CC BY
12УДК 519.633.6
ГРНТИ 27.41.19
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПУЛЬСОВЫМИ КОМПЕНСАТОРАМИ ПРИ ГАШЕНИИ ВОЛНОВЫХ ЯВЛЕНИЙ В ТРУБОПРОВОДНОЙ СИСТЕМЕ
В.В. ПРОВОТОРОВ, доктор физико-математических наук, доцент
А.В. ИВАНОВ, кандидат технических наук, доцент
О.Р. БАЛАБАН, кандидат технических наук
Рассмотрена задача оптимального управления пульсовыми компенсаторами, противодействующими колебательным явлениям в сплошной среде при транспортировке по сетевым газогидроносителям в рамках нефтегазового инжиниринга. Представлен подход, который учитывает изменение характеристик колебаний во фрагментах трубопроводной системы с течением времени. Сформулирована и решена задача оптимального точечного управления, для которой управляющие воздействия влияют на колебательный процесс в местах сосредоточения гасителей. Разработан алгоритм получения оптимального управляющего воздействия применительно к задаче гашения пульсаций в магистральной трубопроводной системе.
Ключевые слова: колебания трубопроводов, транспортировка пульсирующего нефтегазового потока, дифференциально-разностное уравнение, сетевые газогидроносители, пульсовые компенсаторы.
Введение. В представленном исследовании математическое описание колебательного процесса сплошной среды осуществляется формализмами дифференциально-разностной системой уравнений гиперболического типа с распределенными параметрами на графе. При этом математическая модель содержит достаточно точное математическое описание управляемых пульсовых компенсаторов. Задача управления пульсовыми компенсаторами колебательного процесса рассматривается как задача точечного управляющего воздействия на управляемую дифференциально-разностную систему в местах присоединения гасителей колебаний сплошной среды к сетевому носителю. Это является характерной особенностью представленного исследования, достаточно часто используемой на практике при инжиниринге процессов транспортировки различного рода сплошных сред по сетевым нефтегазовым носителям. В исследовании используется сопряженное состояние и сопряженная система для дифференциально-разностной системы - получены соотношения, определяющие оптимальное точечное управление.
При проектировании и последующей эксплуатации трубопроводных сетей встают вопросы, связанные с созданием надежных конструкций, противодействующих колебательным эффектам, которые генерируются мощными компрессорными установками, являющимися основным оборудованием технологической части трубопроводной системы. Именно эти установки способствуют появлению вредных пульсаций, которые передаются в трубопроводную систему и инициируют вибрацию системы. Способы воздействия на указанные колебательные явления для их устранения в своем многообразии основаны на применении различного типа гасителей пульсаций непосредственно на выходе компрессорной установки или на начальном участке трубопроводной системы [1, 2]. При всей значимости имеющихся на настоящий момент результатов следует отметить, что расчет гасителей пульсаций ориентирован на определенную
(заданную) частоту и не учитывает изменение частот пульсации во времени в линейных фрагментах трубопроводной системы. Ниже представлен подход, который учитывает изменение характеристик колебаний во фрагментах трубопроводной системы с течением времени. Последнее предопределило возникновение управляемых пульсовых компенсаторов. Результаты, представленные ниже, базируются на результатах исследований по оптимальному управлению дифференциальными системами с распределенными параметрами на графах [3, 4] и разрешимости начально-краевых задач для уравнений с частными производными [5]. Исследование осуществляется на примере транспортировки пульсирующего нефтегазового потока по трубопроводной линии, имеющей определенное число линейных фрагментов (носителей трубопроводной линии), наблюдение состояния газового потока осуществляется в дискретном времени.
Актуальность. В настоящее время оптимальное управление пульсовыми компенсаторами является актуальной проблемой в области нефтегазового инжиниринга. Мощные компрессорные установки, создающие высокое давление в носителе сплошной среды, в немалой степени способствуют формированию нежелательных колебательных явлений (пульсаций), имеющих место на выходе компрессоров. Указанные пульсации передаются в среду сетевого носителя, что значительно снижает эффективность работы компрессорных установок, а также являются причиной аварий в сетях газогидроносителей. Последнее означает, что программная инженерия нефтегазовой промышленности должна включать исследования в направлении повышения надежности эксплуатации компрессорных установок и газогидроносителей.
Обозначения и основные понятия. Трубопроводная линия длиною С, являющаяся носителем газового потока, интерпретируется нами как простейший ориентированный граф (сеть) Г, содержащий К ребер у., j = 1,3 (линейные фрагменты сети), соответственно
параметризованные отрезками [С/-1 )/г, _//г], // = ¿7.7, ] = \,3, и узлы £, 5=0,1,...,«/. Таким образом, Г = ^у., , - граничные узлы, 5Г = {%0}, - множество граничных узлов,
j=1
J-l
^ ,5 = 1,./ —1 - внутренние узлы, £ = У ^ - множество внутренних узлов. Узлы множества £
«=1
являются местами присоединения к сети гасителей колебаний газового потока. Каждый пульсовый гаситель конструктивно представляет собой встроенный в трубопроводную систему цилиндр с поршнем, который приводится в движение по определенному (задаваемому) закону и это определяет внешнее воздействие на систему.
Изучаемые колебания нефтегазового потока описываются дифференциально-разностным уравнением
-1 [ У (к +1) - 2 у (к) + у(к -1)] = 41 а( х) ^ | + / (к),
т
4х ^
4х
к = 1,2..., М -1,
(1)
на множестве Г0=Г\^идГ, где у{к) := у(х,к), /(к) := /(х;к), к = 0,1,2,...,М. В точках множества % присоединения пульсовых гасителей к сети имеют место условия:
у(к) х=^ = у(к)[
х='
(2)
а( х)
4у(к)
4х
+ Е (к )| х=^ = а( х)
4у(к)
х=,еу,
4х
(3)
х=, еу
Начальные и граничные условия определяются соотношениями:
у(0) = (х), у (1) = ^( X),
у(к)и =0, к = 0,1,2,..., М,
(4)
(5)
соответственно. Заметим при этом, что во внутренних узлах ^ (5 = 1,3 -1) в трубопроводную
4у(к )
систему к потокам а(х)-
4х
добавляются потоки g(к)|( 7 = 1,3 ) от пульсовых
х= №/7
гасителей; функция а(х) определяет волновые свойства колеблющейся среды, функция /(к) описывает воздействия среды окружения трубопровода. Заметим также, что краевые условия (5) могут быть неоднородными, тогда однородные краевые условия (5) нетрудно получить, используя стандартные замены и переводя неоднородности в правую часть уравнения (1) [5].
Определение. Решением дифференциально-разностного уравнения (1) с условиями (2), (3) называются фунщии у(к) (к = 1,2,...,М), принадлежащие пространству
7(0, С) = С[0,Р1 С1([0, £]\^)Г\С2((0,и удовлетворяюгцие начальным (4) и краевым (5) условиям.
Имеют место следующие утверждения.
Теорема 1. Пусть ср(х\ ц/(х) е С[0, С], а(х) е СЧ[0,С\\£), /(Аг) е С[0, С], к = 0,1,2,...,М, М> 2. Решение дифференциально-разностной системы уравнений (1)-(5) в пространстве 7(0, С) существует и единственно.
Таким образом, дифференциально-разностная система уравнений (1)-(5) является дискретным по времени математическим описанием колебательного процесса нефтегазового потока в трубопроводной линии.
Теорема 2. При выполнении условий теоремы 1 решение у(к) (к = 0,1,2,...,М) дифференциально-разностной системы (1)-(5) непрерывно зависит от исходных данных (р(х), у/(х) и / (к), к = 0,1,2,..., М, при любом М > 2.
Доказательство утверждений теорем 1 и 2 аналогично приведенным в работе [6]. Управление пульсовыми компенсаторами. Рассмотрим задачу управления пульсовыми компенсаторами в трубопроводной системе, исследуя задачу управления дифференциально-разностной системой (1)—(5), считая, что (р{х\ 1//(х)еС[0,С], а(х) е С:([0, , /(к) е С[0, С], к = 0,1,2,...,М. Управляющими воздействиями на систему (1)-(5) являются числовые значения
и(к)7 = g(k) , 7 = 1,3, к = 1,М, потока у(к) = [о(к\ ,о(к)2,...,о(к)3} пульсовых гасителей,
1х=7
через и обозначим допустимое множество значений таких потоков: 11 - множество евклидова пространства К17. Систему соотношений (1), (3), используя свойства 8 -функции (£( х) - функция Дирака, 5'( х) - производная по Фреше) запишем компактней. Добавление в
трубопровод в окрестности точки х = ]к потока g(к)| ,, от пульсового гасителя (соотношение
3 7]
(3)) означает, что в правой части соотношения (1) добавится слагаемое у(к)3'(х — ]к), тогда соотношения (1), (3) заменятся соотношением
-1 [у(к +1) — 2у(к) + у(к — 1)] — 41 а(х) ^
т
4х 1
4х
= /(к) + Ё *(к)#'(х — М к = 1,2..., М — 1, (6)
7=1
и мы приходим к задаче (4)-(6) для функций у{к-,\'{к)) := ^(х, А:;у(А:)) (к = 1,2,...,М), принадлежащих пространству 7(0, £) и удовлетворяющих условиям (4), (5). Эти функции зависят от потока у(к) = [о(к )1 ,о(к )2 ,...,о(к) 3 } пульсовых гасителей и описывают состояние системы (4)-
(6) для каждого фиксированного у(к). Зададим наблюдение у(к',л>(к)) линейным оператором С: 7(0, €) —»С[0, С~\, т.е. м^{к',л^к))\=м^{х,к',\{к)) = Су{к',\{к)). Как вытекает из утверждений теорем 1 и 2, отображение \>(к) ~^у(к;\'(к)) пространства II в пространство }''(0, С. ) непрерывно для любого к = 1,2,...,М, М > 2.
Для устранения нежелательных колебательных явлений достаточно подобрать поток у( к) пульсовых гасителей таким образом, чтобы состояние к = 1,2,...,М, системы (4)-(6)
стало нулевым на [0, €\. Определим минимизирующий функционал Ч(у) соотношением
Ч (v) := Ч (v(1), v(2),..., v(M)) = т^Чк (v(k)),
(7)
k=1
где =|| Cy(k;v(k)) |£(Г) +(Nv(k),v(k))Mj и N - эрмитова ./ -матрица, которая связана
условием
mik)Mk))mJ >дЫк)\\1, (д > 0) Vv(k)GU, £ = 1,2,...,М;
здесь через || • ||^(Г) и > 1Ы1К-" где обозначены норма в Z2(Г) и скалярное произведение и норма в М'7, соответственно. Пусть Ug - ограниченное подмножество U .
Задача оптимального управления пульсовыми компенсаторами состоит в отыскании для функционала 4(v) нижней грани inf 4(v), где v = {v(k), k = 1,2,..., M}.
veUg
Таким образом приходим к задаче точечного управления дифференциально-разностной системой (2)-(6).
Теорема 3. Задача оптимального точечного управления системой (2)-(6) имеет
единственное решение v" eUs: Ч (v*) = min Ч (v); v* = {v* (k), k = 1,2,..., M }eUs - оптимальное
vGUg
управление системы (2)-(6).
Доказательство утверждения опирается на свойство коэрцитивности квадратичной формы функционалов Ч k (v(k)) [7].
Для определения условий существования оптимального управления v* ={v*(k), k = 1,2,...,M} и соотношений, его определяющих, введем сопряженное состояние p(k;v(k)) (к = 0,1,2,...,M) и определим сопряженную систему, соответствующую системе (2)-(6):
1
d
— [ p (k +1; v(k +1)) - 2 p (k; v(k)) + p (k -1; v(k -1))] - — I a( x)
dx'
dp(k ) dx
(8)
= y(k;v(k)), k = 1,2,...,M -1,
p(M;v(M)) = p(M-1;v(M-1)) = 0, p(k;v(k))Ur =0, k = 0,1,2,...,M.
(9)
Теорема 4. Система (8), (9) при малых г однозначно разрешима в пространстве 7(0, (: ).
Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо изменить нумерацию в соотношениях (8), (9) по закону I = М — к, к = М,М — 1,..., 1,0 и использовать утверждение теоремы 1. Если изменим нумерацию в соответствии с указанным законом, получим изменение индекса I от 0 до М, что приводит к новой дифференциально-разностной системе:
г
- - [Ж/ -1; v(/ -1)) - Ж/; v(/))] - Г а« Ф(/;''(/))| + Ъ{х)р{1- v(/)) = г ах у ах J
= X/; v(l)) - ^ (/), l = 1,2,..., M,
p(0;v(0)) = 0, р(/;у(/))1хсдГ= 0, / = 1,2,...,M,
относительно функций p(l,v(l)) (/ = \,2,...,M). Нетрудно заметить, что для полученной дифференциально-разностной системы имеет место утверждение теоремы 1, что завершает доказательство.
Теорема 5. При условии выполнения утверждения теоремы 2 оптимальное управление v* е ¿Уэ характеризуется следующими соотношениями:
1
d
(
dy(k; у' (k)) dx
— [ y(k +1; v (k +1)) - 2 y(k; v (k)) + y(k -1; v (k -1))]- — a(x) r o^ ^ j
= / (k) + £ v(k )¿'( x - jh), k = 1,2..., M -1,
j=i
1 [ p (k +1; у* (k +1)) - 2 p(k; у* (k)) + p(k -1; у * (k -1))] - d f a( x) dp(k; у (k)) ^
r
dx
V
dx
J
= y(k;у*(k)), k = 1,2,...,M-1,
+ ¿ = 0,1,...,M,
j=i
для любого у(k) , k = 0,1,...,M. Здесь:
y(0;v (0)) = Иx), y(1;v*(1)) = ^(x), y(k;v (k))U =0, k = 0,1,2,...,M,
p(M;v (M)) = p(M- 1;v(M-1)) = 0, p(k;v (k)) U =0, k = 0,1,2,...,M.
(10)
(11)
(12)
Доказательство. Несколько изменим представления неравенств
{у{к-Мк))-^{к\у{к-Лк))-Л^Мт + (ЩкМк)^0,
(13)
которые являются необходимым условием существования inf Y(v), где v = {v(k), к = 1,2,..., M} [4, 12]. В соответствии со следующими соотношениями:
1 M-1
— В Р(к +1; u (к +1)) - Р(к; U (к))][ y (к; v(k)) - y (к; u (к ))] =
Ъ к=0
M
= -£{[y(k; у^)) - y(k; u(k))] - [y(k -1; у^ -1)) - y (k -1; u(k -1))]} p(k; u(k)),
r k=1
M-l M
u{k)\y{k- v(k)) - y{k- U{k))) = £¿(X¿; v(k)) -y{k- и{k)\p{k- u{k))\
k=0
k=1
получаем равенства (как и выше к = 1,2,..., М ):
М-1
^ (у{К т) - Wo да,Уда v(k)) - У(k; u (k)) ) =
k=0
М
М-1
=ЕЕр> (k; u (ь ))(^. (k) - щ (k )) =
(k; и^))(^ (k) - и. (k)),
k=1 ге/
k=0 ге/
где использованы соотношения р.. ^; и (k)) = р^; и (k)) | ¡- , ^ е 3 (Г), исходя из условий (2), а
также равенства нулю выражений у (0; V (0)) — у (0; и (0)) и р(М; и (М)) в соответствии с краевыми условиями (5). Последнее означает, что для любых k = 0,1,..., М — 1 справедливы равенства
Ер, да ида)^. да - и да) = Е>г да и да)^. да - и да),
ге/ ге/
и неравенство (10) принимает вид:
Ер,(кМк))(у,(к)-1ф)) + (Ыи{кЫк)-и{к)) > 0, k = 0,1,..., М,
а неравенство (14) преобразуется к виду:
-ЕЕ (k; и(k))(v (k) - и. (k)) + Жи^),V(k) - и(k))„ ] > 0 Vv(k) е ид,
k = 0,1,..., М,
k=0 ге/
при этом у (0; V(0)) - у (0; и(0)) = 0 и р(М; и(М)) = 0.
Утверждение теоремы 5 задает алгоритм получения оптимального управляющего воздействия V* = да, k = 1,2,...,М} и состояний у(k;v"(k)), р(^И(k)), £ = 1,2,...,М для систем (2), (6) и (8), (9), соответственно.
Алгоритм получения оптимального управляющего воздействия применительно к задаче гашения пульсаций в магистральной трубопроводной системе включает в себя следующие действия:
1-й шаг. Дисретизация временного отрезка точками деления с шагом т , количество точек деления, определяемое заданием числа М, зависит от заданной устанавливаемой точности вычислений.
2-й шаг. Задание исходных данных и(k), к = 1,2,...,М для функций внешних воздействий во внутренних узлах ^ ( ^ = 1,3 -1) трубопроводной системы.
3-й шаг. Задание исходных данных g^( ] = 1,3 ) - импульсных потоков пульсовых гасителей.
4-й шаг. Задание функции а (х), определяющей волновые свойства колеблющейся среды, транспортируемой по трубопроводу, и функций /^), k = 1,2,...,М, описывающих внешнее воздействие на среду, транспортируемую по трубопроводу.
5-й шаг. Задание матрицы N стабилизирующего оператора (в большинстве случаев прикладного характера достаточно считать матрицу Ж единичной).
6-й шаг. Формирование системы (10)—(12) и построение для нее конечно-разностного аналога - аппроксимационной алгебраической системы.
7-й шаг. Решение аппроксимационной алгебраической системы относительно функций y(k) и v(k) (здесь к = 1,2,...,M ).
Замечание. Следует отметить, что решение аппроксимационной алгебраической системы (шаг 7) является отдельной достаточно сложной задачей, т. к. эта система содержит неравенство (12). Однако, в случае совпадения множества Ug с пространством U и при нетривиальности
матрицы N (случай, часто встречающийся на практике), неравенство (12) становится равенством и аппроксимационная алгебраическая система решается стандартными приемами численных методов.
Выводы. Предложенный способ решения задачи оптимального точечного управления пульсовыми компенсаторами позволяет проанализировать нежелательные колебательные явления (пульсации), имеющие место на выходе из мощных компрессорных установок, создающих высокое давление в носителе сплошной среды. Исследования в этом направлении позволят повысить надежность эксплуатации компрессорных установок и газогидроносителей. Представленные результаты явились отражением естественной потребности перехода к анализу пульсовых явлений эволюционных сетеподобных неравновесных волновых процессов [8-12]. Результаты могут быть применимы в изучении обратных задач восстановления параметров волновых явлений динамических систем [13], а также результаты работы применимы в рамках нефтегазового инжиниринга к исследованию вопросов стабилизации и параметрической оптимизации процессов транспортировки жидких сред по пространственным сетям.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Artemov M.A., Baranovskii E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network // Journal of Physics. Conference Series. 2019. vol. 1203. Article ID 012094. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.1088/1742-6596/ 1203/1/012094 (дата обращения 25.06.2022).
2. Baranovskii E.S., Provotorov V.V., Artemov M.A., Zhabko A.P. Non-isothermal creeping flows in a pipeline network: existence results // Symmetry. 2021. vol. 13. Article ID 1300. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.3390/sym13071300 (дата обращения 28.06.2022).
3. Провоторов В.В. Метод моментов в задаче гашения колебаний дифференциальной системы на графе // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2010. № 2. С. 60-69.
4. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Balaban O.R. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019. vol. 15. iss. 2. P. 187-198. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203 (дата обращения 02.07.2022).
5. Волкова А.С., Гнилицкая Ю.А., Провоторов В.В. О разрешимости краевых задач для уравнений параболического и гиперболического типов на геометрическом графе // Системы управления и информационные технологии. 2013. Т. 51. № 1. С. 11-15.
6. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Shindyapin A.I. Optimal control of a differential-difference parabolic system with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2021. vol. 17. iss. 4. P. 433-448. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2021.411 (дата обращения 03.07.2022).
7. Подвальный С.Л., Провоторов В.В. Определение стартовой функции в задаче наблюдения параболической системы с распределенными параметрами на графе // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2014. Т. 10. № 6. С. 29-35.
8. Провоторов В.В. К вопросу построения граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы «мачта-растяжки» // Системы управления и информационные технологии. 2008. Т. 32. № 2.2. С. 293-297.
9. Provotorov V.V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph // Mathematics. 2008. vol. 199. № 10. P. 1523.
10. Провоторов В.В. Моделирование колебательных процессов системы «мачта-растяжки» // Системы управления и информационные технологии. 2008. № 1.2 (31). С. 272-277.
11. Провоторов В.В. Математическое моделирование колебательных процессов поддерживающих растяжек упругой мачты // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Системный анализ и информационные технологии. 2006. № 2. С. 28-35.
12. Провоторов В.В. Построение граничных управлений в задаче о гашении колебаний системы из m струн // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2012. № 1. С. 60-69.
13. Zhabko A P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. vol. 15. iss. 3. P. 322-335. [Электронный ресурс]. Режим доступа: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303 (дата обращения 07.07.2022).
REFERENCES
1. Artemov M.A., Baranovskii E.S., Zhabko A.P., Provotorov V.V. On a 3D model of non-isothermal flows in a pipeline network // Journal of Physics. Conference Series. 2019. vol. 1203. Article ID 012094. fElektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.1088/1742-6596/ 1203/1/012094 (data obrascheniya 25.06.2022).
2. Baranovskii E.S., Provotorov V.V., Artemov M.A., Zhabko A.P. Non-isothermal creeping flows in a pipeline network: existence results // Symmetry. 2021. vol. 13. Article ID 1300. fElektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.3390/sym13071300 (data obrascheniya 28.06.2022).
3. Provotorov V.V. Metod momentov v zadache gasheniya kolebanij differencial'noj sistemy na grafe // Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Processy upravleniya. 2010. № 2. pp. 60-69.
4. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Balaban O.R. Stabilization of weak solutions of parabolic systems with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2019. vol. 15. iss. 2. pp. 187-198. fElektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.203 (data obrascheniya 02.07.2022).
5. Volkova A.S., Gnilickaya Yu.A., Provotorov V.V. O razreshimosti kraevyh zadach dlya uravnenij parabolicheskogo i giperbolicheskogo tipov na geometricheskom grafe // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2013. T. 51. № 1. pp. 11-15.
6. Zhabko A.P., Provotorov V.V., Shindyapin A.I. Optimal control of a differential-difference parabolic system with distributed parameters on the graph // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes. 2021. vol. 17. iss. 4. pp. 433-448. fElektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.21638/11701/spbu10.2021.411 (data obrascheniya 03.07.2022).
7. Podval'nyj S.L., Provotorov V.V. Opredelenie startovoj funkcii v zadache nablyudeniya parabolicheskoj sistemy s raspredelennymi parametrami na grafe // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta. 2014. T. 10. № 6. pp. 29-35.
8. Provotorov V.V. K voprosu postroeniya granichnyh upravlenij v zadache o gashenii kolebanij sistemy «machta-rastyazhki» // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2008. T. 32. № 2.2. pp. 293-297.
9. Provotorov V.V. Eigenfunctions of the Sturm-Liouville problem on astar graph // Mathematics. 2008. vol. 199. № 10. P. 1523.
10. Provotorov V.V. Modelirovanie kolebatel'nyh processov sistemy «machta-rastyazhki» // Sistemy upravleniya i informacionnye tehnologii. 2008. № 1.2 (31). pp. 272-277.
11. Provotorov V.V. Matematicheskoe modelirovanie kolebatel'nyh processov podderzhivayuschih rastyazhek uprugoj machty // Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Sistemnyj analiz i informacionnye tehnologii. 2006. № 2. pp. 28-35.
12. Provotorov V.V. Postroenie granichnyh upravlenij v zadache o gashenii kolebanij sistemy iz m strun // Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10: Prikladnaya matematika. Informatika. Processy upravleniya. 2012. № 1. pp. 60-69.
13. Zhabko A P., Nurtazina K.B., Provotorov V.V. About one approach to solving the inverse problem for parabolic equation // Vestnik of Saint Petersburg University. Applied mathematics. Computer science. Control processes. 2019. vol. 15. iss. 3. pp. 322-335. ['Elektronnyj resurs]. Rezhim dostupa: https://doi.org/10.21638/11702/spbu10.2019.303 (data obrascheniya 07.07.2022).
© Провоторов В В., Иванов А.В., Балабан О.Р., 2022
UDK 519.633.6 GRNTI 27.41.19
optimal control of pulse compensators WHEN DAMPING WAVE phenomena in the pipeline system
V.V. PROVOTOROV, Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor A.V. IVANOV, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor O.R. BALABAN, Candidate of Technical Sciences
The problem of optimal control of pulse compensators that counteract oscillatory phenomena in a continuous medium during transportation via network gas-hydraulic carriers in the framework of oil and gas engineering is considered. An approach is presented that takes into account the change in the characteristics of vibrations in the fragments of the pipeline system over time. The problem of optimal point control is formulated and solved, for which control actions affect the oscillatory process in the dampers concentration places. An algorithm for obtaining the optimal control action in relation to the problem of damping pulsations in the main pipeline system has been developed.
Keywords: pipeline oscillations, transportation of pulsating oil and gas flow, differential-difference equation, network gas-hydraulic carriers, pulse compensators.
