CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 36
www.mai.ru/science/trudy/
УДК 621.391
p -этапные дискретные ортонормированные и биортонормированные вейвлет-базисы в описании сигналов и линейных нестационарных дискретных систем управления на отрезке [0, l -1]
В.В. Рыбин
Аннотация
Для анализа и синтеза нестационарных непрерывных и, в общем случае, непрерывно-дискретных систем управления разработан спектральный метод расчета [1-4]. В последнее десятилетие в практике цифровой обработки сигналов нашли широкое применение вейвлет-преобразования [5, 6, 7-9] сходные с обычным преобразованием Фурье, но лучше описывающие локальные свойства функций в спектральной области. Применение вейвлетов для анализа линейных нестационарных систем управления в базисах вейвлетов рассмотрено в работах [10, 11-12]. В работах [11, 1] дискретные вейвлеты строятся путем дискретизации непрерывных вейвлетов. В работе [8] разработан алгоритм построения дискретного ортонормированного p -этапного вейвлет-базиса на отрезке [0, L -1].
В данной статье рассматриваются алгоритмы построения p -этапных дискретных ортонормированных и биортонормированных вейвлет-базисов и демонстрируется их реализация в пакете расширения MLSY_SM СКМ Mathcad [11, 12].
Ключевые слова
Биортогональный базис вейвлетов; p -этапного вейвлет-базис; нестационарные системы автоматического управления; спектральная форма математического описания, системы компьютерной математики.
1. Основные понятия и определения построения p -этапного дискретного вейвлет-базиса
Рассмотрим способ построения дискретных вейвлет-базисов, предложенный в работе М. Фрейзера [8]. В этом способе для построения дискретных вейвлет-базисов используются коэффициенты низкочастотных фильтров {hk }^=0, которые порождают аналогичные непрерывные вейвлет-базисы с компактным носителем [5].
Пусть 2Ъ = [0, Ь -1]. Будем рассматривать Ь -мерное векторное пространство над полем С
12(1ь) = { = (*0,Гь_1 } = {г(0),2(1),...,2(Ь -1)): ) е С,0 < ] < Ь -1} с обычным покомпонентным сложением и скалярным умножением
Ь-1
(М>) = £ 2(кК (к) (1)
к=0
с определяемой им нормой
Е|*(к)2 . (2)
к=0
Пусть г = ((0), 2(1),г(Ь -1)). Тогда для т, I е {0,1,., Ь -1} дискретное прямое и
обратное преобразование Фурье запишем в виде
1 - -- 1
I=0
Определим оператор сдвига Як на к тактов для п е 2Ь как
Ь-1 2я1т * ь-1 2я1т
€т) = Е 2(/)е™ , 2(1) = (€) = -= Е Ят)е1~
\Ь I=0 \Ь I=0
(3)
(Як2 }(п) = 2(п к), (4)
Гх - у, если х > у; где х у = ^
[Ь + х - у, если х < у.
Для 2, е 12 (2Ь ) свертку 2 * е 12 (2Ь ) запишем в виде
Ь-1
2 * ^(т) = Е 2(т ^ пум(п) . (5)
п=0
Предположим, что ^ е 12 (72М ). Тогда ^м^}^1 есть ортонормированное множество из М элементов тогда и только тогда, когда |т6(п)2 + |т€(п + М)|2 = 2 при п = 0,1,..., М -1. Ортонормированный базис 12 (2 2М ) вида
Кк^-1 ^{R2kv}мk:0;, (6)
для некоторых и, V е 12 (22М ) называется вейвлет-базисом первого этапа 12 (22М ), а и и V порождающими векторами вейвлет-базиса первого этапа.
Для п е 2 определим А(п) - систему матриц из и и V, равенством
(7)
А(п)=7Г
И(п) €(п)
и(п + М) €п + М )
Тогда система (6) есть ортонормированный базис 12 (2 2М ) тогда и только тогда, когда система матриц А(п) из и и V унитарная для каждого п = 0,1,к,М -1. Это эквивалентно условиям:
|и(п)|2 + |и(п+М )|2 = 2, (8)
|ед|2 + |«(п + М )|2 = 2 (9)
и
и€(п)€ (п) + £(п+М )€ (п + М) = 0 (10)
для всех п = 0,1,к,М -1.
Заметим, что вектор и часто называют термином "отцовский вейвлет", он содержит низкие частоты (низкочастотный фильтр), а V - термином "материнский вейвлет", он содержит высокие частоты (высокочастотный фильтр).
Если вектор и е 12 (22М ) такой, что {К^и}^1 есть ортонормированное множества из М элементов, а V е 12 (22М) определен равенством
v(k) = (-1) к-1 и * (1 к) (11)
для всех к. Тогда {К^и}}}-1 и {К^}}1 есть вейвлет-базис первого этапа пространства
12 (2 2М ).
Определим операцию отбрасывания компонент с нечетными индексами отображением В : 12 (22М ) 12 (М ), положив для г е 12 (22М )
В( г)(п) = г(2п) (12)
при п = 0,1, к,М -1, а операцию вставки нуля между двумя смежными значениями отображением и : 12 (2М ) — 12 (22М ), положив для г е
12 (2м )
Гг(п / 2), если п четно, и (г)(п) = ^ (13)
[0, если п нечетно.
Оператор В называют оператором сгущающей выборки или децимации, а и -оператором разряжающей выборки.
Тогда I -кратная композиция этих операторов определяется отображениями В1 :12 (2Ь ) — 12 2/2), и1 :12 2/2 ) — 12 2 ) и дается формулами
В1 (г)(п) = г(21п) (14)
и
, Г 2 (п / 21), если 21 делит п,
и (2)(п) = ] ' (15)
[0, если 2 не делит п.
Предположим, что Ь делится на 2р. Последовательность вейвлет-фильтров р -го этапа есть последовательность векторов и1,v1,и2,v2,...,ир,vp таких, что для каждого 1 = 1,2,3,.,р
и1, v1 е 12 (2Ь/21 ) и матрицы
А1(п) = Т2
и€(п) €(п) и [п+2]€ [п+Ь,
(16)
унитарны для всех п = 0,1,,...,(Ь /2 ) -1.
Если Ь делится на 21, то и1, v¡ е 12 (2Ь /21 -1) для 2 < 1 < р и 0 < п < -1 можно определить равенствами
21-1 -1 / г Л 21 -1 -1
и(п) = Е и11п+2=11 и ^(п) = Е V11п+2т |. (17)
к=0 V 2 У к=0 V 2 У
Здесь и1, v1, и2, ^^^^^,..., ир, vp есть р -этапная последовательность вейвлет фильтров.
Положим / = v1 и g1 = и1. Определим /,g1 е 12(2Ь), 1 = 2,3,.,р по формулам
/ = ^ * и1-1 (^), g1 = gl-1 * и1-1 (и), где отображение и1 :12(2Ь12(2Ь) определяется
формулой (15), а свертка формулой (5). Тогда для некоторых /1,/2,...,/р,gp е 12(2Ь)
множество
{лЕТЕГ -."к рк/р м "«.А }к;:/;р )-1 (18)
называется р -этапным вейвлет-базисом, если оно ортонормированный базис 12 (2Ь ). Пусть Ь делится на 21, gl-1 е 12 (2Ь )
{«" к%1 ДЬ.сГ " (19)
- ортонормированное множество, состоящее из Ь / 21 -1 элементов. Предположим, что /,gl е 12(2Ь) и Аг(п) в формуле (16) унитарны для всех п = 0,1,,...,(Ь/21)-1. Положим
/ = -1 * и'-' (^), g, = g,_l * и-1 (и,). Тогда
{R2.k/^^Ь;2'Н №М (20)
есть ортонормированное множество из Ь /21. Определим пространства
= R2 j+1 kSj+1J
( L /2 p-1-1)-1
V/+-1-1 = span] = R2j+! kgj+1J , (21)
k=0 ( L /2 p-1 )-1
Vf-1 = pnV,k = R2Jkg] \ (22)
1 - 4 - -
I* J k=0
и
( L /2 p-1 )-1
Wf-1 = SpanWuk = R21 kfj J • (23)
k=0
Тогда пространство l2 (ZL ) сформировано как последовательность вложенных друг в друга подпространств V/-1, j = 0,1,2,..., p -1 (V0P ç Vp-1 ç к ç Vf1 ç к ç Vlp-1 ç l2 (ZL )), где V;p+-1-1 = V/-1 0 Wf-1 и V/-1 1W/-1 •
Рассмотренный способ построения дискретных ортонормированных вейвлетов имеет
обобщение на пространство l2 (Z )[8]. Это обобщение позволяет построить вейвлет-базис первого этапа пространства l2 (ZL ) по масштабной последовательности u е l1 (Z). Определим v е l1 (Z) равенством v(k) = (-1)k-1 u* (1 - k). Тогда {R2ku(L) u R2kv(L) есть вейвлет-базис первого этапа для l2(ZL), где u(L), V(L) е l2(ZL) и определяются равенствами U( L) (n) = ^ u (n + kL) и V(L) (n) = ^ v(n + kL), в которых ряды сходятся абсолютно.
keZ keZ
Заметим, что приведенные результаты можно обобщить на дискретные биортогональные базисы [12]. Это обобщение порождает дискретные биортонормированные p -этапные вейвлет-базисы разложения
Г J (L / 2P )-1 r J (L / 2P )-1 r J (L /2P-1 )-1 r j (L/4)-1 r J (L/2)-1
j*~0,k J U1<~0,k J J U к UWp-2,k [ Uji~p-1,k [ (24)
I* J k=0 I* J k=0 I* J k=0 I* J k=0 I * J k=0
и восстановления
Г J (L/2P)-1 r J (L/2P)-1 л J (L/2P-1 )-1 r J (L/4)-1 r J (L/2)-1
W [ [ [ u к uVp-2,k [ [ (25)
* J k=0
пространства 12 2). А само пространство 12 (2Ь) в этом случае формируется как последовательность вложенных друг в друга подпространств разложения Ур или
восстановления Vf 1 = 0,1,2,., p -1, т.е. имеются две цепочки пространств
биортогонального анализа V0p ç V1 p 1 ç ... ç Vf 1 ç ... ç Vp1-1 ç l2 (ZL ) и
V0p ç V!p-1 ç к ç V/-1 ç к ç Vp-1 ç l2 (ZL ), где 1-1 = Vf-1 + W/-1, V/+-1-1 = Vf-1 + W/-1 и
* J k=0 L* J k=0 L* J k=0 L * J k=0
V р 1 ± 1, ¥}р 1 ± 1 . Тогда любая функция х е 12(2Ь) полностью характеризуется ее
вейвлет коэффициентами разложения
Ь-1
Ь
0,к
= Ех(1)Ф0,к(1), к = 0,1,..., — -1
1=0 ( Ь /2 ^ )-1
Ь
1 = Е х(1)^~1,к (1), 1 = 0,1,р-1, к = 0,1,...,-— -1
к=0 *
(26) (27)
и может быть восстановлена по формуле
(Ь /2р )-1 р-1 (Ь /2 )-1 ~
х(1) = Е ~0,к <р0,к(1)+Е Е 1 ¥1,к (1).
к=0 * 1=0 к=0 *
(28)
Для описания сигналов и систем управления преобразуем заданный
биортонормированный р -этапный вейвлет-базис к стандартному виду ! гИ, чи >, где
И ■
**
Ги (Ь, р, 1) =
*~0, и (1) при И = 0,1,...,^р-1;1 = 0,1,..„Ь-1;
~ т , (2J+ к)
(1) при И = у 2/ + т;
V. кЬ ^ + т
- базис разложения, а
Чи (а р, 1) =
Ь = 2п; п = 1,2,.; р = 1,2,3,.,п; 1 = 0,1,2,...р-1; к = 0,1,...,21 -1; т = 0,1,.,2р-1,1 = 0,1,.,Ь-1
Р0И (1) при И = 0,1,.,-Ь--1; 1 = 0,1,.,Ь-1;
V
кЬ
1,--+ т
2р
2р
, ( + к ) (1) при И = 4 2 р ^ + т;
(29)
(30)
Ь = 2п; п = 1,2,.;р = 1,2,3,.,п; 1 = 0,1,2,...р-1; к = 0,1,...,21 -1; т = 0,1,...,^-1,1 = 0,1,.,Ь-1
- базис восстановления. Тогда любая функция х е 12 (2Ь ) полностью характеризуется ее НСХ [12]
Ь-'
X(г, Ь) = Е г * (г, Ь, р, 1)х(1),
. 1=0
и может быть восстановлена по формуле обращения [12]
х(1) = Е X (г, Ь) Ч(г, Ь, р, 1). (32)
г=0 Ч *
Спектральный аппарат описания линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления в биортонормированных базисах рассмотрен в работе [12]. В работах [11, 12] разработаны пакеты расширения СКМ МаШсаё, содержащий все элементарные алгоритмы спектрального метода анализа нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления в вейвлет-базисах. Эти пакеты можно пополнить подсистемами программ, которые реализуют спектральные алгоритмы в дискретных р -этапных вейвлет-базисах. Поэтому далее остановимся только на примерах реализации спектральных алгоритмов в р -этапных вейвлет-базисах.
2. Примеры реализации р -этапных вейвлет-алгоритмов в базисе дискретных функций Добеши М-го порядка в СКМ Mathcad
Рассмотрим здесь только некоторые элементарные р -этапные вейвлет-операции и
элементарные р -этапные операции спектрального метода в базисе Добеши М -го порядка.
2.1. р -этапный алгоритм построения дискретного вейвлет-базиса Добеши М-го порядка
р -этапные вейвлет-базисы разложения (24) и восстановления (25) для вейвлетов Добеши М-го порядка совпадают, так как вейвлеты Добеши М-го порядка порождают ортонормированный базис. А сам алгоритм вычисления р -этапного вейвлет-базиса Добеши М -го порядка включает следующие шаги:
1) Пусть 2р|Ь и и1, V, е 12 (IЬ/2,) 1 = 1,2,3,., р, где 1Ь = [0, Ь -1].
2) Найдем систему дискретных ортонормированных вейвлет-функций Добеши М-го порядка первого этапа 12 (1Ь ).
2.1) Положим и(т) =
0, если т < 0;
И(т), если т = 0,1,.,2М -1; где И(т)- коэффициенты 0, если т > 2М.
низкочастотного фильтра для вейвлетов Добеши М-го порядка [5]. Тогда и, (п) = Еи(п + кЬ) , где п = 0,1,.,Ь -1.
к-, ^ 1Л____ 1____| х - у, если х > у;
2.2) По и, найдем V, (к) = (-1) и, (1 ^ к) для всех к, где х ^ у =
IЬ + х - у, если х < у.
к
2 1 -' ( кЬ Л 2 1 -' ( кЬ Л
3) Найдем и1, vl по формулам и1 (п) = Е и, I п + —— I и vl (п) = Е V, I п + —— I для
к—0 У к—0 У
2 < 1 < р и 0 < п <-Ь--1.
21-'
4) Положим /, = V, и g' = и,. Определим /,g¡ е 12(1Ь), 1 = 2,3,.,р по формулам У = ^-, * и-2 (1 ), gl = gl-, * и1 -2 (и1), где отображение и1 : 12 (1Ь/21) ^12 (1ь ) и свертка
имеют вид:
ГТ1 ( 1^(п/21), если 21 делит п; ^ /V / ч , Л ,2
и (1^)(п) = < г * ^(т) = Е 2(т ^ п)^(п), г, ^ е 1 (1Ь ).
[0, если 21 не делит п, „=0
5) Положим (Якг)(п) = г(п ^ к) для п,к е 1Ь и г е 12 (1Ь). Находим ортонормированные
г Ч (Ь /2р-] )-1 г ч(Ь /2р-] )-'
базисы Ы. к = Я2 ]к/]\ и \ф}. к = я2 \ дискретных пространств
J k=0 I J k=0
(L /2p-j )-1 r 4 (L /2p- j )-1
j - j k > и j1 = spanj k
Wp 1 = ¿раж щjk }> и Vp 1 = spanl фf k >■ для j = 0,1,2,3,., p -1.
Г Л (L/2p)-1 г Л (L/2p)-1 г Л (L/2р-1)-1 г ч (L/4)-1 г ч (L/2)-1
Тогда j^o,k[ ^WJ ^. ^Vp-2,k [ ^Wu [
I* J k=0 I* J k=0 I* J k=0 I* J k=0 I* J k=0
есть дискретный ортонормированный р-этапный вейвлет-базис Добеши М-го порядка
пространства 2
l2 (*L ).
L* J k=0
* J k=0
Рис. 1.
Фрагмент программного модуля, который реализует алгоритм вычисления р -этапного вейвлет-базиса Добеши М-го порядка в СКМ Mathcad, показан на рис. 1. Этот фрагмент отражает итерационный этап построения вейвлет-базиса Добеши М-го порядка. В программу передаются следующие параметры: Ь = 2,4,8, к - длина отрезка [0^-1]; р - количество
этапов вейвлет-базиса Добеши М-го порядка: 1 = 0,1,2, к, р -1 и к = 0,1, к, Ь /2р-1 -1 -параметры, определяющие вычисляемые дискретные вейвлеты (р.к(I) и у 1 к(I); параметр g -
идентификатор матрицы-столбца, которая содержит коэффициенты низкочастотного фильтра вейвлетов Добеши М -го порядка [5, 11].
Программа формирует матрицу порядка 2 х (Ь -1), первая и вторая строки которой содержат соответственно дискретные вейвлеты р. к (I) и у. к (I).
Результат работы этой программы при Ь = 8, р = 2 порождает 2 -этапный вейвлет-базис Добеши второго порядка (рис. 2).
0.8
0.43
^ о 1 Ч'001
К-ХХ-0.25
"0.6 0.8
0.45
о 1
XX Х-0.25 -0.15
; Л-1 \
У \
| с" ь
<
01234567
н. 06 ООО 0 2
XXX"0.2
-0.6
< ! /
1
1 х-хх
И
(
0.6
0 12 3 4 5 6 7
/ { £ 1
N 1 1)
ь / < %
0 12 3 4 5 6 7
н. 06 ООО 0.2
Х-ХХ-0.2
-0.6
{ \ Ф13±
1Г 1
<- / 1 \ е— ^13. х-хх
(
-0.6
0.6
у \
\
* 1 с
К (
0 1 2 3 4 5 6 7
0 12 3 4 5 6 7
-0.6
{ 1
0 1 2 3 4 5 6 7
Рис. 2
2.2. Формирование стандартного вейвлет-базиса Добеши М-го порядка по р -этапному вейвлет-базису
Для биортонормированного вейвлет-базиса приведение к стандартному виду осуществляется по формулам (29) и (30). В ортогональном случае эти формулы совпадают. Поэтому для стандартного вейвлет-базиса Добеши М-го порядка будем иметь
Ро,„ (0 при И = 0,1,...,^-1;1 = 0.1,...,Ь-1;
( + к)
ч(Ь р,1) =
кь . "2^"+т
(1) при Ь = ^ 2 р' + т;
(33)
Ь = 2п; п = 1,2,.; р = 1,2,3,.,п;. = 0,1,2,...р-1; к = 0,1,...,2> -1; т = 0,1,.,-2р-1;1 = 0.1,...,Ь-1.
Программный модуль, реализующий алгоритм формирования (Ь, р, I) в системе МаШсаё, показан на рис 3. В программу передаются следующие параметры: Ь = 2,4,8,. -количество тактовых точек на отрезке работы системы управления [0, Ь -1]; Ь1 = 2,4,8,... -количество вычисляемых дискретных функций Добеши М-го порядка (Ь1 < Ь); р = 1,2,., п - количество этапов вейвлет-базиса Добеши М-го порядка (2р < Ь = 2п), g - идентификатор матрицы-столбца, которая содержит коэффициенты низкочастотного фильтра вейвлетов Добеши М -го порядка; М - порядок вейвлетов Добеши. Результат работы этой программы для вейвлетов Добеши второго порядка при Ь = 8, Ь1 = 4, р = 2, порождает 2 -этапный стандартный вейвлет-базис. (рис. 4).
Аэг те 0..--1 2Р {а 1е 0..2П- 1
Аэг \ е 0.. р - 1
{01 к € 0.. 2"1 - 1
Аэг теО..--1 2Р
1е 0..2П- 1
БМ / н V ЛЫ 1.-+т 21 { к- Г > 2 + т^ 1 2р 1.1
йг 1е О..Ь- 1
1. е 0.. Ь1 - 1
БМ1Ц <г- БМ^
БМ1
Рис. 3
Ь := 3 и := 4 Р = 2 г :=
{ 0.204 0.421 0.512 0.637 0.296 0.079 -0.012 -0.137 ^
гЛ 0.296 0.079 -0.012 -0.137 0.204 0.421 0.512 0.637
0.354 0.729 -0.046 -0.512 -0.171 -0.046 -0.137 -0.171
-0.171 -0.046 -0.137 -0.171 0.354 0.729 -0.046 -0.512 J
Рис. 4.
2.3. Вычисление ДНПФ суммирующего и разностного звена в стандартном вейвлет-базисе Добеши М -го порядка
Алгоритмы вычисления ДНПФ суммирующего и разностного звеньев [1-4, 11, 12] для
стандартного вейвлет-базиса Добеши М -го порядка, запишем в виде
ь-1 1
Р (И, г, Ь, Ь) = Е * (И, Ь, р, 1 г (г, Ь, р, т), (34)
* * 1=0 т=0
Ь-1
Р (И, г, Ь, Ь) = г (И, Ь, р,0) г (г, Ь, р,0) + Е / (И, Ь, р, 1) V1 г (г, Ь, р, 1). (35)
** * * 1=0 * *
Программный модуль, реализующий алгоритм вычисления ДНПФ суммирующего звена по формуле (34), показан на рис.5, а программный модуль, реализующий алгоритм вычисления ДНПФ разностного звена по формуле (35), показан на рис.6.
{01 Ье 0..Ы - 1
Ъг 1 е 0.. Ы - 1
Ь-1 р
X X (Qp.h-Qb.iJ
р =0 Ь =0
А
Рис. 5
ЙГ 11 € 0..Ы - 1
йэг 1е 0..Ы - 1
Ь-1
Аь11<-0о1ь-<2о11 + 2 "Зр.ь" (Рр,1-^-1,1)
Р =1
А
Рис. 6
В эти программы передаются следующие параметры: Ь = 2,4,8,... - количество тактовых точек на отрезке работы системы управления [0, Ь -1] (Ь > Ь1); Ь1 = 2,4,8,... -порядок усечения матрицы ДНПФ; р = 1,2,., п - количество этапов вейвлет-базиса Добеши М-го порядка (2р < Ь = 2п), g - идентификатор матрицы-столбца, которая содержит коэффициенты низкочастотного фильтра вейвлетов Добеши М -го порядка; М - порядок вейвлетов Добеши.
Результат работы этих программ при Ь = 4, Ь1 = 4, р = 2 в стандартном вейвлет-базис Добеши второго порядка, показан на рис. 7.
4 Ы = 4 р:=2 С := 301221(1.,1_1,р, §2,2) к := зш221(1,п,р,§2,2)
( 11 0.866 0.707 0 > ( 0.25 -0.342 -0.112 -0.241 ^ ( 1 0 0
-ош 0.5 0.354 -0.354 0.092 0.875 -0.743 0.619 0 1 0 0
С = К = С ■ К =
-0.707 -0.354 0.5 0 0.418 0.136 1.312 0.096 0 0 1 0
1 о 0.354 0 0.5 J -0.065 -0.619 0.529 1.562 ) и 0 0 1)
Рис. 7
3. Примеры реализации р -этапных вейвлет-алгоритмов в базисе дискретных сплайн-вейвлетов М-го порядка в СКМ Mathcad
Рассмотрим здесь только некоторые элементарные р -этапные вейвлет-операции и элементарные р -этапные операции спектрального метода в базисе сплайн-вейвлетов с компактным носителем [12].
3.1. р -этапный алгоритм построения биортогональных дискретных сплайн-вейвлетов М-го порядка разложения и восстановления пространства 12 [0, Ь -1]
Алгоритм вычисления р -этапного биортогонального вейвлет-базиса разложения (24) и восстановления (25) пространства 12 [0, Ь -1], включает следующие шаги:
1) Пусть 2 р|Ь и и1, ~, V, ~ е 12 2Ь/2М ), 1 = 1,2,3,., р, где 2Ь = [0, Ь -1].
2) Найдем систему дискретных биортонормированных вейвлет-функций разложения и восстановления М-го порядка первого этапа 12 (2 Ь ).
(0, если т < 0 и т > Ы,
2.1) Положим и(т) = \ где И(т)- коэффициенты
[И(т), если т = 0,1,., N -1.
низкочастотного фильтра восстановления сплайн-вейвлетов М-го порядка [5]. Тогда и1 (п) = Еи(п + кЬ), где п = 0,1,.,Ь -1.
ке2
~ (0, если т < 0 и т > N1, ~
2.2) Положим и(т) = < ~ где И (т) - коэффициенты
[И (т), если т = 0,1,., N1 -1.
низкочастотного фильтра разложения сплайн-вейвлетов М-го порядка [5]. Тогда и1(п) = Еи(п + кЬ), где п = 0,1,.,Ь -1.
ке2
2.3) По и1 и найдем: ~1(к) = (-1)к-1и1(1 ^ к), У1(к) = (-1)к-1 ~1(1 ^ к) для всех к, где (х - у, если х > у;
х + У = I Т
[Ь + х - у, если х < у. 3) Найдем и1, и1, У1, ~ по формулам
~(п) = е~ [п+Р1), ~(п) = ЕЕ1"1 г+
и
и1(п) = Еи [п+"Р1], V(п) = Е ^ [п+"Р"
для 2 < 1 < р и 0 < п <-Ь- -1.
2 -1
4) Положим: /1 = , / = у1 , 1 = , ^ = и1. Определим /, 1,/,^ е 122), 1 = 2,3,.,р по формулам / = *и1-2), / = * и1-2 V), 1 = 1 -1 1-2), ^ = * и1-2(и), где отображение и1 :12(1Ь12(2Ь) и свертка имеют вид:
Ul^)(п) = ( ( ), д ; ** w(m) = Ег(т^п^(п), г,w е 12(2Ь).
[0, если 21 не делит п, „=0
5) Положим (кг)(п) = г(п ^к) для п,к е 2Ь и г е 12 (2Ь). Находим ортонормированные базисы:
( Г (Ь /2р-1 )-1 ( Г (Ь /2р-1 )-1 ( . (Ь /2р-1 )-1 ( Г (Ь /2р-1 )-1
| Щ,к = ^2'кI Г , 1 ~,к = Я21 Г , ( К,к = Я2>к/1 Г , 1 Фу,к = К2Г
[* J к=0 [* J к=0 J к=0 [* J к=0
дискретных пространств:
( Г (Ь /2р-^ )-1 ( Г (Ь /2р-У )-1 ( Г (Ь /21 )-1
й~/-1 = ¡рап\ щ у Л I , ур1 = рп1 ф Г , Ж/ -1 = рп1 Щу ,к Г ,
[* ] к=0 [ * ] к=0 [* ] к=0
(Ь /2р-1 )-1
У?'1 = рп1 ф;,к [ для у = 0,1,2,3,.,р -1.
Тогда
( Г (Ь/2р)-! ( Г (Ь/2рН ( Г (Ь/2р-1 )-1 ( Г (Ь/4)-1 ( Г (Ь/2)-
[ ф0,к [ Щ0,к [ [ ^ . и\Щр-2,к Г ^ 1 Г
[ * J к=0 [* ] к=0 [ * J к=0 [ * \ к=0 [ * ] к=0
и
( Г (Ь/2р)-! ( Г (Ь/2р)-! ( Г (Ь/2р-1)-1 ( Г (Ь/4)-1 ( Г (Ь/2)-1
1Ф0,к Г ^ 1 К0,к Г Г ^ . ^1Кр-2,к Г ^1Кр-1,к Г
[ * J к=0 [* J к=0 [ * J к=0 [ * ] к=0 [ * ] к=0
есть дискретные биортонормированные р -этапные вейвлет-базисы разложения и восстановления сплайн-вейвлетов М -го порядка пространства 12 (2Ь ).
Этот алгоритм имеет несколько программных реализаций. Программные модули, реализующие алгоритм вычисления р -этапного вейвлет-базиса разложения и восстановления сплайн-вейвлетов М -го порядка здесь не приводятся.
3.2. Формирование стандартного вейвлет-базиса сплайн-вейвлетов М-го порядка по р -этапному вейвлет-базису
Пусть М = 0,1,2,3,. - порядок В-сплайна. Тогда [1] N = М + 2 = 2,3,4,... - число коэффициентов вейвлет-фильтра восстановления, а N1 = N + 2к - число коэффициентов вейвлет-фильтра разложения. Если N четное, то к = 0,2,4,..., если N нечетное, то
к = 1, 3, 5,____Тогда И8УКфМк - идентификатор матрицы порядка N1 х 2, которая содержит
коэффициенты низкочастотного фильтра масштабирующей функции восстановления (первый столбец) и разложения (второй столбец) для сплайна порядка М и выбранного к ;
[ J к=0
Для биортонормированного вейвлет-базиса приведение к стандартному виду осуществляется по формулам (29) и (30). Программный модуль, реализующий алгоритм формирования базиса разложения гк (Ь, р, I) в СКМ Mathcad, показан на рис 8.
В программу передаются следующие параметры: Ь = 2,4,8,... - количество тактовых точек на отрезке работы системы управления [0, Ь -1]; Ь1 = 2,4,8,... - количество вычисляемых дискретных базисных функций сплайн-вейвлетов М-го порядка (Ь < Ь1); к -идентификатор матрицы порядка гога(к) х 2, которая содержит коэффициенты низкочастотных фильтров восстановления (первый столбец) и разложения (второй столбец) сплайн-вейвлетов М-го порядка.
ЗБВКММР1(Ь,П,р,Ь) :=
{01 1е С1..2П- 1 й)г ') е 0.. р - 1 {о! ке - 1
Аэг т е 0..--1
2Р
ОМ^щ^— РОВОКР'.2п,р,р,т,ь'о д
БМ / н V -е- БОВОЕР
1,-+т
{01 1е О..Ь - 1 {01 1€ 0..П - 1 БМ^д«- БМц БМ1
1П
2 ,Р>Р - V
к - 11 ■ Ь
+ т,Ь
1.1
Рис. 8
Результат работы программ, реализующих алгоритмы (29), (30) при р = 1, Ь = 8, Ь1 = 2, к = к8УЯф11, порождает стандартный базис биортонормированных сплайн-вейвлетов (рис. 9).
р:= 1 Ь:= § Ы := 2 К := ЗБВЕММР1(Ь,и,р,ЬЗУКф11)
□ .. Ь - 1 V : = ЗБВУММР1(ь,и,р,ЬЗУКф11)
( ° 0 > ( ° 0 >
0 -0.177 0 0
0 0.354 0 0.354
К = -0.177 0.354 1.061 0.354 V = 0 0.354 0.707 0.354
1.061 -0.177 0.707 0
0.354 0 0.354 0
ч -0.177 0 > V 0 0 >
Рис. 9.
3.3. Вычисление ДНПФ суммирующего и разностного звена в стандартном базисе сплайн-вейвлетов М -го порядка
Алгоритмы вычисления ДНПФ суммирующего и разностного звеньев [1-4,11, 12] в стандартном базисе сплайн-вейвлетов М -го порядка, запишем в виде
Ь-1
Р (И, г, Ь, Ь) = У г (И, Ь, р, / )£ д(г, Ь, Р, т), (3 6)
гд *
I=0
Р (И, г, Ь, Ь) = г (И, Ь, р,0) д(г, Ь, р,0) + У г (И, Ь, р, /)Уг д(г, Ь, р, /). (37)
гд * * *
/=0
Программный модуль, реализующий алгоритм вычисления ДНПФ суммирующего звена по формуле (36), показан на рис.10, а программный модуль, реализующий алгоритм вычисления ДНПФ разностного звена по формуле (37), показан на рис.11.
ЗС1ММР1(Ь3Ы,р3Ь) := д1 ^ збвуммр1(ь,п,р,ь)
02 ЗБВЕММР1(Ь,П ,р
{ох 11 е 0..Ы - 1
{01 0..П - 1
1.1-1 5
X (Q2s.h-Qlb.ij
5 =0Ь =0
А
Рис. 10
ЭШММР1(1.,и,р,Ь) :=
= д1 ^ ЗБВУММР1(Ь,П,р,Ь)
02 ЗБВЕММР1(1.,П ,р ,Ь)
{01 11 е 0..Ы - 1
{01 0..П - 1
1,1-1
Ам^ОЭо.ь-<210,1 + V А
Ь =1 А
Рис. 11
В эти программы передаются следующие параметры: Ь = 2,4,8,... - количество тактовых точек на отрезке работы системы управления [0, Ь -1] (Ь > Ь1); Ь1 = 2,4,8,... -порядок усечения матрицы ДНПФ; к - идентификатор матрицы порядка гога(к) х 2, которая содержит коэффициенты низкочастотных фильтров восстановления (первый столбец) и разложения (второй столбец) сплайн-вейвлетов М-го порядка.
Результат работы этих программ при р = 1,Ь = 4, Ь1 = 4, к = кБУЯфИ показан на рис.
12.
Рис. 12
Библиографический список
1. Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М., Наука, 1974. - 336 с.
2. Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральный метод расчета нестационарных систем управления летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1975. - 272 с.
3. Солодовников В.В., Семенов В.В., Пешель М., Недо Д. Расчет систем управления на ЦВМ: спектральный и интерполяционный методы. - М.: Машиностроение, 1979. . - 664 с.
4. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом: Учебное пособие. - М.: МАИ, 1984. - 84 с.
5. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.
6. Малла С. Вейвлеты в обработке сигналов: Пер. с англ. - М.: Мир, 2005. - 672 с.
7. Смоленцев Н.К. Основы теории вейвлетов. Вейвлеты в МЛТЬЛВ. - ДМК Пресс, 2005. -304 с.
8. Фрейзер М. Ввведение в вэйвлеты в свете линейной алгебры. - М.: Издательство Бином. Лаборатория знаний, 2008. - 487 с.
9. Чуи К. Введение в вэйвлеты: Пер. с англ. - М.: Мир. 2001. - 412 с.
10. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация / Под ред. К. А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 632 с.
11. Рыбин В.В. Разработка пакета расширения МЬ8У_БМ СКМ МаШсаё в базисах Добеши М-го порядка // Электронный журнал "Труды МАИ"- 2009, № 33. - http://www.mai.ru.
12. Рыбин В.В. Разработка пакета расширения МЬ8У_БМ СКМ МаШсаё в биортогональных вейвлет-базисах // Электронный журнал "Труды МАИ"- 2009, № 33. - http://www.mai.ru.
Сведения об авторе
Рыбин Владимир Васильевич, доцент кафедры «Математическая кибернетика» Московского авиационного института (государственного технического университета», тел. 8 (499) 158-48-11, электронная почта: dep805@mai.ru.
