оптимум системы (4), (5).

Доказательство. Выше установлена непрерывность отображения V ^ у^), определяющая связь совокупности допустимых управлений и и пространства состояний Ш0 (а, Г) дифференциально-разностной системы

(4), (5). Исходя из этого, используется свойство коэрцитивности квадратичной составляющей функционала Т^) на ограниченном множестве и. Для любого к = 1,2, . .., М справедливы

, е. Для любого соотношения

Т к ^(к ))=|| у (к; v(k)) - Wо¡(k) |(г) +(Ш(к), v(k ))к J = =|| у(к;v(k))-у(0;v(0)) + у(0;v(0)-^(к) +

+ (Ш(к), v(k ))к J =

= & ^(к), v(k)) - 2£к ^(к))+11 у (0; v(0)) - ^ (к) | £ ,

где

& (v(k ),(v(k)) = (у (к; v(k)) - у(0; v(0)), у (к; v(k)) - у(0; v(0))) + (Ш(к), v(k))кJ,

является квадратичной формой на множестве и , выражение

¿к ^(к)) = (^(к) - у(0; v(0)), у (к; v(k)) - у(0; v(0)))

определяет линейную форму на КJ. Из сказанного вытекает представление

Т^) = F(v, V) + ¿(V), 3 (V, V) = М М

= т^ ^(к), V(k)), ¿(V) = т^С, ^(к)).

Условия (7) гарантируют коэрцитивность квадратичной формы V). Дальнейшие

рассуждения повторяют приведенные в работе [14, с. 13].

Замечание 2. В случае N = 0 можно показать, что при выполнении условий теоремы 1 существует непустое замкнутое и выпуклое подмножество и° с и. такое, что

Т(т* ) = М Т(v), Vv еиа0.

уеЦ,

Доказательство этого факта аналогично представленному в работе [14, теорема 5.2, с. 47].

Далее остановимся на подробном изучении условий существования

оптимального управления и получим соотношения, определяющие оптимальное управление. Для упрощения представлений различных преобразований дальнейшие действия проводятся одновременно для всех состояний у(к;и(к)) и управлений и (к), к = 1,2,...,М ; обозначения у(к;и(к)), у(к;и(к)) и и(к) заменяются на у(и), у(и), и и, соответственно.

Докажем следующие вспомогательные утверждения.

2

с

Лемма 1. Пусть выполнены условия теоремы 1 и и* ={и*(к),к = 1,2,...,М}е иа -минимизирующий элемент функционала Т^), тогда неравенство

-1[(у(к; v(k)) - у(к; и (к))) -

Т Г

-(у(к -1; у(к -1)) - у(к -1; и(к - 1)))]п( х)Ог + (10) +*( у(к; у(к)) - у(к; и (к )),п) = ^ (к) - V, (к ))п,,

Т'(и* )(у - и*) > 0,

(8)

выполняется для любого V е иа; производная Т' (и*) понимается в смысле Фреше.

Доказательство. Так как

и* - минимизирующий элемент функционала Т^), то для любого V е иа и любого числа ве (0,1) справедливо неравенство

Т(и*) < Т((1 -в)и* +вv), а это означает, что

-[Т((1 -в)и* +вv) -Т(и* )] = в

= ^[Т(и* +в(v - и*)) -Т(и*)] > 0,

в

и при в ^ 0 Т' (и* XV - и*) > 0, откуда следует (8). Верно и обратное утверждение. Действительно, пусть для некоторого фиксированного и е иа справедливо неравенство Т' (и)^ - и) > 0 для любого V е иа. В силу выпуклости отображения V ^ Т^) (см. доказательство теоремы 2) для любого V е иа имеет место

- [Т((1 - в)и + вv) -Т (и)] =

= - [Т(и* + в(v - и*)) -Т(и*)] < Т(V) - Т(и),

в

а значит, 0 < Т' (и)^ - и) < Т^) - Т(и) при в ^ 0 . Отсюда следует Т^) > Т(и) для

любого V е и

т. е. и - минимизирующим

элемент функционала Т^).

Лемма 2. Пусть V, и произвольные элементы множества иа , тогда справедливо соотношение

у ' (и)^ - и) = у(у) - у (и)

(9)

(здесь у'(и) - производная в смысле Фреше отображения и ^ у(и)).

Доказательство. Исходя из определения 2 для управлений и(к), v(k) е иа (к = 0,1,...,М) имеет место

при произвольном выборе функции

П(х) е Ш (а, Г); п, = П(х) Ц , С е 7(Г) .

Нетрудно установить справедливость соотношения

-|[( у (к; и(к) + 3^(к) - и (к))) - у (к; и (к))) -

Т Г

-(у(к -1; и (к -1) + 3^(к-1) - и(к-1))) -- у(к -1; и(к -1)))]п(х)ах + + (.(у(к; и (к) + 3^(к) - и (к))) -

-у(к; и (к)),п) = (к) - V, (к))п,,

при любом выборе постоянной 3 из интервала (0,1) и произвольной функции п( х) еШ0'(а, Г); П1 = п(х) I _ е , Е е 7(Г). Разделив полученное

равенство на 3 и переходя к пределу с 0, получим соотношение

-1[ у' (к; и(к ))(v(k) - и(к)) -

т Г

-у' (к-1; и (к-1)Шк -1) - и(к - 1))]п( х)ах + (11) +1(у'(к; и (к))(v(k) - и(к)),п) = (к) - V, (к))п,

при произвольной функции п( х) еШ0'(а, Г); П, = п(х) I _ е , е 7(Г). Сравнение левых

частей (10) и (11) приводит к соотношениям

у'(к; и(к ))(v(k) - и(к)) = у(к; v(k)) - у(к; и(к)), к = 0,1,..., М,

которые завершают доказательство леммы.

Пусть и(к) является оптимальным управлением для каждого фиксированного к = 1,2, . ..,М , тогда в силу (8) и (9) имеем

1Тк (и(к))^(к) - и (к)) =

= (у(к; и(к)) - ^ (к), у ' (к; и(к ))^(к) - и(к))) +

+ (Ш(к ),v(k) - и (к)) = = (у(к; и(к)) - ^0 (к), у(к; v(k)) - у(к; и(к))) + + (Ш(к ),v(k) - и (к)) у > 0.

для любого v(k) е иэ.

Из соотношений (12) следует неравенство

- А { а(х) | + Ь(х)р(к; v(k)) =

ах ^ ах ) (15)

= у(к; v(k)) - ^0(к), к = 0,1,..., М-1,

(у (к; и (к)) - ^ (к), у (к; v(k)) - у (к; и (к))) + (Ш(к)^(к) - и (к)) J > 0,

(13)

р(М;v(M)) = 0, р(к;v(k»и = 0, к = 0,1,..., М -1.

(16)

а значит, исходя из представления (6) функционала Т^) и соотношения (7), приходим к неравенству

г£[(у(к; и (к)) - ^ (к), у(к; v(k)) - у(к; и(к))) +

к=1

+ (Ш(к)Хк) - и(к)) J ] > 0,

(14)

для любого v(k) е иэ. Таким образом, неравенство (13) является необходимым условием существования оптимального управления системой (4), (5) и имеет место следующее утверждение.

Теорема 3. Пусть выполнено утверждение теоремы 2, оптимальное

управление соотношениями

и е

характеризуется

|у(к; и (к))г (х)0т + £(у(к; и(к)), г) =

Г

= XV,- (к )г, к = 1,2,..., М,

iеI

для любой функции г( х) еШ0'(а, Г); Г, = г(х) | £. , здесь £, е J(Г) и , е I;

х=1еу -

Хр, (к; и (к »(V, (к) - и,, (к)) + (Ш(к ),v(k) - и (к)) > 0,

,е1

к = 0,1,..., М.

для любого v(k) е иэ; здесь у(к; и(к)) еШ0'(а, Г), к = 0,1,...,М , хеГ .

Для более детального описания условий существования оптимального управления введем сопряженное состояние для системы (4), (5). В пространстве Ш0(а; Г) понятие сопряженного состояния р(к; v(k))

(к = 1,2,..., М) и сопряженной системы к системе (4), (5) определим, исходя из следующей задачи

Теорема 4. Слабое (обобщенное) решение дифференциально-разностной системы

уравнений (15), (16) является элементом Ш0(а; Г) и однозначно определено при достаточно малых т .

Доказательство. Чтобы в этом убедиться, достаточно перенумеровать соотношения системы (15), (16) и применить утверждение теоремы 1. Действительно, меняя нумерацию

по закону

I = М - к,

к = М,М -1,...,1,0,

получим, что I меняется от 0 до М и мы приходим к системе

- р (I -1; v(l-1)) - р (I; v(l))] -т

- а {а(х) ^^ 1 + Ь(х)р(I; v(l)) =

ах ^ ах )

= у(1; v(l)) - ^0(1), I = 1,2,..., М, р(0;v(0)) = 0, р(I;v(l)) = 0, I = 1,2,...,М,

относительно совокупности функций р(I; v(l)) (I = 1,2,..., М), для которой имеют место свойства, установленные утверждениями теоремы 1. Доказательство теоремы завершено.

Неравенство (13) при фиксированном к (к = 1,2,..., М) можно преобразовать. А именно, учитывая соотношения

1 М-1

— X [ р(к +1 и(к +1)) - р(к; и (к))] •

т к=0

•[ у(к; v(k)) - у (к; и(к ))] =

1М

^ Х{[у(к; v(k)) - у(к; и (к))] -т М

-[у (к -1; v(k -1)) - у (к -1; и (к -1))]} р(к; и (к)),

М-1

Х£( р(к; и (к)), у (к; v(k)) - у (к; и (к))) =

к=0 М

= Х£( у(к; v(k)) - у(к; и(к)), р(к; и(к))),

- р(к +1; v(k +1)) - р(к; v(k))] -т

получим равенством

соотношение,

определяемое

X (у(к; v(k)) - ^ (к), у(к; v(k)) - у (к; и (к))) =

к=0

М

= XXр> (к; и (к))С, (к) - и, (к)) =

к=1 ,е/

М-1

= ХХр, (к; и (к (к) - и, (к)),

при

этом

используются соотношения

р, (к; и (к)) = р(к; и (к)) |

е е 7 (Г),

и

у(0;v(0)) -у(0;и(0)) = 0 , р(М;и(М)) = 0 . Таким образом, полученное выше равенство приводит к соотношению

Хр, (к; и(к))(v¡ (к) - и, (к)) = Хр, (к; и(к(к) - и, (к)),

,е/ ¡е/

при фиксированном к (к = 1,2,...,М). Учитывая это, соотношение (13) можно переписать в виде

Xр, (к; и(к))С, (к) - и, (к)) +

¡е/

(М(к ),v(k) - и (к)) > 0, к = 0,1,..., М, а неравенство (14) преобразуется к виду

М-1

тХ&(к; и (к ))С, (к) - и, (к))

к=0 ¡е/

+М(к ),v(k) - и (к ))и ] > 0, Vv(k) е иа, к = 0,1,...,М,

(17)

(18)

(как и выше, учитывается

у(0; v(0)) - у(0; и(0)) = 0 и р(М; и(М)) = 0).

Таким образом, утверждение теоремы 3 (а именно, представление неравенства (13) с помощью неравенств (17) и (18)) можно уточнить, используя информацию о состоянии р(к; и (к)) системы (15), (16) - справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Пусть выполнено утверждение теоремы 2, оптимум и е иа характеризуется соотношениями

|у(к; и (к))гп (х)ах + £(у(к; и(к)), п) =

Г

= Xv¡ (к )п,, к = 1,2,..., М,

для

любой функции п( х) еШ0'(а, Г);

п, = п( х) 1

х=1еу '

, здесь е, е 7(Г) и , е I;

|р(к; и(к)), п( х)ах + р(к; и(к)), п) =

Г

= |(у(к; v(k)) - ^0(к))п(х)ах, к = 1,2,..., М,

Г

для произвольной фиксированной функции п( х) еШ0(а, Г);

Xр, (к; и (к))С, (к) - и, (к)) +

¡е/

+(М(к), v(k) - и (к)) > 0, к = 0,1,..., М,

для произвольной фиксированной функции v(k) е иа. При этом у(к;и(к)),

р(к;и(к)) (к = 0,1,...,М) принадлежат

пространству Ш10(а,Г) и выполнены условия у(0; v(0)) = р( х), р(М; v(M)) = 0.

Полученные утверждения (теоремы 4 и 5) представляют необходимые и достаточные условия определения оптимума и е иа задачи точечной оптимизации дифференциально-разностной системы (4), (5). При этом существенно используется состояние р(к; и(к)) сопряженной системы (15), (16), соответствующее состоянию у(к;и(к)) исходной дифференциально-разностной

системы (4), (5) при к = 1,2,...,М .

Следует отметить, что используемый подход и полученные при этом результаты являются основополагающими при анализе задач оптимизации для дифференциальных систем разного типа сетевых процессов прикладного характера (см. работы [15 - 17] и библиографию там).

Заключение

В работе рассмотрена задача точечной оптимизации дифференциально-разностной системы для эволюционной системы процесса переноса сплошной среды

^4( а(х)^)+ *(х)у(х,г) =

аг ах ^ ах ) = XV,(х,г)8(х-х)|, ,, х,г е Гт = Гх (0,т),

х =1еуе

по сетевому носителю Г (х е Г), Т < да . Последнее осуществляет математическое

описание указанного процесса при непрерывном изменении временной

переменной. Представленная

дифференциально-разностная система

уравнений (1) - (3) является математической моделью ламинарного течения вязкой жидкости по сетевому носителю Г при дискретном изменении временной переменной

t по сетке jtk j . Такая система может

использоваться в качестве инструмента наблюдения по информации в дискретном времени tk о состоянии сетевого трубопровода, оценке изменений технических характеристик процесса транпортировки вязких сред и последующего принятия решений.

Рассматривается частный случай - задача точечного управляющего воздействия на управляемую дифференциально-разностную систему (4), (5) с помощью управлений, сосредоточенных во всех узлах J (Г) сети (графа). В исследовании существенно используется сопряженное состояние и сопряженная система (15, (16) для исходной дифференциально-разностной системы (4), (5), получены соотношения, определяющие оптимальное точечное управление

(утверждения теоремы 5).

Литература

1. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014. Т. 10. № 6. С. 29-35.

2. Волкова А.С., Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии. 2013. №1 (51). С. 11-15.

3. Podvalny S.L., Provotorov V.V., Podvalny E.S. The controllability of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph // Procedia Computer Sciense. 2017. Vol. 103. Р. 324-330.

4. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network/ M.A. Artemov, E.S. Baranovskii, A.P. Zhabko, V.V. Provotorov // Journal of Physics. Conference Series. 2019. Vol. 1203, Article ID 012094. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094

5. Zhabko A.P., Provotorov V.V. and Balaban O.R. 2019 Stabilization of weak solutions of parabolic systems with

distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. Vol. 15. No. 2. Р. 187-198. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203

6. Zhabko A.P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. Vol. 15. No. 3. pp. 322-335. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303

7. Zhabko A.P., Shindyapin A.I., Provotorov V.V. Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph// Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. Vol. 15. No. 4. P. 457-471. https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.404

8. Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты// Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2006. № 2. С. 28-35.

9. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов системы "мачта-растяжки" // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 272-277.

10. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы "мачта-растяжки" // Системы управления и информационные технологии. 2008. Т. 32. № 2. С. 293-297.

11. Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 2. С. 60-69.

12. Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из M струн // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. № 1. С. 60-69.

13. Provotorov V.V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph // Mathematics. 2008. Vol. 199. № 10. p. 1523

14. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / пер. с фр. Н.Х. Розова; под ред. Р.В. Гамкрелидзе. М.: Мир, 1972. 414 с.

15. Подвальный С.Л. Особенности поисковой градиентной оптимизации сложных объектов с использованием сопряженных систем // Системы управления и информационные технологии. 2014. Т. 56. № 2. С. 18-22

16. Podval'ny S.L., Ledeneva T.M. Intelligent Modeling Systems: Design Principles // Automation and Remote Control. 2013. Vol. 74. No. 7. Р. 1201-1210.

17. Подвальный С.Л. Решение задачи градиентной оптимизации каскадно-реакторных схем с использованием сопряженных систем // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2013. Т. 9. №. 2. С. 27-32

Поступила 02.06.2022; принята к публикации 17.10.2022

Информация об авторах

Подвальный Семён Леонидович - д-р техн. наук, профессор, Воронежский государственный технический университет (394006, Россия, г. Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84), e-mail: [email protected], тел.: +7(473) 243-77-18. Провоторов Вячеслав Васильевич - д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1), e-mail: [email protected], тел.: +7 (950) 758-15-14.

Хоанг Ван Нгуен - аспирант кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1), e-mail: [email protected], тел.: +7(952) 544-27-74.

Тран Зуй - аспирант кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет (394018, Россия, г. Воронеж, Университетская площадь, 1), e-mail: [email protected], тел.: +7(952) 43817-94.

POINT OPTIMIZATION OF THE LAMINAR FLOW OF A VISCOUS FLUID IN A NETWORK

CARRIER

S.L. Podval'ny1, V.V. Provotorov2, V.N. Hoang2, Z. Tran2

Voronezh State Technical University, Voronezh, Russia 2Voronezh State University, Voronezh, Russia

Abstract: the paper considers the problem of point optimization of a differential-difference system of equations, the formalisms of which represent the process of a laminar flow of a viscous fluid in a network carrier and a discretely changing time variable. In this case, the analysis of multiphase media is allowed. We present the conditions for unique weak solvability of the differential-difference system and the continuous dependence of the weak solution on the initial data. External influence on the mathematical model of the transfer process (differential-difference system) is carried out with the help of influences concentrated in all internal points of conjugation (branching) of the network carrier of a continuous medium. The observation of the state of the differential-difference system is carried out in the entire range of the spatial variable with a discretely changing time variable, the minimizing functional is given by a coercive quadratic form and a positive operator, which guarantees the uniqueness of the solution of the optimization problem. The study essentially uses the conjugate state and the conjugate system for the original differential-difference system of equations. Necessary and sufficient conditions for determining the optimum of the problem of point optimization of a differential-difference system of equations are obtained. We show the relationship between the differential-difference system of equations with a discretely changing time variable and the evolutionary differential system of equations with a continuously changing time variable

Key words: directed graph, differential-difference system, adjoint system, point optimization

References

1. Podval'ny S.L., Provotorov V.V. "Determination of the start function in the problem of observing a parabolic system with distributed parameters on a graph", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2014, vol. 10, no. 6, pp. 29-35.

2. Volkova A.S., Gnilitskaya Yu.A., Provotorov V.V. "On the solvability of boundary value problems for equations of parabolic and hyperbolic types on a geometric graph", Control Systems and Information Technologies (Sistemy upravleniya i infor-matsionnyye tekhnologii), 2013, no. 1 (51), pp. 11-15.

3. Podval'ny S.L., Provotorov V.V., Podval'nyy E.S. "The controllability of parabolic systems with delay and distributed parameters on the graph", Procedia Computer Sciense, 2017, vol. 103, pp. 324-330.

4. Artemov M.A., Baranovskiy E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. "On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network", Journal of Physics. Conference Series, 2019, vol. 1203, article ID 012094. https://doi.org/10.1088/1742-6596/1203/1/012094.

5. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Balaban O.R. "Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2019, vol. 15, no. 2, pp. 187-198, https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203

6. Zhabko A.P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. "About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2019, vol. 15, no. 3. pp. 322335, https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303.

7. Zhabko A.P., Shindyapin A.I., Provotorov V.V. "Stability of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes, 2019, vol. 15, no. 4, pp. 457-471, https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.404

8. Provotorov V.V. "Mathematical modeling of oscillatory processes of supporting braces of an elastic mast", Bulletin of Voronezh State University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta), 2006, no. 2, pp. 28-35.

9. Provotorov V.V. "Modeling of oscillatory processes of the "mast-stretch" system", Control Systems and Information Technologies (Sistemy upravleniya i informatsionnyye tekhnologii), 2008, no. 1.2 (31), pp. 272-277.

10. Provotorov V.V. "On the question of constructing boundary controls in the problem of damping oscillations of the "mast-

stretch" system", Control Systems and Information Technologie (Sistemy upravleniya i informatsionnyye tekhnologii), 2008, vol. 32, no. 2, pp. 293-297.

11. Provotorov V.V. "The method of moments in the problem of damping oscillations of a differential system on a graph", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes (Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya), 2010, no. 2, pp. 60-69.

12. Provotorov V.V. "Construction of Boundary Controls in the Problem of Damping Oscillations of a System of M Strings", Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes (Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya), 2012, no. 1, pp. 60-69.

13. Provotorov V.V. "Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph", Mathematics, 2008, vol. 199, no. 10, pp. 1523.

14. Lions J.L. "Optimal control of systems described by partial differential equations ("Controle optimal de sistemes gouvernes par des eqations aux derivees partielles"), transl. from fr. N.Kh. Rozova; ed. R. V. Gamkrelidze, Moscow: Mir, 1972, 414 p.

15. Podval'ny S.L. "Features of search gradient optimization of complex objects using conjugated systems", Control systems and information technologies (Sistemy upravleniya i informatsionnyye tekhnologii), 2014, vol. 56, no. 2, pp. 18-22.

16. Podval'ny S.L., Ledeneva T.M. "Intelligent modeling systems: design principles", Automation and Remote Control, 2013, vol. 74, no. 7, pp. 1201-1210.

17. Podval'ny S.L. "Solving the problem of gradient optimization of cascade-reactor circuits using conjugated systems", Bulletin of Voronezh State Technical University (Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta), 2013, vol. 9, no. 2, pp. 27-32.

Submitted 02.06.2022; revised 17.10.2022 Information about the authors

Semen L. Podval'ny, Dr. Sci. (Technical), Professor, Voronezh State Technical University (84 20-letiya Oktyabrya str., Voronezh 394006, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7(473) 243-77-20.

Vyacheslav V. Provotorov, Dr. Sci. (Physics and Mathematics), Professor, Voronezh State University (1 Universitetskaya sq., Voronezh 394018, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7(950) 758-15-14.

Van N. Hoang, graduate student, Voronezh State University (1 Universitetskaya sq., Voronezh 394018, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7(952) 544-27-74.

Zuy Tran, graduate student, Voronezh State University (1 Universitetskaya sq., Voronezh 394018, Russia), e-mail: [email protected], tel.: +7(952) 438-17-94.