CC BY
2Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 41
УДК 621.391
www.mai.ru/science/trudy/
Разработка пакета расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в проекционно-сеточных финитных базисах
В.В. Рыбин
Аннотация
В настоящее время для математических расчетов в процессе обучения применяются различные системы компьютерной математики (СКМ) и пакеты их расширения [4,8-14], которые предназначены для изучения спектральной формы математического описания систем управления. В работе [9] рассмотрена технология разработки пакетов расширения MLSY_SM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab, которые позволяют проводить анализ в спектральной области линейных нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно -дискретных систем управления, находящихся под воздействием детерминированных и случайных сигналов.
В данной статье рассмотрен пакет расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в проекционно-сеточных финитных базисах и особенности его формирования. Демонстрируется его применение на примере решения задачи Коши. Он может быть использован для анализа и синтеза систем управления летательных аппаратов, которые являются важной составной частью ракетно-космических комплексов.
Ключевые слова
биортогональный финитный базис, нестационарные системы автоматического управления, спектральная форма математического описания, системы компьютерной математики.
Введение
Проектирование систем управления летательными аппаратами в настоящее время осуществляется с использованием современных компьютерных информационных технологий. Такие технологии реализованы в системах компьютерной математики (СКМ) Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab. Основное ядро этих программных систем позволяет решать многие типовые задачи прикладной математики. Для решения задач из многих
прикладных областей, в частности имитационного моделирования систем управления, разработаны специализированные пакеты расширения этих программных систем. Однако они не охватывают всего спектра современных методов описания и анализа систем автоматического управления летательными аппаратами. В работах автора [4, 8-13] рассмотрены пакеты расширения MLSY_SM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab для расчета нестационарных непрерывных, дискретных и непрерывно-дискретных систем управления летательными аппаратами с сосредоточенными параметрами. Эти алгоритмы используют широкий спектр ортогональных и биортогональных базисных функций. Однако в этих пакетах не используются проекционно-сеточные финитные базисы, которые с большим успехом применяются для решения задач математической физики.
В данной статье рассмотрены проекционно-сеточные спектральные алгоритмы спектрального метода, пакет расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в проекционно-сеточных финитных базисах и особенности его формирования для анализа систем управления разных классов. Демонстрируется его применение на модельных примерах. Он предназначен для анализа и синтеза систем управления летательных аппаратов, которые являются важной составной частью ракетно-космических комплексов.
1. Основные характеристики проекционно-сеточной спектральной формы
описания непрерывных систем в биортонормированных финитных базисах
Для анализа и синтеза нестационарных непрерывных и, в общем случае, непрерывно-дискретных систем управления разработан спектральный метод расчета [1-3]. В основе этого метода лежит понятие нестационарной спектральной характеристики (НСХ), которая определяется через ортонормированные функции. Однако для описания и анализа указанных классов систем управления используются и биортонормированные функции [4]. Для решения задач математической физики часто используются проекционные и проекционно-сеточные алгоритмы [5-7]. Проекционно-сеточный подход можно применить для описания нестационарных систем управления в спектральной области, а пакет расширения спектрального метода MLSY_SM СКМ [4, 8-13] может быть пополнен проекционно-сеточными спектральными алгоритмами анализа нестационарных непрерывных систем управления.
Рассмотрим основные характеристики спектральной формы описания непрерывных систем в проекционно-сеточных финитных базисах на нестационарном отрезок [0, t]. На
этом отрезке введем сетку т1 =1к,1 - 0,1,..Л 1, И = //(Л-1) и будем рассматривать базисные системы [5-7] в общем случае комплексных непрерывных функций Ь = 2,3,4,... с конечными носителями (финитные функции). Каждая из этих функций принадлежит области определения и области значений оператора линейной нестационарной системы управления, а последовательность подпространств ^ предельно
плотна в гильбертовом пространстве 1'} |), I _, где УЛ линейная оболочка системы базисных функций. Пусть (р,(0) е Л2 и у/ (е Л2 для всех / и сД, биортонормированная
проекционно-сеточная система непрерывных финитных функций соответственно.
Описание детерминированных сигналов. Дадим определение проекционно-сеточной нестационарной спектральной характеристики.
Проекционно-сеточной нестационарной спектральной характеристикой (ПС НСХ) в
общем случае комплексной функции х по биортонормированному базису ^ назовем
функцию
хц)= б ц[т= ? 13= ал)
<Р <р(') V ч' <"(0 )
где £ - прямое проекционно-сеточное спектральное преобразование. ПС НСХ X и X будем называть взаимно сопряженными.
<Р ¥
Обратный переход от ПС НСХ к функции х(/г, т) е Уь, определяется как скалярное произведение комплексно-сопряженного общего члена биортонормированной базисной системы (р{г) или ///(/) на взаимно сопряженную ПС НСХ. Поэтому имеем:
¿Г1
х(0
= х{И) = Г^ЧО, <г{х(;)1 = х{И) = (<р\;), Х(/)1, (1,2)
V ч> ) <р „/ V V )
где £ 1 - обратное проекционно-сеточное спектральное преобразование, а \у/*{Г), Х{Г)
<р
(р (/'), Х(Г) - линейная комбинация элемента х(К) .
V )
Формулы (1.1) (формулы прямого преобразования) принимают вид
£|(г)3=Х(7,А)= |У(7Лф(г>/г, (1.3)
(Г) (О *
$ \(т\±Х(1,К)= IV* ('А т)х(т)с!т. (1.4)
и/ (// ^
0
Формулы (1.2) (формулы обратного преобразования) принимают вид:
x(h, т) = ^ X(i, h)(pi (А, т) = Л X(i, к)у/г (h, т),
(15)
i=0
i=0
Из (1.1) - (1.4) находим связь между взаимно сопряженными ПС НСХ:
Х=ЛХ (1.6)
¥ ¥¥ V
1=Л1,
<р (р<р у/ '
где
i
Д (j,i,h,h) = [/* (J,h,r)/Q,h,r)dT,
г/ ~
(1.7)
(18)
- проекционно-сеточная двумерная нестационарная характеристика связи (ПС ДНХС).
Заметим, что матрица ПС ДНХС Л является обратной к матрице Л ,
w* w"
т.е. Л - Л = Л Л - Е.
!+! « !+! И!
'//?// (ptp (р(р щ/
Из формул (1.3)-(1.5) видно, что каждый из двух базисов ^ , можно
использовать для разложения и восстановления сигнала. В дальнейшем будем считать, что - базис разложения, а ^ - базис восстановления сигнала. В теории управления приходится оперировать не только функциями одного аргумента, но функциями многих аргументов. Рассмотрим здесь только проекционно-сеточную НСХ (ПС ДНСХ) в базисе разложения (формулы прямого преобразования), которые представляет собой скалярное произведение общего члена базисной системы функций и преобразуемой функции двух аргументов:
S.U Ш0=1ги)г'(!),х^ (1-9)
Щ! щ/
Для ПС ДНСХ (2.12) формула обращения в базисе восстановления имеет вид:
s-1
ч>ч>
ш о
у/у/
= x{h) = (cp{j)cp(i\ X(j, о) ■
V vw )
(1.10)
Пусть в, ге[0,?]. Тогда для функций двух переменных х(в, т) ПС ДНСХ (1.9) в базисе разложения и восстановления имеют вид
s. X£j,i,h,h)= \y/*(J,h,0) \i//(i,h,r)x(0,T)dTd0,
tM Щ/
0 0 t t
s. 1 T) 3= XSJ, и К h)= W (J, К 0) I'<p(j, К Т)х(в, T)drde.
П(Г) (ПО) J
(1.11)
В теории управления приходится оперировать не только квадратично-интегрируемыми функциями времени, но и обобщенными функциями [2]. Покажем, как
0
0
можно распространить понятие ПС НСХ на обобщенные функции на примере дельта-функции, которую задают формулой
^S(T)ca(T)dT = ю(0), (1.12)
где со(т) - любая вещественная непрерывная функция, имеющая непрерывные производные всех порядков и компактный носитель. Такие функции называются основными.
Пусть основная функция со(т) = 0 вне отрезка [0, г1]. Рассмотрим ее приближение:
Ь-1
©(А, т) = У 0(/, к)(р{г, /г, т) е Уь. (1.13)
Из (1.12) и (1.13) имеем
г
У П(7, М) А* (7, К) = \8{т)со{к, т)йт = ю(А,0),
г О
где
г
А(г,К) = \<р*Ц,к,■ 0-14)
(р * о
служит определением новой обобщенной функцией А(/,/г) в спектральной области, т.е. ПС
<р
НСХ дельта-функции, задаваемой на семействе функций Г2(/,/г) .
¥
Описание случайных сигналов. Перейдем теперь к определению проекционно-сеточных нестационарных спектральных плотностей (ПС НСП), которые служат для описания в спектральной области случайного в общем случае нестационарного сигнала и являются аналогами моментных характеристик.
Первой ПС НСП ^(О случайного в общем случае нестационарного сигнала х
X 1
¥
назовем ПС НСХ его математического ожидания mx :
t
1Sx(i) = S\mx\= \yy\iAr)mx{T)dT, (1.15) ч> V 0
Второй ПС НСП или просто ПС НСП Sx ( /, /) случайного в общем случае
нестационарного сигнала x назовем ПС ДНСХ его автоковариационной функции Rxx:
t t
S.[R„] = Sx WAV = yUA0)\HiAT)RxMT)dTde, (1.16)
l/A// * J J
Щ/
0
0
Нестационарной взаимной спектральной плотностью (/) случайных сигналов х
ц/ц/
и g назовем ПС ДНСХ взаимной ковариационной функции этих сигналов Я :
* *
- ^ ШЛИ) = У\]Хв)\¥{гХт)Кщ{0,т)йтйв . (1.17)
га// « •>
0 0
Обратный переход от ПС НСП (1.15-1.17) к исходным характеристикам случайного сигнала шх , , Я осуществляется по формулам обращения (1.5) и (1.10)
Л
-1
у/ ) Ч> <Р
( \
зхе С/,/) 0>*С/>О'Х ^ с/,о
щ/
О', 0 = р'ОХУ'Х ^ О', о
щ/
<р ц>
ц/ц/
ц/ц/
(1.18)
У
Описание линейных непрерывных систем управления.
Основные понятия. В качестве основной динамической характеристики линейной непрерывной системы во временной области будем рассматривать импульсную переходную функцию (ИПФ), которая определяется как реакция системы на импульс, т.е. на входное воздействие вида дельта-функции Дирака. ИПФ непрерывной системы будем обозначать к (в, т). Тогда во временной области на отрезке времени [0, выходной сигнал х системы при нулевых начальных условиях может быть определен по входному сигналу g и ИПФ непрерывной системы в виде:
г
х(в) = |ВДг)#(г>/г . (1.19)
0
Заметим, что ИПФ при фиксированном втором аргументе называется нормальной импульсной реакцией, поскольку она получается на выходе системы при подаче на вход импульса в фиксированный момент времени. ИПФ при фиксированном первом аргументе называется сопряженной импульсной реакцией, поскольку ее можно также трактовать как импульсную реакцию некоторой видоизмененной системы [2].
Дадим теперь определение проекционно-сеточных нестационарных передаточных функций (ПС НПФ) линейных одномерных непрерывных систем. Каждая из них описывается тремя связанными между собой ПС НПФ: нормальной (ПС ННПФ), сопряженной (ПС СНПФ), двумерной (ПС ДНПФ).
Проекционно-сеточной нестационарной нормальной передаточной функцией (ПС ННПФ) линейной системы назовем ПС НСХ ее нормальной импульсной реакции в базисе разложения, т.е.
#(_/Дг) = \у/*и\Кв)к(в,т)йв. (1.20)
ш *
о
Проекционно-сеточной нестационарной сопряженной передаточной функцией (ПС СНПФ) линейной системы назовем комплексно-сопряженную ПС НСХ сопряженной импульсной реакции линейной системы в базисе восстановления, т.е.
г
Щ,Н,в)= \к(в,т)(р(1,1г,т)с1т. (1.21)
<р 1
о
Проекционно-сеточной двумерной нестационарной передаточной функцией (ПС ДНПФ) назовем ПС ДНСХ ее ИПФ в базисе , т.е. Ж (у,/) = к ,т.е.
г
ТГи,*АК)= \1//*иЛв)\к(в,^)<р(}Лт)ЫтЫв. (1.22)
,№" о о
Между таким образом определенными ПС НПФ и ПС НСХ от ИПФ существуют вполне закономерные связи. Остановимся здесь только на выводе связи между ПС ДНПФ и ПС ДНСХ для ИПФ непрерывной системы. Пусть
(1.23)
щ/' щ/*
- ДНСХ ИПФ непрерывной системы. Тогда по формуле обращения ПС ДНСХ (1.10) имеем
к(к,в,т) = Ща,РАК) <р\РА?) • (1-24)
Подставляя выражение ИПФ в форме (1.24) в определение ДНПФ (1.22), получаем следующую связь:
Ж (А,/ДА) = У Ж (А,/? ДА) А(/?,7ДА), (1.25)
¥'Р р ¥¥ <№
где Л (А, 7, А, А) ДНХС между ДНПФ и ДНСХ искомой системы.
Соотношение (1.25) удобно записывать в матричной форме, т.е. в. виде
Ж = , (1.26)
цхр* 1/Ар* (р(р*
где матрица Л определяется соотношением (1.8).
Заметим, что в практических расчета часто используется ПС ДНСХ определенная только в базисе восстановления Ж, которая связана с ПС ДНПФ системы управления Ж
¥Ч>" <№"
соотношением, записанным в матричной форме
К = К . (1.27)
улр * (¡нр*
Теперь, используя связи между ПС НПФ и ПС НСХ, можно записать формулы обращения ПС НПФ:
к(к,0,т) = Ф-Ы = Н-Ч+ = Ф-ГЧ'+. (1.28)
V Ч> ухр*
Формулы связи ПС ДНПФ линейной системы с ее ПС ННПФ и ПС СНПФ имеют вид: W = 0?+,H); W = (N,0); N = iFvP+; H = OW. (1.29)
l/лр <P IjAp у/ у/ улр <P ухр
В формулах (1.28) - (1.29) f и Ф матрицы-строки, составленные из систем базисных функций ^ и <^(//,/') jq1, а через обозначен комплексно-сопряженный столбец к
W.
ПС ДНПФ непрерывной системы представляется конечной квадратной матрицей размеров LxL.
Условимся в дальнейшем индексы h в обозначениях базисных систем функций y/(j,h,в), <p(i,h,r), ПС НСХ X(i,h), ПС ДНСХ X(j,i,h,h), ПС НСП Sx(j,i,h,h), Sxg(J,i,h,h), а также ПС ННПФ N(J,h,т), ПС СНПФ H(iJг,в), ПС ДНПФ W(h,i,h,h) для
упрощения обозначений опускать. Однако зависимость от h соответствующих выражений, в которые они входят, будет подразумеваться.
Элементарные звенья. В качестве элементарных звеньев непрерывных систем обычно рассматриваются интегрирующее, суммирующее, дифференцирующее первого и второго рода, непрерывные усилительные звенья с переменными коэффициентами передачи, непрерывное и дискретное звено чистого сдвига (запаздывания и упреждения). ПС ДНПФ (1.22) этих звеньев имеют вид:
- ПС ДНПФ интегрирующего звена
t в
р;1 Ш) = yu,0)\<p(i,T)dTde; (1.30)
VP
0 0
- ПС ДНПФ дифференцирующего звена первого рода
Р.Ш)= ПО'О+ШО (131)
улр (//') (//')
где v(j,i) = <// ( /,0yp(i,0) - ПС ДНПФ начальных значений, а t ^
3 0',/) = \y/*(J,0) — <p(i,0)d0 - ПС ДНПФ дифференцирующего звена второго рода;
turn * J /1Q
d0
\j
- ПС ДНПФ усилительных звеньев:
i
A(J,i)= [ a(0)i//* (J, 0)<p(i, 0)d0, (1.32)
0
- ПС ДНПФ звена чистого запаздывания (0О > 0) :
г
См)= Уи,в)<ра,9-е0)с1б, (1.33)
в,
- ПС ДНПФ звена чистого упреждения (6>0 < 0) :
(7,0 = \уи,шив-в0)с1е. (1.34)
17о
г...*, <№' 0
Типовые звенья. Среди всего многообразия типовых непрерывных звеньев выделим здесь только следующие звенья.
Последовательное соединение п дифференцирующих звеньев, имеет ПС ДНПФ
\п / \п-1
=М • Р . (1.35)
Щр ) \ЩР ) ЩР
Заметим, что ПС ДНПФ последовательного соединения п дифференцирующих звеньев (1.35) не совпадает с ПС ДНПФ дифференцирующего звена п -го порядка [2]. Последовательное соединение п интегрирующих звеньев, имеет ПС ДНПФ
\п X N п— 1
р"Ч -ЬР-1 •Р(1.36)
щр" ) \щр" ) ЩР
Заметим, что ПС ДНПФ последовательного соединения п интегрирующих звеньев (1.36) не совпадает с ПС ДНПФ интегрирующего звена п -го порядка [2].
Типовые соединения звеньев. Получение ПС ДНПФ нестационарной непрерывно-дискретной системы связано с определением ПС ДНПФ линейных звеньев и их соединений (параллельного, последовательного и с обратной связью). ПС ДНПФ таких соединений рассчитываются по ПС ДНПФ звеньев их составляющих по формулам:
- для параллельного соединения
Ж = Жг+Ж2; (1.37)
- для последовательного соединения
Ж = Ж2-Жг; (1.38)
- для соединения с обратной связью
Ж ^[Е + Ж1Ж2Т1Ж1 + Ж2Ж1Т1. (1.39)
Связи вход-выход по ПС ДНПФ искомой системы и заданным входным ПС НСХ и ПС НСП при нулевых начальных условиях устанавливаются соотношениями:
- для детерминированных сигналов
Х = Ж-0, (1.40)
V умр* V
- для случайных сигналов:
по математическому ожиданию по корреляционной функции
Sx = W- Sg -WJ
W' W" W"
w
(1.41)
(1.42)
Дифференциальные уравнения в спектральной области. Пусть поставлена задача Коши для системы управления, которая описывается дифференциальным уравнением с переменными коэффициентами
В(р,в)х(в)=М(р,в)8(в),
(143)
где
D(p, 0) = ап 09)р" + ап_, (<9)р"~1 +... + a0(ff),
М(р, в ) = ът (в)рт + Vi + • • • ■+ К (в),
а ее выходной сигналы имеют ненулевые начальные условия
'{п~л(в)
x
0=0
= х(Г)- j = 1,2,...,/?.
Тогда ее решение в спектральной области в матричной форме имеет вид
п-1
где
Wxk =
V у/<р V
14-^
\а=0 ухр"
Ы 0
y/tp
-1 Г
I4-C
yip"
ТЛ-ir-l
(144)
(1.45)
(1.46)
- матрица ПС ДНПФ начальных условий соответственно выходного х(0) сигнала системы, которая описывается дифференциальным уравнением (1.43),
W =
ухр"
Т.М1
\а-0 yip
укр
«=о w" VW
(1.47)
- ПС ДНПФ этой системы, а . А - ПС НСХ дельта-функции Дирака.
Таким образом, ПС НСХ выходного сигнала непрерывной системы находится в общем случае по ПС НСХ входного сигнала О, начальным условиям выходного сигнала с помощью ПС ДНПФ системы Ж и ПС ДНПФ начальных условий Ж .
2. Разработка пакета расширения СКМ Mathcad анализа нестационарных линейных непрерывных систем управления в проекционно-сеточных финитных базисах на отрезке [0, 2.1. Пакет МЬ8У_8М СКМ ММкеай для проекционно-сеточных финитных базисов, его структура и способы работы с ним
n
1
n
В спектральной области всем рассмотренным элементарным операциям ставится в соответствие система элементарных алгоритмов. На базе этой системы строится система алгоритмов исследования.
В настоящее время разработано несколько версий пакета прикладных программ анализа и параметрического синтеза систем управления спектральным методом [4,8-13]. Одна из них создана на базе СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab [9]. Эта версия включает в себя все элементарные операции спектрального метода и предназначена для моделирования линейных систем управления спектральным методом (MLSY_SM).
Модификация пакета прикладных программ MLSY_SM [9], созданного на базе СКМ Mathcad [14] , за счет его пополнения процедурами элементарных операций в проекционно-сеточных базисах библиотеки NBF разделами SM_K0, SM_K1, SM_K2, 8М_Ф1, 8М_Ф2, SM_PSI1, SM_PSI2 и отражена в приложении 1.
Перейдем теперь к рассмотрению реализации элементарных операций в проекционно-сеточных базисах.
2.2.Некоторые финитные проекционно-сеточные базисные функции
Базисные сплайны с конечными носителями минимальной длины. Рассмотрим базисные сплайны с конечными носителями минимальной длины (B - сплайны), которые образуют базис конечномерного пространства размерности L + р — 1 сплайнов степени р дефекта 1 [5].
Все базисные сплайны степени p можно выразить через В-сплайн степени p
Bp (r) = Bp^iz)* B0(T)= , (2.1)
где
fl, t e [-1/2, 1/2], B0(t)= (2.2)
0W [0, re [-1/2, 1/2], v 7
а сам В-сплайн (2.1 ) есть полином степени p на каждом единичном отрезке
отрезка [-(/> +1) / 2, (p +1) / 2] и равна 0 вне отрезка [-(/> +1) / 2, (р +1) / 2]. Например, для
р = 1, 2 они определяются формулами
т +1, т е [—1, 0],
1-г, ге[0, 1], (2.3)
0, те [-1, 1];
ВМ =
(2.4)
(1/2) 4/2 + т^, ге|з/2,-1/2~ 3/4 - г2, те 11/2, 1/27]
(1/2) 4/2-г^, гё [/2,3/27] О, те 13 / 2, 3/2 7]
Вся базисные системы функций, которые порождаются В-сплайнами порядка р (2.1) на отрезке [0, /] и связанные с сеткой т. = //?, имеют вид
KpXKz) = h-ll2B(zlh-j),
(2.5)
где /г = /7(£-1) - постоянный шаг. Для р> 2 система базисных функций (2.5) не является ортогональной, так как матрица А(И,И), элементы которой
i
А(/, / , //, h) = Jä>; (/г, r)Ä>, (/г, t)¿/t ,
(2.6)
не является диагональной. Для базиса (2.5) можно построить двойственный базис Рисса
L-1
КР] (h, г) = £ Mj, i, К h)Kp, (h, т),
(2.7)
i=О
т.е. задать биортонормированный базис, который определяется условием
ifh, Кр, У öKl = \KPh (А, т) Кр, (h, r)dr .
(2.8)
Финитные ортогональные функции Леонтьева, порожденные базисными сплайнами. Рассмотренные B-сплайны степени р(р> 1) (2.1) порождают не только биортонормированный базис, но могут быть перестроены в L-сплайны (сплайны Леонтьева [6]), которые порождают при выполнении определенных условий ортонормированные базисы. Методика их построения рассмотрена в [6]. Она связана с выбором параметров порождающих функций (L-сплайнов) таким образом, чтобы полученные базисные системы функций Леонтьева стали ортогональными.
Например, симметричные L-сплайны первой степени, порождающие ортонормированные базисы, имеют вид
О, т > 1,
а(т-\)/®, те [1-0,1], Фг (а, 0, т) = < - (1 + 2а)(т -1 / 2) /(1 - 20) + 1/2, те[0, 1-0], (2.9)
«т/0 + 1, те [0,0], Фх (а, 0,-т), т < 0;
где «>0,0 <0 <1/2.
0
0
Любой симметричный Ь - сплайн степени р можно найти, используя свертку Фр (а, 0, т) = Фр_х (а, 0, т) * В0 (т) = ^Ф^ (а, 0, о)В0 (т - о)ёо. (2.10)
где
Фо(а,0,г) =
-а/0, те (-1/2,-1/2 + 0), (1 + 2а)/(1-20), г е [-1/2 + 0,1/2-0), -а/®, т е (1/2-0,1/2), 0, г й (-1/2,1/2),
(2.11)
а 2?0(т) В-сплайн (2.2).
Полученная в результате функция Фр(а,0, т) есть полином степени р на каждом
единичном отрезке отрезка [-(/> +1) / 2, (/> +1) / 2] и равна 0 вне отрезка
К/> + 1)/2, (р +1)/2].
Используя свертку (2.10), находим Ь - сплайн порядка р = 2. Он имеет вид
Ф2(а,®,т) = 0, г >3/2,
- а(т -3/2)2 /(20), те [3/2-0, 3/2],
(1 + 2а)(т -1)2 /(2(1 - 20)) - (т -1) / 2 - (2а + 20 -1) / 8, т е [1 / 2 + 0, 3 / 2 - 0], = < - а(т-1/2)2/(20)-(т-1/2) + 1/2, г е [1/2,1/2-0], а(т -1 / 2)2 / © - (г -1 / 2) +1 / 2, г е [1/2-0,1/2],
- (1 + 2а)г2 /(1 - 20) + (2а + 20 + 3) / 4, г е [0,1 / 2 - 0], Ф2 («•,©,-г), Г < 0.
Все базисные функции, порождаемые симметричными Ь-сплайнами порядка р (2.10) на отрезке [0, /] и связанные с сеткой т. = у/г, имеют вид
(2.12)
ф, (а, 0, /г, т) = /Г1/2Ф (а, 0, г / /г - у),
(2.13)
где /г = t /(Ь -1) - постоянный шаг. Базисные функции Л (а,©,/г,г) удовлетворяют условию ортогональности ^1А,Лг 0 на при /г^г, если
0<© = ©! <1/2, « = «! =-(1 + 0^/2+ 7(0? +3)/4 . (2.14)
Например, в случае 0 = 0) =1/4 параметр а имеет значение ах = (¡41 - 5^8.
Базисные функции 32 у («, 0,/г, г) удовлетворяют условию ортогональности ^2 ,/2г 0 на при у Ф /', если
© = 02 =3/4-fVc+V684/Vc-С-195)/12, а = а2 = -©2 +3/(4(1-02)),
(2-15)
С = 3¡6231^+10^11297^+1369/^6231^+10^112970 - 65,
но на отрезке [0, /] зто условие ортогональности нарушается при /, i = 0,1 и j,i = L — 2, L — X.
Заметим, что в случае р> 2 за счет выбора параметров а, 0 построить ортонормированные базисы (2.13) невозможно. Это возможно сделать введением в функцию Ф0 (2.11) дополнительных параметров.
По аналогичной методике строятся несимметричные L-сплайны. Например, несимметричные L-сплайны первой степени, порождающие ортонормированные базисы, имеют вид
1 + г, г е [-1,-1 + 0] и [-0, 0], -«• + (© + а)(т +1 / 2) /(0 -1 / 2), re [-1 + 0, -1/2], -а + (&-а - 1)(г +1 / 2) /(0 -1 / 2), re [-1/2, 0], 4,1(a,0,r) = Jl-T, г е [0, 0] u [1 - 0,1], (2.16)
\ + а-(& + а)(т -1/2)/(0-1/2), г е [0, 1/2], 1 + а -(& - а - 1)(г -1/2) /(0 -1/2), re [1/2,1-0] 0, г ¿[-1,1],
где а >0,0 <0 <1/2.
Несимметричные L-сплайны p степени определяются сверткой
Wp (а, 0, г) = (а, 0, г) * В0 (г) = JV^ (а, 0, и)В0 (г - u)dv.
(2.17)
где В0(т) В-сплайн (2.2).
Все базисные функции, порождаемые несимметричными Ь-сплайнами первого порядка на отрезке [0, /] и связанные с сеткой г. = у/г, имеют вид
Dp . (а, 0, /г, г) = A"1/2vF„ (а, 0, г / /г - у)
(2.18)
где /г = /7(£ -1) - постоянный шаг. Базисные функции / Л; (от, 0, /?, г) удовлетворяют условию ортогональности , -01,- 3= 0 на отрезке [0, при /г ^ /', если
О<0 = 01 <1/2, а = ах = —1/2±1/^/2(1 -20х) . (2.19)
Например, в случае © = 01 =1/4 параметр а имеет значение = 1/2.
Базисные функции т) удовлетворяют условию ортогональности
^)2й,/)2г.3=0 на К при кФг, если 0 = 5/14, а = 3, но на отрезке [0, г1] зто условие ортогональности нарушается при к, /' = 0,1 и /?, / = Л — 2, Л -1.
Заметим, что в случае р > 2 за счет выбора параметров 0 построить ортонормированные базисы (1.24) на Я невозможно. Это возможно сделать введением в функцию (1.24) дополнительных параметров.
2.3.Примеры разработки программных модулей пакета МЬ8У_8М элементарных операций ПС спектрального метода в финитных базисах
Пример 2.1. Разработать программный модуль, реализующий вычисление ПС ДНXC в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (1.12).
Решение задачи. Матрицу ПС ДНХС (1.8) порядка Ь в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе можно вычислить аналитически и представить в виде:
2, если ] = 1 = 0 или ] = 1 = Ь-1;
1, если [ = 7 +1, ] = 0,1,...,Ь-2;
1, если ] = 1 + 1, ¿ = 0,1,.,Ь-2;
4, если ] = 1 = 1.2...., Ь-1.
1) Составляем программный модуль вычисления ПС ДНХС в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе на интервале работы системы управления [0Д].
47, О^-6
(2.20)
Рис.2.1.
2) Вычисляем ПС ДНХС при L=5.
Г 2 1 0 0
1 4 1 0 0
ЗХСК1К11(Ь) ■ 6 = 0 1 4 1 0
0 0 1 4 1
и 0 0 1
Рис.2.2.
Пример 2.2. Требуется разработать программный модуль, реализующий вычисление ПС НСХ аналитически заданной функции х(т) е [0, в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базис восстановления).
Решение задачи. Вычислительные схемы, основанные на квадратурных правилах наивысшей алгебраической степени точности, реализующие вычисление НСХ в базисах классических ортогональных полиномов рассмотрены в [9]. Для нашей задачи выбираем квадратурную формулу Гаусса. Учитывая, что квадратурная формула для вычисления интеграла по методу Гаусса на произвольном отрезке [а, Ь] может быть представлена в виде
^х(т)с1т = ——— -—— (г +1) + а
2 2
й?Т =
Ъ-а 2
Е
(0пх
г Ъ — а п ^
V
(2.21)
/
где N - количество используемых стандартизированных значений нулей ап и весов соп квадратурного алгоритма Гаусса на отрезке [-1,1], которые в программной реализации задаются следующими векторами:
и1 :=
/ 0.0812743884 ^ 0.1806481607 0.2606106964 0.3123470770 0.3302393550 0.3123470770 0.2606106964 0.1806481607 V 0.0812743884 )
а 1 :=
/ -0.968160239 -0.836031107 -0.613371433 -0.324253423 0
0.324253423 0.613371433 0.836031107 V 0.968160239 )
Рис.2.3.
Учитывая квадратурного алгоритма Гаусса (2.21), формулу ПС НСХ (1.2) в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе преобразуем к виду
1-2 N-1
тЕЕ
-I к=О и=0
(0пх
Ь-1
К1(тпЛ -л
(2.22)
где = + 1 +
1) Составляем программный модуль вычисления ПС НСХ в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе на интервале работы системы управления [0Д] для аналитически заданной функции по численной схеме (2.22).
Ъ
п=0
а
к
п
ЗЫХК1К11(§,ЬД) :=
И <г- м1 01. <г- о,1
йг к е 0.. Ь - 2 £01 пе0..8
(2 ■ к + 1 + ап)
"-п.Ь
е^+э-ь е| ^п.ь ■ — 1 Го! 1е О..Ь- 1 £ Ъ > 2
ГЧп+э-ь,!«- К^п.ь " 11
йг Ь€ О..Ь- 1 йэг ке О..Ь- 2
8
п =0
ь-а
Ь =0
р-.х
2 ОЬ - 1
Рис.2.4.
1) Вычисляем ПС НСХ функции g(т) при Ь=8 и 1=1.
Рис.2.5.
Пример 2.3. Разработать программный модуль, реализующий вычисление ПС ДНСХ усилительного звена по аналитически заданной функции а(т) е [0, в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления).
Решение задачи. Для разрабатываемого программного модуля опять используем квадратурную формулу Гаусса (2.21). Тогда ПС ДНСХ усилительного звена (1.32) в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) может быть представлена в виде
1 Ь-2Ы-\
Л «.О^ЕЕ
к=о «-О
сопа
1-1
' п,к
К1(тпЛ -ЛК\(тпЛ - о,
(2.23)
1) Составляем программный модуль вычисления ПС ДНСХ в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) на интервале работы системы управления [0,t] для аналитически заданной функции по численной схеме (2.23).
SYZKlKll(a,L,t) := и wl
а, oil
for ke 0..L- 2 for 11 € 0..S
12 ■ k + 1 + а,п1
v* ♦--г
for is 0..L- 1 if L> 2
KH^n.b - i.1
for he 0..L- 1
for ie 0..L- 1 L-2 8
У У — ' aln+91( ' Pln+9-b,h ' Pln+9-h,i h =0 n =0
A_
Рис.2.6.
2) Вычисляем в базисе восстановления ПС ДНСХ усилительного звена с коэффициентом передачи а(т) = 48 • г при L=5 и t=l.
t:= 1 L := 5 а(т) := 4S ■ т
АВ := SYZKlKll(a,L,t)
/ 1 1 0 0 0 ^
1 8 3 0 0
АВ = 0 3 16 J 0
0 0 5 24 7
J 0 0 7 15 j
Рис.2.7.
Пример 2.4. Разработать программный модуль, реализующий вычисление ПС ДНСХ интегрирующего звена в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления).
Решение задачи. Вычислим ПС ДНСХ интегрирующего звена (1.30) в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) в аналитическом виде.
1) Составляем программный модуль вычисления ПС ДНСХ интегрирующего звена в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) на интервале работы системы управления [0Д] по полученной численной схеме.
311К1К12(ЬЛ) := 1 е 0.. Ь - 1 1™ Ь е 1.. Ь - 1 24 см<- 12
Л)! 11е О..Ь- 2 сЬ,Ь+1 1 сь+1,ь 23
со,о 9
сь- 1,1.-1 з
сь- 1,1.-2 11
1- с с 1 <-- (X - 1) ■ 24
с 1
Рис.2.8.
2) Вычисляем ПС ДНСХ интегрирующего звена при Ь=4 и 1=1.
1 := 1 Ь := 4
( 9 1 0
311К1К12(ЬД) ■ ^ ~ ^ 24 = 23 24 12 23 1 12 0 1
1 12 12 11 3 )
Рис.2.9.
Пример 2.5. Разработать программный модуль, реализующий вычисление матрицы ПС ДНСХ дифференцирующего звена (1.31) в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) (2.5).
Решение задачи. Вычислим ПС ДНСХ дифференцирующего звена в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) в аналитическом виде.
1) Составляем программный модуль вычисления ПС ДНСХ интегрирующего звена в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе восстановления) на интервале работы системы управления [0Д] по полученной численной схеме.
ЭР1К1К11(4,1,) := йзг Ье О..Ь- 2
сь,ь+1 1
сЬ+1,11 *—ск, 1
со.о 1
1 1
с1 <--- с 2 ■ 1
й
Рис.2.10.
2) Вычисляем матрицу ПС ДНСХ дифференцирующего звена при Ь=5 и 1=1.
1=4 1 := 1 ( 1 1 0 СЛ
2 О- - 1) -1 0 1 0
ЗР1К11К11(Ч,]_) ■ 0 -1 0 1
9 ■ 1
1 0 0 -1 1)
Рис.2.11.
3) Вычисляем матрицу обратную к ПС ДНСХ дифференцирующего звена при Ь=5 и 1=1.
Ь := 4 t ■.= ].
ЭР 1К1К11(4,1,) 1 ■——
{ 1 -1 1 -И 11-11 111-1 V 1 1 1 1 ;
Рис.2.12.
Заметим, что матрица обратная к ПС ДНСХ дифференцирующего звена может рассматриваться как матрица ПС ДНСХ интегрирующего звена, но отличная от той матрицы которая была рассмотрена в предыдущем примере (см. рис.2.9). Программный модуль, реализующий вычисление такой ПС ДНСХ интегрирующего звена показан на рис.2.13.
31Р1К1К11(Ч,]_) := } е О..Ь- 1
qe О..Ь- 1 ] + Ч т^«- 1 1 < 1_ - 1
, т Ь ■ т т1 «-- Ь- 1
ш1
Рис.2.13.
Приведенные примеры демонстрируют методику получения численных схем и их программную реализацию в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (базисе
восстановления) в рамках структуры пакета расширения MLSY_SM СКМ Mathcad. Аналогично разрабатываются и другие программные модули как в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе, так и в других финитных базисах.
2.4. Примеры применения пакета расширения МЬ8У_8М СКМ ММкеай в проекционно-сеточных базисах для анализа системы управления Пример 2.6. Нужно найти реакции нестационарной системы управления с дифференциальным уравнением
Ах + а(в)х + х = g(в) (2.24)
с коэффициентом
а(в) = со$(50 я 0 / *) + 4 • 1(0 - * / 2) (2.25)
на воздействие g(д) = зт(5/соответственно при нулевых начальных условиях: при
х0 - О, Л",'1' = 1; при Л"0 = 1, Л",
(1) _
0.
Задачу решить проекционно-сеточным спектральным методом. Результаты решения сравнить с результатами вычисления реакций путем численного интегрирования дифференциального уравнения (2.24) методом Рунге - Кутта. Решение ищем в виде
Ь-1
*(0) = £Х(7>(/,0), (2.26)
г=0
где X - ПС НСХ в базисе разложения, а <р{г,9) некоторый финитный базис (2.5), (2.13),
(2.18).
X найдем, решая уравнение (2.24) в спектральной области. Это решение имеет вид:
V
Х = Ж-О+х0Ж. Д+х® ЖА = Ж-А~1-О+х^ Л_1 Л+ х(1) Ж -Л"1-Д.
О хл О XI О хл О Х1
и/ улр и/ 0 ш 1 и/ ыхр ФФ Ф 0 Ф(р О) 1 охр Ф
цхр цхр улр улр
где:
Ж =
4-| Р + Л-Р+Е
щ>) уяр уяр
4 Р-Л"1-Р+Л-К1-Р+Л
<р<р <р<р <р<р (р(р (р(р <р<р <р<р
■А
<р<р
- ПС ДНПФ системы;
Ж
У"Р
4-| Р +Л-Р
¥<р] У'<Р У'<Р
и
Ж =4-Ж
¥<Р
¥<Р
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
- передаточные функции начальных условий; С и С - ПС НСХ входного сигнала в базисах
<Р \р
восстановления и разложения; Р -ПС ДНСХ дифференцирующего звена в базисе
<р'р
восстановления, Р -ПС ДНПФ дифференцирующего звена; А - ПС ДНПФ усилительного
ухр У'У
1
1
2
2
звена с коэффициентом передачи (2.25), а Л ПС ДНСХ усилительного звена в базисе
<рр
восстановления.; Л - ПС ДНХС.
<РЧ>
Листинг 2.1. Решение задачи в СКМ МаШсаё в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (2.5).
Х\=\2 Ь := 8
Ь1:= 40
( 50-
я • т
а| т1 := сое
1
Фт__ .4
В := 8ХСК1К1 (Ь) 01 := 8ЫХК1КЦд,ЬД) N6:= 8ЫВК1КЦ1Л,М) II := 811К1К1^,Ь) Р1:= 8Р1К1К1£,Ь) А := 8^гК1КЦа,ЬД)
Ш := , 4 • Р1 • В Х-Р1 + А-В Х-Р1 + В
| -1
:= 4 • V/
Ш0:=Ш-(4-Р1 + А)-В
' — 0 Ь - 1 А — < " ПС НСХ дельта ФУ™1?111
" 1,0-- м),1 в базисе восстановления.
X := Ш • 01 < - ПС НСХ выходного сигнала при ну левы
начальных условиях в базисе разложения
XI := X + \¥0 • А
< - ПС НСХ выходного сигнала при не нулевых начальных условиях в базисе Х2:= X + • А разложения.
Решение ДУспектральным методом при заданных начальных условиях, найденное обращением НСХ
&Х2 := ЫВ • Х2
Решение ДУ методом Рунге-Кутта при заданных начальных условиях.
Г \
0
У =
У 1 =
У 2 =
0)
уОу
1
це,у| :=
О0,у1! :=
У1
ё 61 _ а_0_ _ Уо
ч 4 4 У1 4
у и
а О _ а_и_ _ у1о
4 4 1 4
У2х
ч 4 4 У21 4 ,
г := гк^(3(у,0Д,Ы,Б) Ъ\\= гкйжс](у 1,0Д,Ы,Б) г2:=гкйхесЗ(у2,ОД,Ы,В)
Коней листинга 2.1.
0
Результаты решения задачи представлены на рис. 2.14: на рис. 2.14 а) при Ь=6, на рис. 2.14 б) при Ь=16. Сравнивая результаты расчетов, найденные разными способами при разных значениях Ь замечаем, что при Ь=6 найденные приближения отличаются от найденных по методу Рунге-Кутта, а при Ь=16 найденные приближения практически совпадают с найденных по методу Рунге-Кутта. Кроме того на рис. 2.14 в) приведены результаты решения данной задачи не только найденные по методу Рунге-Кутта и в базисе линейных В-сплайнов, но и в базисах квадратичных В-сплайнов (2.5) и Ь-сплайнов (2.13).
а)
Рис. 2.14.
Пример 2.7. Нужно найти свободное движение системы управления с дифференциальным уравнением
д2и(т,х) д2и(т,х) ди(т,х)
дт2
при начальных условиях
■ + 2-
дтдх
■ + ■
= g(T,x)
и( 0,х) = 0, =
и граничных условиях типа Коши
(2.31)
(2.32)
(2.33)
ы(т,0) = -2т е~т где г е [0,1], *е[0,1].
Задачу решить проекционно-сеточным спектральным методом. Результаты решения сравнить с точным решением
u(t,х) = (х-2t)e-х. (2.34)
Решение ищем в виде
Lx -1 U -1
(2.35)
//(г, х) = J J £/(у, i)(px (у, г)^2* (/, х),
у=о ,=0 №
где С/ - ПС ДНСХ в базисах разложения, а срх и (р2 некоторые финитные базисы
ViVi
восстановления (2.5), (2.13), (2.18).
X найдем, решая задачу (2.31)-(2.33) в спектральной области, т.е. решая матричное
Ч'\Ч'\
уравнение
Г .л \
P
U + PU P++ P U =AS+
ViVi vm ч'\чЛ ViVi vM ViVi Vi Vi
du( 0, x)
- +2 P S<i(Tß)y- (2.36)
J VM Vi Vi
Такие матричные уравнения можно записать в спектральной области, используя понятия тензорного произведения и табличного представления многомерных матриц [16], в виде
л Л
P
vm
>Е + P® P+ Pß>E
Vi Vi ViVi Vi Vi
U {2,0)= К (2,0),
(2.37)
ViVi
ViVi
где С/(2,0) и K (2,0)
ViV'i 4'iVi
гиперстрочные матрицы образованные из матриц U
ViVi
AS+
Vi Vi
ди( 0, jc) дт
+ 2 Р S<(r,0)>+.
viW vi
Vi
Решая уравнение (2.37), находим U (2,0). Выполняя преобразование гиперстрочной
ViVi
матрицы в прямоугольную, находим U . Обращая U по формуле (2.35) находим решение
Vi4'*i ViV'i
задачи (2.31)-(2.33).
Листинг 2.2. Решение задачи в СКМ Mathcad в проекционно-сеточном кусочно-линейном базисе (2.13).
N1 := 10
t := 1 LI := 4
u(t,x) := (х - 2 ■ t) ■ е - х <- точное решение задачи.
gl(x) := -х - 2 g2(t) := -2 ■ t ■ e_t <- начальные и краевые условия.
Е := identity(Nl) SNX1 := SNX<t>l<t>ll(gl ,N1 ,t) SNX2 := SNX<t>l<t>ll(g2,Nl ,t)
P1 := SP№№ll(t,Nl) NB := 5МВФ1Ф11(L1,N1 ,t)
W7? - pipi2 FI + ? РГР1 РП + PfPI F1 <_ ™рВафа™аяматр1ща ПС ДНПФ ДУ. W22 .- F F1 ,Е. + 2 ■ Р(Р1 ,Р1) + Р(Р1 ,Е) Здесь ?(АД) _ пр01рамма Еь1чиспения
тензорногопроизв еденияч матриц А и В. i:=0.. N1-1 о := NBo i <-ПС НСХ дельта-функции в нулевой точке.
SNXNK := А ■ SNX1T + 2 ■ Р1 ■ SNX2 ■ АТ <- ПС ДНСХ начальных и краевых значений.
К20 := FC(SNXNK) <- галер столбцовая матрица ПС ДНСХ К(2,0) начальных
и краевых значений. Здесь FC(A) - программа вычисления гипер столбцов ой матрицы по матрице А.
U20 := W22-1 ■ К20 <- гаперстолбцовая матрица ПС ДНСХ U(2,0) решения задачи.
U FM(U2Ch <- матрица ПС ДНСХ решения задачи u(t^x). Здесь FM(A) - программа ^ ^ вьгчисления матрицы по ее гапер столбцов ому представлению.
up := NB ■ U ■ NB <- решение задачи найденное спектральным методом.
Коней листинга 2.2.
Результаты сравнивались с точным решением (2.34). Погрешность вычисления не хуже 1%.
Приложение 1. Описание процедур элементарных операций спектрального метода в проекционно-сеточных финитных базисах
1. Идентификаторы проекционно-сеточных базисных функций
Введем для проекционно-сеточных базисных функций (2.5) следующие идентификаторы:
К0 (КК0) - кусочно-постоянные базисные функции восстановления (разложения).
К1 (КК 1) - кусочно-постоянные базисные функции восстановления (разложения).
К2 (КК2) - кусочно-квадратичных базисные функции восстановления (разложения).
Введем для проекционно-сеточных базисных функций (2.13) следующие идентификаторы:
Ф1 - кусочно-линейные базисные функции.
Ф2 (ФФ2) - кусочно-квадратичные базисные функции восстановления (разложения).
Введем для проекционно-сеточных базисных функций (2.18) следующие идентификаторы:
4*1 - кусочно-линейные базисные функции.
Ч>2 (ЧЛР2) - кусочно-квадратичные базисные функции восстановления (разложения).
2. Описание процедур (элементарных операций спектрального метода) и их
формальных параметров
1) 8ЫБ ??1(Ь1, Ь, г) - вычисляется матрица-строка Ь непрерывных ПС БФ на отрезке [0,г1] на системе тактовых точек (I-\)t/где / = \,...,Ы + 1. Результат представляется матрицей порядка ЫхЬ.
2) 8МХ ?? 1(g, Ь, г) - вычисляется ПС НСХ порядка Ь на отрезке [0, г] по аналитически заданной функции g(х) .
3) 57УС?? 1(Я,?) - вычисляется матрица ПС НСП порядка ЬхЬ на отрезке [0,г1] по аналитически заданной корреляционной функции Я(х, у) .
4) SI\ll\(t,L) - вычисляется матрица ПС ДНПФ интегрирующего звена порядка LxL на отрезке [0, t].
5) SP1??1(t, L) - вычисляется матрица ПС ДНПФ дифференцирующего звена порядка L х L на отрезке [0, t].
6) SIP1??1(t, L) - вычисляется матрица ПС ДНПФ интегрирующего звена, найденная обращением ПС ДНПФ дифференцирующего звена порядка L х L на отрезке [0, t].
7) SM 1??1(t, L) - вычисляется матрица ПС ДНПФ звена начальных значений порядка L х L на отрезке [0, t].
8) SAP ?? 1( N1, T, k, t) - вычисляется матрица ПС ДНПФ апериодического звена порядка N1 х N1 на отрезке [0, t]. Т - постоянная времени апериодического звена, к - коэффициент усиления апериодического звена.
9) SKO ??1(N1, T, k1, k, t) - вычисляется матрица ПС ДНПФ апериодического звена порядка N1 х N1 на отрезке [0, t]. Т - постоянная времени колебательного звена, к -коэффициент усиления колебательного звена. k1 - коэффициент демпфирования колебательного звена.
10) SCD ??1(N1, T1, t) - вычисляется матрица ПС ДНПФ звена чистого сдвига порядка N1 х N1 на отрезке [0, t~\. Т\ - величина чистого сдвига: если Т\ > 0, то 71 - величина запаздывания, если Т\ < 0, то 71 - величина упреждения.
11) SYZ ??1(a, N1, t) - вычисляется матрица ПС ДНПФ усилительного звена порядка N1 х N1 на отрезке [0, i] по аналитически заданному коэффициенту усиления а(х) .
12) SXC??1(L) - вычисляется матрица ПС ДНХС порядка Л х Л на отрезке [0,/]. Заметим, что идентификатор <11 > в имени процедуры должен быть заменен
комбинацией имен базисных систем функций, т.е.
< ?? >=< K0K01 K1K11 K2K21 Ф1Ф11 Ф2Ф21 4W1 ^2W2> или
< ?? >=< KK1K11 KK2K2 ^ ФФ^Ф21 .
Библиографический список
1. Солодовников В.В. и др. Расчет систем управления на ЦВМ. - М.: Машиностроение, 1979.
2. Солодовников В. В., Семенов В. В. Спектральная теория нестационарных систем управления. М., Наука, 1974.
3. Семенов В.В., Рыбин В.В. Алгоритмическое и программное обеспечение расчета нестационарных непрерывно-дискретных систем управления ЛА спектральным методом: Учебное пособие. -М.: МАИ, 1984.
4. Рыбин В.В. Разработка пакета расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в биортогональных вейвлет-базисах // Электронный журнал "Труды МАИ"- 2009, № 33. - http://www.mai.ru
5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн функций. М.: Наука, 1980.. - 350 с.
6. Леонтьев В.Л. Ортогональные финитные функции, смешанные вариационные принципы в численных методах. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. - Ульяновский Государственный Университет. Ульяновск, 2002.
7. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. - М.: Наука. 1981. - 416 с.
8. Рыбин В.В. Описание сигналов и линейных нестационарных непрерывных систем управления в базисах вейвлетов. // Электронный журнал "Труды МАИ"-2003, № 10.
9. Рыбин В.В. Разработка и применение пакетов расширения MLSY_SM СКМ Mathcad, Maple, Mathematica, Matlab.// Электронный журнал "Труды МАИ"- 2003, № 13.
10. Рыбин В.В. Разработка и применение пакета расширения Spektr_SM СКМ Matlab.// Электронный журнал "Труды МАИ"- 2003, № 13.
11. Рыбин В.В. Описание сигналов и линейных нестационарных непрерывных систем управления в базисах вейвлетов и их анализ в вычислительных средах: Учебное пособие. - М.: МАИ, 2003. - 96 с.
12. Рыбин В.В. Разработка пакета расширения MLSY_SM СКМ Mathcad в базисах Добеши М-го порядка // Электронный журнал "Труды МАИ"- 2009, № 33. -http://www.mai.ru
13. Нестационарные системы автоматического управления: анализ, синтез и оптимизация / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 632с.
14. Матричные методы расчета и проектирования сложных систем автоматического управления для инженеров/ Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. - М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. - 664 с.
15. Дьяконов В.П. MathCAD 2001: Специальный справочник. - СПб.: Питер, 2002. - 345с.
16. Пантелеев А.В., Рыбаков К.А., Сотскова И.Л. Спектральный метод анализа нелинейных стохастических систем управления - М.: Вузовская книга, 2006.. - 392 с.
Сведения об авторах
Рыбин Владимир Васильевич, доцент Московского авиационного института (государственного технического университета), телефон: +7 499 158-48-11, E-mail:dep805@mai.ru
