ТИПОВЫЕ РАЗНОСТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЛАСТИ В БИОРТОГОНАЛЬНЫХ БАЗИСАХ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.391

Типовые разностные операторы в спектральной области в биортогональных базисах

В.В. Рыбин

Аннотация

В работе проведено исследование свойств различных типовых разностных операторов на базе спектрального метода описания и анализа линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления [2-4]. Результатом такого исследования являются общие свойства ДНПФ типовых разностных операторов, операторов l -х и начальных значений, которые определены в биортонормированных базисах [5].

Ключевые слова

биортогональный базис; нестационарные системы автоматического управления; спектральная форма математического описания.

Будем рассматривать два пространства сигналов с операциями покомпонентного сложения и умножения на скаляры. Пространство всех суммируемых с квадратом

последовательностей на множестве целых чисел

12 ( ) = = ( )z eC є Σ

z z n

M

1

< +Ю

n Z e

n Z

N

с скалярным умножением

( z, w) = Σ *( )

e k Z

z(k )w k

и определяемой им нормой

z k Z

( ) 1

z k

2

2

L -мерное векторное пространство над полем C

( ) { ( ) ( - ) £ £ - 1,

= = }

Zo, Z\^K,L 1

z z L 1) : z( j) Є C,0

(0), z(1),K, (

где Z= [0, L - 1] , с скалярным умножением

l

z

z

L

w (z, )

и определяемой им нормой

Σ-

1 * k

k z(k )w ( )

0

1

2

Σ

z = k=0 z k .

( )

Известно [1], что выходная переменная дискретной системы определяется через её ИПФ и входное воздействие следующим образом:

( ) = ( ) . k (l,m)g m

Σ+-

X l

m=-ro

Для односторонних функций

X+(l ) = X(l) ■1(l), g+(l ) = g(l) ■1(l), где

l = Ii 1, l > 0,

1( )

l 0, l < 0,

на дискретном отрезке [0, L - 1] формула (1) примет вид:

x+l

( )

Σ

(A m)g+( )

l= Σ

l .

(l,m)g(l) = x( )

k

m=0

Рассмотрим ИПФ

k

L-1

L-1

m=0

k (l m s l m )

)(

- = V,5 - ,

где V оператор восходящей разности

V x(l) = x(l) - x(l -1) ,

а

i 0, l Ф 0,

( ) = V ı1(l) | l δ l = '

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

l = 0

- дискретная дельта-функция. Покажем, что дискретная система с ИПФ (5) осуществляет s -кратное взятие разности от входного воздействия при нулевых начальных условиях

Положим s

L 1

Σ V/δ (l -

m=0

Vvx= VvJ = ν = n - . (8)

0 l ( )l=-1 0; 0,1,..., 1

= 1. Так как

m) = (0)δ (/) +1(/ -Vg - g L - δ - ,

g( m g -1) l L

)

l (/) ( 1) ( )

а

V+ = V g l ) g ■ g l ,

Я ( = V

( ) ' (l) ·1( ) (0)δ (l) +1(l-1)l ( )

то для l Є [0, L - 1] находим

Σ-

V 1 δ

g l = V (l -

+()

m .

m=0 l

m) g( )

Следовательно, дискретная система с ИПФ

k l m l m

( ) ( )

- = V δ - осуществляет

вычисление первой разности от дискретной односторонней функции g+(l ) на конечном

g = g = .

дискретном интервале времени при нулевом начальном условии 0 (-1) 0

В спектральной области соотношение (9) в биортогональном базисе [5] примет вид

1 Г 1

[V P (L, L) S [ ]l) I ,

g(l)] I =

Г

I S

(10)

ψ Ψ*

l

где

J

* I* (i,L, )

*ψ

Σ

J

V)hL,,(

P = L + ψ* V l

Ψ^,ί^,Ε) vv(h,i,L, ) (h,L,l) ψ(ίΑ )

l=1 *

l *

ДНПФ разностного звена первого рода первого порядка, а ν (h,i, L, L) =ψ *(h, Α0)ψ(/, L,0)

ψ ψ** *

ДНПФ начальных значений [2,4].

ДНПФ начальных значений можно записать в виде: ν (h,i, L, L) = Δ(^ L) Δ+i L) ,

ψ ψ* ψ ψ

* * * *

(11)

(12)

1

Σ

*

ψ* *

ψ* *

Δ L = Δ L = δ * l - НСХ дискретной дельта-функции.

где q (h ) **0(i, ) , =0 (l ) q(i, L, )

Рассмотрим теперь случай вычисления первой разности от односторонней функции

g+(l) при ненулевом начальном условии g= g (-1) в спектральной области. Этот случай равносилен вычислению первой разности от функции g (l) . Рассмотрим сначала пример

вычисления первой разности от функций g(l) и g+(l) , если g(l) = l . Имеем:

V

V,+ = ■ V , (14)

g (l) g (0) δ (l) + 1(l - 'g(l) = 1(l-1)

1)

т.е. на отрезке [0, L -1] в момент времени I = 0 первые разности (13) и (14) отличаются друг

от друга. Если мы хотим осуществить вычисление первой разности от односторонней

функции g+(/) , но такое чтобы оно совпало с вычислением первой разности от g (/ ) , то надо

учесть начальное условие для g+(l) равное значению функции g(l) в точке l = -1. Учет

начального условия можно осуществить следующим образом. Первую разность от g+(l )

можно записать и в виде:

Vn- = V g l

■ l = g(l - V l +1(l) g l =

■V

( ) l (g(l) 1( )) 1)1( ) = δl ( )

= g l ■ V = ■ δ

(l - 1) ■ δ (/) + 1( ) lg(l) g 0 l lg l

(l) + 1( ) ( )

В спектральной области равенство (15) примет вид:

V

Г

Ί

Г

S [ ■ g l Ί

[V g (l)] I J =go ■ Δ(Ζ) S 1 V ]|J

(15)

(16)

I L ll

ψ (‘L, )

|L 1( ) l ( )

ψ l

(‘L, )

где [ V (l)] - НСХ первой разности от двусторонней функции S 1(l)lg

l

(‘L, )

g(l) или, что тоже

+

ψ

самое, НСХ от первой разности функции g+(l) при начальном условии g= g(-1) . Поэтому, из сравнения (9) и (15), (10) и (16), будем иметь

■ V L 1 δ,

Σ-δ

g l g(l) = V (l - m)

(0 = 1( ) g( m - g l

)

+ l m=0 l 0 ( )

Г Ί Г Ί

I S [ ]/I = 1 [ ] I + .

P (L, L) S l g L

ψ φ* I ,; ) i

L ^ ( ) I * * (i,L 0 ψ Δ( )

ψ J ψ

L

(17)

(18)

*

Рассмотрим теперь систему с ИПФ

k (l - l m . (19)

m) = 1(l ( )

-1) ·νδ -

Система с ИПФ (19) осуществляет вычисление первой разности от функции g+(l) в

предположении, что начальное значение g+(0) = g(0) совпадает с начальным условием

go= g (-1) . Действительно, умножая левую и правую части соотношения (9) на получим

δ

1(l -1) ,

m=0

V - m)g(m) = 1(i-1) g l

ΣΚ' -1) (l

l ' ( )

В спектральной области равенство (20) примет вид:

где

P·

[

L ■ S g m

ψ φ (L ) (L )

, )

ψ

(hL, )

S - V l 1(l 1)g ( )

Σ-

= 3

ψ *

V Φ

P'

L

L

φ (h, i, L, ) ψ ф-(к, i, L, ) l= * (h, L, ) l (i, L, )

* * * * 1

[

< >

]

]

< >

l

l

(20)

(21)

- ДНПФ разностного звена первого порядка второго рода, а

ψ S , i(l-1)VS(0] - НСХ от

[

функции x(i) = 1(/ -1)Vg (/) , которая совпадает с первой разностью от g(/) для

/ = 1,2,K, L - 1 и равна нулю при / = 0 , что равносильно вычислению первой разности при условии равенства начального условия g= g(-1) и начального значения g(0) .

Подставляя (20) в (9), найдем соотношение

-1 -1

Σ δ m) =

Σ V (/ - g( m g

/ + Σ / δ

Σ -1)V -

)

m=0 /

(0)δ ( )m=01(

которое в спектральной области примет вид:

/ m m

1 ( )g( )

P (L, L)G(L) = P<ı> L .

ψ Φ * ψ ψ Φ* (L L) G(L) + g(0) Δ( )

(23)

(24)

ψ ψ * *

Обозначим НСХ от 1(/ )Vg (/) = g.' через G(L) . Тогда выражения (17) и (18) для g. и

ψ

*

G(L) , с учетом (23) и (24), запишем в виде:

ψ

*

L 1

g I

( )

+

=0

< >

I

Σ1(/-1)δ (

V -

m g m)g( )

+ V

+ V

ı

(0) δ ()

G (L) P- L g L .

ψ ψ Φ* (L, L) G( ) (0) Δ( )

ψ

* * * *

ψ

*

(25)

(26)

где V(0) = V ( ) .

g/=0

Формулы (25) и (26) позволяют определить первую разность и её НСХ от двусторонней функции g (/) по ИПФ и её ДНПФ разностного звена первого порядка второго рода.

Рассмотрим теперь функцию

I = g. I ,

g,( ) (0 - g(0) ·δ ( )

которая в спектральной области примет вид:

G(L) = G( ) - L .

L g

(0)

Δ( )

ψ ψ ψ

* * *

Перепишем выражение (24) в виде:

ν <0>(L, L) = L .

G( ) L g (0) Δ( )

ψ φ* ψ ψ

* *

(27)

(28)

Подставляя выражение G(L) из (28), при условии g (0) = 0 , в (30), получаем

ψ

*

ν <0> L = Θ

ψ ф* (L,L) α( )

ψ

*

(30)

т.е. матрица ДНПФ начальных значений (12) является левосторонним нуль-делителем для

всех НСХ дискретных одномерных функций с нулевым начальным значением Примером таких функций являются односторонние обобщенные степени 1+и.

g (0) = 0 .

Положим теперь в (29) G(L) = Δ^) . В этом случае g(0) = 1 . Следовательно

ψ ψ * *

ν <0> L ,

(L, L) Δ(L) = Δ( )

(31)

ψ φ*

* *

ψ

*

т.е. матрица ДНПФ начальных значений есть левосторонний тождественный оператор для НСХ от дискретной дельта-функции (7).

Из (29) и (31) также находим:

ν <0> L ν

L =ν

L .

(32)

φ (а ) φ (а ) φ l )

= [ ] = -1

Положим теперь в (29) G(L) S ) P L

ψ* ** i (L, L) Δ( )

где

ψ ψ * *

ψ

*

P-

L

I * (h, /·, L, )

Σψ * i Σ φ*

m

l=0 *

φ

* *

(h, L, ) (/, L, )

- ДНПФ суммирующего звена первого порядка [2-4]. Тогда, учитывая что будем иметь:

ν <0>(L, L) P-ι

ψ φ* ψ φ * * * * *

L

(L, L) Δ( L) = Δ( )

(33)

g(0) = 1 (0)=1,

(34)

ψ ψ * *

ν <°>(L, L) p -ΐ L - левосторонний тождественный оператор для НСХ

т.е. матрица ДНПФ ψ φ *

Δ^) . Кроме того

Σ

ν <*0>

L P·

ψφ (L, )

L =ψ

ς ς

ψ *

=0ψ φ (h,a , L, )φ * (α L, ) * (h, L,0)l=

φ

(α , L, l) φ (α , L,0)

Σ φ

(α , L, )

l =

= ψ (h,

* L,0)

* *

L-1 l

Σ Σ (i) φ

m= *

0

l =

ψ *

= ν <0>

L , т.е.

l=0 m 0 (α , L, ) * (h, Α0)φ (α , Α0)ψ * (h, /, L, )

* φ

ν <0>

L P

L =ν <0> L .

ψ φ' (L, ) φ * (L ) ψ φ' (L )

(35)

ψ

*

<0>

* *

* *

* *

-1

m= *0

* *

ψ

*

-1

-1 -1

*

α =0 *

*

* *

0

*

* *

* *

Следовательно, матрица ДНПФ суммирующего звена играет роль правосторонней единицы для матрицы ДНПФ начальных значений ν <0>(L, L) , а она сама - левосторонний

ψ ψ*

* *

нуль-делитель для матрицы P -i(L, L) - E и P -i(L, L) - E - правосторонний нуль-делитель

ψ ψ* ψ ψ*

* * * *

для матрицы ν <o>L

(L, ) .

ψ ψ*

* *

Аналогично показывается:

ν <0> L = ν <0>

φ* (L, L) P (L, ) ψ* φ* L ; (36)

φ * ψ φ * (L, )

P-1 L ν <o> L ν * L , (37)

= Σ Δ

φ * (A ) ψ φ' ( A ) m=0 ψ*m (L) ■ Δ+( )

φ * φ *

где *

1

Σ

Δ L = δ (l - * l

ψ m (h, ) l=0 ™)ψ (h, L, ) (38)

*

НСХ смещенной дискретной дельта-функции в базисе разложения [2-4, 5].

L-1

где

Σ δ

P L P' L E

* (L, ) (L )

ψ φ

* *

ψ φ* * *

L ; (L) ■ Δ+( )

m=0 ψ φ*

P-'(L, L) P (L, L) = P (L, L) P-i(L, L) = E ;

ψ φ* ψ φ* ψ φ* ψ φ *

= -ν < >

ДНПФ звена чистого запаздывания на один такт [2-4]. Используя соотношение связи P τ

(L, L) = E - -'l

(L, )

ψ φ* ψ φ* * * * *

и свойства (30), (37)-(43), можно вывести следующие связи:

(39)

(40)

P1 L P1 L E 0 L ; (41)

ψ * (L, ) ψ * (L, ) ψ φ * (L, )

φ φ * *

* * * *

ν < > τ - Θ

0(Α L)i L 5 (42)

ψ φ* ψ * (L, )

* * φ

* *

τ -i L ν <0> L= Δ L ; (43)

ψ φ* ψ φ* ψ 1

* * (L, ) * * ( L , * (L) ■ Δ+( )

) φ *

*

1

Σ

τ -i L = ψ * * _ (44)

ψ * (h, i, L, ) /=1 * (h, L , l) Φ (i, L, l 1)

φ *

-1 < >

*

*

< >

*

ν < >

< >

Θ

0(L, L) P·

ψ Φ* ψ

* * φ

*

L

(L, )

ν < >

= - τ

ν < >

P'

L

L

L

L

(47)

φ* (L ) ψ φ* (L ) ;* (L ) ψ φ (L )

< > τ

P1 L = - -1 L = - Δ L , (48)

(L, L) Δ(Α ) (L, L) Δ(Α ) 1(L, )

ψ Φ* ψ ψ φ * ψ ψ

* * * * * * *

< > τ - = τ -

P1 L 1 L 1 L . (49)

ψ * (L, ) ψ φ (L, ) ψ * (L, L) P (L, )

Φ Φ ψ φ*

* * * *

Положим теперь 5 = 2 . Тогда для l = 0,1,K, L -1

Σ ν2δ (l - m)g (m) = g l + V i (0)V δ ( ) g

i (1)δ (i-1) +1(i - 2)

m=0

С другой стороны

V ( g+i )= V ( i + 1(i -1) ■ g i ) =

V g i

( )

(50)

2g+

11 i

(i) = V V

( )

V 2g i .

gV ( ) i (0)δ ( )

= g i + Vg

(0)V£ (1)δ (i - 1) + 1(i - 2) ( )

( )

Сравнивая (50) и (51), получим 1

(51)

Vg Σ-

i +( )= V 2,δ (i - m .

m=0 m) g( )

(52)

Следовательно, дискретная система с ИПФ

k(i m 2 i m )

)(

- = νδ -

осуществляет

вычисление второй разности от дискретной односторонней функции g+(i) на конечном дискретном интервале времени при нулевых начальных условиях:

g = g = , V g (-1) = 0 . 0 (-1) 0

В спектральной области соотношение (52) примет вид

S г п (L, Г1

[V2S(/)] = P· L S [ J D

(53)

'^)hL,,(ii

ψ φ* * * ψ

<Л L, )

где Ρφ2*ΐ^) - матрица ДНПФ разностного звена первого рода второго порядка.

ψ *

Учтем теперь начальные условия. Так как

0

0

* *

* *

* *

L 1

2

g

+ Vg δ l -Vigl ,

g

δ

то

І 0 І

0 (l ) +1( ) l ( )

® = 1(l) g l

gJ -V2

( ) l ( )

g ■V δ l - V g

δ

0 I ( ) 0

Σ-

l 1 -

+ V 2δ j

l m m

( ) m=0 l ( )g( )

Это равенство в спектральной области примет вид

(2) = 2

G (L) P L

ψ* ψ Г (L L) G( )

ψ

*

Vg Δ L - g P L

0ψ ( ) 0ψ f(L, L) Δ( )

ψ

*

(54)

(55)

[ (2) G L = S г п ] [ J

где G L

( )

S g+l , ( )

( )

l )

1

8

6

ψ l

(i,L, )

ψ l

(i,L, )

*

Рассмотрим теперь систему с ИПФ

к (I -

Легко видеть, что

2δ (l m . m) = 1(l - )

2) ■ V,-

L-1

ν2δ l - m) g(m) = 1(l - ■ V2g(l) .

Σΐ(1 - 2) ( 2)

m=0

В спектральной области равенство (58) примет вид:

[ - V

(58)

P2

ψ Ф' (L, )

L S g m

I s l

( ) II 1(l 2)l2g( )

m

* (i,L, )

J *(h,L, )

(59)

P2 L - матрица ДНПФ разностного звена второго порядка второго рода.

где ψ * (, L, )

Ф

* *

Преобразуем теперь равенство (50) в спектральную область. Учитывая (58) и (59),

получим:

P (L, L) G( )

ψ Ф* ψ

* * *

+

L + V

L .

L P(L, L) G( ) L g (0) P (L, L) Δ( ) g (1)τ -1(L, L) Δ( )

ψ Ф*

* *

ψ Ф*

* *

ψ

*

Подставляя (46) в (56), находим

(2)

G (L) P

+

ψ Ф*

* *

Δ + L

(L, L) G(L) ( g(0) g ( 1)) P (L, L) ( )

(60)

+ (Vg(1) τ -1 L - Vg L .

ψ* у (L, ) (-ВД Δ( )

(61)

Соотношение (60) показьвает, что действие операторови V:2> на функцию g (l) эквивалентно при условии равенства нулю начальных значений, т.е. g (0) = 0 , Vg(1) = 0 Запишем теперь соотношение (60) в виде:

P (L, )

L P2

L + V L . (L, L) G(L) = g(0) P (L, L) Δ( ) g (1) Δ ( )

ψ Ф*

ψ Ф*

ψ Ф *

ψ

*

*

[

< >

]

]

l

ψ

ψ

*

< >

2

>

ψ

ψ

*

*

<2>

ψ

ψ Ф* ψ ψ Ф* ψ

*

* *

*

ψ

*

2

< >

ψ

ψ

* V, * * X

Так как i

II V <0> + <1

>

*(L, ) V* (L, L P *L

) (L, )

ψ φ ψ φ ψ φ

* * *V <1 * *

= ν <0> + > ν <0>

* (L, L P *L *L

) (L, ) (L, )

ψ φ ψ φ ψ φ

* * * ψ

*

Y X

V <0> + <1 V

J > V

V* L P *L

(L, ) (L, )

ψ +

* *

ψ φ φ1 X

X V * <1>2

+ν <0> * 5 (63)

<

>

L P * L P *L

(L, ) (L, ) (L, )

ψ φ ψ φ ψ φ

то

(

(L,L P (L, L) Lg (0) L + gP LP

) G( ) Δ(

)

I I (0) (L, L) Δ( )

L

ψ φ*

* *

ψ φ*

І * * f

\* * J

Учитывая, что

ψ φ*

* *

ψ φ*

* *

(L, L) G( )

ψ

*

P (L, L) = < > L

Δ( ) L P1

ψ* Ψ φ'(L, L) Δ(L) + Δ( )

ψ φ*

* *

или, что, то же самое,

ψ ψ * *

< > τ

P1 L = - -1 L = - Δ L

(L, L) Δ( ) (L, L) Δ( ) 1 ( )

ψ φ*

* *

ψ φ*

* *

выражение (64) запишем в виде:

f ^

I 2 - < > I = Δ -

P (L, ) L P2(L, L) G( ) L g (0) L g

( )

I ψ φ * ψ φ* I ψ

* *

\ * * J *

+ <1> _______________ < >

ψ

*

ψ

*

Δ + L

(0) ( )

P (L,

ψ φ* L)G( )

L P2 L

ψ f(L L) G( )

ψ

*

Из (62) и (67) находим

где

f

I <1> 2 - < >

P (L, L P2 L

) (L, L) G( )

I ψ φ * ψ φ* I ψ

* *

\* * f J *

= I ν <1> L - τ - L ν <ο>

L = V g

I ψ φ*

\* *

(L, ) ( L, ) (L, L) G( )

ψ φ* ψ φ* I ψ

* * * *

J *

ν <1> L =ψ * .

ψ φ (h,i, L, ) * (Κ Lι) Φ (i, L,ı)

L

(1) δ ( )

1

ДНПФ первого значения, а

μ <1>(L, L) = ν <1> L - τ

(L, )

L ν <ο> L 1 (L, ) (L, )

ψ

φ

ψ φ*

* *

ψ φ*

* *

ψ φ*

* *

>

ψ

ψ

*

*

*

ψ

*

ψ

*

2

ψ

*

ψ

*

*

(65)

(66)

(67)

(68)

- матрица ДНПФ приращения первого значения. Тогда (68) примет вид:

μ L = V L . (70)

(L, L) G( ) g (1) Δ ( )

<1>

ψ φ* ψ ψ1

* * * *

Из (70) можно вывести следующие равенства:

μ <1>(L, L) ^(L) = Δ1( L) , (71)

ψ φ*ψ ψ

* * * *

μ L μ L μ L , (72)

(L, ) (L, L) Δ1( ) =<1> (L, L) Δ,( )

<1> <1> ψ ψ φ * ψ

* * * *

ψ φ * ψ φ*

μ L P -2 L

<ι> (L, ) * ! (L, L) Δ,( )

ψ φ ψ

ψ φ * * * *

* *

μ L.

=<ι> (L, L) Δ,( )

ψ φ *

* *

ψ

*

Кроме того можно показать, что

μ <ı>kL = μ i L , (74)

(L, ) <· > (L, )

ψ ψ*

ψ Φ * *

* *

V <1>kL = ν i L , (75)

(L, ) < >

ψ ψ· ψ Φ* (Α )

* *

Формулы для вычисления ДНПФ начальных значений (12) и ДНПФ первого значения (69) можно обобщить. Введем ИПФ звенаp -го значения, которое вычисляет функцию отличную от нуля в одной p - той точке отрезка [0,L -1] :

k(l - m)= δ l - ρ)δ ( p - m (76)

(

)

Тогда ДНПФ звена p -го значения примет вид:

ν < p> L = ψ * p. (77)

ψ * (h, i, L, ) * (h, L,p) Φ (i, L, )

ψ *

* *

Рассмотрим теперь случай произвольного s . Но сначала определим обобщенный разностный оператор V <п^>,который отличается от разностного оператор fflrV после вычисления s -кратной разности от функции g(l ), l Є Z , он преобразует полученный результат в одностороннюю функцию, которая равна нулю для всех l < n и совпадает с Vsg(l) для l > n , т.е.

V <n,s>g(l) = 1(l - n) V sg (l) .

Если в степени оператор<пДП= s , то будем писать>/й£.

V<s>g l = V <s>g l .

( ) s (l) = 1(l - s)V,sg( )

Результат действия одного обобщенного разностного оператора разностный оператор^>^) записывается так

V <n,s> *V <k,s>= V <n,s>< k,s .

(77)

(78)

V <n,s>g(l) на другой

(79)

>

Обобщим формулу (15) на случай s -кратного вычисления разности, получим:

V

Σ- - -

g l = V kg(k ) ■ V s k ı

δ

+() (l k

k l

Учитывая, что

- ■ Vs g l l s

) l

+

1(

)

s 1

s

0

(80)

Σ

( )

V sgl = V sδ l -

l +( ) m=0 l (

m , m)g ( )

(81)

Σ

1(l - s) -V.g = 1 l - s) -Vsd l - m ,

l + ( ) m=oi( l ( m) g( )

соотношение (80) в спектральной области запишем в виде:

s-1

II + < >

M

<

?r

1

1

P L g(k) Pk 1 L P‘ L ,

(L, L) G( ) (L, L) ΔΧ ) (L, L) G( )

ψ Φ* ψ k=0 ψ Φ * ψ ψ φ * ψ

* * * * * * * * *

Δ δ (l - k .

где ψ k-L) - НСХ смещенной дельта-функции )

С другой стороны,sgV) можно записать и так

(83)

Vg l

Σ-

δ

s k 1

l ■ sg l, V

(84)

= V kg-V

l +( ) k=0 0 l (l) +1( ) l ( )

где Vlsg(l) - s -кратная разность от функции g(l ) , которая рассматривается как

двусторонняя.

Учитывая (81), выражение (84) в спектральной области запишем в виде:

Σ1

Г

Ί

s = V к- - - Δ + V

P L g Pk 1 L S

(L, L) G( ) 0* (L, L)k( ) , , 1(l)sg( )

l.

ψ φ* ψ

* * *

ψ Φ

* *

Г0 Ί

X (L) = S [ V

[ l ]l

Пусть

1(l) g( )

ψ l

(i,L, )

+

Σ

s k 1

X (L) p

LP

(L, L)G( )

ψ ψ φ *

* * *

(L, )

ψ Φ*

k=0 * * 1

Σ

, l

* (i,L, )

(85)

тогда из выражений (85) и (83) найдем:

(

Vk τ

L l g k

V k l

l Δ

L g 0 k L

( ) (L, )

^ ψ* Φ*

J

( )

(86)

X (L) p

(L, L) G( )

- V ■

L kg Pk 1 L

Δ

(L, L) ( )

ψ ψ Φ*

* * *

ψ k=0

ψ Φ*

* *

s 1

[

]

ψ

*

*

<s>

k

ψ

ψ

*

*

s

0

ψ

*

Так как

5 1

Σ

( (

I - I

■А

I I

V

g(k) Р-к 1 (L L) Δ ( )

ψ к

L = Σ Σ (-! г τ - L ν

Ь Ь ) Ci (L, )

ψ φ*

k=0

I

V j=1 V i=0

i

- ψ

φ

* *

<j-ı> L

(L, L) G( )

* I ψ

J * * J *

то из (83) находим:

P (L, L) P (L L

( ^

) - j τ - ( 5 ) I ν ( 5 ) 5

=Σ Σ - i i ,,>

( 1)

I C- ψ φ* L L ψ φ* L L

ψ φ * ψ φ* * * * *

j=1 V i=0

J

(

P - -

где I *(L, L P )

ψ φ

V * *

(88)

ψ φ

* *

L (L, )

J

I - матрица ДНПФ суммы всех начальных значений функции g (l )

k

* *

*

- <->

* *

*

<->

до - -го порядка.

Равенство (88) позволяет уяснить разность действия ДНПФ разностного звена s -го порядка первого рода и ДНПФ разностного звена s -го порядка второго рода на НСХ функции g (l ) . Из формулы (88) видно, что действие этих двух операторов на функцию g (l)

одинаково, если начальные значения V ф ) = 0, k = 5 для функции g (Г) .

0,1,K, 1

Рассмотрим теперь действие разностного оператора V на -окіЄ р VTkgk) 1(

( )

Для этого запишем следующее равенство

( gГ )= g δ ----V + (89)

■ Г k k i g1 .

Г k

Vk

ig* 5

V,1(, - k )

■ V k,

( ) (k ) ( ) +1( 1) Г ( )

которое в спектральной области примет вид:

+ V

P (L, L) Pk L Рч

(L, L)G( )

L

(L, L) G( )

kg

ψ ф* ψ ф* * * * *

ψ ψ ф* * * *

L . (k ) Δ ( )

ψ k

(90)

Так как

V g L μ L,

k (k) Δ( ) =<k> (L, L) G( )

ψ ф·

* *

(91)

где

(

I

μ <k> = Σ α α τ ν α

(L, L) I - -α <k- > I

( 1) C

ψ ф ψ ф

* * * *

\α=0 J

ψ φ·

* *

(92)

матрица ДНПФ k -го начального значений)V1^. матрица выделяющая из НСХ G(L)

ψ

*

функции g(l) НСХ k -го начального значени^)^^) . Поэтому формулу (90) можно

ψ

*

записать в виде:

Р (L, L) Pk L Р

где k =

ψ ф* ψ ф* * * * *

(L, )

(L, )

= μ

L ψ ф

L (L, )

0,1,2,K и P<o>(L, L) = E .

ψ ф* * *

ψ ф* * *

Если в (91) положить G L = Δ k L , то будем иметь

( ) ( )

μ <k> L = Δ L

ψ φ· (L, L) Δ( ) ψk ( )

(93)

< >

< + >

*

Ψ

*

< >

< + >

< >

ψ

*

ψ

т.е.

μ <k>

Δ

ψ φ * L - левосторонний тождественный оператор для ψ k'L) Из (94) следует чт0

(L, )

μ <k>(L, L) μ <k>(L, -L) μ <k>(L, L) . (95)

ψ φ* ψ ф* ψ φ *

Умножим левую и правую части равенства (89) на функцию 1(1 -1) , получим

( - - V k )= k δ ---V +

V

1(/ -1) - V,1(/ k ) g l g l k l k k g 1 ( ) (k ) ( ) +1( 1) l ( )

В спектральной области (97) примет вид:

( ^

I < > < > — <+> I = V

P' L Pk L Pk1

(L, ) (L, )

I ψ φ. ψ φ* ψ φ*

V* * * *

* *

L

(L, L) G( )

I ψ

J *

kg L

(k) Δ ( )

Сравнивая (90) и (98), найдем

k

ψ

*

(98)

< > < >

P' L Pk

< + > = μ < >

L Рч L k L

φ L ) φ L ) φ l )

ψφ* (L,)

(99)

где k = 1,2,K.

Заметим, что матрицы ДНПФ разностного звена n -го порядка, разностного звена первого порядка второго рода и звена начальных значений связаны между собой соотношением

( n---1

p, --- <1>n = Σ <■>' I <0> . (100)

*(L, L P * L I P* L I * L

) ( L , ) * (L, ) (L, )

ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ

* * * * V i=0 * * J * *

Библиографический список.

1. Кузин Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления. . - М.: Машиностроение, 1962.

2. Солодовников В.В. и др. Расчет систем управления на ЦВМ. - М.: Машиностроение, 1979.

3. Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М., Наука, 1974.

4. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение

расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом: Учебное пособие. -М.: МАИ, 1984.

Рыбин В.В. Разработка пакета расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в биортогональных вейвлет-базисах // Электронный журнал “Труды МАИ”- 2009, № 33.

Сведения об авторах

Рыбин Владимир Васильевич, доцент Московского авиационного института (государственного технического университета), к.т.н.; 8-499-158-48-11; dep805@mai.ru